2019-2020年高二數(shù)學直線和平面平行的判定和性質(zhì)同步教案新人教A版

1、2019-2020年高二數(shù)學直線和平面平行的判定和性質(zhì)同步教案新人教A版一、本講進度第九章 直線、平面、簡單幾何體9. 4直線和平面平行的判定和性質(zhì)二、主要內(nèi)容1、直線和平面垂直的定義，判定及性質(zhì)；2、三垂線定理及逆定理。三、學習指導(dǎo)1 、直線和平面垂直是直線與平面相交中的一種特殊位置關(guān)系。其定義為：該直線與平面 內(nèi)任意一條直線都垂直。也就是用線線垂直去定義線面垂直，體現(xiàn)了線線與線面關(guān)系的轉(zhuǎn)化 思想。若直線 和平面a垂直，符號表示為 丄a。圖形表示為：其中： 和a的交點稱為垂足。；直線叫平面的垂線，平面 a叫直線的垂面。注意概念中的“任意一條”可以用“所有條”代替，但不能用“無數(shù)條”代替。直線

2、和平面垂直的判定有兩種方法；一是定義，二是判定定理。判定定理是用定義證明 的。判定定理的證明充分運用了平面幾何的知識，強調(diào)了平面幾何知識是學好立體幾何的基 礎(chǔ)。在證明過程中，構(gòu)造了若干平面（等腰三角形）。直線和平面垂直的性質(zhì)是定義，即：如果丄a , ma ,則 丄數(shù)學中概念的定義既可以作為判定定理使用，也可以作為性質(zhì)定理使用。2、兩個唯一性的命題。過一點和已知平面垂直的直線只有一條；過一點和已知直線垂直的平面只有一個。借助于反證法很容易得到證明。3、三垂線定理及其逆定理是立體幾何的重要定理之一。其用途是證明線線垂直。運用三 垂線定理及逆定理的難點是具體問題中的變式圖形。為了解決這個難點，首先要

3、加深對課本上基本圖形的認識，其次要找到一個基本平面（即基本圖形中的a ）,分清平面內(nèi)的直線與平面的斜線，再次找平面的垂線，這是很關(guān)鍵的一步。三垂線定理及其逆定理實質(zhì)上是把從線線垂直到線面垂直再到線線垂直的模式固定下 來，其模式為：T PA丄a , A為垂足PO為a的斜線，O為斜足a a , a 丄 AO a 丄 PO課本P.23例4是一個很重要的真命題。與這個命題類似的還有：“若PA與AB AC所成角相等，則PA在平面a上的射影為/ BAC的平分線?！本嚯x的另一種方法，即利用三垂線4、 課本P.24例5給出了求直線外一點P到直線 定理構(gòu)造直角三角形。具體步驟為：作POL a , O為垂足作OH

4、L , H為垂足 連PH貝U PHL , PH長度為點P到 的距離。5、本節(jié)主要方法有反證法、構(gòu)造法、化歸的思想等。四、典型例題例 1、已知 MNLa, MNL b, a、b為異面直線，a / a , b / a ,求證：MNL a。分析：只要將a、b平移到a內(nèi)去即可。設(shè) MNP a =0,設(shè)a與O確定的平面交a于a, 則由線面平行的性質(zhì)定理 a / a設(shè)b與O確定的平面交a于b,貝U b / b/ MNL a, a/ a MNL a同理：MNL b/ aP b =0, a a , b a MNL a例2、(1) P是厶ABC所在平面外一點， PAL PB, PB丄PC PCL PA, H是厶

5、ABC的垂心，求證：PHL平面ABC(2) P是厶ABC所在平面外一點， PAL PB PB丄PC PCL PA PH!平面 ABC H為垂足,求證：H為垂心。分析：從線線垂直與線面垂直的相互轉(zhuǎn)化入手v PA 丄 PB, PAL PCPA丄平面PBCPA 丄 BC/ HABC垂心BC 丄 AH/ PA P AH=ABC丄平面PAHBC 丄 PH同理：ABL PH/ AB P BC=BPH丄平面ABC由(1)得：PAL BC/ PH丄平面ABC AH為PA在平面 ABC上的射影/ BC 平面 ABC BC丄 PABC 丄 AH同理：AB丄CHH為仏ABC垂心PA PB PC兩注：本題中的兩個小問

6、題可以看成是一對逆命題。在過同一頂點的三條棱 兩都垂直的條件下，P在平面ABC上的射影與厶ABC的垂心為同一點。例3、已知aa , a丄b, b丄a，求證：a a。分析：設(shè)法構(gòu)造經(jīng)過直線 a的輔助平面3，使得B與a相交，則只要證 明a平行于交線即可。/ b 丄 ab 垂直于a內(nèi)任一條直線又a丄b，從把a、b轉(zhuǎn)移到由此聯(lián)想到平面幾何中的定理“垂直于同一條直線的兩條直線平行” 同一平面內(nèi)著手。a (請同學們思考如何證明)任取點Aa,過A作b/b,設(shè)bna =B,則b丄設(shè)由a, b確定的平面3交a于c,則b丄c/ a 丄 b, b/ bb丄 a a , b, c均在平面3內(nèi)a / ca / a例4、

7、正方體 ABCABQD中求證：AC丄 BD, AC丄 GD, AC丄 BiA;求證：AC丄平面BDC; 設(shè)O是正方形 BCCB的中心，求證：BG丄DO分析：(1 )本題中的三組線線垂直都是異面垂直，若用定義證明，則繁頊?？紤]用三垂 線定理及逆定理。在正方體AiBCD ABCD中，由每一個面都是正方形，禾U用線面垂直的判定定理，易證：AA、BB、CC、DD都與平面 ABCD及平面 AiBCD垂直；AB DC ABi、DC都與平面 BBCC 平面AAiDD垂直；AiD、AD BQ、BC都與平面 AABiB、平面CCDD垂直。這些垂直關(guān)系應(yīng)熟 記，可直接作為結(jié)論使用。/ AiA丄平面ABCDAC為A

8、C在平面 ABCD上的射影/ BD 丄 AC, BD平面 ABCDBD 丄 AiC在這里選取基本平面為 ABCD同理，選取平面 CCDD為基本平面，證 AC丄CiD選取AABiB為基本平面，證 AC丄BiA由(1), AiC 丄 BD AC 丄 CiD/ BD n CiD=D AiC丄平面BDC： DC丄平面 BBCCOC為DO在平面 BBGC上的射影/ BCi 平面 BBCiC, BC丄 OCBCi 丄 DO注：在垂直關(guān)系的證明中，應(yīng)有意識地培養(yǎng)線線垂直與線面垂直轉(zhuǎn)化的思想。三垂線定 理及逆定理是證明異面直線垂直的重要方法。例5、正方體 ABCD-ABQD中，M為AA中點，P為正方形 AiB

9、QD的中心求證：MPL BiC; 線段 AiBi上的點N滿足AiN=NB,求證：MNL MC分析：(i)法一：直接利用三垂線定理，選平面BBGC為基本面。找 MP在平面BBCiC上的射影。作MM/ AiBi交BB于點M作 PPi / AiBi 交 BiCi 于點 Pi貝U MM丄平面BBC C, PR丄平面BBC CMi Pi為MP在平面BBC C上的射影 M為AA中點，P為A Ci中點Mi、Pi分別為BB、BiC的中點Mi Pi / BC又BCi丄Bi CMi Pi 丄 B C由三垂線定理：MPL B C法二：把MP平移，轉(zhuǎn)化利用三垂線定理矩形AA Ci C中，M P分別為AA、AiG的中點

10、MP / AC由上題知AC丄B CMP丄 Bi C(2)選平面 AAB B為基本面/ CB丄平面AABi BBM為CM在平面AABi B上的射影下面只要證明 BML MN即可/ BM與 MN在同一平面內(nèi)利用勾股定理設(shè)正方體棱長為 a，貝U BM=A+AM=a2+MN2=MA12+A1N2=BN2=BB12+B1N2=/ BM2+MN=BhfBM丄 MNMC MN 注：利用勾股定理證明線線垂直，體現(xiàn)了數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系的聯(lián)系。同步練習（一）選擇題1、 空間四邊形 ABCFD勺四邊相等，則它的對角線 AC與BD的關(guān)系是A、垂直相交B相交但不一定垂直C、垂直但不相交D、不垂直不相交2、矩形ABCD中

11、, AB=3, BC=4 PA丄平面ABCD PA=1,則P到對角線BD的距離為A、B 、C 、D 、3、 ABC中，AB=AC=5 BC=6 PA丄平面 ABC PA=8 貝U P 到 BC的距離是A、B 、 C 、 D 、P是厶ABC所在平面a外一點，P到厶ABC三邊的距離相等， POL a , O為垂足,O在 ABC內(nèi)部，貝U O是厶ABC的A、 外心 B 、內(nèi)心 C 、垂心 D 、重心、P是平行四邊形 ABCD所在平面外一點，若 P到ABCD四邊距離相等，貝U ABCD一定是A、菱形B 、矩形 C、正方形D 、以上都不是6、異面直線在同一平面上的射影不可能是A、兩平行直線 B 、同一直

12、線C 、兩相交直線D 、一點與一直線7從平面外一點P引與a相交的直線，使點 P與交點的距離等于 1,則滿足條件 直線條數(shù)一定不可能是A、0條B、 1條C、 2條D、無數(shù)條8、已知PHLa，H 為垂足， HEa,EFa , HE!EF,連PE、PF、HF,則圖中直角三角形的個數(shù)是A、1個B、 2個C、 3個D、 4個9、已知PE垂直于O O所在平面，EF是O O的直徑,點G 為圓周上異于 E、 F 的任一點，貝下列結(jié)論不正確的是A、FG丄平面PEGB、PGL FGC 、EG! PFD、PEL GF10、如果/ APB=Z BPC=/ CPA=60, PA=a, PA 在平面/ BPC上的射影為

13、PQ 貝U cos / APO等于A、（二）填空題11、PO丄平面 AOB / AOB=90, AB=a / PAO2 PBOa , C是 AB中點，則PC=（X O12、若 a/ b , aL a ,貝U ba ;若 a丄b , aL a ,貝U b13、空間四邊形 ABCD中 , AB=AD BC=CD 若 BD=5 AC=4, M N、P、Q分 別是AB BC CD DA的中點，貝U MNP啲面積是14、A ABC中，/ ACB=90 , P 是平面 ABC外一點，PA=PB=PC 若 AC=12, P 到平面 ABC的 距離為8,貝U P到BC的距離等于15、正三角形 ABC的邊長為a

14、 , ADL BC, D為垂足,沿 人。將厶ABC折起，使/ BDC=90 , 則B到AB的距離為（三）解答題16、四面體 ABCD中，已知 AB丄CD AC丄BD,求證：AD丄BG17、Rt ABC中，/ ACB=90, AC=3 BC=4, PC!平面 ABC PC=求點 P到直線 AB的距離。18、若直角ABC的一邊BC平行于平面a ,另一邊AB與平面a斜交，求證：/ ABC在平面 a上的射影仍是直角。19、空間四邊形 PABC中 , PAL平面ABC若/ BAO 90 ,求證：A在平面PBC上的射影 A 不可能是厶PBC的垂心。20、A是厶 ABC所在平面外一點，/ ABD2 ACD=

15、9, AB=AC E 是 BC中點，求證：（1） AD 丄BC; （2） AED是鈍角三角形。參考答案（一）選擇題1、 Co 取 BD 中點 M 貝y BD丄 AM BD丄CM 二 BDL平面 ACM 二 BD丄AC2、 Bo 作 AH丄 BD, H 為垂足,連 PH,貝U PH丄 BD AH= PH= TOC o 1-5 h z 3、Do4、Bo O到厶ABC三邊距離相等5、 Ao P在平面ABCD上的射影為 ABCD內(nèi)切圓圓心，平行四邊形 ABCD有內(nèi)切圓，從而 為菱形6、Bo7、 Co 當P到平面距離大于1時，直線不存在；當 P到平面距離等于1時，直線只有 一條；當P到平面距離小于1時，

16、直線有無數(shù)條8、Do9、Co10、 Do PO 為/ BPC平分線，作 OHL PC H為垂足，連 AH,貝U PH=AP- cos60=,OP= cos / APO=（二）填空題11、 連 CO I / PAO2 PBO 二 PA=PB OA=OB PCL AB, OCL AB, a CO= AO=BO=CO= PO= PC=12、丄 ,/,或。13、_5_ o MNPQ為矩形14、 10 o P在平面ABC上的射影 OABC外心 ,即為斜邊 AB中點，作 OD/ AC交BC于 D,連 PD,貝U PDL BC PO=8 OD=6 PD=1015、 。 作 DHL AC, H 為垂足，連 B

17、H , / BDL平面 HCD - BHL AC, BD=a DH=CDsin6C=, BH=（三）解答題16、作AC丄平面BCD O為垂足,連 BO CO DQ貝U BO為AB在平面 ACD上的射影/ CDL ABCDLBO同理：BD丄COOBCD垂心DO BC/ DO為AD在平面 ABCDk的射影BC 丄 AD17、作CHL AB, H為垂足，連PH/ PC丄平面ACBCH為PH在平面 ABC上的射影/ AB 丄 CH AB 丄 PH PH長度就是點P到直線AB的距離 ACB中, AC- BC=AB CH CH= PH= . PC2 CH2 二(9)2(12)2 =3 55點P到AB的距離為318、分別過B、C作平面a的垂線，設(shè)垂足分別為 A、B,連AB、B C貝U BB / CC平面 BB C CP a =B C/ BC / aBC / B C/ AB 丄 BCAB 丄 B C/ AB 為AB在 a上的射影AB 丄 B C/ AB，C =9019、假設(shè)人為厶PB