質點力學中守恒定律

1、關于質點力學中的守恒定律第一張，PPT共八十五頁，創(chuàng)作于2022年6月國際單位：焦耳（J ）Nm 質點由a點沿曲線運動到b點的過程中，變力 所作的功 。元功：第二張，PPT共八十五頁，創(chuàng)作于2022年6月合力的功：結論：合力對質點所作的功等于每個分力對質點作功之代數(shù)和 。第三張，PPT共八十五頁，創(chuàng)作于2022年6月在直角坐標系Oxyz中 第四張，PPT共八十五頁，創(chuàng)作于2022年6月功率是反映作功快慢程度的物理量。功率：單位時間內所作的功。平均功率：瞬時功率：瓦特（W）=（J/s）第五張，PPT共八十五頁，創(chuàng)作于2022年6月例1、設作用在質量為2kg的物體上的力F = 6t N。如果物體由

2、靜止出發(fā)沿直線運動，在頭2（s）內這力作了多少功？解：兩邊積分：第六張，PPT共八十五頁，創(chuàng)作于2022年6月2-2 動能和動能定理 動能：質點因有速度而具有的作功本領。單位：（J）設質點m在力的作用下沿曲線從a點移動到b點元功：1質點動能定理第七張，PPT共八十五頁，創(chuàng)作于2022年6月總功：質點的動能定理：合外力對質點所做的功等于質點動能的增量。第八張，PPT共八十五頁，創(chuàng)作于2022年6月2-3 勢能 機械能守恒定律一.保守力做功1. 重力做功初始位置末了位置第九張，PPT共八十五頁，創(chuàng)作于2022年6月 重力做功僅取決于質點的始、末位置za和zb，與質點經(jīng)過的具體路徑無關。 2. 萬有

3、引力作功 設質量為M的質點固定，另一質量為m的質點在M 的引力場中從a點運動到b點。cMab第十張，PPT共八十五頁，創(chuàng)作于2022年6月 萬有引力作功只與質點的始、末位置有關，而與具體路徑無關。 3. 彈性力的功xbboxamxamFx由胡克定律：第十一張，PPT共八十五頁，創(chuàng)作于2022年6月 彈性力作功只與彈簧的起始和終了位置有關，而與彈性變形的過程無關。4.保守力：作功與路徑無關，只與始末位置有關的力。第十二張，PPT共八十五頁，創(chuàng)作于2022年6月保守力的特點：保守力沿任何閉合路徑作功等于零。證明：設保守力沿閉合路徑acbda作功abcd按保守力的特點：因為：所以：證畢第十三張，PP

4、T共八十五頁，創(chuàng)作于2022年6月1. 保守力的功與勢能的關系：物體在保守力場中a、b兩點的勢能Epa與 Epb之差，等于質點由a點移動到b點過程中保守力所做的功Wab。保守力做功在數(shù)值上等于系統(tǒng)勢能增量的負值。二 . 勢能由物體的相對位置所確定的系統(tǒng)能量稱為勢能第十四張，PPT共八十五頁，創(chuàng)作于2022年6月說明：（1）勢能是一個系統(tǒng)的屬性。勢能的大小只有相對的意義，相對于勢能的零點而言。（2）（3）勢能的零點可以任意選取。 設空間r0點為勢能的零點，則空間任意一點 r的勢能為：結論： 空間某點的勢能Ep在數(shù)值上等于質點從該點移動到勢能零點時保守力做的功。第十五張，PPT共八十五頁，創(chuàng)作于2

5、022年6月2.重力勢能：（地面（h = 0）為勢能零點）（彈簧平衡位置處為勢能零點）引力勢能：（無限遠處為勢能零點）彈性勢能：第十六張，PPT共八十五頁，創(chuàng)作于2022年6月保守力與勢能的積分關系：保守力與勢能的微分關系：因為：第十七張，PPT共八十五頁，創(chuàng)作于2022年6月所以：保守力的矢量式： 保守力沿各坐標方向的分量，在數(shù)值上等于系統(tǒng)的勢能沿相應方向的空間變化率的負值，其方向指向勢能降低的方向。 結論：第十八張，PPT共八十五頁，創(chuàng)作于2022年6月三質點系的動能定理 i一個由n個質點組成的質點系，考察第i個質點。 質點的動能定理： 對系統(tǒng)內所有質點求和 第十九張，PPT共八十五頁，創(chuàng)

6、作于2022年6月 質點系動能的增量等于作用于系統(tǒng)的所有外力和內力作功之代數(shù)和。質點系的動能定理： 內力做功可以改變系統(tǒng)的總動能。 值得注意：第二十張，PPT共八十五頁，創(chuàng)作于2022年6月機械能守恒定律質點系的動能定理：其中第二十一張，PPT共八十五頁，創(chuàng)作于2022年6月機械能 質點系機械能的增量等于所有外力和所有非保守內力所作功的代數(shù)和。 質點系的功能原理如果，機械能守恒第二十二張，PPT共八十五頁，創(chuàng)作于2022年6月 當系統(tǒng)只受保守內力作功時，質點系的總機械能保持不變。機械能守恒定律 注意：（1）機械能守恒定律只適用于慣性系，不適合于非慣性系。這是因為慣性力可能作功。（2）在某一慣性

7、系中機械能守恒，但在另一慣性系中機械能不一定守恒。這是因為外力的功與參考系的選擇有關。對一個參考系外力功為零，但在另一參考系中外力功也許不為零。第二十三張，PPT共八十五頁，創(chuàng)作于2022年6月例3. 傳送帶沿斜面向上運行速度為v = 1m/s，設物料無初速地每秒鐘落到傳送帶下端的質量為M = 50kg/s，并被輸送到高度h = 5m處，求配置的電動機所需功率。（忽略一切由于摩擦和碰撞造成的能量損失）解：在t 時間內，質量為Mt 的物料落到皮帶上，并獲得速度v 。t內系統(tǒng)動能的增量：重力做功：第二十四張，PPT共八十五頁，創(chuàng)作于2022年6月電動機對系統(tǒng)做的功：由動能定理：第二十五張，PPT共

8、八十五頁，創(chuàng)作于2022年6月例4. 一長度為2l的均質鏈條，平衡地懸掛在一光滑圓柱形木釘上。若從靜止開始而滑動，求當鏈條離開木釘時的速率（木釘?shù)闹睆娇梢院雎裕┙庠O單位長度的質量為始末兩態(tài)的中心分別為c和c機械能守恒：解得第二十六張，PPT共八十五頁，創(chuàng)作于2022年6月例5. 計算第一，第二宇宙速度1. 第一宇宙速度已知：地球半徑為R，質量為M，衛(wèi)星質量為m。要使衛(wèi)星在距地面h高度繞地球作勻速圓周運動，求其發(fā)射速度。解：設發(fā)射速度為v1，繞地球的運動速度為v。機械能守恒：RMm第二十七張，PPT共八十五頁，創(chuàng)作于2022年6月由萬有引力定律和牛頓定律：解方程組，得：代入上式，得：第二十八張，

9、PPT共八十五頁，創(chuàng)作于2022年6月2. 第二宇宙速度宇宙飛船脫離地球引力而必須具有的發(fā)射速度（1）脫離地球引力時，飛船的動能必須大于或至少 等于零。由機械能守恒定律：解得：（2）脫離地球引力處，飛船的引力勢能為零。第二十九張，PPT共八十五頁，創(chuàng)作于2022年6月例2 如圖所示，用質量為M的鐵錘把質量為m 的釘子敲入木板。設木板對釘子的阻力與釘子進入木板的深度成正比。在鐵錘敲打第一次時，能夠把釘子敲入1cm深，若鐵錘第二次敲釘子的速度情況與第一次完全相同，問第二次能把釘子敲入多深？解設鐵錘敲打釘子前的速度為v0，敲打后兩者的共同速度為v。 第三十張，PPT共八十五頁，創(chuàng)作于2022年6月鐵

10、錘第一次敲打時，克服阻力做功，設釘子所受阻力大小為： 由動能定理， 有：設鐵錘第二次敲打時能敲入的深度為S ，則有第三十一張，PPT共八十五頁，創(chuàng)作于2022年6月化簡后第二次能敲入的深度為： 第三十二張，PPT共八十五頁，創(chuàng)作于2022年6月2-5 動量守恒定律一. 動量車輛超載容易引發(fā)交通事故車輛超速容易引發(fā)交通事故第三十三張，PPT共八十五頁，創(chuàng)作于2022年6月結論： 物體的運動狀態(tài)不僅取決于速度，而且與物體的質量有關。 動量：運動質點的質量與速度的乘積。單位：kgms-1由n個質點所構成的質點系的動量： 第三十四張，PPT共八十五頁，創(chuàng)作于2022年6月二. 動量定理1質點的動量定理

11、 運動員在投擲標槍時，伸直手臂，盡可能的延長手對標槍的作用時間，以提高標槍出手時的速度。 沖量是反映力對時間的累積效應。沖量：作用力與作用時間的乘積。恒力的沖量：第三十五張，PPT共八十五頁，創(chuàng)作于2022年6月變力的沖量：單位：Ns牛頓運動定律：動量定理的微分式：如果力的作用時間從 ，質點動量從 第三十六張，PPT共八十五頁，創(chuàng)作于2022年6月質點動量定理：質點在運動過程中，所受合外力的沖量等于質點動量的增量。說明：（1） 沖量的方向 與動量增量 的方向一致。動量定理中的動量和沖量都是矢量，符合矢量疊加原理。因此在計算時可采用平行四邊形法則?；虬褎恿亢蜎_量投影在坐標軸上以分量形式進行計算。

12、（2）第三十七張，PPT共八十五頁，創(chuàng)作于2022年6月平均沖力：第三十八張，PPT共八十五頁，創(chuàng)作于2022年6月結論：物體動量變化一定的情況下，作用時間越長，物體受到的平均沖力越小；反之則越大。 海綿墊子可以延長運動員下落時與其接觸的時間，這樣就減小了地面對人的沖擊力。 第三十九張，PPT共八十五頁，創(chuàng)作于2022年6月2質點系的動量定理設 有n個質點構成一個系統(tǒng)第i個質點：外力內力初速度末速度質量由質點動量定理：i第四十張，PPT共八十五頁，創(chuàng)作于2022年6月F1f12m1m2f21F2其中：系統(tǒng)總末動量：系統(tǒng)總初動量：合外力的沖量：系統(tǒng)總末動量：系統(tǒng)總初動量：第四十一張，PPT共八十

13、五頁，創(chuàng)作于2022年6月質點系的動量定理：微分式：質點系統(tǒng)所受合外力的沖量等于系統(tǒng)總動量的增量。注意：系統(tǒng)的內力不能改變整個系統(tǒng)的總動量。 第四十二張，PPT共八十五頁，創(chuàng)作于2022年6月例1、質量m = 1kg的質點從o點開始沿半徑R = 2m的圓周運動。以o點為自然坐標原點。已知質點的運動方程為 m。試求從 s到 s這段時間內質點所受合外力的沖量。解：mv2mv1o第四十三張，PPT共八十五頁，創(chuàng)作于2022年6月第四十四張，PPT共八十五頁，創(chuàng)作于2022年6月例5. 一顆子彈在槍筒里前進時所受的合力大小為F = 400-4105 t/3，子彈從槍口射出時的速率為300 m/s。設子

14、彈離開槍口處合力剛好為零。求：（1）子彈走完槍筒全長所用的時間t。（2）子彈在槍筒中所受力的沖量I。（3）子彈的質量。解：（1）（2）（3）第四十五張，PPT共八十五頁，創(chuàng)作于2022年6月三. 動量守恒定律質點系的動量定：當時，有系統(tǒng)所受合外力為零時，系統(tǒng)的總動量保持不變。條件：動量守恒定律：第四十六張，PPT共八十五頁，創(chuàng)作于2022年6月說明：（1）系統(tǒng)的總動量守恒并不意味著系統(tǒng)內各個質點的動量不變，而是指系統(tǒng)動量總和不變。（2）當外力作用遠小于內力作用時，可近似認為系統(tǒng)的總動量守恒。（如：碰撞，打擊等）動量守恒的分量式：動量守恒定律是物理學中最重要、最普遍的規(guī)律之一，它不僅適合宏觀物體

15、，同樣也適合微觀領域。第四十七張，PPT共八十五頁，創(chuàng)作于2022年6月2-7 碰撞 兩個或兩個以上的物體在運動中發(fā)生極其短暫的相互作用，使物體的運動狀態(tài)發(fā)生急劇變化，這一過程稱為碰撞。 第四十八張，PPT共八十五頁，創(chuàng)作于2022年6月動量守恒完全彈性碰撞：碰撞后物體系統(tǒng)的機械能沒有損失。 非彈性碰撞：碰撞后物體系統(tǒng)的機械能有損失。 完全非彈性碰撞：碰撞后物體系統(tǒng)的機械能有損失，且碰撞后物體以同一速度運動。 第四十九張，PPT共八十五頁，創(chuàng)作于2022年6月1. 完全彈性碰撞 (1) 如果m1= m2 ，則v1 = v20 ，v2 = v10，即兩物體在碰撞時速度發(fā)生了交換。 (2) 如果v

16、20 =0 , 且 m2 m1, 則v1 = - v10, v2 = 0第五十張，PPT共八十五頁，創(chuàng)作于2022年6月2完全非彈性碰撞 由動量守恒定律完全非彈性碰撞中動能的損失 第五十一張，PPT共八十五頁，創(chuàng)作于2022年6月牛頓的碰撞定律：在一維對心碰撞中，碰撞后兩物體的分離速度 v2- v1 與碰撞前兩物體的接近速度 v10- v20 成正比，比值由兩物體的材料性質決定。 3非彈性碰撞 e 為恢復系數(shù) e = 0，則v2 = v1，為完全非彈性碰撞。 e =1，則分離速度等于接近速度，為完全彈性碰撞。 一般非彈性碰撞碰撞：0 e 1 第五十二張，PPT共八十五頁，創(chuàng)作于2022年6月2

17、-8 角動量守恒定律設：t時刻質點的位矢質點的動量運動質點相對于參考原點O的角動量定義為：單位：Kg m2s-1一.質點的角動量第五十三張，PPT共八十五頁，創(chuàng)作于2022年6月角動量大小：角動量的方向： 矢經(jīng) 和動量 的矢積方向如果質點繞參考點O作圓周運動角動量與所取的慣性系有關；角動量與參考點O的位置有關。 注意：第五十四張，PPT共八十五頁，創(chuàng)作于2022年6月質點對參考點的角動量在通過點的任意軸線上的投影，稱為質點對軸線的角動量。 質點系的角動量設各質點對O點的位矢分別為動量分別為第五十五張，PPT共八十五頁，創(chuàng)作于2022年6月二.力矩質點的角動量 隨時間的變化率為 1力對參考點的力

18、矩式中第五十六張，PPT共八十五頁，創(chuàng)作于2022年6月 質點角動量的改變不僅與所受的作用力 有關，而且與參考點O到質點的位矢 有關。 定義：外力 對參考點O的力矩：力矩的大?。毫氐姆较蛴捎沂致菪P系確定，垂直于 和確定的平面。第五十七張，PPT共八十五頁，創(chuàng)作于2022年6月設作用于質點系的作用力分別為：作用點相對于參考點O的位矢分別為： 相對于參考點O的合力矩為：第五十八張，PPT共八十五頁，創(chuàng)作于2022年6月三. 角動量定理 角動量守恒定律 質點的角動量定理： 質點對某一參考點的角動量隨時間的變化率等于質點所受的合外力對同一參考點的力矩。 角動量定理的積分式：稱為“沖量矩”第五十九張

19、，PPT共八十五頁，創(chuàng)作于2022年6月質點系的角動量：兩邊對時間求導：上式中上式中合內力矩為零第六十張，PPT共八十五頁，創(chuàng)作于2022年6月 質點系對某一參考點的角動量隨時間的變化率等于系統(tǒng)所受各個外力對同一參考點力矩之矢量和。質點系角動量定理： 第六十一張，PPT共八十五頁，創(chuàng)作于2022年6月質點系角動量定理的積分式： 作用于質點系的沖量矩等于質點系在作用時間內的角動量的增量 。如果則質點或質點系的角動量守恒定律： 當系統(tǒng)所受外力對某參考點的力矩之矢量和始終為零時，質點系對該點的角動量保持不變。 第六十二張，PPT共八十五頁，創(chuàng)作于2022年6月質點系對z 軸的角動量守恒定律： 系統(tǒng)所

20、受外力對z軸力矩的代數(shù)和等于零，則質點系對該軸的角動量守恒。 角動量守恒定律是自然界的一條普遍定律，它有著廣泛的應用。 第六十三張，PPT共八十五頁，創(chuàng)作于2022年6月證明開普勒第二定律：行星和太陽之間的連線在相等時間內掃過的橢圓面積相等 。有心力作用下角動量守恒 證畢 證第六十四張，PPT共八十五頁，創(chuàng)作于2022年6月2-5 守恒定律和對稱性第六十五張，PPT共八十五頁，創(chuàng)作于2022年6月例3、火箭以2.5103m/s的速率水平飛行，由控制器使火箭分離。頭部倉m1=100kg，相對于火箭的平均速率為103 m/s ?；鸺萜鱾}質量m2=200kg。求容器倉和頭部倉相對于地面的速率。解：

21、v= 2.5103 m/svr= 103 m/s 設：頭部倉速率為v1，容器倉速率為v2 第六十六張，PPT共八十五頁，創(chuàng)作于2022年6月例4. 宇宙飛船在宇宙塵埃中飛行，塵埃密度為。如果質量為mo的飛船以初速vo穿過塵埃，由于塵埃粘在飛船上，致使飛船速度發(fā)生變化。求飛船的速度與其在塵埃中飛行的時間的關系。（設飛船為橫截面面積為S的圓柱體）解：某時刻飛船速度：v，質量：m動量守恒：質量增量：mv第六十七張，PPT共八十五頁，創(chuàng)作于2022年6月第六十八張，PPT共八十五頁，創(chuàng)作于2022年6月2-2-4 火箭飛行原理設： t 時刻：火箭的質量為M， 速度為v；t +dt 時刻： 火箭的質量為

22、M+dM 速度為v + dv 噴出氣體的質量為-dM 相對于火箭的速度為ur第六十九張，PPT共八十五頁，創(chuàng)作于2022年6月略去二階無窮小量 設：初始火箭總質量 M0 ，殼體本身的質量為M1 ，燃料耗盡時火箭的速度為 第七十張，PPT共八十五頁，創(chuàng)作于2022年6月為質量比多級火箭：一級火箭速率：設各級火箭的質量比分別為N1、N2、N3 、二級火箭速率：三級火箭速率：第七十一張，PPT共八十五頁，創(chuàng)作于2022年6月三級火箭所能達到的速率為：設，N1 = N2 = N3 = 3得這個速率已超過了第一宇宙速度。 第七十二張，PPT共八十五頁，創(chuàng)作于2022年6月2-2-5 質心與質心運動定理1

23、質心設由n個質點構成一質點系 質量：m1、 m2、 mn，位矢： 、 、 第七十三張，PPT共八十五頁，創(chuàng)作于2022年6月質心位置的分量式：連續(xù)體的質心位置：對于密度均勻，形狀對稱的物體，其質心都在它的幾何中心。說明：第七十四張，PPT共八十五頁，創(chuàng)作于2022年6月2質心運動定理質心位置公式：結論：質點系的總動量等于總質量與其質心運動速度的乘積。 由質點系動量定理的微分式可得：第七十五張，PPT共八十五頁，創(chuàng)作于2022年6月質心運動定理： 作用于質點系上的合外力等于質點系的總質量與質心加速度的乘積。質心的兩個重要性質：系統(tǒng)在外力作用下，質心的加速度等于外力的矢量和除以系統(tǒng)的總質量。（2）

24、系統(tǒng)所受合外力為零時，質心的速度為一恒矢量，內力既不能改變質點系的總動量,也就不能改變質心的運動狀態(tài) 。（1）第七十六張，PPT共八十五頁，創(chuàng)作于2022年6月例3. 有質量為2m的彈丸，從地面斜拋出去，它的落地點為xc 。如果它在飛行到最高點處爆炸成質量相等的兩碎片。其中一碎片鉛直自由下落，另一碎片水平拋出，它們同時落地。問第二塊碎片落在何處。解：在爆炸的前后，質心始終只受重力的作用，因此，質心的軌跡為一拋物線，它的落地點為xc 。xcx2ox第七十七張，PPT共八十五頁，創(chuàng)作于2022年6月 如果系統(tǒng)的狀態(tài)在某種操作下保持不變，則稱該系統(tǒng)對于這一操作具有對稱性。 如果某一物理現(xiàn)象或規(guī)律在某一變換下保持不變，則稱該現(xiàn)象或規(guī)律具有該變換所對應的對稱性。 物理學中最常見的對稱操作：