選修3課程的作用和定位

1、.：.；第四章 選修3課程的作用和定位第一節(jié) 選修3系列課程的作用對(duì)于系列3課程的定位和作用，“規(guī)范中已講得很清楚： “系列3和系列4是為對(duì)數(shù)學(xué)有興趣和希望進(jìn)一步提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的學(xué)生設(shè)置的，所涉的內(nèi)容都是數(shù)學(xué)的根底性內(nèi)容，反映了某些重要的數(shù)學(xué)思想。有些專題是中學(xué)課程某些內(nèi)容的延伸，有些專題是經(jīng)過(guò)典型實(shí)例引見(jiàn)數(shù)學(xué)的一些運(yùn)用方法。這些專題的學(xué)習(xí)有利于學(xué)生的終身開(kāi)展，有利于擴(kuò)展學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，有利于提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、運(yùn)用價(jià)值、文化價(jià)值的認(rèn)識(shí)，有助于學(xué)生進(jìn)一步打好數(shù)學(xué)根底，提高應(yīng)意圖識(shí)?！皩ｎ}力求深化淺出、通俗易懂，進(jìn)一步提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的才干，分析和處理問(wèn)題的才干，讓學(xué)生掌握和領(lǐng)會(huì)一些重

2、要的概念、結(jié)論和思想方法，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的作用，開(kāi)展應(yīng)意圖識(shí)?！跋盗?所涉及的內(nèi)容都是根底性的數(shù)學(xué)內(nèi)容，不僅應(yīng)鼓勵(lì)那些希望在理工、經(jīng)濟(jì)等方面開(kāi)展的學(xué)生積極選修，同時(shí)也應(yīng)鼓勵(lì)那些希望在人文、社會(huì)科學(xué)方面開(kāi)展的學(xué)生選修這些課程。另外，對(duì)系列3課程建立、教學(xué)方式、評(píng)價(jià)方式等，都給出了詳細(xì)的闡明，這里就不一一反復(fù)了。在系列3教學(xué)中應(yīng)該留意的幾個(gè)問(wèn)題：系列3是根底。系列3不是學(xué)習(xí)大學(xué)數(shù)學(xué)的預(yù)備課程，也不是為未來(lái)預(yù)備進(jìn)入數(shù)學(xué)系學(xué)習(xí)的學(xué)生做預(yù)備。 在系列3的教學(xué)中，應(yīng)該把重點(diǎn)放在引見(jiàn)根本的數(shù)學(xué)思想。 在系列3的教學(xué)中，要不斷地開(kāi)發(fā)資源，把難的東西變?nèi)菀?，用詳?xì)來(lái)反映普通，用直觀來(lái)反映籠統(tǒng)。系列3課程是不進(jìn)入高考的

3、課程，但是學(xué)習(xí)這部分課程對(duì)于提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)、培育學(xué)生處理問(wèn)題的才干和激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣是非常有用的。各個(gè)學(xué)校可以按照各自的情況有選擇性地逐漸開(kāi)設(shè)這些專題。下面我們按專題引見(jiàn)：背景，知識(shí)構(gòu)造和內(nèi)容定位，重、難點(diǎn)定位，教學(xué)要求，參考文獻(xiàn)等。第二節(jié) 選修3各專題的定位和教學(xué)要求2.1數(shù)學(xué)史選講一、背景每一個(gè)學(xué)生從小學(xué)起，直到大學(xué)中的理工農(nóng)醫(yī)等學(xué)科，乃至不少專業(yè)的研討生階段，都要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，近年來(lái)有一種新的趨勢(shì)，就是人文社會(huì)科學(xué)的學(xué)生也需求繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，為什么我們的學(xué)生要學(xué)那么長(zhǎng)時(shí)間的數(shù)學(xué)？數(shù)學(xué)為什么這么重要？這是由數(shù)學(xué)本身的特點(diǎn)、作用、意義所決議的。例如，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有利于培育我們的思想才干，如：推實(shí)際

4、證的才干、空間想象才干、計(jì)算才干、籠統(tǒng)歸納才干、數(shù)據(jù)處置才干、以及發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、處理問(wèn)題的才干等等；此外，還會(huì)有利于提高我們處理日常生活中遇到的各種實(shí)踐問(wèn)題，等等。開(kāi)設(shè)本專題還有一個(gè)非常重要的目的，就是希望能從數(shù)學(xué)開(kāi)展的歷史來(lái)認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)。每一門(mén)學(xué)科都有本人的歷史，對(duì)于數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)，更是源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，她與人類的文明共同開(kāi)展，本專題的學(xué)習(xí)將協(xié)助 學(xué)生從歷史的角度，了解數(shù)學(xué)在人類開(kāi)展史上所起的不可估量的意義，了解數(shù)學(xué)文化在人類文化中的位置，了解數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的歷史淵源和聯(lián)絡(luò)，了解數(shù)學(xué)在人們?nèi)粘Ｉ钪械淖饔茫私鈹?shù)學(xué)開(kāi)展中艱苦的事件，了解為數(shù)學(xué)開(kāi)展嘔心瀝血的出色人物，等等。我們希望經(jīng)過(guò)開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)史

5、選講開(kāi)辟學(xué)生的視野，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的價(jià)值、意義、作用的認(rèn)識(shí)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和動(dòng)力。這對(duì)于未來(lái)在各行各業(yè)任務(wù)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，都會(huì)起到積極的作用。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史選講這門(mén)課程，不僅可以開(kāi)辟本人的視野，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，而且它將會(huì)對(duì)日常的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)起到積極的作用，對(duì)于一些重要的數(shù)學(xué)概念，經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)加深對(duì)它們的認(rèn)識(shí)和了解。數(shù)學(xué)史選講是不進(jìn)入高考的，我們希望教師和學(xué)生不要以過(guò)分“功利的目光來(lái)對(duì)待這件事情，應(yīng)該值得思索的地方是，一旦提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，加強(qiáng)了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動(dòng)力，了解了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的作用，那么他們的潛在能量是不可估量的。二、知識(shí)構(gòu)造和內(nèi)容定位1知識(shí)構(gòu)造框圖在“數(shù)學(xué)史選講中，選取了數(shù)學(xué)開(kāi)展史

6、上重要的并且和高中數(shù)學(xué)教學(xué)嚴(yán)密聯(lián)絡(luò)的內(nèi)容，不同的教材有不同的選擇，例如，可以采取以下的選擇：第一講，數(shù)學(xué)開(kāi)展的幾個(gè)重要時(shí)期第二講，代數(shù)學(xué)的開(kāi)展第三講，幾何學(xué)的開(kāi)展第四講，微積分分析的開(kāi)展第五講，無(wú)限集合論數(shù)理邏輯計(jì)算機(jī)科學(xué)第六講，名題賞析。我們可以用以下框圖詳細(xì)表示 2內(nèi)容定位1在高中課程的“數(shù)學(xué)史選講中，一定要結(jié)合高中學(xué)生的認(rèn)知程度和知識(shí)根底。2在高中課程的“數(shù)學(xué)史選講中，不強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)史的體系嚴(yán)密，可以從中選擇幾個(gè)可以引起中學(xué)生興趣的專題。 3在高中課程的“數(shù)學(xué)史選講中，選材一定要生動(dòng)活潑。三、教學(xué)要求“數(shù)學(xué)史選講專題不是系統(tǒng)地講授數(shù)學(xué)史。主要是結(jié)合中、小學(xué)有關(guān)的數(shù)學(xué)內(nèi)容，例如，對(duì)于一些重要的

7、數(shù)學(xué)概念，可以經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)加深對(duì)它們的認(rèn)識(shí)和了解。也可以經(jīng)過(guò)引見(jiàn)相關(guān)的史料，或數(shù)學(xué)開(kāi)展的梗概，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的價(jià)值、意義、作用的認(rèn)識(shí)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和動(dòng)力。也可以結(jié)合中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容較系統(tǒng)地引見(jiàn)一些專題。如：數(shù)學(xué)開(kāi)展概論、幾何開(kāi)展史歐式幾何、非歐幾何、分形幾何等、代數(shù)開(kāi)展史數(shù)與符號(hào)、方程等、微積分等。還可以引見(jiàn)一些重要的數(shù)學(xué)問(wèn)題，如：費(fèi)馬大定理、歐拉公式、集合的勢(shì)等，經(jīng)過(guò)這些問(wèn)題使學(xué)生了解數(shù)學(xué)的開(kāi)展，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。在開(kāi)設(shè)“數(shù)學(xué)史選講的過(guò)程中，實(shí)驗(yàn)區(qū)大體有兩種不同的講授方式，一種是集中教學(xué)；另一種是把“數(shù)學(xué)史選講的各個(gè)專題插入到日常教學(xué)中，例如，在講授“立體幾何初步時(shí)，可以引見(jiàn)

8、幾何開(kāi)展史，在講授“平面向量時(shí)，可以引見(jiàn)運(yùn)算在數(shù)學(xué)開(kāi)展中的作用，在講授“導(dǎo)數(shù)及其運(yùn)用時(shí)，可以引見(jiàn)微積分開(kāi)展史以及近代分析學(xué)的一些情況，等等。從實(shí)驗(yàn)區(qū)的情況來(lái)看，“數(shù)學(xué)史選講是一個(gè)受學(xué)生歡迎的專題，教師在教學(xué)中應(yīng)認(rèn)識(shí)到：本專題可以協(xié)助 教師養(yǎng)成一個(gè)不斷開(kāi)發(fā)數(shù)學(xué)資源的習(xí)慣，使得日常教學(xué)更加豐富、生動(dòng)和深化；本專題可以更好的把握日常教學(xué)中某些知識(shí)點(diǎn)的本質(zhì)，以及他們?cè)谡麄€(gè)數(shù)學(xué)中的位置；教師應(yīng)在日常教學(xué)中，經(jīng)過(guò)對(duì)每一部分?jǐn)?shù)學(xué)史內(nèi)容的引見(jiàn)，引起學(xué)生的興趣。在本專題的教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生寫(xiě)好讀書(shū)報(bào)告，這是提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要載體，希望教師在這方面要下功夫。建議教師在條件允許的情況下，積極發(fā)明條件，開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)史選講

9、這一課程，把他作為提升個(gè)人專業(yè)素養(yǎng)的一個(gè)重要渠道。五、文獻(xiàn)參考1 李文林：數(shù)學(xué)史概論，高等教育，2002 2 李文林：文明之光圖說(shuō)數(shù)學(xué)史，山東教育，20053 張順燕：數(shù)學(xué)的源與流，高等教育，20004 張順燕：數(shù)學(xué)的美與理，北京大學(xué)，2004 5 M. 克萊因：古今數(shù)學(xué)思想，張理京等譯，上?？茖W(xué)技術(shù)，19796 A. 亞歷山大洛夫等，數(shù)學(xué)它的內(nèi)容、方法和意義，孫小禮等譯，19587 M. 克萊因：現(xiàn)代世界中的數(shù)學(xué)，齊民友等譯，上海教育，20042.2 信息平安與密碼一、背景進(jìn)入21世紀(jì)，“信息是我們聽(tīng)到或看到最多的詞匯之一。我們天天都在與信息打交道，比如收發(fā)信件、聽(tīng)報(bào)告、采集數(shù)據(jù)、看照片、影

10、視等等，交流信息的方式也是多種多樣的，如當(dāng)面交談、交流、發(fā)送電報(bào)、手語(yǔ)、旗語(yǔ)等如今還可以用電子郵件、可視等方式來(lái)交流和傳送信息有些信息是公開(kāi)的，大家都可以知道但是，也有一些信息是需求嚴(yán)密的，比如銀行里的存款，僅僅希望本人人知道，不希望讓“外人知道。政治、軍事、外交、金融等活動(dòng)中，信息平安更是一件特別重要的事情.為了保證信息的平安，在信息傳送的過(guò)程中，經(jīng)常要運(yùn)用密碼，進(jìn)展嚴(yán)密通訊。經(jīng)過(guò)本專題的學(xué)習(xí)，我們將了解信息平安的根本原理、根本方法以及在社會(huì)開(kāi)展中的重要意義，并了解數(shù)學(xué)在信息平安中不可替代的作用。二、知識(shí)構(gòu)造和內(nèi)容定位1知識(shí)構(gòu)造框圖2內(nèi)容定位在本專題中，以下幾點(diǎn)是需求特別留意的。 1認(rèn)識(shí)映射

11、函數(shù)在信息平安中的作用。當(dāng)甲、乙雙方傳送信息時(shí)，為了不使信息被第三者知道，通常的作法是用密碼對(duì)信息加密。比如，5是一個(gè)信息，甲要把5通知乙，甲在發(fā)送信息之前，先將5加3，然后將8傳輸給乙。乙收到加密后的信息8，再用8減去3就可以獲取原來(lái)的信息。加3是加密的過(guò)程，減3是解密的過(guò)程，加3和減3是甲、乙事先商定好的，這個(gè)過(guò)程可以用圖示明晰地表示出來(lái)。在處理這件事情的過(guò)程中，加密和解密是最重要的。自古以來(lái)，人們發(fā)明了許多加密和解密的方法。由于人們不斷地尋求破譯加密信息的方法，所以對(duì)密碼的信息平安性能的要求不斷提高。加密和解密的方法在不斷地開(kāi)展。從上圖不難看出，加密的過(guò)程其實(shí)就是映射函數(shù)作用的過(guò)程。加密

12、就是把函數(shù)作用在信息上，得到函數(shù)值加密的信息的過(guò)程；解密的過(guò)程其實(shí)就是函數(shù)反作用的過(guò)程，就是把函數(shù)值加密的信息復(fù)原成自變量的值原來(lái)的信息的過(guò)程。不難看出，加密函數(shù)和解密函數(shù)是互為反函數(shù)的，顯然，加密函數(shù)是一個(gè)一一對(duì)應(yīng)的映射，這樣就可以保證“加得上去也能“解得下來(lái)。人們希望加密函數(shù)要簡(jiǎn)單，即加密要容易；解密時(shí)，對(duì)知道密碼的人要容易；對(duì)不知道密碼的人要很困難，甚至無(wú)法解密。要得到這樣的加密函數(shù)和解密函數(shù)，靠的是數(shù)學(xué)中函數(shù)的思想。2單向函數(shù)與公開(kāi)密鑰原理由上可知，加密函數(shù)和解密函數(shù)是互為反函數(shù)的，即，加密函數(shù)是一個(gè)一一對(duì)應(yīng)的映射，記作f，它存在反函數(shù)f-1，顯然有：f-1f(x)=x。假設(shè)能找到這樣

13、一種加密函數(shù)f加密密碼，即使把它公開(kāi)，人們也無(wú)法在我們希望的有限時(shí)間內(nèi)確定它的反函數(shù)f-1解密密碼。也就是說(shuō)，假設(shè)我們把加密函數(shù)公開(kāi)，人們也無(wú)法找到解密函數(shù)來(lái)破解密碼，我們把這樣的加密函數(shù)稱為單向函數(shù)。在普通的密碼體制中，通訊雙方要記住彼此的加密密碼和解密密碼。例如，n=100個(gè)單位要相互傳輸信息，那么每個(gè)單位都需求記住99對(duì)加密、解密的密碼。整個(gè)系統(tǒng)需求約等于5000對(duì)加密、解密密碼。而且還經(jīng)常需求改換密碼，以加強(qiáng)嚴(yán)密功能。假設(shè)單位的個(gè)數(shù)n更大，情況就更復(fù)雜。有了單向函數(shù)就可以把加密函數(shù)密碼公開(kāi)，一切公開(kāi)的加密函數(shù)編成一個(gè)加密函數(shù)密碼本，供人們查閱。對(duì)于100個(gè)單位只需求公開(kāi)100個(gè)加密函數(shù)

14、密碼，而每一個(gè)單位只需求記住一個(gè)解密函數(shù)密碼就可以了。我們把這種體制稱為公開(kāi)密鑰體制。公開(kāi)密鑰系統(tǒng)的詳細(xì)任務(wù)原理如下：用戶需求把信息發(fā)給用戶B，操作程序如下： = 1 * roman i用戶在公開(kāi)的加密密碼本上查找到B的加密密鑰f； = 2 * roman ii用戶A用f對(duì)信息進(jìn)展加密，得到f，并將密文發(fā)給用戶B； = 3 * roman iii用戶B收到密文，用本人的解密密鑰f-1進(jìn)展解密，得到f-1f-1f。這樣，用戶B就收到了用戶發(fā)來(lái)的信息。其他人即使知道密文是發(fā)給用戶B的，也能查到B的加密密鑰f，但是由于從f求f-1非常困難，在需求的嚴(yán)密時(shí)間內(nèi)是不能把恢復(fù)成明文的。采用這種公開(kāi)密鑰體制

15、，大大減少了每個(gè)單位保管的密鑰數(shù)量，從而可以減少很多失誤。嚴(yán)密通訊體系的信息平安程度因此大大提高。3在學(xué)習(xí)本專題的過(guò)程中，需求掌握常見(jiàn)的密碼，例如，愷撒碼、轉(zhuǎn)置碼、流密碼、RSA公鑰體制、離散對(duì)數(shù)公鑰方案等，重要的是學(xué)會(huì)運(yùn)用這些密碼，但是，要想弄懂這些密碼的數(shù)學(xué)原理是比較困難的事情，需用到數(shù)論的有關(guān)知識(shí)，對(duì)普通的學(xué)生，重要的是了解信息平安的根本原理。有興趣的同窗可以進(jìn)一步搞清楚這些數(shù)學(xué)原理，對(duì)于提高他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)是非常好的一種訓(xùn)練。三、重、難點(diǎn)本專題的重、難點(diǎn)是了解嚴(yán)密通訊的根本方式和公開(kāi)密鑰原理。四、教學(xué)要求1在本專題的教學(xué)中，應(yīng)該把了解嚴(yán)密通訊的根本方式和公開(kāi)密鑰原理放在重要的位置上，不要

16、把過(guò)多的精神放在數(shù)學(xué)推導(dǎo)上，可以針對(duì)學(xué)生的不同情況提出不同的要求，對(duì)于感興趣的同窗可以引導(dǎo)他們掌握數(shù)學(xué)原理。2在本專題的教學(xué)中，可以設(shè)置一些活動(dòng)，經(jīng)過(guò)操作、實(shí)際來(lái)協(xié)助 學(xué)生了解嚴(yán)密通訊的根本方式和公開(kāi)密鑰原理。3在本專題的教學(xué)中，對(duì)于數(shù)論的知識(shí)一定要把握好“度，能掌握的同窗就掌握，不用對(duì)全體學(xué)生作一致要求。4在本專題的教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生寫(xiě)好讀書(shū)報(bào)告，這是提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要手段，希望教師在這方面要下功夫。五、文獻(xiàn)參考1 閔嗣鶴 嚴(yán)士?。撼醯葦?shù)論第三版，高等教育，20032 萬(wàn)哲先 劉木蘭：談?wù)劽艽a，人民教育，19853 馮克勤：初等數(shù)論及運(yùn)用，北京師范大學(xué)，20034 COMAP：數(shù)學(xué)的原理與實(shí)

17、際，申大維等譯，高等教育和施普林格，19985 談祥柏：編碼縱橫談，上海教育，1999年2.3 球面上的幾何一、背景我們生活在地球上，地球是個(gè)球體，現(xiàn)實(shí)生活中也有許多球體，很自然的，我們需求了解球體的幾何性質(zhì)，也需求了解球面上圖形的幾何性質(zhì)。這些性質(zhì)的討論對(duì)于航空、大地丈量、宇宙飛行等方面的研討是有重要意義的。在17世紀(jì)前后，球面幾何就曾經(jīng)成為人們關(guān)注的一個(gè)研討方向。球面幾何討論的問(wèn)題是球面上點(diǎn)、線的位置關(guān)系、度量關(guān)系和其他的幾何性質(zhì)。所以，了解和掌握一些根本的球面幾何的性質(zhì)，對(duì)于學(xué)習(xí)和生活都是非常有益的。在中小學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們更多接觸到的是“直的東西，例如，直線、平面，等等，用代數(shù)的言語(yǔ)

18、來(lái)說(shuō)，這些是“線性的東西，例如，二元一次方程、線性方程組，等等。當(dāng)然我們也學(xué)習(xí)了一些“彎曲的東西，例如，圓、橢圓、拋物線、雙曲線，等等，用代數(shù)的言語(yǔ)來(lái)說(shuō)，這些就是一元二次方程、二元二次方程，等等。經(jīng)過(guò)學(xué)習(xí)球面幾何可以提高空間想象才干，前面我們?cè)?jīng)說(shuō)過(guò)空間想象才干、幾何直觀才干、空間洞察力等等，這些都是非常重要、非常根本的才干，幾何課程的目的之一就是要培育學(xué)生的這些才干，球面幾何是一個(gè)很好的載體。本專題利用綜合法來(lái)研討球面幾何。根本的想法是，把球面幾何與平面幾何進(jìn)展類比。我們希望學(xué)生能很好地用類比的方法，來(lái)學(xué)習(xí)球面幾何。平面幾何的性質(zhì)是我們所熟習(xí)的，我們希望學(xué)生經(jīng)過(guò)不斷領(lǐng)會(huì)球面和平面上圖形性質(zhì)的

19、差別：哪些是一樣的？哪些是不同的?在類比的過(guò)程中來(lái)逐漸感受產(chǎn)生這些差別的本質(zhì)緣由。球面幾何是與平面幾何不同的數(shù)學(xué)模型。它們都有著廣泛的運(yùn)用。經(jīng)過(guò)本專題的學(xué)習(xí)應(yīng)認(rèn)識(shí)到，幾何中存在著不同的幾何模型，初步認(rèn)識(shí)到可以有不同的非歐幾何，它們是有意義的。二、知識(shí)構(gòu)造和內(nèi)容定位 1知識(shí)構(gòu)造框圖和平面幾何的類比：2內(nèi)容定位 1學(xué)習(xí)平面幾何的根本思緒是綜合幾何和圖形運(yùn)動(dòng)，這也是學(xué)習(xí)球面幾何的根本思緒，但是還需求有很好的空間想象力。例如，計(jì)算以北京、上海、重慶為頂點(diǎn)的球面三角形的邊長(zhǎng)和面積，需求根據(jù)空間想象力畫(huà)出空間圖形如以下圖所示 2球面幾何的根本概念可以類比平面幾何給出 平面上兩點(diǎn)的間隔 ：過(guò)這兩點(diǎn)之間的線段

20、長(zhǎng)度。球面上兩點(diǎn)的間隔 ：經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)的大圓上以A、B為端點(diǎn)的劣弧的長(zhǎng)度。對(duì)于球面上的恣意兩點(diǎn)，在數(shù)學(xué)上可以嚴(yán)厲證明過(guò)這兩點(diǎn)的大圓的劣弧長(zhǎng)度是最短的。應(yīng)該把大圓上這段劣弧的長(zhǎng)度看作是這兩點(diǎn)的間隔 。如下圖平面直線：直線沒(méi)有端點(diǎn)，向兩個(gè)方向無(wú)限延伸。球面直線：過(guò)球面上兩點(diǎn)A、B的大圓叫作過(guò)A、B兩點(diǎn)的球面直線。大圓是封鎖的、有限的。如下圖平面上的線段：直線上兩點(diǎn)以及這兩點(diǎn)之間的部分。球面上的線段：過(guò)球面上兩點(diǎn)A、B的大圓的劣弧叫做銜接A、B兩點(diǎn)的線段。如下圖平面角：過(guò)平面上一點(diǎn)A的兩條射線AB、AC構(gòu)成的圖形叫做角。球面角：從球面S上的一點(diǎn)出發(fā)的兩條大圓半弧所構(gòu)成的圖形叫做球面角。如下圖平面三

21、角形：在平面上，假設(shè)三點(diǎn)不在同一條直線上，那么連結(jié)三點(diǎn)的線段組成的圖形叫做三角形.球面三角形：在球面S上，假設(shè)三點(diǎn)不在同一個(gè)大圓上，并且三點(diǎn)中沒(méi)有對(duì)徑點(diǎn)，那么由銜接三點(diǎn)的大圓的劣弧組成的圖形叫做球面三角形。 3球面幾何的根本結(jié)論可以類比平面幾何得到一樣的性質(zhì)：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊邊角關(guān)系：大角對(duì)大邊；大邊對(duì)大角 三角形的全等的斷定：SSS ，SAS，ASA不同性質(zhì)：平面上的恣意兩條直線相交或平行。球面上恣意兩條直線都相交。平面三角形的內(nèi)角和等于180度。球面三角形的內(nèi)角和大于180度。平面三角形類似的斷定：AAA。球面三角形全等的斷定：AAA。 平面三角形的余弦定理：球面三角

22、形邊的余弦定理： 平面三角形的正弦定理： 球面三角形的正弦定理： 三、重、難點(diǎn)重點(diǎn)：在球面上建立根本概念難點(diǎn)： 極三角形和三角形的面積定理四、教學(xué)要求1在講授球面幾何時(shí)，要先復(fù)習(xí)平面幾何的有關(guān)知識(shí)。2在講授球面幾何中的概念、性質(zhì)時(shí)，要與平面幾何中的概念、性質(zhì)作類比。并且這種類比的方法要貫穿整個(gè)球面幾何教學(xué)的一直。3在球面幾何的教學(xué)中，幾何直觀，畫(huà)圖的習(xí)慣、實(shí)物操作、信息技術(shù)等，都是協(xié)助 學(xué)生建立空間想象力的方法。五、文獻(xiàn)參考1 項(xiàng)武義：根底幾何學(xué)，人民教育，20042 項(xiàng)武義 王申懷 潘養(yǎng)廉：古典幾何學(xué)，復(fù)旦大學(xué)，19862.4 對(duì)稱與群一、背景“對(duì)稱景象是現(xiàn)實(shí)生活中最常見(jiàn)的景象，例如，建筑物

23、的對(duì)稱性，生物的對(duì)稱性，化學(xué)構(gòu)造和物理構(gòu)造的對(duì)稱性，各種圖案的對(duì)稱性，等等。根據(jù)豐富多彩、各式各樣的對(duì)稱形狀；人們?cè)獾絾l(fā)，發(fā)明出了各種各樣的對(duì)稱圖形。如何從數(shù)學(xué)上來(lái)描寫(xiě)這些“對(duì)稱景象呢？“對(duì)稱的數(shù)學(xué)背景是什么呢？“群就是描寫(xiě)對(duì)稱景象的數(shù)學(xué)概念，“群是描畫(huà)對(duì)稱的數(shù)學(xué)工具，群是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中最根本、最重要的概念。 “群產(chǎn)生于用根式求解方程的問(wèn)題，它在整個(gè)數(shù)學(xué)的開(kāi)展史上有著重要的意義。了解一些群的概念對(duì)于學(xué)生未來(lái)的開(kāi)展是非常有益的。我們可以經(jīng)過(guò)豐富的對(duì)稱幾何圖形，使學(xué)生對(duì)變換，特別是對(duì)稱變換，變換的合成等，有所認(rèn)識(shí)和了解，在此根底上，讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)和感受“群意義。二、知識(shí)構(gòu)造和內(nèi)容定位1知識(shí)構(gòu)造框圖 2內(nèi)

24、容定位 本專題首先給出大量的圖形，特別是對(duì)稱圖形。讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到在自然界存在著大量的對(duì)稱景象。然后讓學(xué)生從直觀上認(rèn)識(shí)到不同圖形的對(duì)稱性是有差別的。從而產(chǎn)生問(wèn)題：如何描畫(huà)具有不同對(duì)稱性的圖形？2先從詳細(xì)的圖形出發(fā)，例如，正三角形、正方形、正五邊形等，先引入學(xué)生熟知的對(duì)稱變換：軸對(duì)稱變換。經(jīng)過(guò)對(duì)它的分析，再針對(duì)不同圖形，引入反射、平移、滑動(dòng)反射這幾種對(duì)稱變換。3再?gòu)囊粋€(gè)圖形對(duì)稱變換的多少來(lái)闡明該圖形對(duì)稱性的好壞。即，以為一個(gè)圖形的對(duì)稱變換越多，它的對(duì)稱性越好。4進(jìn)而針對(duì)一些詳細(xì)的對(duì)稱圖形，討論這些圖形的對(duì)稱變換之間的關(guān)系。引入對(duì)稱變換合成的概念，給出變換的乘法運(yùn)算。分析這種乘法運(yùn)算的性質(zhì)。并討論變換

25、的逆變換。在此根底上，闡明一個(gè)圖形的全體對(duì)稱變換的特性，給出該圖形對(duì)稱變換群的概念。三、重、難點(diǎn)重點(diǎn)：認(rèn)識(shí)對(duì)稱變換與對(duì)稱變換的合成，在此根底上構(gòu)成群的概念。難點(diǎn)：群的普通概念。四、教學(xué)要求在對(duì)稱與群的教學(xué)過(guò)程中，一定要強(qiáng)調(diào)從詳細(xì)圖形的對(duì)稱到籠統(tǒng)的群的一系列研討過(guò)程，分別是：詳細(xì)的對(duì)稱圖形到詳細(xì)的對(duì)稱變換從詳細(xì)的平面對(duì)稱變換到平面的普通對(duì)稱變換從對(duì)稱變換到對(duì)稱變換合成從對(duì)稱變換的合成到建立平面對(duì)稱變換群從平面對(duì)稱變換群到群的籠統(tǒng)定義教師在教學(xué)的過(guò)程中要留意展現(xiàn)這5個(gè)過(guò)程，這樣就可以給學(xué)生一個(gè)清晰的認(rèn)識(shí)群的思緒，更能加深學(xué)生對(duì)與群這樣一個(gè)籠統(tǒng)概念的了解。五、文獻(xiàn)參考1 段學(xué)復(fù)：對(duì)稱2 H. 外爾：

26、對(duì)稱，馮承天等譯，上?？萍冀逃?，20023 COMAP：數(shù)學(xué)的原理與實(shí)際，申大維等譯，高等教育和施普林格，19982.5 歐拉公式與閉曲面分類 一、背景分類是數(shù)學(xué)的根本思想，例如，用未知數(shù)的次數(shù)來(lái)對(duì)方程進(jìn)展分類，用邊數(shù)來(lái)對(duì)平面上的圖形進(jìn)展分類，用群、環(huán)、域來(lái)對(duì)代數(shù)構(gòu)造進(jìn)展分類。幾何學(xué)的主要義務(wù)之一也是對(duì)圖形進(jìn)展分類。按照不同的原那么可以得到不同的分類，例如，利用全等可以對(duì)圖形分類、利用類似可以對(duì)圖形分類、利用保距變換也可以對(duì)圖形進(jìn)展分類，我們還可以找出對(duì)于曲面的分類方法。當(dāng)我們把一個(gè)圖形做變換時(shí)，這個(gè)圖形的一些性質(zhì)能夠不再堅(jiān)持。例如，思索下面一個(gè)圓和圓中兩條相互垂直的直徑。我們把它緊縮，如圖：

27、緊縮后，圓變成了橢圓，圓心到圓上的間隔 相等這一性質(zhì)不再成立，兩條直徑也不再垂直。好似原來(lái)圖形的性質(zhì)都不再堅(jiān)持了。但是，還是有一些性質(zhì)沒(méi)有改動(dòng)。例如，直線仍變?yōu)橹本€，原來(lái)的兩條直徑的交點(diǎn)仍是這兩條直線段的中點(diǎn)。那些在變換下堅(jiān)持不變的性質(zhì)，看來(lái)是圖形更本質(zhì)的性質(zhì)。給定一類變換，我們可以問(wèn)，在這類變換下，幾何圖形的哪些性質(zhì)堅(jiān)持不變，這些堅(jiān)持不變的性質(zhì)構(gòu)成了和這類變換相關(guān)的幾何。這種按幾何不變性和不變量來(lái)對(duì)幾何分類的思想，是現(xiàn)代幾何學(xué)重要的思想。而過(guò)去我們根本上是按研討方法來(lái)對(duì)幾何學(xué)進(jìn)展分類的。如，綜合幾何、解析幾何。中學(xué)學(xué)過(guò)的歐拉公式在許多變換下是不變的。特別是，它在一種非常普通的變換下不變。這種

28、變換只需求：變換是一一對(duì)應(yīng)的因此它有逆變換且變換和逆變換都是延續(xù)的。換句話說(shuō)，我們可以恣意地拉伸、扭曲幾何圖形，只是不許把圖形撕裂，也不許把圖形中不同的部分粘合在一同。這種變換在數(shù)學(xué)上叫做拓?fù)渥儞Q。拓?fù)鋵W(xué)和代數(shù)學(xué)一樣，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的根底。在本專題中，我們希望學(xué)生經(jīng)過(guò)歐拉公式的討論，對(duì)拓?fù)渥儞Q的思想有一點(diǎn)領(lǐng)會(huì)，了解用不變性和不變量對(duì)幾何圖形分類的想法。二、知識(shí)構(gòu)造和內(nèi)容定位1知識(shí)構(gòu)造框圖 2內(nèi)容定位 1歐拉公式及其證明經(jīng)過(guò)合情推理，由大量凸多面體圖形歸納而得到歐拉公式：面數(shù)-邊數(shù)+點(diǎn)數(shù)=2，我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)把圖形拉伸變形時(shí)，歐拉公式不會(huì)改動(dòng)。在此根底上，我們可以給出歐拉公式的證明。2還有哪些圖形滿足歐

29、拉公式如下圖，把一個(gè)多面體放進(jìn)一個(gè)球的內(nèi)部，在多面體中找一個(gè)點(diǎn)，然后向外作射線，那么每個(gè)點(diǎn)都能映在球面上，就好似往多面體內(nèi)吹氣，最后這個(gè)多面體就變得跟球“差不多了。利用這種方法可以給出歐拉公式的不同證明。 除了凸多面體，還有一些空間圖形，例如，蹄形磁鐵如下圖，也滿足歐拉公式。 現(xiàn)實(shí)上，歐拉公式在拓?fù)渥儞Q下是不變的。兩個(gè)圖形，假設(shè)存在一個(gè)拓?fù)渥儞Q把其中的一個(gè)變?yōu)榱硪粋€(gè)，就稱這兩個(gè)圖形是同胚的。我們可以得到這樣的結(jié)論： = 1 * GB3 球面滿足歐拉公式 = 2 * GB3 凡是和球面同胚的多面體都滿足歐拉公式。3有沒(méi)有不滿足歐拉公式的圖形如下圖這個(gè)掏空的長(zhǎng)方體與“游泳圈同胚。由于“游泳圈無(wú)法和

30、球面同胚，這個(gè)“長(zhǎng)方體不滿足歐拉公式，即，凡是和“游泳圈同胚的多面體都不滿足歐拉公式。4歐拉示性數(shù)由上可以看出，同是閉曲面卻存在著本質(zhì)的不同。為了對(duì)閉曲面進(jìn)展分類，我們討論了虧格和歐拉示性數(shù)的概念。5幾何直觀和函數(shù)思想幾何直觀是本專題的中心?？梢院芎玫陌盐?qǐng)D形的才干也是我們?cè)O(shè)置本專題的目的之一。教師需求協(xié)助 學(xué)生建立幾何直觀的才干。拓?fù)渥儞Q的思想也就是函數(shù)思想，它貫穿在本專題的一直。另外，如前所述，本專題表達(dá)的分類思想，對(duì)幾何來(lái)說(shuō)是本質(zhì)的，是需求教師和學(xué)生深切領(lǐng)會(huì)的重要思想。三、重、難點(diǎn)重點(diǎn)和難點(diǎn)： 發(fā)現(xiàn)歐拉公式和證明歐拉公式的過(guò)程。 建立拓?fù)渥儞Q的概念四、教學(xué)要求 1把合情推理和演繹推理有機(jī)

31、的結(jié)合起來(lái) 發(fā)現(xiàn)歐拉公式的過(guò)程是一個(gè)合情推理的過(guò)程，證明的過(guò)程是一個(gè)演繹推理的過(guò)程，希望同窗們?cè)谶@個(gè)過(guò)程中去領(lǐng)會(huì)這兩種推理的關(guān)系。 2在教學(xué)過(guò)程中，協(xié)助 學(xué)生經(jīng)過(guò)直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證、拓展運(yùn)用的過(guò)程來(lái)學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容。 3在教學(xué)過(guò)程強(qiáng)調(diào)空間想象才干，是這部分教學(xué)的重要環(huán)節(jié)。4在教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)該協(xié)助 學(xué)生拓展視野，了解這部分內(nèi)容在數(shù)學(xué)開(kāi)展中的作用，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)文化的意義 5協(xié)助 學(xué)生寫(xiě)好讀書(shū)報(bào)告。五、文獻(xiàn)參考1 R. 柯朗 和 H. 羅賓：什么是數(shù)學(xué)，左平等譯，復(fù)旦大學(xué)，20052 王敬庚：直觀拓?fù)?，北京師范大學(xué)，19952.6 三等分角與數(shù)域擴(kuò)展一、背景在數(shù)學(xué)歷史的開(kāi)展中，曾經(jīng)有過(guò)許許多多的

32、著名數(shù)學(xué)問(wèn)題，例如，古希臘的三大作圖問(wèn)題，歌德巴赫猜測(cè)，費(fèi)瑪大定理，哥尼斯堡七橋問(wèn)題，四色問(wèn)題，等等。在一定意義上說(shuō)，處理這些問(wèn)題的過(guò)程就是數(shù)學(xué)歷史開(kāi)展的過(guò)程，有人這么描畫(huà)：?jiǎn)栴}是數(shù)學(xué)的心臟。在處理這些問(wèn)題的過(guò)程中，創(chuàng)建了很多新的數(shù)學(xué)分支，例如，哥尼斯堡七橋問(wèn)題是引發(fā)圖論和拓?fù)鋵W(xué)的重要問(wèn)題。樹(shù)立問(wèn)題認(rèn)識(shí)，提高發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、處理問(wèn)題的才干，是數(shù)學(xué)教育最根本的義務(wù)。用尺規(guī)三等分角等三大幾何作圖問(wèn)題是數(shù)學(xué)歷史上著名的問(wèn)題。三等分角的問(wèn)題曾經(jīng)在很長(zhǎng)一段時(shí)間里沒(méi)有得到處理，開(kāi)場(chǎng)人們總是尋求如何利用尺規(guī)三等分角的普通方法，經(jīng)過(guò)很長(zhǎng)一段時(shí)間的實(shí)際和思索，人們開(kāi)場(chǎng)疑心這些問(wèn)題能否可解，從而產(chǎn)生

33、了一個(gè)新的思緒，即證明它們是不可解的。在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，這樣思索問(wèn)題的方法是很重要的，我們希望利用這個(gè)專題，協(xié)助 學(xué)生建立起這樣一種思索數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法。設(shè)置這個(gè)專題的還有一個(gè)緣由，就是時(shí)至今日，還有一些人在努力于試圖用尺規(guī)三等分角，或思索其他類似的問(wèn)題，白白破費(fèi)了大量的時(shí)間和精神，我們也希望經(jīng)過(guò)這個(gè)專題能使得更多的人了解這樣的歷史問(wèn)題曾經(jīng)得到處理。二、知識(shí)構(gòu)造和內(nèi)容定位1知識(shí)構(gòu)造框圖作圖欣賞三大作圖問(wèn)題非尺規(guī)作圖的方法尺規(guī)作圖原那么尺規(guī)作圖的范圍1能作的范圍尺規(guī)作圖的范圍2僅能作的范圍運(yùn)用不能作的范圍能作的范圍倍方三等分角正十七邊形范例有理數(shù)域與尺規(guī)作圖數(shù)域擴(kuò)展與尺規(guī)作圖擴(kuò)域“列、擴(kuò)域“樹(shù)與尺規(guī)作圖尺規(guī)作圖代數(shù)化直線的表示圓的表示數(shù)域與尺規(guī)作圖的封鎖性圓規(guī)作圖與擴(kuò)域補(bǔ)