GEB一條永恒的金帶

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)怪圈1.1 繪畫(huà)與音樂(lè)中的怪圈 我第一次知道埃舍爾的名字是在十多年前。那時(shí)我津津有味地看著諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)金的獲得者楊振寧博士所著的小冊(cè)子基本粒子發(fā)現(xiàn)簡(jiǎn)史。我特別注意到楊振寧先生在前言中對(duì)埃舍爾先生允許他采用騎士圖表示深深的謝意。我被這張圖深深地吸引住了，因?yàn)榘Ｉ釥栆詢?yōu)美的圖形及其鏡像巧妙地表現(xiàn)了對(duì)稱性的原理。這些原理在物理學(xué)的世界中起著極為重要的作用。可惜，迄今為止，中國(guó)人一般還不熟悉埃舍爾的作品，但是在西方他是一位別具一格、極有影響的畫(huà)家。埃舍爾創(chuàng)造了一系列富有智慧的

2、圖畫(huà)，其中有許多畫(huà)體現(xiàn)了奇妙的悖論、錯(cuò)覺(jué)或者雙重的含義。因此，在埃舍爾作品的崇拜者中間有許多數(shù)學(xué)家也就不足為怪了。當(dāng)我們慢慢欣賞埃舍爾的畫(huà)并在其中發(fā)現(xiàn)那些美妙的數(shù)學(xué)原理時(shí)，那是一種多么愉快的享受?。?埃舍爾的畫(huà)往往表現(xiàn)了一些很深刻的思想，怪圈就是其中最常見(jiàn)的一種。我們先來(lái)看看那幅奇怪的版畫(huà)瀑布。在畫(huà)面的中央，瀑布傾瀉而下，水花四起，還推動(dòng)了水輪。匯集到水池中的水則順著水渠嘩嘩地流去，一級(jí)一級(jí)地下降。突然水又流到了瀑布口！真是不可思議，可是在畫(huà)面上卻表現(xiàn)得明明白白。我們只能把這種周而復(fù)始的圈稱作“怪圈”。 我們?cè)倏茨欠仙c下降。在這冰冷陰森的教堂里，僧侶們排成兩隊(duì)往前走。其中一隊(duì)總是沿著樓梯往

3、上走，另一隊(duì)總是往下走?？墒撬麄冏叩膮s是同樣的樓梯，并且不斷地回到原來(lái)出發(fā)的地方。真是妙不可言。這又是一個(gè)怪圈。所謂怪圈就是指這樣一種現(xiàn)象，我們?cè)谀骋粋€(gè)等級(jí)系統(tǒng)中逐步上升(或者下降)，結(jié)果卻意外地發(fā)現(xiàn)又回到了原來(lái)開(kāi)始的地方。有時(shí)我就用“纏繞的層次”來(lái)描述其中有怪圈的體系。怪圈還要在本書(shū)中一再出現(xiàn)，忽上忽下，時(shí)隱時(shí)顯，希望讀者能夠細(xì)細(xì)地體會(huì)它的內(nèi)在含義。 有趣的是在音樂(lè)中也有這樣奇妙的怪圈。為此我們先介紹一下近代西方音樂(lè)的鼻祖，被譽(yù)為“音樂(lè)之父”的JS巴赫。巴赫是頗負(fù)盛名的鋼琴家、風(fēng)琴家和作曲家。當(dāng)時(shí)的普魯士國(guó)王弗里德利希是他的崇拜者。他把62歲的巴赫邀請(qǐng)到自己的宮廷來(lái)，并向他展示了自己收藏的鋼

4、琴。這種鋼琴在當(dāng)時(shí)還是問(wèn)世不久的珍品。 巴赫在每一架鋼琴上進(jìn)行即興表演，使得弗里德利希大為傾倒。當(dāng)巴赫返回萊比錫后，他收到了國(guó)王自己創(chuàng)作的一部分樂(lè)譜。巴赫在這些樂(lè)譜的基礎(chǔ)上寫(xiě)成了舉世聞名的主題樂(lè)曲音樂(lè)的奉獻(xiàn)，并把它奉獻(xiàn)給弗里德利希國(guó)王。巴赫在這部作品中充分發(fā)揮了形式上的技巧。有趣的是，在這種登峰造極的技巧中就包含著怪圈。 為了理解音樂(lè)創(chuàng)作中的怪圈，我們必須先談?wù)劇翱ㄞr(nóng)”?？ㄞr(nóng)是音樂(lè)家們熟悉的，它就是重復(fù)地演奏同一主題。最簡(jiǎn)單的方式既是用不同的音部重復(fù)演奏，每個(gè)音部都比前一個(gè)音部延遲一段時(shí)間。大部分樂(lè)曲的主題與這種演奏方法是不協(xié)調(diào)的。適合多音部的主題必須使每個(gè)音符具有雙重(或多重)的功能，它既是

5、主題中的一部分，又必須與其他音部保持和諧。 在音樂(lè)的奉獻(xiàn)中，用一種特殊的卡農(nóng)技巧構(gòu)成了怪圈。它由三個(gè)音部組成。當(dāng)最高音部演奏主題時(shí)，其余兩個(gè)音部提供卡農(nóng)式的協(xié)奏。這種卡農(nóng)最大的特點(diǎn)就是神不知鬼不覺(jué)地進(jìn)行變調(diào)，使得結(jié)尾最后能很平滑地過(guò)渡到開(kāi)頭。這種首尾相接的變調(diào)使聽(tīng)眾有一種不斷增調(diào)的感覺(jué)。在轉(zhuǎn)了幾圈之后，聽(tīng)眾感到已經(jīng)離開(kāi)原來(lái)的調(diào)很遠(yuǎn)了。可是奇妙的是通過(guò)這樣的變調(diào)又能回到原來(lái)的調(diào)上。這就是音樂(lè)中的怪圈。我們可以體會(huì)巴赫的創(chuàng)作意圖，無(wú)疑他有這樣一種想法，采用這種方法可以使升調(diào)的過(guò)程無(wú)限地進(jìn)行下去。因此他在樂(lè)譜上專門(mén)注上了“陛下的榮耀也隨著變調(diào)而增高”。我們不妨把這種卡農(nóng)稱為“無(wú)限升高的卡農(nóng)”。 如果

6、我們把“無(wú)限升高的卡農(nóng)”與埃舍爾的畫(huà)瀑布以及上升與下降作個(gè)比較，就可以發(fā)現(xiàn)兩者的相似性是極為明顯的。巴赫和埃舍爾采用不同的藝術(shù)形式：音樂(lè)和美術(shù)，卻表現(xiàn)了同樣的思想：怪圈。 埃舍爾用繪畫(huà)表現(xiàn)的怪圈有許多不同的形式，有松弛的也有緊湊的。在上升與下降中，這種怪圈是比較松弛的，僧侶們要經(jīng)過(guò)許多級(jí)才能返回原處。而在“瀑布”中怪圈就要緊湊一些，它總共只有6級(jí)。你也許已經(jīng)想到了，這里“級(jí)”的計(jì)算有含糊不清之處。例如我們可以把上升與下降的系統(tǒng)算成是45級(jí)(按臺(tái)級(jí)算)，也可以算成是4級(jí)(按樓梯算)。這種模棱兩可性不僅表現(xiàn)在埃舍爾的畫(huà)的怪圈上，也表現(xiàn)在其他形式怪圈的系統(tǒng)中。更緊湊的怪圈可以在畫(huà)畫(huà)的雙手這幅畫(huà)中看到

7、。而最緊湊的怪圈要數(shù)畫(huà)廊了。這幅畫(huà)中之畫(huà)包含著自身。我們可以說(shuō)畫(huà)廊中的一幅畫(huà)包含著它自身，也可以說(shuō)這個(gè)城市包含著它自身。 怪圈的內(nèi)在含義也是在有限中包含無(wú)限的概念。它不僅僅是一個(gè)圈，而且是埃舍爾納著名作品變形中表現(xiàn)得極為明顯。我們從作品的某點(diǎn)出發(fā)，隨著畫(huà)面的逐級(jí)變化而向前走去，走著走著卻突然回到了原來(lái)出發(fā)的地方。1.2 怪圈與悖論 在巴赫和埃舍爾創(chuàng)造的這些怪圈中，存在著無(wú)限與有限的矛盾，荒唐與真實(shí)的對(duì)比，往往會(huì)給人以強(qiáng)烈的悖論感。這種直覺(jué)表明，在怪圈中包含著深刻的數(shù)學(xué)原理。事實(shí)也確實(shí)如此。就在我們生活的這個(gè)世紀(jì)里，有一個(gè)影響深遠(yuǎn)、與之呼應(yīng)的重大數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，這就是哥德?tīng)栐跀?shù)學(xué)系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)了怪圈。這種

8、怪圈可以說(shuō)是起源于一個(gè)古老的邏輯悖論。它在歷史上被稱為愛(ài)皮梅尼特悖論。 愛(ài)皮梅尼特是個(gè)克里特島人。他說(shuō)：“所有的克里特島人都撤謊?！奔偃缢f(shuō)的話對(duì)的，那么作為克里特島人的愛(ài)皮梅尼特就是在撤謊，那么他的話就是錯(cuò)的。反之，假設(shè)他的話不對(duì)，那么作為克里特島人的愛(ài)皮梅尼特就沒(méi)有撒謊，他的話就是對(duì)的。無(wú)論采用哪一種假設(shè)，都是無(wú)法自圓其說(shuō)的。我們也可以把這個(gè)悖論表述成更為簡(jiǎn)潔的形式。這就是“我說(shuō)的這句話是錯(cuò)的”。這是和畫(huà)廊一樣的單級(jí)怪圈。因?yàn)檫@個(gè)句子中的“話”可以指這個(gè)句子本身。這就是說(shuō)一個(gè)句子在描述這個(gè)句子本身。 以后人們又發(fā)現(xiàn)了許多其他形式的悖論。尤其是在本世紀(jì)初，隨著集合論與數(shù)理邏輯的發(fā)展，在數(shù)學(xué)和

9、邏輯中發(fā)現(xiàn)了許多悖論。其中最著名的有康托爾悖論和羅素悖論。在這些悖論中好像都有一個(gè)共同的“犯罪”，這就是自我相關(guān)，或者就是我們所說(shuō)的“怪圈”。羅素悖論用形象的語(yǔ)言來(lái)描述，就是有一位理發(fā)師聲稱，他給所有不給自己理發(fā)的人理發(fā)。那么這個(gè)人是否給自己理發(fā)呢？如果他給自己理發(fā)，就違背了自己的聲明。如果他不給自己理發(fā)，也沒(méi)有兌現(xiàn)自己的諾言。用集合論的述語(yǔ)來(lái)說(shuō)，羅索悖論就是定義這樣一個(gè)集合A，它由所有不屬于A的元素a組成。那么A是否屬于它本身呢?如果A不屬于A，那么按照集合A的定義，它就屬于A。如果A屬于A，那么按照定義它就是不屬于A的元素。顯然在羅素悖論中，最關(guān)鍵的地方就是假定一個(gè)集可以自己屬于自己。這就

10、是自我相關(guān)。因此，要想排除悖論很自然就會(huì)想到，要防止自我相關(guān)和造成自我相關(guān)的條件的出現(xiàn)。 羅索和懷特海就是在這種思想的指導(dǎo)下寫(xiě)出數(shù)學(xué)原理的。他們竭力想把“怪圈”從邏輯、集合論以及數(shù)論中驅(qū)除出去。他們的基本思想是把集合分成各種等級(jí)。最低一級(jí)的集合只能以那些“對(duì)象”而不能以其他集合為元素。較高一級(jí)的集合只能以對(duì)象或者更低級(jí)的集合為元素。這樣每個(gè)集合都被安置在某一個(gè)等級(jí)上，也就排除了一個(gè)集合以自己為元素的可能性。 如果我們把所有的集合分成兩類。第一類集合不能以自己為元素，也就是說(shuō)自己不能屬于自己，我們稱為r型。第二類集合可以以自己為元素，我們稱為s型。那么在數(shù)學(xué)原理規(guī)定的系統(tǒng)中就只有r型的集合。這樣

11、進(jìn)行分級(jí)，可以使集合論中不再出現(xiàn)悖論。但是付出的代價(jià)是必須引進(jìn)人為的分級(jí)和禁止生成某種類型的集合。例如所有集合的集合，或者所有不屬于A的集合，也就是我們所說(shuō)的s型集合。 這種理論可以用來(lái)對(duì)付羅素悖論，但是無(wú)法對(duì)付愛(ài)皮梅尼持悖論。因?yàn)橛猛瑯拥姆椒▽?duì)付愛(ài)皮梅尼特悖論就要對(duì)語(yǔ)言進(jìn)行分級(jí)。于是就有所謂的對(duì)象語(yǔ)言、有描述語(yǔ)言的元語(yǔ)言，還有描述元語(yǔ)言的元元語(yǔ)言，等等。 我們模仿畫(huà)畫(huà)的雙手把上述悖論寫(xiě)成兩句的形式： 下面這句話是錯(cuò)的。 上面這句話是對(duì)的。 如果按照分級(jí)理論的規(guī)定，上面這句話是描述下面這句活的，因此它屬于更高一級(jí)。但是按照同樣的道理，下面這句話應(yīng)該比上面這句話屬于更高一級(jí)。因此這兩句話不能同時(shí)

12、滿足分級(jí)理論的要求，也就是說(shuō)它們不能同時(shí)有意義。 如果說(shuō)把集合進(jìn)行分級(jí)的理論還是貌似有理的，那么把語(yǔ)言進(jìn)行分級(jí)就是十分荒唐的。當(dāng)我們談?wù)摳鞣N事物時(shí)，是決不會(huì)意識(shí)到自己在不同的層次之間上竄下跳的。例如“我在這本書(shū)中評(píng)論了分級(jí)的理論”。這是很普通的一句話。但是在嚴(yán)格分級(jí)的語(yǔ)言系統(tǒng)中它就要受到雙重的禁止。首先，在這句話中談到了“這本書(shū)”，它只能在“元書(shū)”所屬的層次中出現(xiàn)，而不能在“這本書(shū)”所屬的層次中出現(xiàn)。其次，這句話居然談到了我，這是我無(wú)論如何不允許談?wù)摰?。這個(gè)例子清楚地說(shuō)明了，如果把嚴(yán)格分級(jí)的理論引進(jìn)我們所熟悉的日常語(yǔ)言中來(lái)，將是多么荒謬。由此可見(jiàn)，如果用這種方式來(lái)彌補(bǔ)由于悖論出現(xiàn)而造成的缺陷，

13、即排除任何形式的自我相關(guān)，實(shí)際上是走過(guò)頭了。它把美妙的語(yǔ)言結(jié)構(gòu)變成了沒(méi)有價(jià)值的僵尸。 也許有入會(huì)辯解說(shuō)，這種分級(jí)的理論可以適用于形式語(yǔ)言而不是我們用的日常語(yǔ)言。但總這恰好說(shuō)明了，這種理論只有在我們?nèi)藶槠礈惖南到y(tǒng)中，為了避免悖論才有用處。而為此作出的犧牲，卻是在這種人為的系統(tǒng)中加上生硬的限制。這樣的理論系統(tǒng)雖然是一致的，卻是乏味的、令人生厭的。你一定會(huì)感覺(jué)到這里有什么地方不對(duì)頭了。 不過(guò)還應(yīng)該指出的是，在本世紀(jì)韌，數(shù)學(xué)家們并沒(méi)有把語(yǔ)言中無(wú)法排除怪圈看得那么嚴(yán)重。他們至少可以這樣安慰自己，語(yǔ)言是不嚴(yán)格的，而數(shù)學(xué)卻是嚴(yán)密無(wú)隙的，只要能在數(shù)學(xué)理論中排除怪圈就可以了。于是數(shù)學(xué)家們?yōu)樽约捍_立了這樣的目標(biāo)，

14、建立一座形式系統(tǒng)的大廈，過(guò)座大廈的基石是一些公理，然后嚴(yán)格按照形式邏輯推導(dǎo)出系統(tǒng)中的每一個(gè)定理，而整個(gè)系統(tǒng)是完全確定的，不會(huì)相互矛盾的。在這樣的系統(tǒng)中可以排除任何悖論的出現(xiàn)。這就是數(shù)學(xué)原理的目標(biāo)，它要用邏輯來(lái)推導(dǎo)出所有的數(shù)學(xué)成果而又不會(huì)產(chǎn)生矛盾！這種目標(biāo)確實(shí)是激動(dòng)人心的，但是當(dāng)時(shí)誰(shuí)也無(wú)法肯定，采用羅素和懷特海所提供的方法，能否囊括所有的數(shù)學(xué)成果；也無(wú)法知道，這種方法能否永遠(yuǎn)保持一致，即完全排除悖論的出現(xiàn)。 杰出的德國(guó)數(shù)學(xué)家(也是研究數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的元數(shù)學(xué)家)希爾伯特沿著羅素開(kāi)辟的道路勇往直前。他向數(shù)學(xué)界提出了一個(gè)明確的任務(wù)：嚴(yán)格地按照羅素和懷特海所描述的方法，證明數(shù)學(xué)原理所定義的系統(tǒng)既是一致的(無(wú)矛

15、盾)又是完備的(該系統(tǒng)的理論框架中容納了每個(gè)正確的數(shù)論命題)。這就是數(shù)學(xué)史上著名的希爾伯特綱領(lǐng)。當(dāng)希爾伯特提出這個(gè)綱領(lǐng)后，就有人尖刻地批評(píng)這種說(shuō)法是一種循環(huán)，你怎么能呢？這似乎是要抓住自己的頭發(fā)把自己舉起來(lái)。 (我們看來(lái)是無(wú)法擺脫這種該死的怪圈了。) 希爾伯特意識(shí)到這種困難性。他進(jìn)一步加以說(shuō)明，這種關(guān)于一致性和完備性的證明只能依賴于“有限”的推理步驟。這個(gè)目標(biāo)曾經(jīng)在本世紀(jì)的前30年中使許多偉大的數(shù)學(xué)家絞盡腦汁。但是到了1931年，哥德?tīng)柊l(fā)表了他的論文論數(shù)學(xué)原理中形式上不可判定的命題及其有關(guān)系統(tǒng)I。這篇論文徹底推翻了希爾伯持綱領(lǐng)，因?yàn)樗赋隽藳](méi)有一種公理系統(tǒng)可以導(dǎo)出數(shù)論中所有的真實(shí)命題，除非這種

16、系統(tǒng)是不一致的，即存在著互相矛盾的悖論。因此企圖證明數(shù)學(xué)原理所示系統(tǒng)的一致性是徒勞的。如果能夠找到一種證明，僅僅使用數(shù)學(xué)原理中的方法，那就會(huì)得到哥德?tīng)柖ɡ碜钌衩氐慕Y(jié)論：數(shù)學(xué)原理本身是不一致的！于是怪圈成了邏輯和數(shù)學(xué)中無(wú)法驅(qū)除的幽靈。1.3 數(shù)學(xué)和思維中的怪圈 哥德?tīng)柕难芯砍晒沟孟柌鼐V領(lǐng)陷于破產(chǎn)。從此以后，數(shù)學(xué)家意識(shí)到，在嚴(yán)密的數(shù)學(xué)理論體系中也存在著漏洞。這種意識(shí)從某種意義上講是痛苦的。過(guò)去被人們視為神圣的、萬(wàn)能的數(shù)學(xué)從理想天國(guó)的寶座上跌落到了塵世人間，它不再是完美無(wú)缺的。對(duì)于哥德?tīng)柖ɡ淼膰?yán)格論證向來(lái)只是少數(shù)專家問(wèn)津的領(lǐng)地。但是就和人類思想的其他偉大成果一樣，哥德?tīng)柕幕舅枷胧羌壬羁逃智逦?/p>

17、明了的。 哥德?tīng)柕闹匾枷刖褪怯脭?shù)學(xué)推理來(lái)探索數(shù)學(xué)推理本身。這種使數(shù)學(xué)“反省”自己的概念被證明是非常有效的。它的主要成果就是哥德?tīng)柌煌陚涠ɡ?。如果我們把這個(gè)定理比作珍珠，那么哥德?tīng)柕淖C明方法就是產(chǎn)生這顆明珠的貝母。珍珠以它的光彩和純潔引人矚目；貝母卻是一種復(fù)雜的生物體，它的內(nèi)部結(jié)構(gòu)產(chǎn)生了這顆奇妙純真的瑰寶。 哥德?tīng)柖ɡ碇赋?，?shù)論的無(wú)矛盾公理化的所有陳述中必定包含著不可判定的命題。 從這顆珍珠本身很難直接看出其中的怪圈，因?yàn)樗谎诓卦谧约旱呢惸杆淖C明過(guò)程中了。這個(gè)證明是以自我相關(guān)的形式語(yǔ)言寫(xiě)成的。哥德?tīng)栆庾R(shí)到可以把自我相關(guān)進(jìn)行表述的思想運(yùn)用到數(shù)論體系中來(lái)，他創(chuàng)造了這種表述的方式，于是他就克服了

18、主要的障礙。 為了闡述哥德?tīng)査枷?，需要先說(shuō)明一下它所涉及的數(shù)論系統(tǒng)。數(shù)學(xué)家們可以證明，非歐幾何公理系統(tǒng)的無(wú)矛盾性與歐幾里得幾何公理系統(tǒng)的無(wú)矛盾性是等價(jià)的。而歐幾里得幾何公理系統(tǒng)的無(wú)矛盾性又與算術(shù)公理系統(tǒng)即數(shù)論系統(tǒng)的無(wú)矛盾性等價(jià)。因此我們可以把數(shù)論看成數(shù)學(xué)理論大廈中最基本的組成部分。只要證明，在數(shù)論的形式系統(tǒng)中存在著不可判定的命題，那么也就證明了，在數(shù)學(xué)理論中無(wú)法把怪圈排除出去。但是我們知道，一般來(lái)講，整數(shù)既不是一種陳述，也不是關(guān)于它們性質(zhì)的陳述。因此數(shù)論中的陳述也不是關(guān)于數(shù)論陳述的陳述。那么如何才能使數(shù)論反省自己呢？ 哥德?tīng)栆庾R(shí)到，要做到這一點(diǎn)，首先耍把命題的陳述及命題的推理過(guò)程數(shù)字化。只有用

19、數(shù)字以某種方式代替命題的陳述，命題的推理過(guò)程才能成為數(shù)宇的運(yùn)算，達(dá)種運(yùn)算過(guò)程才能數(shù)字化。只有這樣，形式數(shù)論系統(tǒng)中的陳述才能成為關(guān)于數(shù)論陳述的陳述。他終于找到了這種方法，這就是通常稱為哥德?tīng)柧幋a的方法。這是一種邏輯命題的各種形式符號(hào)與數(shù)之間的同構(gòu)關(guān)系。哥德?tīng)柧幋a是整個(gè)理論的結(jié)構(gòu)核心。運(yùn)用這種技巧，數(shù)論中的陳述就可以從兩種不同的層次來(lái)理解：既是數(shù)論中的陳述，又是關(guān)于數(shù)論陳述的陳述。 有了哥德?tīng)柧幋a，我們就可以設(shè)法把愛(ài)皮梅尼特悖論搬到數(shù)論的形式體系中來(lái)。不過(guò)，需要說(shuō)明一點(diǎn)，他最后移植過(guò)來(lái)的并不是這樣的定理，“數(shù)論中的這個(gè)命題是錯(cuò)的”，而是說(shuō)“數(shù)論中的這個(gè)命題是無(wú)法證明的”。 如果我們把愛(ài)皮梅尼特悖論

20、看成是形式邏輯系統(tǒng)中無(wú)法驅(qū)除的怪圈，那么哥德?tīng)柧幋a就建立了形式邏輯系統(tǒng)中命題與數(shù)論中某些數(shù)的同構(gòu)。他還進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)了在形式數(shù)論系統(tǒng)中的自我反省。也就是說(shuō)，他在形式數(shù)論系統(tǒng)中構(gòu)造了與上述悖論同構(gòu)的怪圈。 哥德?tīng)柪碚撝赋?，由于自我相關(guān)的怪圈存在，人們面臨著二擇一的兩難境地。要么在邏輯思維中可以是不一致的；要么導(dǎo)致另一個(gè)意想不到的結(jié)果，我們無(wú)法用邏輯去證明所有看來(lái)是用邏輯提出的問(wèn)題，這就是不可判定性。數(shù)學(xué)家們接受了后一種選擇，因?yàn)閲?yán)格的數(shù)學(xué)理論如果允許不一致性就會(huì)導(dǎo)致數(shù)學(xué)大廈整體的崩潰。 當(dāng)然，哥德?tīng)柖ɡ韺?duì)任何一致的公理系統(tǒng)都是適用的，因此這個(gè)成果對(duì)于邏輯學(xué)家、數(shù)學(xué)家以及對(duì)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)感興趣的哲學(xué)家都是

21、一個(gè)巨大的沖擊。它宣告，無(wú)論怎樣復(fù)雜的形式系統(tǒng)都無(wú)法表現(xiàn)整數(shù)的完備性。這在當(dāng)時(shí)看來(lái)，簡(jiǎn)直是禍從天降！ 當(dāng)哥德?tīng)柕恼撐膯?wèn)世時(shí)，世界正處于發(fā)展電子計(jì)算機(jī)的邊緣。不過(guò)計(jì)算機(jī)的發(fā)展歷史可以追溯到巴期卡、萊布尼茲和貝比奇的時(shí)代。與哥德?tīng)柕臄?shù)學(xué)成果相對(duì)應(yīng)，圖林在計(jì)算機(jī)科學(xué)理論中指出了，即使可以設(shè)想的最有效的計(jì)算機(jī)也存在著無(wú)法彌補(bǔ)的漏洞。后來(lái)人們發(fā)現(xiàn)這個(gè)結(jié)論與哥德?tīng)柖ɡ硎堑葍r(jià)的。于是哥德?tīng)柪碚摰挠绊懕愠鰯?shù)學(xué)的疆域而擴(kuò)展到人工智能及思維的研究。 到了20世紀(jì)50年代，機(jī)器智能看來(lái)迫在眉睫了。電子計(jì)算機(jī)的功能迅速擴(kuò)大，許多以前被人們認(rèn)為只有人的思維才能完成的智力活動(dòng)，逐漸都由電子計(jì)算機(jī)輕而易舉地應(yīng)付過(guò)去了。但

22、是，隨著每一道舊的障礙被克服，又出現(xiàn)了新的障礙。誰(shuí)也不知道人的智力行為與非智力行為的確切界線究竟在哪里。也可能認(rèn)為存在這種明確界線的想法本身就是愚蠢的。 人工智能的研究最感興趣的就是把一大堆嚴(yán)格形式化的規(guī)則搭配在一起，告訴不靈活的機(jī)器如何變得靈活起來(lái)。但是什么樣的“規(guī)則”才能控制智力行為呢？這些規(guī)則一定可以分成不同的等級(jí)。有許多規(guī)則是“簡(jiǎn)單明白的”。還有一些是修改簡(jiǎn)單規(guī)則的元規(guī)則。然后還有元元規(guī)則。人工智能的靈活性就來(lái)自大量的不同規(guī)則和這些規(guī)則所劃分的不同層次。這些層次的自相纏繞就是人工智能中的怪圈。這直接或者間接地關(guān)系到人工智能的核心。 哥德?tīng)柖ɡ砗蛨D林定理并不意味著機(jī)器是不可思維的。事實(shí)上

23、，現(xiàn)在還無(wú)法說(shuō)清楚人的思維究竟是一種什么過(guò)程。人們對(duì)于自己的大腦研究越深入，對(duì)于思維過(guò)程了解得越多，就越感到原來(lái)的想法是多么錯(cuò)誤。 大腦的活動(dòng)是以神經(jīng)細(xì)胞為基礎(chǔ)的。但是僅僅在這個(gè)層次上是無(wú)法理解大腦思維活動(dòng)的。人工智能的研究啟示我們，在思維過(guò)程中存在著錯(cuò)綜復(fù)雜的層次，這些層次的自相纏繞很可能在思維過(guò)程中起看關(guān)鍵性的作用。其實(shí)人的思維早就開(kāi)始探索思維本身，這也是一個(gè)絕妙的怪圈！同構(gòu)_2.1 奇妙的唱機(jī)與唱片 為了說(shuō)明怪圈與哥德?tīng)柖ɡ碇g的關(guān)系，先讓我們來(lái)講一段小故事。 （阿基里斯去訪問(wèn)烏龜，并在他家里消磨時(shí)間。）阿：上帝??！你的收藏品可真多。你收集了這么多唱片，那你究竟喜歡什么樣的唱片呢？龜：我

24、認(rèn)為巴赫的作品最棒。不過(guò)我最近感興趣的卻是種特殊的音樂(lè)。我把它稱作“粉碎唱機(jī)的音樂(lè)?！卑ⅲ哼@可真是一種古怪的音樂(lè)。難道是你舉著大錘，按照貝多芬惠靈頓的勝利的節(jié)奏把唱機(jī)一個(gè)一個(gè)地砸碎？龜：可不是這么回事。懂得這種音樂(lè)的人并不多。這要從我的朋友蟹來(lái)說(shuō)起。有一天他來(lái)我這兒作客。他剛剛買(mǎi)了一架新唱機(jī)。按照店主的說(shuō)法，它能重演任何聲音。也就是說(shuō)這是一架完備的唱機(jī)。阿：你肯定是不相信這一點(diǎn)的。龜：后來(lái)我就去回訪他，并且?guī)ヒ粡埼易约簞?chuàng)作的唱片。唱片的曲名叫做：“我不能在唱機(jī)1上演奏?！蔽医ㄗh他和我一起來(lái)欣嘗這張唱片。于是他就打開(kāi)唱機(jī)把這張唱片放進(jìn)去了。不幸的是，剛奏出幾個(gè)音符，唱機(jī)就開(kāi)始抖動(dòng)起來(lái)、越抖越厲

25、害，最后只聽(tīng)見(jiàn)“啪”的一聲，唱機(jī)裂得粉碎。不用說(shuō)這張唱片也跟著報(bào)銷(xiāo)了。阿：真倒霉，可是店主不是吹噓這是一架完備的唱機(jī)嗎?龜：確實(shí)如此。阿基里斯，報(bào)道你也會(huì)和蟹一樣天真，相信店主告訴你的一切嗎？阿：我想這是因?yàn)榈曛髟诖蹬５木壒?。龜：其?shí)我在回訪蟹之前就去過(guò)出售唱機(jī)的那家商店。我向他索取了設(shè)計(jì)說(shuō)明書(shū)，分析了它的結(jié)構(gòu)，并且發(fā)現(xiàn)確實(shí)有這樣一組聲音，如果它在唱機(jī)附近作響，就可以使唱機(jī)振蕩，乃至于碎裂。阿：你這個(gè)惡毒的家伙！不用細(xì)說(shuō)我也明白了。你錄下的真是這組聲音，還假惺惺地把它當(dāng)作禮物去送給蟹。龜：你倒是夠機(jī)靈的。不過(guò)事情并未因此了結(jié)。蟹并不相信他的唱機(jī)是有缺陷的。于是他買(mǎi)了一架更加昂貴的唱機(jī)。店主則向

26、他許諾，如果他能發(fā)現(xiàn)一組在這架唱機(jī)上無(wú)法重演的聲音，就包賠兩倍的錢(qián)。于是蟹興致勃勃地來(lái)找我。而我也很有興趣再去看看。阿：我敢打賭，你一定又按照新唱機(jī)的結(jié)構(gòu)泡制了一張新的唱片：“我不能在唱機(jī)2上演奏?！饼敚耗愕乃季S很清楚，完全領(lǐng)會(huì)了問(wèn)題的精神實(shí)質(zhì)。當(dāng)然，完全可以料想到，這架唱機(jī)又被震得粉身碎骨了。阿：我倒有個(gè)主意。他可以買(mǎi)一架低保真度的唱機(jī)。這樣就不會(huì)再重演使它自己毀壞的那組聲音了。龜：可是這樣一來(lái)就違背了原來(lái)的宗旨可以重演任何聲音。阿：我現(xiàn)在明白問(wèn)題的兩難性究竟在哪里了。這就是說(shuō)任何唱機(jī)其實(shí)都是有缺陷的。龜：我不明白你為什么要把這叫做缺陷。問(wèn)題的實(shí)質(zhì)在于，你要唱機(jī)去做它根本辦不到的事情。不過(guò)我

27、的朋友蟹并不死心。他又自己設(shè)計(jì)了一架“奧米伽唱機(jī)”。這種唱機(jī)帶有一架電視攝象機(jī)，能在唱片演奏之前先把它審視一番。它和微型計(jì)算機(jī)聯(lián)結(jié)在一起，可以立即判定這組聲音的性質(zhì)。通過(guò)精密的計(jì)算，它可以知道這組聲音對(duì)于唱機(jī)所產(chǎn)生的效果。如果唱機(jī)會(huì)受到破壞，它就可以通過(guò)個(gè)內(nèi)部裝置將唱機(jī)的各部分重新組裝，從而改變它的內(nèi)部結(jié)構(gòu)再來(lái)演奏唱片。阿：這下好了，你也沒(méi)有辦法了吧。龜：瞧你這到得意的勁兒，如果你懂得歌德?tīng)柖ɡ?，就不?huì)這樣得意了。 這個(gè)故事有趣地說(shuō)明了哥德?tīng)柖ɡ淼膶?shí)質(zhì)。存在著不能演奏的唱片就相當(dāng)于存在著不可判定的定理。之所以存在著不能演奏的唱片就是因?yàn)槌獧C(jī)和聲音之間必定存在著自我相關(guān)的怪圈。我們仔細(xì)分析一下這

28、個(gè)故事，就可以看到，這個(gè)故事中的對(duì)話具有雙重的意義明顯的和隱含的。唱片的紋溝也有兩層意思。第一層意思，這是一種音樂(lè)。紋溝通過(guò)唱機(jī)成為空氣的振動(dòng)。第二層意思則是空氣的振動(dòng)反過(guò)來(lái)感應(yīng)出唱機(jī)的振動(dòng)。這第二層意思依賴于兩個(gè)同構(gòu)的鏈： (1)紋溝模式與空氣振動(dòng)之間的同構(gòu)。 (2)空氣振動(dòng)與唱機(jī)振動(dòng)之間的同構(gòu)。 這里出現(xiàn)的“同構(gòu)”是本章所要闡述的中心概念，也是理解哥德?tīng)柖ɡ淼年P(guān)鍵之一。顧名思義，同構(gòu)就是構(gòu)造相同。 我們知道，構(gòu)造是事物之間的一種關(guān)系。數(shù)學(xué)系統(tǒng)的構(gòu)造則表現(xiàn)為一些運(yùn)算法則。可以用數(shù)學(xué)語(yǔ)言對(duì)于兩個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)的同構(gòu)進(jìn)行精確的定義。兩個(gè)同構(gòu)的數(shù)學(xué)系統(tǒng)可以看成是等價(jià)的。有趣的是數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)兩種結(jié)構(gòu)之間的同

29、構(gòu)關(guān)系，往往像從天上掉下來(lái)一樣突然。實(shí)際上，兩種結(jié)構(gòu)之間同構(gòu)關(guān)系的發(fā)現(xiàn)在知識(shí)的進(jìn)步中具有重要的意義。可以說(shuō)，通過(guò)對(duì)同構(gòu)的意識(shí)才使形式產(chǎn)生了意義。同構(gòu)是一支神笛，它使無(wú)聲無(wú)息的木偶獲得了生命，成了活蹦亂跳的姑娘。采取更加直截了當(dāng)?shù)恼f(shuō)法，同構(gòu)就是一種保持信息的交換。 回到我們所講的故事中來(lái)，我們可以得出這樣一組對(duì)應(yīng)關(guān)系： 唱機(jī)數(shù)論的公理系統(tǒng) 低保真度唱機(jī)“弱”公理系統(tǒng) 高保真度唱機(jī)“強(qiáng)”公理系統(tǒng) “完備”唱機(jī)完備的數(shù)論系統(tǒng) 唱片形式系統(tǒng)中的串 可演奏唱片公理系統(tǒng)中的定理 無(wú)法演奏的唱片公理系統(tǒng)中的非定理 聲音數(shù)論的真實(shí)陳述 重演的聲音系統(tǒng)中加以解釋的定理 無(wú)法重演的聲音真實(shí)的陳述而不是定理 唱片標(biāo)

30、題歌德?tīng)柎碾[含意義“我無(wú)法在唱機(jī)x上演奏”“我無(wú)法在形式系統(tǒng)x中推導(dǎo)出來(lái)”這些對(duì)應(yīng)關(guān)系并不是上述故事與歌德?tīng)柖ɡ硗瑯?gòu)的全部?jī)?nèi)容，只是其中的主要部分。那么為什么會(huì)有這種對(duì)應(yīng)關(guān)系呢？就是因?yàn)橥瑯?gòu)。在這個(gè)故事中，為什么會(huì)有無(wú)法演奏的唱片，這是容易理解的。唱片、聲音、唱機(jī)之間的同構(gòu)關(guān)系是形象的、明白易懂的。在形式數(shù)論中也存在著同構(gòu)，要將一種推理過(guò)程形式化、嚴(yán)格化，都離不開(kāi)同構(gòu)。正是這些同構(gòu)構(gòu)成了不可避免的怪圈。因此我們還要從同構(gòu)的本質(zhì)談起。2.2 符號(hào)的意義 我們已經(jīng)看到，在唱片與音樂(lè)之間存在著同構(gòu)。雖然這兩個(gè)系統(tǒng)性質(zhì)完全不同，但是唱片紋溝的深和淺可以和音樂(lè)曲子中聲音的強(qiáng)和弱一一對(duì)應(yīng)起來(lái)。由此可見(jiàn)，

31、同構(gòu)本質(zhì)上是一種映射，通過(guò)這種映射，一個(gè)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)可以用另外一個(gè)系統(tǒng)表現(xiàn)出來(lái)。明白了這一點(diǎn)，我們也就可以知道，為什么同構(gòu)在哥德?tīng)柪碚撝杏信e足輕重的地位。哥德?tīng)柪碚撘媒虒W(xué)推理來(lái)研究數(shù)學(xué)推理過(guò)程，這是借助于邏輯符號(hào)與數(shù)字之間的同構(gòu)關(guān)系。這種同構(gòu)關(guān)系使得數(shù)字具有了意義。一般來(lái)講，形式符號(hào)容易給人一種錯(cuò)覺(jué)，好像它是人類意志的自由創(chuàng)造，可以和現(xiàn)實(shí)的世界毫不相關(guān)。然而同樣的事實(shí)是，那些和我們關(guān)系密切的形式符號(hào)，如詞匯、數(shù)字、邏輯符號(hào)，都是人類文化進(jìn)化過(guò)程的產(chǎn)物。它們與現(xiàn)實(shí)世界有著密切的聯(lián)系。這座聯(lián)系的橋梁就是同構(gòu)。 我們來(lái)看這樣個(gè)例子。假定有一個(gè)形式系統(tǒng)只有3種不同的符號(hào)： p q -我們把它稱為pq系

32、統(tǒng)。系統(tǒng)中的串都由這3種符號(hào)組成。在這個(gè)系統(tǒng)中還規(guī)定了這樣一些規(guī)則和公理： 公理：xp - qx - 其中的x只由連字符號(hào) - 組成。不過(guò)x所代表的連字符號(hào)串必須是相同的。 規(guī)則： 如果x、y、z都代表連字符號(hào)的串，己知xpyqz為一個(gè)定理，那么xpy - qz - 也是定理。 這里的pq系統(tǒng)是一種典型的形式系統(tǒng)。所謂形式系統(tǒng)是由一組定理及其變換規(guī)則構(gòu)成的系統(tǒng)。形式系統(tǒng)的定理是由形式符號(hào)組合而成的串，這些串可以按照規(guī)定的法則進(jìn)行運(yùn)算而生成新的串。隨意規(guī)定的串就是公理。按照規(guī)則由公理或定理生成的串就是定理。所謂形式系統(tǒng)的推理，就是嚴(yán)格按照形式系統(tǒng)的規(guī)則逐行生成新的定理，直到我們所需要的串出現(xiàn)為止

33、。這個(gè)過(guò)程也叫做形式證明。 粗一看，這個(gè)pq系統(tǒng)只是一些生疏的、其名其妙的符號(hào)和枯燥乏味的規(guī)則。但是如果我們運(yùn)用一下方才談到的同構(gòu)，那么就要刮目相看了。 也許有些細(xì)心的讀者已經(jīng)注意到了，pq系統(tǒng)的定理具有加法的含義。我們可以把p看成加法，把q看成等于。于是看來(lái)毫無(wú)意義的串 -p-q-就成了我們熟悉的算式2+35。 在這個(gè)例子中，我們得到了一個(gè)很好的同構(gòu)原型。這兩個(gè)同構(gòu)系統(tǒng)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系為： p + q = - 1 - 2 等等有時(shí)我們也把這種對(duì)應(yīng)關(guān)系稱為翻譯。這是一種低層次上的對(duì)應(yīng)。還有一種高層次上的對(duì)應(yīng)，就是形式系統(tǒng)的定理與實(shí)際陳述之間的對(duì)應(yīng)。如果你對(duì)個(gè)形式系統(tǒng)無(wú)所知，要想了解這些形式符號(hào)的

34、意義，既要尋找一種有意義的方式來(lái)翻譯。也儲(chǔ)是說(shuō)，尋找一種可以產(chǎn)生意義的同構(gòu)關(guān)系。這就像破譯密碼一樣。 不過(guò)對(duì)于一個(gè)形式系統(tǒng)來(lái)講，這種意義只是被動(dòng)的，而不是主動(dòng)的。我們可以通過(guò)翻譯來(lái)了解形式系統(tǒng)定理的意義，但是卻不能根據(jù)意義去創(chuàng)造這些定理。要?jiǎng)?chuàng)造形式系統(tǒng)的定理，只能?chē)?yán)格按照形式系統(tǒng)本身的規(guī)則。對(duì)于同樣的pq系統(tǒng)，我們也可以用一種完全不同的方式來(lái)翻譯。 p 等于 q 從減去 - 1 - 2 等等于是前面的串就同構(gòu)于“2等于從5減去3”，這意味著，這種形式系統(tǒng)所反映的現(xiàn)實(shí)世界并不是單一的。不過(guò)這些不同的方面是相互同構(gòu)的。對(duì)于同樣的形式符號(hào)可以賦于不同的意義，這是一種非常重要的現(xiàn)象。 采用同構(gòu)的方法，

35、我們可以對(duì)一個(gè)未知的形式系統(tǒng)中的某個(gè)串作出一種解釋。但是我們?cè)趺茨苤肋@種解釋是合理的呢？這就需要用同樣的解釋去檢驗(yàn)這個(gè)形式系統(tǒng)中的其他定理。如果對(duì)于系統(tǒng)中每一個(gè)定理的解釋都是有意義的，那么這種解釋就是合理的。如果一個(gè)形式系統(tǒng)中的定理是有限的，那么這個(gè)檢驗(yàn)過(guò)程總是有限的。但是我們?cè)趺茨軌蛑酪环N解釋對(duì)于一個(gè)有無(wú)限定理的形式系統(tǒng)也是合理的呢？這個(gè)問(wèn)題就涉及到無(wú)限和遞歸的概念，我們將在后面討論這些概念。同構(gòu)賦于形式符號(hào)以意義。這也意味著形式符號(hào)可以把握現(xiàn)實(shí)世界。然而形式系統(tǒng)真的具有這種能力嗎？或者說(shuō)，這種能力究竟有多大？埃舍爾有一幅發(fā)人深省的畫(huà)解放。從畫(huà)面中我們可以看到規(guī)則圖形與不規(guī)則圖形(飛鳥(niǎo))

36、之間的奇妙對(duì)比，在兩者之間有一個(gè)花哨的過(guò)渡區(qū)域。如果把現(xiàn)實(shí)世界比作自由飛翔的鳥(niǎo)兒，把形式系統(tǒng)比作規(guī)則的圖形，那么這些鳥(niǎo)兒真的能受形式系統(tǒng)規(guī)則的約束？是否在現(xiàn)實(shí)世界與形式系統(tǒng)之間也存在一個(gè)奇妙的過(guò)渡區(qū)域呢？2.3 破譯 運(yùn)用同構(gòu)和翻譯機(jī)制可以使我們理解形式系統(tǒng)中符號(hào)的意義。我們可以用這種方式去揭示某種結(jié)構(gòu)的內(nèi)部信息。但是并不是所有結(jié)構(gòu)的內(nèi)部信息都能用這種方式揭示出來(lái)的。這一點(diǎn)在生物遺傳和生命過(guò)程中十分重要。 按照一般的說(shuō)法，遺傳的信息是貯存在脫氧核糖核酸DNA的雙螺旋體中。從DNA分子(基因型)轉(zhuǎn)變成生物體(表現(xiàn)型)是通過(guò)一系列非常復(fù)雜的過(guò)程，其中包括各種蛋白質(zhì)的制造，DNA的復(fù)制，細(xì)胞的復(fù)制，

37、各種細(xì)胞的分化等等。 一般可以把生物體的結(jié)構(gòu)歸因于DNA的結(jié)構(gòu)，歸因于這種結(jié)構(gòu)所攜帶的信息。奧斯瓦德艾弗里在1946年指導(dǎo)進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)首先提供了這方面的證據(jù)。他的實(shí)驗(yàn)表明，只有DNA才能傳遞可以遺傳的性質(zhì)。人們可以改變生物體中某些分子的性質(zhì)、例如某些蛋白質(zhì)的性質(zhì)，可以使一些生物體產(chǎn)生很明顯的特征。但是這些特征是不能傳結(jié)下一代的。只有改變了DNA分子，改變的性質(zhì)才能遺傳給后代。改變遺傳信息是構(gòu)造一種新生物的唯一途徑。 因此，看來(lái)人們被迫要接受這樣的觀念，在DNA的結(jié)構(gòu)中包含了表現(xiàn)型結(jié)構(gòu)的信息。這就是說(shuō)，兩者之間有著同構(gòu)關(guān)系。但是這種同構(gòu)并不是一般數(shù)學(xué)意義上的同構(gòu)，而是一種奇異的同構(gòu)。我們之所以要區(qū)

38、分“基因型”和“表現(xiàn)型”并不是多此一舉。一般意義上的同構(gòu)簡(jiǎn)單地將一個(gè)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)映射到另一個(gè)系統(tǒng)中。唱片與音樂(lè)之間的同構(gòu)就是這樣。但是DNA基因型結(jié)構(gòu)與生物體表現(xiàn)型結(jié)構(gòu)之間的同構(gòu)就完全不一樣了。要使這種同構(gòu)在實(shí)際中實(shí)現(xiàn)，需要一種極為復(fù)雜的機(jī)制。如果你想在自己基因的DNA上找到哪一部分與你的鼻子或者指紋的形狀有關(guān)，那是不可能的。這就好像你要在一段音樂(lè)中找到表達(dá)激情的朗音符一樣可笑。因?yàn)榧で檫@種“意義”是通過(guò)較高的層次來(lái)表現(xiàn)的，是通過(guò)這段音樂(lè)中較大的“塊”而不是單個(gè)的音符來(lái)表現(xiàn)的，是通過(guò)一組音符以及它們之間的相互關(guān)系來(lái)表現(xiàn)的。 同樣，“基因的意義”關(guān)于表現(xiàn)型的信息是包含在DNA的整體中的。顯然，現(xiàn)在

39、還沒(méi)有人能理解這種語(yǔ)言。因?yàn)榘鸦蛐娃D(zhuǎn)換成表現(xiàn)型的機(jī)制遠(yuǎn)比基因型本身復(fù)雜得多。我們可以把基因看成一種開(kāi)關(guān)，它能夠觸發(fā)這些機(jī)制來(lái)達(dá)到轉(zhuǎn)換的目的。DNA的一部分能夠引發(fā)蛋白質(zhì)的制造。這些蛋白質(zhì)則能夠引發(fā)幾百種生化反應(yīng)。這些反應(yīng)又引起復(fù)制DNA本身的操作這樣多級(jí)引發(fā)的最后結(jié)果才是表現(xiàn)型的生物體。也許有人會(huì)說(shuō)，這種表現(xiàn)型揭示了潛在地包含在DNA中的信息。但是恐怕不會(huì)有人會(huì)認(rèn)為，自動(dòng)電唱機(jī)的喇叭所播出樂(lè)曲“揭示”了包含在一對(duì)鍵鈕里的信息。因?yàn)檫^(guò)對(duì)鍵鈕只是引發(fā)了自動(dòng)電唱機(jī)中與信息者關(guān)的機(jī)制。但是我們完全有理由說(shuō)，用唱片演奏出來(lái)的樂(lè)曲確實(shí)揭示了包含在唱片紋溝里的信息。這有幾方面的理由： (l)看來(lái)樂(lè)曲并不是

40、隱含在唱機(jī)的機(jī)制中。 (2)可以以任意的精確度使輸入(唱片)與輸出(樂(lè)曲)之間匹配起來(lái)。 (3)征同一架唱機(jī)上，用別的唱片就會(huì)播出別的聲音來(lái)。 (4)唱片和唱機(jī)根容易彼此分開(kāi)。 DNA復(fù)制生物體的過(guò)程依賴極為復(fù)雜的細(xì)胞內(nèi)的化學(xué)過(guò)程。這些過(guò)程并沒(méi)有錄制在DNA上。因此，可以有兩種截然不同的觀點(diǎn)。一種觀點(diǎn)認(rèn)為，生物復(fù)制的大部分信息是在DNA之外的機(jī)制中，DNA只是起了一種開(kāi)關(guān)的引發(fā)作用。另外一種觀點(diǎn)則認(rèn)為，所有的遺傳信息都貯存在DNA內(nèi)部，只是采用一種極復(fù)雜的方式。按照第一種觀點(diǎn)，要揭示DNA的含義離不開(kāi)相應(yīng)的生化過(guò)程。按照第二種觀點(diǎn)，只原有足夠的智慧就可以揭示DNA的內(nèi)在含義。 一般來(lái)講，揭示一

41、個(gè)形式系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)的含義就是尋找受形式規(guī)則控制的符號(hào)與現(xiàn)實(shí)世界之間的同構(gòu)。對(duì)于比較復(fù)雜的同構(gòu)，需要較多的“設(shè)備”才能從形式符號(hào)中抽象出意義來(lái)。這些設(shè)備包括硬件和軟件。如果這種同構(gòu)非常簡(jiǎn)單，或者很熟悉，那么我們就會(huì)因?yàn)樗娘@而易見(jiàn)或者習(xí)以為常而只看到符號(hào)得意義，卻忘記了產(chǎn)生這種意義的同構(gòu)。最明顯的例子就是人們的日常語(yǔ)言。 我們現(xiàn)在設(shè)想，有一張巴赫奏鳴曲的唱片被帶出了太陽(yáng)系，甚至被帶出了銀河系。如果那兒有高等智力的生物得到了它，一定會(huì)被它的形狀吸引住，竭力想揭開(kāi)它的秘密。即使它們的智力暫時(shí)還做不到這一點(diǎn)，他們也會(huì)在原則上相信，這里一定包含著某種信息。這種信念就是建立在破譯的基礎(chǔ)上。 今天，關(guān)于破譯

42、的思想在天文學(xué)、語(yǔ)言學(xué)和軍事等領(lǐng)域已經(jīng)被廣泛地接受了。有個(gè)突出的例子，就是破譯用人們不懂的語(yǔ)言和字母寫(xiě)成的古文。我們本能地感覺(jué)到，在這種古文中一定包含著某種糧信息。而且，一旦這種古文的語(yǔ)言被破譯了，沒(méi)有人會(huì)懷疑，這些符號(hào)的意義究竟隱藏在哪兒。顯然這些意義是在原文內(nèi)，而不是在破譯的方法之中。這就像樂(lè)曲是在唱片里而不是在唱機(jī)內(nèi)一樣。 我們可以將一分包含意義的形式符號(hào)稱為消息，并將這分消息分為3個(gè)層次：(1)結(jié)構(gòu)消息；(2)外部消息；(3)內(nèi)部消息。 結(jié)構(gòu)消息是通過(guò)載體的總體結(jié)構(gòu)含蓄地傳遞的。它告訴人們：“我是一份梢息，如果你有能耐就來(lái)破譯我?！笨纸饬私Y(jié)構(gòu)消息就是承認(rèn)有破譯的必要性。 認(rèn)識(shí)到破譯的必

43、要性就轉(zhuǎn)入第2個(gè)層層次，即外部消息。這種消息包含在消息的符號(hào)形式和結(jié)構(gòu)里，它能告訴我們?cè)鯓永斫鈨?nèi)部消息。理解外部消息就是構(gòu)造或者了解翻譯內(nèi)部消息的方法。 內(nèi)部消息是我們最終的目標(biāo)，是這份消息所耍傳遞的信息。例如我們?cè)谝魳?lè)中體驗(yàn)到的激情、基因所產(chǎn)生的表現(xiàn)型特征、碑文中記載的古代文明中的王權(quán)或儀式等等。理解內(nèi)部消息就是要把傳遞的意義提取出來(lái)。 為什么其他星球上的高等生物看到唱片就會(huì)想到其中一定隱藏著什么信息呢？首先就是因?yàn)槌膸缀涡螤睿浯问且驗(yàn)槌下菪隣畹姆侵芷谛约y構(gòu)。如果把這種盤(pán)旋的紋溝展直，就像是一條一千多米長(zhǎng)的手寫(xiě)體符號(hào)。DNA的分子形狀也與此相仿。不過(guò)它用的“字母”是4種不同的堿基。

44、其實(shí)早在艾弗里確定DNA與遺傳信息的關(guān)系之前，物理學(xué)家薛定鍔就已經(jīng)預(yù)見(jiàn)到遺傳信息貯存在“非周期性的晶體結(jié)構(gòu)”中。這就啟示我們，如果在非常規(guī)則的幾何構(gòu)形中發(fā)現(xiàn)了非周期性的結(jié)構(gòu)，那就很有可能隱藏著某種內(nèi)部消息。為此提供了一些出色的例子。 這3種層次在海邊撿到的瓶子上也可以明顯地表現(xiàn)出來(lái)。當(dāng)人們撿起瓶子，看見(jiàn)它封著口，里面又裝有干燥的紙條，馬上就會(huì)了解消息的第一個(gè)層次。然后打開(kāi)瓶蓋，取出紙條，查看上面所寫(xiě)的符號(hào)。也許這是用日文寫(xiě)的。這時(shí)并不需要知道它的內(nèi)部稍息，只要從字母形狀的某些特征就可以識(shí)別出來(lái)。最后一步才是用日語(yǔ)去理解紙上所寫(xiě)的內(nèi)容。 無(wú)線電短波的監(jiān)聽(tīng)者也全面臨同樣的問(wèn)題。首先他要確定自己聽(tīng)到

45、的聲音是一種消息而不是靜電干擾。然后判定它的語(yǔ)種或電碼。最后才是了解它的內(nèi)容。 這些例子似乎證明了這樣的論點(diǎn)，沒(méi)有一種消息本身就有意義。哪怕最簡(jiǎn)單的消息，理想了解它的內(nèi)部消息，首先就必須了解它的結(jié)構(gòu)消息和外部消息。這就是說(shuō)需要借助于“自動(dòng)電唱機(jī)”，要把唱機(jī)的一部分信息加到這種消息上去才能理解它的意義。 這看來(lái)好像是一種惡性循環(huán)。你要想理解任何一份消息就必須先有一種消息告訴你如何去理解它。但是，我們都知道，這不是一種無(wú)意義的循環(huán)。因?yàn)槲覀兇_實(shí)能夠理解消息。這是怎么回事呢？ 因?yàn)槲覀兊闹悄懿⒉皇浅橄蟮臇|西，而是具有具體的物質(zhì)基礎(chǔ)：大腦。大腦的結(jié)構(gòu)是長(zhǎng)期進(jìn)化過(guò)程的產(chǎn)物，它的功能受到物質(zhì)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的支配

46、，它們是物質(zhì)性的實(shí)體。因此，我們的大腦在運(yùn)行時(shí)并不需要有誰(shuí)來(lái)告訴它們應(yīng)該怎樣運(yùn)行?？磥?lái)大腦配備著“硬件”，可以識(shí)別哪些東西是消息，而且能夠破譯這種消息。這種最起碼的提取內(nèi)部消息的能力使得掌握語(yǔ)言的過(guò)程能夠像滾雪球一樣進(jìn)行。因此，這種先天性的硬件就像唱機(jī)一樣，為我們理解消息提供了輔助的消息。 由于大腦具有相同的結(jié)構(gòu)，這種人類的自動(dòng)電唱機(jī)也是類似的。這就為統(tǒng)一的“語(yǔ)言”提供了基礎(chǔ)，從而使得結(jié)構(gòu)消息和外部消息可以在人們之間進(jìn)行交流。 最后，讓我們來(lái)看過(guò)樣一個(gè)例子。假設(shè)我們看到有一塊方整的金屬板上刻著上下排列的兩個(gè)點(diǎn)。雖然我們猜測(cè)這里可能隱含著什么信息，但是很難發(fā)現(xiàn)它。如果我們看到一塊金屬板上刻著這些

47、點(diǎn)：那就很容易發(fā)現(xiàn)，這就是費(fèi)波那奇數(shù)列。實(shí)際上，從這樣一些數(shù)可以有把握地推出費(fèi)波那奇數(shù)的定義。如果我們把最初的一對(duì)值(1，1)看成是“基因”，那么按照費(fèi)波那奇數(shù)的遞歸定義就可以展開(kāi)整個(gè)數(shù)列(表現(xiàn)型)。但是僅僅給出“基因”(第一塊金屬板)，我們無(wú)法獲得重構(gòu)表現(xiàn)型所需要的信息，即級(jí)數(shù)的定義。而從更長(zhǎng)的“基因”(第二塊金屬板)運(yùn)用智能就可以得出由基因展開(kāi)成表現(xiàn)型的機(jī)制。一且獲得了這種機(jī)制，那么從短的基因也能展開(kāi)成表現(xiàn)型的級(jí)數(shù)。2.4 音樂(lè)和繪畫(huà)中的同構(gòu) 同構(gòu)不僅賦與形式符號(hào)以生命，也是音樂(lè)和繪畫(huà)中的靈魂。巴赫在音樂(lè)的奉獻(xiàn)中得心應(yīng)手地駕馭的卡農(nóng)技巧就是一種同構(gòu)。即導(dǎo)句與伴句之間的同構(gòu)。 卡農(nóng)的花樣繁多

48、。當(dāng)伴句與導(dǎo)句的音程完全相同或者相差8度時(shí)，稱為同度卡農(nóng)。如果伴句比導(dǎo)句低5度音程稱為5度卡農(nóng)。如果伴句高于導(dǎo)句4度音程稱為4度卡農(nóng)。伴句與導(dǎo)句可以有時(shí)間上的差異，也可以通過(guò)速度的變化來(lái)分出層次。速度加快為增時(shí)卡農(nóng)，反之則為減時(shí)卡農(nóng)。 有一種卡農(nóng)結(jié)構(gòu)是在伴句中把導(dǎo)句的主題變?yōu)樗牡褂?。這看來(lái)似乎是種古怪的旋律交換，然而在聽(tīng)眾的耳朵里卻顯得十分自然。還有一種巧妙的卡農(nóng)結(jié)構(gòu)是在伴句中把導(dǎo)句的主題按照時(shí)間順序顛倒一下。人們把這種卡農(nóng)親昵地稱作蟹式卡農(nóng)，即逆行傳農(nóng)。盡管卡農(nóng)的形式多種多樣，但是萬(wàn)變不離其宗。在每一種形式的卡農(nóng)中，伴句都保留了導(dǎo)句主題的全部信息。從這個(gè)意義上講，由每一個(gè)伴句都可以使導(dǎo)句的

49、主題完全復(fù)原。 充分運(yùn)用卡農(nóng)技巧的音樂(lè)的奉獻(xiàn)是巴赫的杰作，也是一個(gè)值得人們不斷地去發(fā)掘的寶庫(kù)。其中有一支三部賦格曲、一文六部賦格曲、十部卡農(nóng)和三重奏鳴曲。這支十部卡農(nóng)是巴赫寫(xiě)過(guò)的最復(fù)雜的卡農(nóng)。奇怪的是巴赫并沒(méi)有把它全部寫(xiě)出來(lái)。這就好像是給弗雷得里希國(guó)王出了一個(gè)意味雋永的謎。 埃舍爾則把卡農(nóng)變成了圖畫(huà)。看到這幅妙趣橫生的“逆行卡農(nóng)”，讀者也許會(huì)聯(lián)想到各種圖案設(shè)計(jì)中形形色色的“卡農(nóng)”。圖形的平移是有音程差的“卡農(nóng)”。圖形的鏡象變換則是倒影“卡農(nóng)”。用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言來(lái)描述，這些圖案是通過(guò)對(duì)稱性的交換而構(gòu)成的。這些變換的共同特點(diǎn)是同構(gòu)性。這些變換的乘積仍然是一種同構(gòu)交換。這也表明同構(gòu)的關(guān)系是可以傳遞的。

50、圖案變換的同構(gòu)性還表現(xiàn)在它們的“相似性”上。這且說(shuō)的“相似性”并不是指幾何學(xué)中圖形的相似性。讓我們看看蝴蝶中的“相似性”。把只蝴蝶映入另一只蝴蝶并不是嚴(yán)格地保持各部分之間的比例關(guān)系而只是保持某種相互關(guān)系。更確切地講是保留某種相互關(guān)系的信息。而這就是同構(gòu)。形式系統(tǒng)_3.1 從一個(gè)數(shù)學(xué)難題談起 為了進(jìn)一步闡述哥德?tīng)柖ɡ淼膬?nèi)容，我們必須和些抽象符號(hào)構(gòu)成的形式系統(tǒng)打交道。也許有的讀者對(duì)于這些抽象的表示方法感到不習(xí)慣，甚至不耐煩。不過(guò)我們還是希望讀者有耐心去慢慢熟悉這種抽象的形式，這對(duì)我們?cè)谏钜粚哟紊侠斫飧绲聽(tīng)柪碚撌潜夭豢缮俚?。我們所面臨的是一座形式符號(hào)的大廈。形式符號(hào)是這座大廈的磚瓦，它們代表著公理和

51、定理。形式推理的規(guī)則是這座大廈的框架，體現(xiàn)了整個(gè)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)。我們把整座大廈稱為形式系統(tǒng)。其實(shí)在上章闡述同構(gòu)概念時(shí)，我們已經(jīng)簡(jiǎn)單介紹了形式系統(tǒng)的概念，并且結(jié)出了一個(gè)具體的形式系統(tǒng)，即pq系統(tǒng)。為了使讀者對(duì)于形式系統(tǒng)有更切實(shí)的理解，并引起一些讀者對(duì)它的興趣，我們?cè)谶@里提出一個(gè)有關(guān)形式系統(tǒng)的數(shù)學(xué)難題。有興趣的讀者可以認(rèn)真地思索一番，甚至拿出紙筆演算一番。 我們先構(gòu)造一個(gè)MIU系統(tǒng)。這個(gè)系統(tǒng)中只有3種將號(hào)，叫M、I、U。這些符號(hào)構(gòu)成的串稱為系統(tǒng)中的定理。先給定一個(gè)定理為MI，也可以說(shuō)這是公理。現(xiàn)在要問(wèn)：“你能否根據(jù)下面的4條規(guī)則由MI產(chǎn)生MU？” 這4條規(guī)則是： 規(guī)則1：如果一個(gè)串的最后一個(gè)符號(hào)為I，

52、則可以再加上一個(gè)U。 規(guī)則2：如果有一個(gè)串為Mx那么可以再加上x(chóng)而生成Mxx。這里的x代表任何一個(gè)由M、I、U組成的串。 規(guī)則3：如果串中出現(xiàn)連續(xù)的3個(gè)I，那么可以用U代替III而得到一個(gè)新串。不過(guò)不能用III去代替U。 規(guī)則4：如果串中出現(xiàn)UU，那么可以把UU刪去。 我們應(yīng)該如何來(lái)考慮這個(gè)難題呢？我們可以設(shè)想有一個(gè)長(zhǎng)生不老的妖怪，他熱衷于在MIU系統(tǒng)中，運(yùn)用上面幾條規(guī)則來(lái)生成各種串。步驟1：把4條規(guī)則應(yīng)用于公理MI，由此生成2條新串：MIU，MII(規(guī)則3、4不適用)。步驟2：把4條規(guī)則應(yīng)用于步驟1生成的新串MIU、MII。由此產(chǎn)生了3條新串MIIU、MIUIU、MIIII。 采用這種方法遲

53、早會(huì)產(chǎn)生系統(tǒng)中的每一條定理。而我們要解決的難題是，MU是不是該系統(tǒng)中的一條定理？一般來(lái)講，這就是檢驗(yàn)定理的問(wèn)題，或者說(shuō)定理的判定問(wèn)題。用構(gòu)成系統(tǒng)中所有定理的方法來(lái)判定某一條串是否為系統(tǒng)中的定理，這并不能保證。這個(gè)過(guò)程以有限的步驟來(lái)完成。而這恰恰就是問(wèn)題的關(guān)鍵所在。 在我們所出的難題中，只有一條公理，推導(dǎo)的規(guī)則是簡(jiǎn)單明了的，構(gòu)造定理樹(shù)也不困難。按理說(shuō)定理的判定是可以做到的，但是判定的結(jié)果并不是顯而易見(jiàn)的。不少讀者大概仍然無(wú)法判定，MU是不是系統(tǒng)中的一條定理。 不過(guò)問(wèn)題的解決往往取決于你從什么角度去看，也就是找到合適的同構(gòu)機(jī)制。如果我們把注意力集中在I的數(shù)目上，那么就會(huì)發(fā)現(xiàn)，這個(gè)MU難題實(shí)質(zhì)上是一

54、個(gè)用語(yǔ)言掩蓋著的自然數(shù)難題。如果我們計(jì)算每個(gè)定理中I的數(shù)目就會(huì)發(fā)現(xiàn)，它好像永遠(yuǎn)不會(huì)為0。不但如此，我們可以進(jìn)一步證明，I的數(shù)目永遠(yuǎn)不是3的整數(shù)倍。 我們先來(lái)看規(guī)則1和4。它們保持I的數(shù)目不變。然后看規(guī)則3，它永遠(yuǎn)不會(huì)憑空使I的數(shù)目為3的倍數(shù)。這就是說(shuō)，在原來(lái)的定理中，如果I的數(shù)目不是3的倍數(shù)，那么經(jīng)過(guò)這種變換后仍然不是3的倍數(shù)。只有在作為輸入的定理中，I的數(shù)目為3的倍數(shù)，才能保持這種性質(zhì)。規(guī)則2也是這樣。要使加倍后的數(shù)能被3整除，就需要原來(lái)的數(shù)也能被3整除?？傊@些規(guī)則都不能使I數(shù)目不為3的倍數(shù)的定理憑空產(chǎn)生這種性質(zhì)。 公理中I的數(shù)目為1。按照剛才的分析，運(yùn)用這些規(guī)則決不會(huì)使新定理中I的數(shù)目

55、為3的倍數(shù)，當(dāng)然也就不能為0。因此MU不是MIU系統(tǒng)中的定理。 當(dāng)然，并不是所有的這類問(wèn)題都能這樣容易地解決的。但是我們至少已經(jīng)看到了，有一個(gè)難題可以歸結(jié)于數(shù)論中的問(wèn)題而得到解決。我們還將進(jìn)一步看到，有一種方法可以將所有形式系統(tǒng)中的問(wèn)題歸結(jié)于數(shù)論中的問(wèn)題。這要?dú)w功于哥德?tīng)査鶆?chuàng)造的一種特殊的同構(gòu)，即哥德?tīng)柧幋a。 我們以MIU系統(tǒng)為例，可以在系統(tǒng)的特號(hào)與數(shù)字之間建立這樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系： M 3 I 1 U 0 這種對(duì)應(yīng)關(guān)系完全是任意的。我們稱這些數(shù)為哥德?tīng)枖?shù)。 采用哥德?tīng)枖?shù)，就可以從兩種不同的層次去理解系統(tǒng)中由數(shù)字構(gòu)成的串。一方面，可以把它們的運(yùn)算看成是定理的變換；另一方面，又可以把它們看成是一般數(shù)字

56、的運(yùn)算。 現(xiàn)在設(shè)m、n為任意的自然數(shù)。于是這幾條規(guī)則的算術(shù)運(yùn)算就可以表述成： 1如果生成了10m十l，就可以生成10(10m十1)。 2如果生成了310m十n，就可以生成10m(310m十n)十n。 3如果生成了kl0m+3十11110m十n，就可以生成k10m+1十n。4如果生成了kl0m+2十n，就可以生成k10m十n。 公理則可表述為： 能生成31。 這樣的算術(shù)系統(tǒng)稱為310系統(tǒng)。在這個(gè)算術(shù)系統(tǒng)中，可以生成的數(shù)起著形式系統(tǒng)的定理的作用。因此，問(wèn)題就歸結(jié)為，在這樣的系統(tǒng)中能否出現(xiàn)30這個(gè)數(shù)？按照我們已經(jīng)作出的分析，這是不可能的。如果你對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行了認(rèn)真的思索，或者動(dòng)筆進(jìn)行了演算，那么你一

57、定對(duì)于形式系統(tǒng)有了感性的認(rèn)識(shí)。你懂得了形式符號(hào)、定理和形式系統(tǒng)三者是什么關(guān)系。什么是形式系統(tǒng)的規(guī)則和公理，它們?nèi)绾螞Q定了在系統(tǒng)中可以生成哪些定理。你也知道了公理和定理的區(qū)別僅僅在于，公理是任意規(guī)定，而定理則是由公理按照規(guī)則生成的。所謂形式推理是嚴(yán)格按照形式系統(tǒng)的規(guī)則，逐步生成新的定理，直到我們所需要的定理也現(xiàn)為止。這個(gè)過(guò)程也叫做證明。其實(shí)，我們對(duì)于形式系統(tǒng)并不陌生。我們可以回憶一下中學(xué)時(shí)代的幾何學(xué)。所謂幾何學(xué)命題的證明就是根據(jù)已知的幾何定理和邏輯法則(起形式系統(tǒng)規(guī)則的作用)，從條件(已知的定理)推出所要證明的結(jié)果(需要證明的定理)。人們把這種訓(xùn)練稱為“思維的體操”?？雌饋?lái)單調(diào)的體操動(dòng)作可以使我

58、們的體格強(qiáng)壯。看起來(lái)乏味的形式推理對(duì)于我們的思維也是不可缺少的。希望讀者也能逐漸熟悉和運(yùn)用形式系統(tǒng)。3.2 一致性和完備性 形式系統(tǒng)的推理是嚴(yán)格按照規(guī)則，從已有的定理產(chǎn)生新的定理。這種機(jī)械化的步驟可以使系統(tǒng)中的定理不斷增加而形成龐然大物。形式系統(tǒng)是一座由公理、定理通過(guò)規(guī)則結(jié)合成統(tǒng)一整體的蔚為壯觀的大廈。要使這座大廈能在狂風(fēng)暴雨中巍然挺立，也能承受地震的考驗(yàn)，就必須滿足一致性的要求。在這些定理中不能有相互矛盾、相互沖突的結(jié)果。否則這座大廈就會(huì)產(chǎn)生縫隙，從而使整座大廈倒塌。用邏輯學(xué)的語(yǔ)言來(lái)講，一致性就是不容許在同一個(gè)系統(tǒng)中既出現(xiàn)一個(gè)判斷為真的命題，又出現(xiàn)同一判斷為假的命題。 當(dāng)然，可以有各種各樣的

59、一致性。邏輯上的一致性要求避免邏輯上的矛盾，這是形式邏輯的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)上的一致性不容許出現(xiàn)違背數(shù)學(xué)理論的那些描述。物理學(xué)上的一致性則要求對(duì)物理現(xiàn)象的解釋與物理定律密切配合。還有生物學(xué)上的一致性等等。不過(guò)一般來(lái)講，人們感興趣的往往是數(shù)學(xué)與邏輯的一致性同物理學(xué)上一致性的差別。 邏輯與數(shù)學(xué)的一致性也就是形式系統(tǒng)內(nèi)部的一致性，就是說(shuō)對(duì)于系統(tǒng)內(nèi)所有定理的解釋不會(huì)產(chǎn)生矛盾。物理學(xué)上的一致性則是指形式系統(tǒng)與外部世界的一致性。這兩種一致性在形式系統(tǒng)中是密切聯(lián)系在一起的。 埃舍爾的作品相對(duì)性表現(xiàn)了一致性與矛盾之間的微妙關(guān)系。它那栩栩如生的實(shí)體感誘使你去尋找一種有關(guān)此圖的解釋，使得圖中各部分的解釋不會(huì)產(chǎn)生矛盾。你也

60、許會(huì)感到這些樓梯很好玩。因?yàn)樵谕瑯拥臉翘萆?，人們行走的方向并不一致。我們可以把某個(gè)樓梯看作我們進(jìn)行解釋的基礎(chǔ)，看成一個(gè)“確定性的小島”，然后以此為基礎(chǔ)來(lái)解釋與它有聯(lián)系的各部分。再根據(jù)已經(jīng)獲得解釋的部分與其他部分的聯(lián)系進(jìn)一步推廣我們的解釋。這很像是在形式系統(tǒng)中運(yùn)用規(guī)則進(jìn)行定理的變換。對(duì)于一般的圖，這個(gè)過(guò)程很容易進(jìn)行到底，從而使全圖獲得一種令人滿意的解釋?？墒窃谶@幅圖中就不是那么稱心如意了。我們很快就會(huì)遇到麻煩，產(chǎn)生沖突。如果我們放棄所選擇的“小島”，而另外選擇一個(gè)“確定性的小島”還會(huì)遇到同樣的麻煩。但是，我們又無(wú)法否認(rèn)這些東西的意義。這些樓梯只能是樓梯而不可能是魚(yú)、船或者什么別的東西。 這幅畫(huà)告