2022年上海高中數(shù)知識點歸納總結

1、上海高中數(shù)學學問點總結 一,集合與常用規(guī)律 1集合概念 元素：互異性,無序性 B B A B 2集合運算 全集 U：如 U=R 交集： A B x x A 且 x B 并集： A B x x A或 x B 補集： CU A x x U且 x A 3集合關系 空集 A 子集 A B : 任意 x A x B A B A A B A 注：數(shù)形結合 - 文氏圖,數(shù)軸 4四種命題 原命題：如 p 就 q 逆命題：如 q 就 p 否命題：如 p 就 q逆否命題：如 q 就 p原命題 逆否命題 否命題 逆命題 5充分必要條件 p 就是 q 得充分條件： P qp 就是 q 得必要條件： P qp 就是 q

2、 得充要條件： p. q6復合命題得真值 q 真（假） . “ q ”假（真） p, q 同真 . “ pq”真 p, q 都假 . “ pq”假 7,全稱命題,存在性命題得否定 M, px ）否定為 : M, p X M, px ）否定為 : M, p X 二,不等式 1一元二次不等式解法 2 如 a 0 , ax bx c 0 有兩實根 , ,就 第 1 頁,共 16 頁2 ax bx c 0 解集 , （ 0 a 1） 2 ax bx c 0 解集 , , 注：如 a0 ,轉(zhuǎn)化為 a 0 情形 2其它不等式解法轉(zhuǎn)化 x a ax a2 x a2x ax a 或 x ax2 a 2 f x

3、 0f x g x 0g x af x ag x f x g x （ a 1） log a f x log a g x f x 0f x g x 3基本不等式 a 2 b 2 2ab abab a2b 2 如 a, b R ,就 2注：用均值不等式 a b2 ab , ab 求最值條件就是“一正二定三相等” 三,函數(shù)概念與性質(zhì) 1奇偶性 fx 偶函數(shù) f x f x fx 圖象關于 y 軸對稱 fx 奇函數(shù) f x f x fx 圖象關于原點對稱 注： fx 有奇偶性 定義域關于原點對稱 fx 奇函數(shù) , 在 x=0 有定義 f0=0 “奇 +奇=奇”（公共定義域內(nèi)） 2單調(diào)性 fx 增函數(shù)：

4、 x 1 x 2 或 x 1 x2fx 1 fx 2 fx 1 fx 2 或 f x1 x1 f x2 x2 0fx 減函數(shù)：？ 第 2 頁,共 16 頁注：判定單調(diào)性必需考慮定義域 fx 單調(diào)性判定 定義法,圖象法,性質(zhì)法“增 +增 =增” 奇函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性相同 偶函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性相反 3周期性 T 就是 f x周期 f x T f x 恒成立（常數(shù) T 0 ） 4二次函數(shù) 解析式： fx=ax 2+bx+c, fx=ax-h 2 +k b2, 遞增 fx=ax-x 1x-x 2 對稱軸： x b頂點： b, 4 ac 2 a 2 a 4 a 單調(diào)性： a0, , ba 遞減,

5、 b22 a 當 x b, fx min 4 ac b22a 4 a 奇偶性： fx=ax 2 +bx+c 就是偶函數(shù) b=0 閉區(qū)間上最值： 配方法,圖象法,爭辯法 - 留意對稱軸與區(qū)間得位置關系 注：一次函數(shù) fx=ax+b 奇函數(shù) b=0 四,基本初等函數(shù) 1指數(shù)式 a 0 1 a 0 an1nman a m an2對數(shù)式 log a NbabN（ a0,a 1） log a MN log a M log a N log a Mlog a M log a N Nlog M ann log M alog blog m b lg b log m a lg a 第 3 頁,共 16 頁log

6、a b loga n bn1Nlog b a 注：性質(zhì) log a 1 0log a a 1alog a N 常用對數(shù) lg Nlog10 N, lg 2 lg 5 1自然對數(shù) ln Nlog e N, ln e 13指數(shù)與對數(shù)函數(shù) x y=a 與 y=log x 定義域,值域,過定點,單調(diào)性？ x 注： y=a 與 y=log ax 圖象關于 y=x 對稱（互為反函數(shù)） 14冪函數(shù) y x 2 , y x 3 , y x2 , y x 1y x 在第一象限圖象如下： 五,函數(shù)圖像與方程 1描點法 函數(shù)化簡定義域爭辯性質(zhì)（奇偶,單調(diào)） 取特殊點如零點,最值點等 2圖象變換 平移：“左加右減,上

7、正下負” y f x y f x h 來的 倍 y 1 f x 伸縮： y f x 每一點的橫坐標變?yōu)樵?對稱：“對稱誰,誰不變,對稱原點都要變” 1010第 4 頁,共 16 頁y f x xy f x aay y=|fx| c x x 軸 y f x yy f x 軸 y f x 原點 y f x 注： y f x 直線 x ay f 2a x 翻折： y f x y | f x |保留 x 軸上方部分, 并將下方部分沿 x 軸翻折到上方 y y=fx aobc x oby f x y f | x | 保留 y 軸右邊部分, y y=f|x| c 并將右邊部分沿 y 軸翻折到左邊 y y=

8、fx oaobc x b3零點定理 如 f a f b 0 ,就 y f x 在 a,b 內(nèi)有零點 （條件： f x 在 a,b 上圖象連續(xù)不間斷） 注： f x 零點： f x 0 得實根 在 a, b 上連續(xù)得單調(diào)函數(shù) f x , f a f b 0就 f x 在 a, b 上有且僅有一個零點 二分法判定函數(shù)零點 - f a f b 0 ？ 六,三角函數(shù) 1概念 其次象限角 2k 2,2k k Z 2弧長 lr1 lr 2扇形面積 S 3定義 sin y rcos x rtan y x 第 5 頁,共 16 頁4符號 其中 P x, y 就是 終邊上一點, PO r“一正全,二正弦,三正切

9、,四余弦” 5誘導公式： “奇變偶不變,符號瞧象限” 如 Sin2 sin , cos / 2 sin 6特殊角得三角函數(shù)值 sin 064320132012311222cos 1300021222tg 0/ / 31337基本公式 同角 sin 2cos 21sin tan atan 2 12 tan cos 與差 sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin tan tan tan 1 tan tan 倍角 sin 2 2sin cos cos2 2 cos 2 sin 2 2cos 2 11 2sin 2 tan 降冪 cos = 2 1 cos2 2s

10、in 2 = 1 cos 2 2疊加 sin cos 2 sin 4y=tanx 3 sin cos 2 sin 6asin bcos a22 b sin tan b8三角函數(shù)得圖象性質(zhì) y=sinx y=cosx 第 6 頁,共 16 頁單 調(diào) 性 ： 圖 cosx tanx , 2 2 增 象 0, 減 sinx , 增 2 2 注 ： 值域 -1 , 1 -1 , 1 無 k Z 奇偶 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù) 9解三角形 周期 2 2 基 本 關 無 系 ： 對稱軸 x k / 2 x k sinA+B=si nC中心 k , 0 / 2 k ,0 k / 2,0 cosA+B=-cos

11、C tanA+B=-tanC sin A B C cos 2sin A : sin B : sin C 2正弦定理 ： asin A b = sin B = c sin C a2Rsin A a : b : c 余弦定理 ： a2=b2+c2 2bccosA（求邊） 2 2 2cosA= b c a（求角） 2bc 面積公式 ： S 1absinC 2注： ABC 中, A+B+C=？A B sin A sin B a2 b2+c2 . A 2七,數(shù) 列 1,等差數(shù)列 定義 ： an 1an d 1 2nn 1d 通項 ： an a1 n 1d 求與 ： Sn n a1 an na1 2中項

12、： b a2c （ a,b, c 成等an a p aq 差） 性質(zhì) ：如 mnp q,就 am 2,等比數(shù)列 第 7 頁,共 16 頁定義 ： an 1an qq 0 a p aq 通項 ： a na q n 1 求與 ： Sn na1 q 1 na1 1 q q 1 1 q中項 ： b2 ac（ a, b, c 成等比） 性質(zhì) ：如 mnpq就 am an 3,數(shù)列通項與前 n 項與得關系 an s1 a1 n 1 sn sn 1 n 2 4,數(shù)列求與常用方法 公式法,裂項法, 錯位相減法,倒序相加法 八,平面對量 1向量 加減 三角形法就,平行四邊形法就 AB BC AC 首尾相接, O

13、B OC = CB 共始點 中點公式： AB AC 2 AD D就是 BC 中點 2 向量 數(shù)量積 ab = a b cos = x1 x2 y1 y2 注： a , b 夾角： 0 180 a, b 同向： ab ab3 基本定理 a 1e1 2 e2 （ e1 ,e2 不共線 - 基底） 平行： a / b a b x1 y2 x2 y1 （ b 0 ） 垂直： a b ab 0 x1 x2 y1 y2 02模： a x 2 y 2 a b a b 2夾角： cos a b | a | b | 注 ： 0 a ab c a b c （結合律）不成立 第 8 頁,共 16 頁 a b a c

14、 bc （消去律）不成立 九,復數(shù)與推理證明 1復數(shù)概念 復數(shù) ： z a bi a,b R ,實部 a,虛部 b C分類 ：實數(shù)（ b 0 ）,虛數(shù)（ b0 ）,復數(shù)集 注： z 就是純虛數(shù) a0 , b 0相等 ：實,虛部分別相等 共軛 ： z a bi z z 2 z 模 ： z a 2 b 2 復平面 ：復數(shù) z 對應得點 a,b 2復數(shù)運算 加減 ：（ a+bi ） c+di= ？ 乘法 ：（ a+bi）（ c+di） =？ 除法 ： a c bi = a bi c di = di c di c di 乘方 ： i 2 n 1 , i i4 k r ir3合情推理 類比 ：特殊推出特

15、殊 歸納 ：特殊推出一般 演繹 ：一般導出特殊（大前題小前題結論） 4直接與間接證明 綜合 法 ：由因?qū)Ч?比較法 ：作差變形判定結論 反證法 ：反設推理沖突結論 分析法 ：執(zhí)果索因 分析法書寫格式： 要證 A 為真,只要證 B 為真,即證 , 這只要證 C 為真,而已知 C 為真,故 A 必為真 注：常用分析法探究證明途徑,綜合法寫證明過程 5數(shù)學歸納法： 1 驗證 當 n=1 時命題成立 , 2 假設 當 n=kk N* , k 1 時命題成立 , 證明 當 n=k+1 時命題也成立 由 12 知這命題對全部正整數(shù) n 都成立 注：用數(shù)學歸納法證題時,兩步 缺一不行 ,歸納假設必需使用 十

16、,直線與圓 第 9 頁,共 16 頁1, 傾斜角 范疇 0, 斜率 k tan y2 y1 x2 x1 注：直線向上方向與 x 軸正方向所成得最小正角 傾斜角為 90 時,斜率不存在 2, 直線方程 點斜式 y y0 k x x0 ,斜截式 y kx b1兩點式 y y1 x x1 , 截距式 x y y2 x2 y1 x1 ab一般式 Ax By C0留意適用范疇：不含直線 x x0 不含垂直 x 軸得直線 不含垂直坐標軸與過原點得直線 3, 位置關系 （留意條件） 平行 k1 k2 且 b1 b 2 A1A2 B1B2 0垂直 k1k2 1垂直 4, 距離公式 兩點間距離： |AB|= x

17、1 2 x2 y1 2 y2 ,半徑 r點到直線距離： dAx0 By0 C圓心 a , b A2 B2 2 5,圓標準方程： x a 2 y b r2圓一般方程 ： x2 y2 Dx Ey F 0（條件就是？） 圓心 D, E 半徑 rD22 E 4 F 2226, 直線與圓 位置關系 位置關系 d相切 d相交 d相離 注 ： 點 與 圓 位 置 關 系 x0 a 2 y0 b 2r2點 幾何特點 rrrP x0, y0 在圓外 代數(shù)特點 0 0 07,直線截圓所得 弦長 第 10 頁,共 16 頁AB 2 2 r d2 十一,圓錐曲線 一,定義 橢圓 ： |PF 1|+|PF 2|=2a2

18、a|F 1F2| 雙曲線 ： |PF 1|-|PF 2|= 2a02ab0 a b2 2雙曲線 x 2 y 2 1 a0,b0 a b中心原點 對稱軸？ 焦點 F1c,0 , F2-c,0 頂點 : 橢圓 a,0,0, b ,雙曲線 a,0 范疇 : 橢圓 -a x a,-b y b 雙曲線 |x| a , y R 焦距：橢圓 2c（ c= a 2 b 2 ） 雙曲線 2c（ c= a 2 b 2 ） 2a, 2b: 橢圓長軸,短軸長, 雙曲線實軸,虛軸長 離心率： e=c/a 橢圓 0e1 n注：雙曲線 2 x 2 y 1 漸近線 y b x a a2b22 方程 mx 2 ny 1 表示橢

19、m0,n 圓 2 方程 mx 2 ny 1 表示雙曲mn 0線 2 拋物線 y =2pxp0 頂點（原點） 對稱軸（ x 軸） 開口（向右） 范疇 x 0離心率 e=1 焦點 F p ,0 2準線 x p 2 十二,矩陣,行列式,算法初步 十,算法初步 一程序框圖 程序框 名稱 功能 第 11 頁,共 16 頁起止框 起始與終止 二基本算法語句 及格式 輸入,輸出框 輸入與輸出得信息 1 輸入語句 ： INPUT “ 提 示 內(nèi) 容”；變量 處理框 賦值,運算 2 輸出語句 ： PRINT“ 提示內(nèi)容”； 判定框 判定某一條件就是否成立 表達式 3 賦值語句 ： 變量 =表達式 4 條件語句

20、循環(huán)框 重復操作以及運算 “ IF THEN ELSE ” 語 句 “ IF THEN”語句 IF 條件 THEN IF 條件 THEN 語句 1END IF 語句 ELSE 語句 2END IF 5 循環(huán)語句 當型循環(huán)語句 直到型循環(huán)語句 WHILE 條件 DO 循環(huán)體 循環(huán)體 WEND LOOP UNTIL 條件 當型“先判定后循環(huán)” 直到型“先循環(huán)后判定” 三算法案例 1,求兩個數(shù)得最大公約數(shù) 輾轉(zhuǎn)相除法：到達余數(shù)為 0更相減損術：到達減數(shù)與差相等 2,多項式 fx= a nx n+a n-1x n-1 + , +a1x+a 0 得求值 秦九韶算法： v1=anx+an 1 v2=v1

21、x+an 2 v3=v 2x+an 3 vn=v n 1x+a 0 注：遞推公式 v0=an vk=vk 1X +ankk=1,2, n 求 fx 值,乘法,加法均最多 n 次 3,進位制間得轉(zhuǎn)換 k 進制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進制數(shù)： a n an 1 .a1a 0 k an n k a n 1n 1 k . a1 k a 0 十進制數(shù)轉(zhuǎn)換成 k 進制數(shù)：“除 k 取余法” 例 1 輾轉(zhuǎn)相除法求得 123 與 48 最大公約數(shù)為 3例 2 已知 fx=2x 54 3 2 5x 4x +3x 6x+7,秦九韶算法求 f5 123248 27 v 0=2 48127 21 v 1=2 55=5 第 12 頁

22、,共 16 頁27 121 6v v 2=5 5 4=21 2136 3 3=21 5+3=108 623+0 v 4=1085 6=534 v5=534 5+7=2677 十三,立體幾何 1三視圖 正視圖,側視圖,俯視圖 02直觀圖：斜二測畫法 X O Y =45 平行 X 軸得線段,保平行與長度 平行 Y 軸得線段,保平行,長度變原先一半 3體積與側面積 V 柱 =S 底 h V 錐 = 1S 底 h V 球 = 43 R 233S 圓錐側 = rl S 圓臺側 = R r l S 球表 = 4 R4公理與推論 確定一個平面得條件 ： 不共線得三點 一條直線與這直線外一點 兩相交直線 兩平

23、行直線 公理 ：平行于同一條直線得兩條直線平行 定理 ：假如兩個角得兩條邊分別對應平行,那么這兩個角相等或互補； 5兩直線位置關系 相交,平行,異面 異面直線 不同在 任何一個平面內(nèi) 6直線與平面位置關系 aa I A a / 7平行得判定與性質(zhì) 線面平行 ： a b , b, a ba aba ,a , a b 面面平行 ： AB , AC 平面 ABC a , a 8垂直得判定與性質(zhì) 線面垂直 ： p AB, p AC p 面ABC 面面垂直 ： a , a 第 13 頁,共 16 頁假如一個平面經(jīng)過另一個平面得一條垂線 , 那么這兩個平面垂直； 如兩個平面垂直, 就一個平面內(nèi)垂直于交線得

24、直線與另一個平面垂直 三垂線定理 ： 那 A P PO , AO aPA a O PO , PA aAO aa在平面內(nèi)得一條直線, 假如它與這個平面得一條斜線得射影垂直, 么它也與這條斜線垂直逆定理？ 9空間角,距離得運算 異面直線所成得角 范疇（ 0, 90 平移法：轉(zhuǎn)化到一個三角形中,用余弦定理 直線與平面所成得角 范疇 0 , 90 定義法：找直線在平面內(nèi)射影,轉(zhuǎn)為解三角形 二面角 范疇 0 , 180 定義法：作出二面角得平面角,轉(zhuǎn)為解三角形 點到平面得距離 體積法 - 用三棱錐體積公式注：運算過程, “一作二證三求” ,都要寫出10立體幾何中得向量解法 r 法向量求法 ：設平面 AB

25、C 得法向量 n =（ x,y ） CA B nAB, n AC nAB 0,n AC 0解方程組,得一個法向量 r n ur uur線線角： 設 n1, n2 就是異面直線 l1 ,l 2 得方向向量, l1 ,l 2 所成得角為 ,就 cos cos n1 , n2 即 l1 ,l2 所成得角等于 n1 , n2 或 ruur n1, n2 線面角： r 設 n 就是平面 得法向量, AB 就是平面 得 l得大小為 ,就 cos cos n1 , n2 或 一條斜線, AB 與平面 所成得角為 , 就 sin cos n, AB AB nAB nur uur 二面角： 設 n1 , n2 就是面 , 得法向量,二面角 第 14 頁,共 16 頁cos n1, n2 即二面角大小等于 n1, n2 或 ruur n1, n2 點到面距離： r 如 n 就是平面 得法向量, AB 就是平面 得一條斜線段,且 B , 就點 A 到平面 得距離 duuur r AB . n r n 十四,計數(shù)原理 1. 計數(shù)原理 加法分類 , 乘法分步 2排列組合 差異 - 排列有序而組合無序 公式 An = n n 1 m n m1 = n n！ m！m n n 1 n m 1 n！ Cn = 1 2 m = m n m ！ m m關系