2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)8.4直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系教案理新人教A版

1、019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 8.4直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系教案理新人教A版典例精析 題型一 直線與圓的位置關(guān)系的判斷【例1】已知圓的方程 x2 + y2 = 2，直線y= x + b,當(dāng)b為何值時,直線與圓有兩個公共點(diǎn)；直線與圓只有一個公共點(diǎn).【解析】方法一：(幾何法)設(shè)圓心0(0,0)到直線y = x + b的距離為|b|=虬12+ 12 2，半徑r = 2.當(dāng)dv r時，直線與圓相交,|b|22，2 v bv 2,所以當(dāng)一2v bv 2時，直線與圓有兩個公共點(diǎn)當(dāng)d= r時，直線與圓相切，也匸=羽，b= 2,所以當(dāng)b=2時，直線與圓只有一個公共點(diǎn) .方法二：(代數(shù)法)聯(lián)立兩個方程

2、得方程組消去 y 得 2x2 + 2bx + b2 2 = 0, = 16 4b2.當(dāng)0，即一2v bv 2時，有兩個公共點(diǎn)；當(dāng)= 0，即b=2時，有一個公共點(diǎn).【點(diǎn)撥】解決直線與圓的位置關(guān)系的問題時，要注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，既要運(yùn)用平面幾何中有關(guān)圓的性質(zhì)，又要結(jié)合待定系數(shù)法運(yùn)用直線方程中的基本關(guān)系，養(yǎng)成勤畫圖的良好習(xí)慣n【變式訓(xùn)練 1 】圓 2x2 + 2y2 = 1 與直線 xsin 0 + y 1 = 0( R, BMkn+ , k Z)的位置關(guān)系是()1J sin2 0 + 1A.相離B.相切C.相交D.不能確定【解析】選A.易知圓的半徑r = ，設(shè)圓心到直線的距離為n 因?yàn)?工2 +

3、 k n , k乙所以0W sin 20 v 1, 所以守v dw 1,即d r，所以直線與圓相離. 題型二圓與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用【例2】如果圓C: (x a)2 + (y a)2 = 4上總存在兩個點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】到原點(diǎn)的距離等于1的點(diǎn)在單位圓 Ox2+ y2 = 1上.當(dāng)圓C與圓O有兩個公共點(diǎn)時， 符合題意，故應(yīng)滿足 2 1v |OC| v 2+ 1, 所以 1 v a2 + a2v 3，即 v |a| v 2,所以一學(xué)V a v- 或 V a v冷2為所求a的范圍.【變式訓(xùn)練2】兩圓(x + 1)2 + (y 1)2 = r2和(x 2)2 + (y +

4、2)2 = R2相交于P, Q兩點(diǎn)，若 點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,2)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為【解析】由兩圓的方程可知它們的圓心坐標(biāo)分別為(一1,1) , (2 , 2)，則過它們圓心的直x ( 1)y 1線方程為士彳=，即y 一 x.根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知兩圓的交點(diǎn)應(yīng)關(guān)于過它們圓心的直線對稱-1).故由P(1,2)可得它關(guān)于直線y= x的對稱點(diǎn)，即點(diǎn) Q的坐標(biāo)為(一2, 題型三圓的弦長、中點(diǎn)弦的問題【例 3】已知點(diǎn) P(0,5)及圓 C: x2 + y2 + 4x 12y + 24= 0.(1)若直線I過點(diǎn)P且被圓C截得的線段長為4.3，求I的方程；求圓C內(nèi)過點(diǎn)P的弦的中點(diǎn)的軌跡方程.【解析】(1)如圖，AB

5、= 4 3, D是AB的中點(diǎn)，貝U AD= 2 3, AC= 4,在 Rt ADC中，可得 CD= 2.設(shè)所求直線的斜率為 k,則直線的方程為y 5= kx ,即kx y + 5= 0.| 2k 6+ 5|由點(diǎn)C到直線的距離公式1一1 = 2,寸 k2 + 13得k=-，此時直線I的方程為3x 4y + 20= 0.又直線I的斜率不存在時，也滿足題意，此時的方程為x = 0.所以所求直線為 x= 0或3x 4y + 20= 0.(也可以用弦長公式求解 設(shè)圓C上過點(diǎn)P的弦的中點(diǎn)為 D(x , y),因?yàn)?CD PD 所以=0,即(x + 2, y 6) (x , y 5) = 0 ,化簡得軌跡方

6、程 x2 + y2 + 2x 11y + 30= 0.AB兩端點(diǎn)的坐標(biāo)【點(diǎn)撥】在研究與弦的中點(diǎn)有關(guān)問題時，注意運(yùn)用“平方差法”，即設(shè)弦分別為 A(x1 , y1) , B(x2 , y2),中點(diǎn)為(x0 , y0), 由得 k= g2=xix?=x.x1 x2 y1 + y2 y0該法常用來解決與弦的中點(diǎn)、直線的斜率有關(guān)的問題的最 長弦和最短弦分【變式訓(xùn)練3】已知圓的方程為 x2+ y2 6x 8y = 0,設(shè)該圓過點(diǎn)(3,5)別為AC和BD,則四邊形 ABCD勺面積為()A.10 6B.20 6C.30 6D.40 6【解析】選B.圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程(x 3)2 + (y 4)2 = 25

7、 ,過點(diǎn)(3,5)的最長弦為AC= 10 ,1最短弦為 BD= 2 52 12 = 4 6 , S= AC BD= 20 6.總結(jié)提高解決直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系有代數(shù)法和幾何法兩種，用幾何法解題時要注意抓住圓的幾何特征，因此常常要比代數(shù)法簡捷.例如，求圓的弦長公式比較復(fù)雜，利用I = 2 R2 d2(R表示圓的半徑，d表示弦心距)求弦長比代數(shù)法要簡便.處理直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系，要全面地考查各種位置關(guān)系，防止漏解，如設(shè)切線為點(diǎn)斜式，要考慮斜率不存在的情況是否合題意，兩圓相切應(yīng)考慮外切和內(nèi)切兩種情況處理直線與圓的位置關(guān)系時，特別是有關(guān)交點(diǎn)問題時，為避免計(jì)算量過大， 常采用“設(shè)而不求”的方

8、法.2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)8.5直線與圓的綜合應(yīng)用教案理 新人教A版題型一直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用【例 1】已知圓 C: (x 1)2 + (y 2)2 = 25 及直線 I : (2m+ 1)x + (m+ 1)y = 7m+ 4 (m R).求證：不論 m為何值，直線I恒過定點(diǎn)；判斷直線I與圓C的位置關(guān)系； 求直線I被圓截得的弦長最短時的弦長及此時直線的方程【解析】(1)證明：直線方程可寫作x + y 4+ m(2x+ y 7) = 0,由方程組可得所以不論m取何值，直線I恒過定點(diǎn)(3,1). TOC o 1-5 h z 由(3 1)2 + (1 2)2 =5V 5,故點(diǎn)(

9、3,1)在圓內(nèi)，即不論 m取何值，直線I總與圓C相交.由平面幾何知識可知，當(dāng)直線與過點(diǎn)M(3,1)的直徑垂直時，弦|AB|最短.|AB| = 2 r2 |CM|2 = 2 25 (3 1)2 + (1 2)2 = 4 5,12m+ 11此匕時k =刁亍,即一=7 = 2,kCMm+11一 2解得m= 3代入原直線方程，得I的方程為2x y 5= 0.4【點(diǎn)撥】解決弦長問題時，可利用弦長的幾何意義求解.一 1 一. .一 TOC o 1-5 h z 【變式訓(xùn)練1】若函數(shù)f(x) = eax的圖象在x = 0處的切線I與圓C: x2 + y2= 1相離， 則P(a , b)與圓C的位置關(guān)系是()A

10、.在圓外B.在圓內(nèi)C.在圓上D.不能確定1aa【解析】選 B.f(x) = eax? f (x) = beax? f (0) = 11a又f(0)=：，所以切線I的方程為y+=匚(x 0)，即ax+ by + 1 = 0,bbb1 由I與圓C: x2 + y2= 1相離得 1? a2 + b2v 1,即點(diǎn)P(a , b)在圓內(nèi)，故選 B.Qa2+ b2題型二和圓有關(guān)的對稱問題【例2】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，曲線 x2+ y2 + 2x 6y + 1 = 0上有兩點(diǎn)P、Q關(guān)于直線x + my+ 4 =0對稱，又滿足=0.(1)求m的值；求直線PQ的方程.【解析】(1)曲線方程可化為(x + 1)2 +

11、(y 3)2 = 9，是圓心為(一1,3)，半徑為3的圓. 因?yàn)辄c(diǎn)P, Q在圓上且關(guān)于直線 x + my+ 4 = 0對稱，所以圓心(1,3)在直線x+ my+ 4= 0上，代入得 m= 1.因?yàn)橹本€PQ與直線y = x + 4垂直，所以設(shè) P(x1 , y1) , Q(x2 , y2),則直線PQ的方程為y = x + b.將直線y= x+ b代入圓的方程，得 2x2 + 2(4 b)x + b2 6b+ 1 = 0, = 4(4 b)2 4X 2(b2 6b+ 1) 0,解得 2 3 2 v b V2+ 3 2.b2 6b+ 1b2 + 2b+ 1x1 + x2 = b 4, x1x2 =

12、y1y2 = ( x1 + b)( x2 + b) = b2 b(x1 + x2) + x1x2 =因?yàn)? 0,所以 x1x2 + y1y2 = 0,b2 6b+ 12b2 + 2b+ 1=0,得 b = 1.故所求的直線方程為 y= x + 1.【點(diǎn)撥】平面向量與圓的交匯是平面解析幾何的一個熱點(diǎn)內(nèi)容，解題時，一方面要能夠正確地分析用向量表達(dá)式給出的題目的條件，將它們轉(zhuǎn)化為圖形中相應(yīng)的位置關(guān)系， 另一方面還要善于運(yùn)用向量的運(yùn)算解決問題 .【變式訓(xùn)練2】若曲線x2+ y2 + x 6y + 3 = 0上兩點(diǎn)P、Q滿足關(guān)于直線 kx y + 4= 0對 稱；OPLOQ則直線PQ的方程為1 1【解析

13、】由知直線 kx y + 4= 0過圓心(一, 3)，所以k = 2，故kPQ= -.設(shè)直線PQ的方程為y = 2x +1，與圓的方程聯(lián)立消去 y,5 得 4x2 + (4 t)x + t2 6t + 3= 0.(*)設(shè) P(x1 , y1) , Q(x2, y2)，由于 OPL OQ 所以 x1x2 + y1y2 = 0, TOC o 1-5 h z 1115即 x1x2 + ( x1 + t)( jx2 +1) = 0,所以(x1 + x2)( -t) + 4x1x2 +12 = 0.4(t 4)4(t2 6t + 3)、“ 口 35由(*)知，x1 + x2 =, x1x2 =，代入上式

14、，解得 t =或t = .55241315此時方程(*)的判別式 0.從而直線的方程為y = x+-或y = x+4,即x+ 2y 3= 0或2x+ 4y 5= 0為所求直線方程.題型三與圓有關(guān)的最值問題【例3】求與直線x+ y 2 = 0和曲線x2 + y2 12x 12y + 54= 0都相切的半徑最小的圓的 標(biāo)準(zhǔn)方程.【解析】曲線x2 + y2 12x 12y + 54 = 0可化為(x 6)2 + (y 6)2 = 18,它表示圓心為(6,6)，半徑為 3 2的圓.作出直線 x+ y 2= 0 與圓(x 6)2 + (y 6)2 = 18,由圖形可知，當(dāng)所求圓的圓心在直線y = x上時

15、，半徑最小.設(shè)其半徑為r，點(diǎn)(6,6)到直線x + y= 2的距離為5,2，所以2r+ 3 2 = 5 2，即 r =2 ,點(diǎn)(0,0)到直線x + y= 2的距離為2,所求圓的圓心為(2 .2cos 45 , 2 2sin 45 )，即(2,2),故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x 2)2 + (y 2)2 = 2.【點(diǎn)撥】解決與圓有關(guān)的最值問題時，要借助圖形的幾何性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合求解【變式訓(xùn)練3】由直線y= x+ 1上的點(diǎn)向圓C: (x 3)2 + (y + 2)2 = 1引切線，則切線長的最小值為（）A. 17B.3 2C. 19D.2 5【解析】選A.設(shè)M為直線y = x + 1上任意一點(diǎn)，過點(diǎn) M的切線長為I，貝U I = |MC|2 r2 ,3 + 2+ 1當(dāng)|MC|2最小時，I最小，此時 MC與直線y = x+ 1垂直，即|MC|2iin = （）2 = 18,故V2I的最小值為I：17.總結(jié)提高解決直線