選修3課程的作用和定位

1、.：.；第四章 選修3課程的作用和定位第一節(jié) 選修3系列課程的作用對于系列3課程的定位和作用，“規(guī)范中已講得很清楚： “系列3和系列4是為對數(shù)學有興趣和希望進一步提高數(shù)學素養(yǎng)的學生設(shè)置的，所涉的內(nèi)容都是數(shù)學的根底性內(nèi)容，反映了某些重要的數(shù)學思想。有些專題是中學課程某些內(nèi)容的延伸，有些專題是經(jīng)過典型實例引見數(shù)學的一些運用方法。這些專題的學習有利于學生的終身開展，有利于擴展學生的數(shù)學視野，有利于提高學生對數(shù)學的科學價值、運用價值、文化價值的認識，有助于學生進一步打好數(shù)學根底，提高應(yīng)意圖識?！皩ｎ}力求深化淺出、通俗易懂，進一步提高學生發(fā)現(xiàn)和提出問題的才干，分析和處理問題的才干，讓學生掌握和領(lǐng)會一些重

2、要的概念、結(jié)論和思想方法，領(lǐng)會數(shù)學的作用，開展應(yīng)意圖識?！跋盗?所涉及的內(nèi)容都是根底性的數(shù)學內(nèi)容，不僅應(yīng)鼓勵那些希望在理工、經(jīng)濟等方面開展的學生積極選修，同時也應(yīng)鼓勵那些希望在人文、社會科學方面開展的學生選修這些課程。另外，對系列3課程建立、教學方式、評價方式等，都給出了詳細的闡明，這里就不一一反復(fù)了。在系列3教學中應(yīng)該留意的幾個問題：系列3是根底。系列3不是學習大學數(shù)學的預(yù)備課程，也不是為未來預(yù)備進入數(shù)學系學習的學生做預(yù)備。 在系列3的教學中，應(yīng)該把重點放在引見根本的數(shù)學思想。 在系列3的教學中，要不斷地開發(fā)資源，把難的東西變?nèi)菀?，用詳細來反映普通，用直觀來反映籠統(tǒng)。系列3課程是不進入高考的

3、課程，但是學習這部分課程對于提高數(shù)學素養(yǎng)、培育學生處理問題的才干和激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣是非常有用的。各個學校可以按照各自的情況有選擇性地逐漸開設(shè)這些專題。下面我們按專題引見：背景，知識構(gòu)造和內(nèi)容定位，重、難點定位，教學要求，參考文獻等。第二節(jié) 選修3各專題的定位和教學要求2.1數(shù)學史選講一、背景每一個學生從小學起，直到大學中的理工農(nóng)醫(yī)等學科，乃至不少專業(yè)的研討生階段，都要學習數(shù)學，近年來有一種新的趨勢，就是人文社會科學的學生也需求繼續(xù)學習數(shù)學，為什么我們的學生要學那么長時間的數(shù)學？數(shù)學為什么這么重要？這是由數(shù)學本身的特點、作用、意義所決議的。例如，學習數(shù)學有利于培育我們的思想才干，如：推實際

4、證的才干、空間想象才干、計算才干、籠統(tǒng)歸納才干、數(shù)據(jù)處置才干、以及發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、處理問題的才干等等；此外，還會有利于提高我們處理日常生活中遇到的各種實踐問題，等等。開設(shè)本專題還有一個非常重要的目的，就是希望能從數(shù)學開展的歷史來認識數(shù)學。每一門學科都有本人的歷史，對于數(shù)學來說，更是源遠流長，她與人類的文明共同開展，本專題的學習將協(xié)助 學生從歷史的角度，了解數(shù)學在人類開展史上所起的不可估量的意義，了解數(shù)學文化在人類文化中的位置，了解數(shù)學與其他學科的歷史淵源和聯(lián)絡(luò)，了解數(shù)學在人們?nèi)粘Ｉ钪械淖饔?，了解?shù)學開展中艱苦的事件，了解為數(shù)學開展嘔心瀝血的出色人物，等等。我們希望經(jīng)過開設(shè)數(shù)學史

5、選講開辟學生的視野，提高學生對數(shù)學的價值、意義、作用的認識，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣和動力。這對于未來在各行各業(yè)任務(wù)的學生來說，都會起到積極的作用。學習數(shù)學史選講這門課程，不僅可以開辟本人的視野，提高學習數(shù)學的興趣，而且它將會對日常的數(shù)學學習起到積極的作用，對于一些重要的數(shù)學概念，經(jīng)過數(shù)學史的學習加深對它們的認識和了解。數(shù)學史選講是不進入高考的，我們希望教師和學生不要以過分“功利的目光來對待這件事情，應(yīng)該值得思索的地方是，一旦提高了學生學習數(shù)學的興趣，加強了學習數(shù)學的動力，了解了學習數(shù)學的作用，那么他們的潛在能量是不可估量的。二、知識構(gòu)造和內(nèi)容定位1知識構(gòu)造框圖在“數(shù)學史選講中，選取了數(shù)學開展史

6、上重要的并且和高中數(shù)學教學嚴密聯(lián)絡(luò)的內(nèi)容，不同的教材有不同的選擇，例如，可以采取以下的選擇：第一講，數(shù)學開展的幾個重要時期第二講，代數(shù)學的開展第三講，幾何學的開展第四講，微積分分析的開展第五講，無限集合論數(shù)理邏輯計算機科學第六講，名題賞析。我們可以用以下框圖詳細表示 2內(nèi)容定位1在高中課程的“數(shù)學史選講中，一定要結(jié)合高中學生的認知程度和知識根底。2在高中課程的“數(shù)學史選講中，不強調(diào)數(shù)學史的體系嚴密，可以從中選擇幾個可以引起中學生興趣的專題。 3在高中課程的“數(shù)學史選講中，選材一定要生動活潑。三、教學要求“數(shù)學史選講專題不是系統(tǒng)地講授數(shù)學史。主要是結(jié)合中、小學有關(guān)的數(shù)學內(nèi)容，例如，對于一些重要的

7、數(shù)學概念，可以經(jīng)過數(shù)學史的學習加深對它們的認識和了解。也可以經(jīng)過引見相關(guān)的史料，或數(shù)學開展的梗概，提高學生對數(shù)學的價值、意義、作用的認識，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣和動力。也可以結(jié)合中學數(shù)學內(nèi)容較系統(tǒng)地引見一些專題。如：數(shù)學開展概論、幾何開展史歐式幾何、非歐幾何、分形幾何等、代數(shù)開展史數(shù)與符號、方程等、微積分等。還可以引見一些重要的數(shù)學問題，如：費馬大定理、歐拉公式、集合的勢等，經(jīng)過這些問題使學生了解數(shù)學的開展，提高學生學習數(shù)學的興趣。在開設(shè)“數(shù)學史選講的過程中，實驗區(qū)大體有兩種不同的講授方式，一種是集中教學；另一種是把“數(shù)學史選講的各個專題插入到日常教學中，例如，在講授“立體幾何初步時，可以引見

8、幾何開展史，在講授“平面向量時，可以引見運算在數(shù)學開展中的作用，在講授“導(dǎo)數(shù)及其運用時，可以引見微積分開展史以及近代分析學的一些情況，等等。從實驗區(qū)的情況來看，“數(shù)學史選講是一個受學生歡迎的專題，教師在教學中應(yīng)認識到：本專題可以協(xié)助 教師養(yǎng)成一個不斷開發(fā)數(shù)學資源的習慣，使得日常教學更加豐富、生動和深化；本專題可以更好的把握日常教學中某些知識點的本質(zhì)，以及他們在整個數(shù)學中的位置；教師應(yīng)在日常教學中，經(jīng)過對每一部分數(shù)學史內(nèi)容的引見，引起學生的興趣。在本專題的教學中，要引導(dǎo)學生寫好讀書報告，這是提高數(shù)學素養(yǎng)的重要載體，希望教師在這方面要下功夫。建議教師在條件允許的情況下，積極發(fā)明條件，開設(shè)數(shù)學史選講

9、這一課程，把他作為提升個人專業(yè)素養(yǎng)的一個重要渠道。五、文獻參考1 李文林：數(shù)學史概論，高等教育，2002 2 李文林：文明之光圖說數(shù)學史，山東教育，20053 張順燕：數(shù)學的源與流，高等教育，20004 張順燕：數(shù)學的美與理，北京大學，2004 5 M. 克萊因：古今數(shù)學思想，張理京等譯，上?？茖W技術(shù)，19796 A. 亞歷山大洛夫等，數(shù)學它的內(nèi)容、方法和意義，孫小禮等譯，19587 M. 克萊因：現(xiàn)代世界中的數(shù)學，齊民友等譯，上海教育，20042.2 信息平安與密碼一、背景進入21世紀，“信息是我們聽到或看到最多的詞匯之一。我們天天都在與信息打交道，比如收發(fā)信件、聽報告、采集數(shù)據(jù)、看照片、影

10、視等等，交流信息的方式也是多種多樣的，如當面交談、交流、發(fā)送電報、手語、旗語等如今還可以用電子郵件、可視等方式來交流和傳送信息有些信息是公開的，大家都可以知道但是，也有一些信息是需求嚴密的，比如銀行里的存款，僅僅希望本人人知道，不希望讓“外人知道。政治、軍事、外交、金融等活動中，信息平安更是一件特別重要的事情.為了保證信息的平安，在信息傳送的過程中，經(jīng)常要運用密碼，進展嚴密通訊。經(jīng)過本專題的學習，我們將了解信息平安的根本原理、根本方法以及在社會開展中的重要意義，并了解數(shù)學在信息平安中不可替代的作用。二、知識構(gòu)造和內(nèi)容定位1知識構(gòu)造框圖2內(nèi)容定位在本專題中，以下幾點是需求特別留意的。 1認識映射

11、函數(shù)在信息平安中的作用。當甲、乙雙方傳送信息時，為了不使信息被第三者知道，通常的作法是用密碼對信息加密。比如，5是一個信息，甲要把5通知乙，甲在發(fā)送信息之前，先將5加3，然后將8傳輸給乙。乙收到加密后的信息8，再用8減去3就可以獲取原來的信息。加3是加密的過程，減3是解密的過程，加3和減3是甲、乙事先商定好的，這個過程可以用圖示明晰地表示出來。在處理這件事情的過程中，加密和解密是最重要的。自古以來，人們發(fā)明了許多加密和解密的方法。由于人們不斷地尋求破譯加密信息的方法，所以對密碼的信息平安性能的要求不斷提高。加密和解密的方法在不斷地開展。從上圖不難看出，加密的過程其實就是映射函數(shù)作用的過程。加密

12、就是把函數(shù)作用在信息上，得到函數(shù)值加密的信息的過程；解密的過程其實就是函數(shù)反作用的過程，就是把函數(shù)值加密的信息復(fù)原成自變量的值原來的信息的過程。不難看出，加密函數(shù)和解密函數(shù)是互為反函數(shù)的，顯然，加密函數(shù)是一個一一對應(yīng)的映射，這樣就可以保證“加得上去也能“解得下來。人們希望加密函數(shù)要簡單，即加密要容易；解密時，對知道密碼的人要容易；對不知道密碼的人要很困難，甚至無法解密。要得到這樣的加密函數(shù)和解密函數(shù)，靠的是數(shù)學中函數(shù)的思想。2單向函數(shù)與公開密鑰原理由上可知，加密函數(shù)和解密函數(shù)是互為反函數(shù)的，即，加密函數(shù)是一個一一對應(yīng)的映射，記作f，它存在反函數(shù)f-1，顯然有：f-1f(x)=x。假設(shè)能找到這樣

13、一種加密函數(shù)f加密密碼，即使把它公開，人們也無法在我們希望的有限時間內(nèi)確定它的反函數(shù)f-1解密密碼。也就是說，假設(shè)我們把加密函數(shù)公開，人們也無法找到解密函數(shù)來破解密碼，我們把這樣的加密函數(shù)稱為單向函數(shù)。在普通的密碼體制中，通訊雙方要記住彼此的加密密碼和解密密碼。例如，n=100個單位要相互傳輸信息，那么每個單位都需求記住99對加密、解密的密碼。整個系統(tǒng)需求約等于5000對加密、解密密碼。而且還經(jīng)常需求改換密碼，以加強嚴密功能。假設(shè)單位的個數(shù)n更大，情況就更復(fù)雜。有了單向函數(shù)就可以把加密函數(shù)密碼公開，一切公開的加密函數(shù)編成一個加密函數(shù)密碼本，供人們查閱。對于100個單位只需求公開100個加密函數(shù)

14、密碼，而每一個單位只需求記住一個解密函數(shù)密碼就可以了。我們把這種體制稱為公開密鑰體制。公開密鑰系統(tǒng)的詳細任務(wù)原理如下：用戶需求把信息發(fā)給用戶B，操作程序如下： = 1 * roman i用戶在公開的加密密碼本上查找到B的加密密鑰f； = 2 * roman ii用戶A用f對信息進展加密，得到f，并將密文發(fā)給用戶B； = 3 * roman iii用戶B收到密文，用本人的解密密鑰f-1進展解密，得到f-1f-1f。這樣，用戶B就收到了用戶發(fā)來的信息。其他人即使知道密文是發(fā)給用戶B的，也能查到B的加密密鑰f，但是由于從f求f-1非常困難，在需求的嚴密時間內(nèi)是不能把恢復(fù)成明文的。采用這種公開密鑰體制

15、，大大減少了每個單位保管的密鑰數(shù)量，從而可以減少很多失誤。嚴密通訊體系的信息平安程度因此大大提高。3在學習本專題的過程中，需求掌握常見的密碼，例如，愷撒碼、轉(zhuǎn)置碼、流密碼、RSA公鑰體制、離散對數(shù)公鑰方案等，重要的是學會運用這些密碼，但是，要想弄懂這些密碼的數(shù)學原理是比較困難的事情，需用到數(shù)論的有關(guān)知識，對普通的學生，重要的是了解信息平安的根本原理。有興趣的同窗可以進一步搞清楚這些數(shù)學原理，對于提高他們的數(shù)學素養(yǎng)是非常好的一種訓練。三、重、難點本專題的重、難點是了解嚴密通訊的根本方式和公開密鑰原理。四、教學要求1在本專題的教學中，應(yīng)該把了解嚴密通訊的根本方式和公開密鑰原理放在重要的位置上，不要

16、把過多的精神放在數(shù)學推導(dǎo)上，可以針對學生的不同情況提出不同的要求，對于感興趣的同窗可以引導(dǎo)他們掌握數(shù)學原理。2在本專題的教學中，可以設(shè)置一些活動，經(jīng)過操作、實際來協(xié)助 學生了解嚴密通訊的根本方式和公開密鑰原理。3在本專題的教學中，對于數(shù)論的知識一定要把握好“度，能掌握的同窗就掌握，不用對全體學生作一致要求。4在本專題的教學中，要引導(dǎo)學生寫好讀書報告，這是提高數(shù)學素養(yǎng)的重要手段，希望教師在這方面要下功夫。五、文獻參考1 閔嗣鶴 嚴士?。撼醯葦?shù)論第三版，高等教育，20032 萬哲先 劉木蘭：談?wù)劽艽a，人民教育，19853 馮克勤：初等數(shù)論及運用，北京師范大學，20034 COMAP：數(shù)學的原理與實

17、際，申大維等譯，高等教育和施普林格，19985 談祥柏：編碼縱橫談，上海教育，1999年2.3 球面上的幾何一、背景我們生活在地球上，地球是個球體，現(xiàn)實生活中也有許多球體，很自然的，我們需求了解球體的幾何性質(zhì)，也需求了解球面上圖形的幾何性質(zhì)。這些性質(zhì)的討論對于航空、大地丈量、宇宙飛行等方面的研討是有重要意義的。在17世紀前后，球面幾何就曾經(jīng)成為人們關(guān)注的一個研討方向。球面幾何討論的問題是球面上點、線的位置關(guān)系、度量關(guān)系和其他的幾何性質(zhì)。所以，了解和掌握一些根本的球面幾何的性質(zhì)，對于學習和生活都是非常有益的。在中小學的數(shù)學學習中，我們更多接觸到的是“直的東西，例如，直線、平面，等等，用代數(shù)的言語

18、來說，這些是“線性的東西，例如，二元一次方程、線性方程組，等等。當然我們也學習了一些“彎曲的東西，例如，圓、橢圓、拋物線、雙曲線，等等，用代數(shù)的言語來說，這些就是一元二次方程、二元二次方程，等等。經(jīng)過學習球面幾何可以提高空間想象才干，前面我們曾經(jīng)說過空間想象才干、幾何直觀才干、空間洞察力等等，這些都是非常重要、非常根本的才干，幾何課程的目的之一就是要培育學生的這些才干，球面幾何是一個很好的載體。本專題利用綜合法來研討球面幾何。根本的想法是，把球面幾何與平面幾何進展類比。我們希望學生能很好地用類比的方法，來學習球面幾何。平面幾何的性質(zhì)是我們所熟習的，我們希望學生經(jīng)過不斷領(lǐng)會球面和平面上圖形性質(zhì)的

19、差別：哪些是一樣的？哪些是不同的?在類比的過程中來逐漸感受產(chǎn)生這些差別的本質(zhì)緣由。球面幾何是與平面幾何不同的數(shù)學模型。它們都有著廣泛的運用。經(jīng)過本專題的學習應(yīng)認識到，幾何中存在著不同的幾何模型，初步認識到可以有不同的非歐幾何，它們是有意義的。二、知識構(gòu)造和內(nèi)容定位 1知識構(gòu)造框圖和平面幾何的類比：2內(nèi)容定位 1學習平面幾何的根本思緒是綜合幾何和圖形運動，這也是學習球面幾何的根本思緒，但是還需求有很好的空間想象力。例如，計算以北京、上海、重慶為頂點的球面三角形的邊長和面積，需求根據(jù)空間想象力畫出空間圖形如以下圖所示 2球面幾何的根本概念可以類比平面幾何給出 平面上兩點的間隔 ：過這兩點之間的線段

20、長度。球面上兩點的間隔 ：經(jīng)過A、B兩點的大圓上以A、B為端點的劣弧的長度。對于球面上的恣意兩點，在數(shù)學上可以嚴厲證明過這兩點的大圓的劣弧長度是最短的。應(yīng)該把大圓上這段劣弧的長度看作是這兩點的間隔 。如下圖平面直線：直線沒有端點，向兩個方向無限延伸。球面直線：過球面上兩點A、B的大圓叫作過A、B兩點的球面直線。大圓是封鎖的、有限的。如下圖平面上的線段：直線上兩點以及這兩點之間的部分。球面上的線段：過球面上兩點A、B的大圓的劣弧叫做銜接A、B兩點的線段。如下圖平面角：過平面上一點A的兩條射線AB、AC構(gòu)成的圖形叫做角。球面角：從球面S上的一點出發(fā)的兩條大圓半弧所構(gòu)成的圖形叫做球面角。如下圖平面三

21、角形：在平面上，假設(shè)三點不在同一條直線上，那么連結(jié)三點的線段組成的圖形叫做三角形.球面三角形：在球面S上，假設(shè)三點不在同一個大圓上，并且三點中沒有對徑點，那么由銜接三點的大圓的劣弧組成的圖形叫做球面三角形。 3球面幾何的根本結(jié)論可以類比平面幾何得到一樣的性質(zhì)：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊邊角關(guān)系：大角對大邊；大邊對大角 三角形的全等的斷定：SSS ，SAS，ASA不同性質(zhì)：平面上的恣意兩條直線相交或平行。球面上恣意兩條直線都相交。平面三角形的內(nèi)角和等于180度。球面三角形的內(nèi)角和大于180度。平面三角形類似的斷定：AAA。球面三角形全等的斷定：AAA。 平面三角形的余弦定理：球面三角

22、形邊的余弦定理： 平面三角形的正弦定理： 球面三角形的正弦定理： 三、重、難點重點：在球面上建立根本概念難點： 極三角形和三角形的面積定理四、教學要求1在講授球面幾何時，要先復(fù)習平面幾何的有關(guān)知識。2在講授球面幾何中的概念、性質(zhì)時，要與平面幾何中的概念、性質(zhì)作類比。并且這種類比的方法要貫穿整個球面幾何教學的一直。3在球面幾何的教學中，幾何直觀，畫圖的習慣、實物操作、信息技術(shù)等，都是協(xié)助 學生建立空間想象力的方法。五、文獻參考1 項武義：根底幾何學，人民教育，20042 項武義 王申懷 潘養(yǎng)廉：古典幾何學，復(fù)旦大學，19862.4 對稱與群一、背景“對稱景象是現(xiàn)實生活中最常見的景象，例如，建筑物

23、的對稱性，生物的對稱性，化學構(gòu)造和物理構(gòu)造的對稱性，各種圖案的對稱性，等等。根據(jù)豐富多彩、各式各樣的對稱形狀；人們遭到啟發(fā)，發(fā)明出了各種各樣的對稱圖形。如何從數(shù)學上來描寫這些“對稱景象呢？“對稱的數(shù)學背景是什么呢？“群就是描寫對稱景象的數(shù)學概念，“群是描畫對稱的數(shù)學工具，群是現(xiàn)代數(shù)學中最根本、最重要的概念。 “群產(chǎn)生于用根式求解方程的問題，它在整個數(shù)學的開展史上有著重要的意義。了解一些群的概念對于學生未來的開展是非常有益的。我們可以經(jīng)過豐富的對稱幾何圖形，使學生對變換，特別是對稱變換，變換的合成等，有所認識和了解，在此根底上，讓學生領(lǐng)會和感受“群意義。二、知識構(gòu)造和內(nèi)容定位1知識構(gòu)造框圖 2內(nèi)

24、容定位 本專題首先給出大量的圖形，特別是對稱圖形。讓學生認識到在自然界存在著大量的對稱景象。然后讓學生從直觀上認識到不同圖形的對稱性是有差別的。從而產(chǎn)生問題：如何描畫具有不同對稱性的圖形？2先從詳細的圖形出發(fā)，例如，正三角形、正方形、正五邊形等，先引入學生熟知的對稱變換：軸對稱變換。經(jīng)過對它的分析，再針對不同圖形，引入反射、平移、滑動反射這幾種對稱變換。3再從一個圖形對稱變換的多少來闡明該圖形對稱性的好壞。即，以為一個圖形的對稱變換越多，它的對稱性越好。4進而針對一些詳細的對稱圖形，討論這些圖形的對稱變換之間的關(guān)系。引入對稱變換合成的概念，給出變換的乘法運算。分析這種乘法運算的性質(zhì)。并討論變換

25、的逆變換。在此根底上，闡明一個圖形的全體對稱變換的特性，給出該圖形對稱變換群的概念。三、重、難點重點：認識對稱變換與對稱變換的合成，在此根底上構(gòu)成群的概念。難點：群的普通概念。四、教學要求在對稱與群的教學過程中，一定要強調(diào)從詳細圖形的對稱到籠統(tǒng)的群的一系列研討過程，分別是：詳細的對稱圖形到詳細的對稱變換從詳細的平面對稱變換到平面的普通對稱變換從對稱變換到對稱變換合成從對稱變換的合成到建立平面對稱變換群從平面對稱變換群到群的籠統(tǒng)定義教師在教學的過程中要留意展現(xiàn)這5個過程，這樣就可以給學生一個清晰的認識群的思緒，更能加深學生對與群這樣一個籠統(tǒng)概念的了解。五、文獻參考1 段學復(fù)：對稱2 H. 外爾：

26、對稱，馮承天等譯，上?？萍冀逃?，20023 COMAP：數(shù)學的原理與實際，申大維等譯，高等教育和施普林格，19982.5 歐拉公式與閉曲面分類 一、背景分類是數(shù)學的根本思想，例如，用未知數(shù)的次數(shù)來對方程進展分類，用邊數(shù)來對平面上的圖形進展分類，用群、環(huán)、域來對代數(shù)構(gòu)造進展分類。幾何學的主要義務(wù)之一也是對圖形進展分類。按照不同的原那么可以得到不同的分類，例如，利用全等可以對圖形分類、利用類似可以對圖形分類、利用保距變換也可以對圖形進展分類，我們還可以找出對于曲面的分類方法。當我們把一個圖形做變換時，這個圖形的一些性質(zhì)能夠不再堅持。例如，思索下面一個圓和圓中兩條相互垂直的直徑。我們把它緊縮，如圖：

27、緊縮后，圓變成了橢圓，圓心到圓上的間隔 相等這一性質(zhì)不再成立，兩條直徑也不再垂直。好似原來圖形的性質(zhì)都不再堅持了。但是，還是有一些性質(zhì)沒有改動。例如，直線仍變?yōu)橹本€，原來的兩條直徑的交點仍是這兩條直線段的中點。那些在變換下堅持不變的性質(zhì)，看來是圖形更本質(zhì)的性質(zhì)。給定一類變換，我們可以問，在這類變換下，幾何圖形的哪些性質(zhì)堅持不變，這些堅持不變的性質(zhì)構(gòu)成了和這類變換相關(guān)的幾何。這種按幾何不變性和不變量來對幾何分類的思想，是現(xiàn)代幾何學重要的思想。而過去我們根本上是按研討方法來對幾何學進展分類的。如，綜合幾何、解析幾何。中學學過的歐拉公式在許多變換下是不變的。特別是，它在一種非常普通的變換下不變。這種

28、變換只需求：變換是一一對應(yīng)的因此它有逆變換且變換和逆變換都是延續(xù)的。換句話說，我們可以恣意地拉伸、扭曲幾何圖形，只是不許把圖形撕裂，也不許把圖形中不同的部分粘合在一同。這種變換在數(shù)學上叫做拓撲變換。拓撲學和代數(shù)學一樣，是現(xiàn)代數(shù)學的根底。在本專題中，我們希望學生經(jīng)過歐拉公式的討論，對拓撲變換的思想有一點領(lǐng)會，了解用不變性和不變量對幾何圖形分類的想法。二、知識構(gòu)造和內(nèi)容定位1知識構(gòu)造框圖 2內(nèi)容定位 1歐拉公式及其證明經(jīng)過合情推理，由大量凸多面體圖形歸納而得到歐拉公式：面數(shù)-邊數(shù)+點數(shù)=2，我們發(fā)現(xiàn)，當把圖形拉伸變形時，歐拉公式不會改動。在此根底上，我們可以給出歐拉公式的證明。2還有哪些圖形滿足歐

29、拉公式如下圖，把一個多面體放進一個球的內(nèi)部，在多面體中找一個點，然后向外作射線，那么每個點都能映在球面上，就好似往多面體內(nèi)吹氣，最后這個多面體就變得跟球“差不多了。利用這種方法可以給出歐拉公式的不同證明。 除了凸多面體，還有一些空間圖形，例如，蹄形磁鐵如下圖，也滿足歐拉公式。 現(xiàn)實上，歐拉公式在拓撲變換下是不變的。兩個圖形，假設(shè)存在一個拓撲變換把其中的一個變?yōu)榱硪粋€，就稱這兩個圖形是同胚的。我們可以得到這樣的結(jié)論： = 1 * GB3 球面滿足歐拉公式 = 2 * GB3 凡是和球面同胚的多面體都滿足歐拉公式。3有沒有不滿足歐拉公式的圖形如下圖這個掏空的長方體與“游泳圈同胚。由于“游泳圈無法和

30、球面同胚，這個“長方體不滿足歐拉公式，即，凡是和“游泳圈同胚的多面體都不滿足歐拉公式。4歐拉示性數(shù)由上可以看出，同是閉曲面卻存在著本質(zhì)的不同。為了對閉曲面進展分類，我們討論了虧格和歐拉示性數(shù)的概念。5幾何直觀和函數(shù)思想幾何直觀是本專題的中心。可以很好的把握圖形的才干也是我們設(shè)置本專題的目的之一。教師需求協(xié)助 學生建立幾何直觀的才干。拓撲變換的思想也就是函數(shù)思想，它貫穿在本專題的一直。另外，如前所述，本專題表達的分類思想，對幾何來說是本質(zhì)的，是需求教師和學生深切領(lǐng)會的重要思想。三、重、難點重點和難點： 發(fā)現(xiàn)歐拉公式和證明歐拉公式的過程。 建立拓撲變換的概念四、教學要求 1把合情推理和演繹推理有機

31、的結(jié)合起來 發(fā)現(xiàn)歐拉公式的過程是一個合情推理的過程，證明的過程是一個演繹推理的過程，希望同窗們在這個過程中去領(lǐng)會這兩種推理的關(guān)系。 2在教學過程中，協(xié)助 學生經(jīng)過直觀感知、操作確認、思辨論證、拓展運用的過程來學習這部分內(nèi)容。 3在教學過程強調(diào)空間想象才干，是這部分教學的重要環(huán)節(jié)。4在教學過程中，應(yīng)該協(xié)助 學生拓展視野，了解這部分內(nèi)容在數(shù)學開展中的作用，領(lǐng)會數(shù)學文化的意義 5協(xié)助 學生寫好讀書報告。五、文獻參考1 R. 柯朗 和 H. 羅賓：什么是數(shù)學，左平等譯，復(fù)旦大學，20052 王敬庚：直觀拓撲，北京師范大學，19952.6 三等分角與數(shù)域擴展一、背景在數(shù)學歷史的開展中，曾經(jīng)有過許許多多的

32、著名數(shù)學問題，例如，古希臘的三大作圖問題，歌德巴赫猜測，費瑪大定理，哥尼斯堡七橋問題，四色問題，等等。在一定意義上說，處理這些問題的過程就是數(shù)學歷史開展的過程，有人這么描畫：問題是數(shù)學的心臟。在處理這些問題的過程中，創(chuàng)建了很多新的數(shù)學分支，例如，哥尼斯堡七橋問題是引發(fā)圖論和拓撲學的重要問題。樹立問題認識，提高發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、處理問題的才干，是數(shù)學教育最根本的義務(wù)。用尺規(guī)三等分角等三大幾何作圖問題是數(shù)學歷史上著名的問題。三等分角的問題曾經(jīng)在很長一段時間里沒有得到處理，開場人們總是尋求如何利用尺規(guī)三等分角的普通方法，經(jīng)過很長一段時間的實際和思索，人們開場疑心這些問題能否可解，從而產(chǎn)生

33、了一個新的思緒，即證明它們是不可解的。在數(shù)學的學習中，這樣思索問題的方法是很重要的，我們希望利用這個專題，協(xié)助 學生建立起這樣一種思索數(shù)學問題的方法。設(shè)置這個專題的還有一個緣由，就是時至今日，還有一些人在努力于試圖用尺規(guī)三等分角，或思索其他類似的問題，白白破費了大量的時間和精神，我們也希望經(jīng)過這個專題能使得更多的人了解這樣的歷史問題曾經(jīng)得到處理。二、知識構(gòu)造和內(nèi)容定位1知識構(gòu)造框圖作圖欣賞三大作圖問題非尺規(guī)作圖的方法尺規(guī)作圖原那么尺規(guī)作圖的范圍1能作的范圍尺規(guī)作圖的范圍2僅能作的范圍運用不能作的范圍能作的范圍倍方三等分角正十七邊形范例有理數(shù)域與尺規(guī)作圖數(shù)域擴展與尺規(guī)作圖擴域“列、擴域“樹與尺規(guī)作圖尺規(guī)作圖代數(shù)化直線的表示圓的表示數(shù)域與尺規(guī)作圖的封鎖性圓規(guī)作圖與擴域補