高數(shù)-二重積分計(jì)算法授課課件

1、二重積分計(jì)算法授課課件一 利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分二 小結(jié) 思考題復(fù)習(xí)與回顧(2)回顧一元函數(shù)定積分的應(yīng)用平行截面面積為已知的立體的體積的求法體積元素體積為 在點(diǎn)x處的平行截面的面積為: (1)二重積分一、利用直角坐標(biāo)系計(jì)算二重積分(1)X型域X型區(qū)域的特點(diǎn) 穿過(guò)區(qū)域且平行于y 軸的直線(xiàn)與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).1. 預(yù)備知識(shí)(2)Y型域Y型區(qū)域的特點(diǎn)穿過(guò)區(qū)域且平行于x 軸的直線(xiàn)與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).(3) 既非X型域也非Y型域 在分割后的三個(gè)區(qū)域上分別都是X型域(或Y型域)則必須分割.由二重積分積分區(qū)域的可加性得(1) 若積分區(qū)域?yàn)閄型域：2.【二重積分公式推導(dǎo)】根據(jù)二重積分的幾

2、何意義以及計(jì)算“平行截面面積為已知的立體的體積”的方法來(lái)求.方法即得公式1幾點(diǎn)小結(jié)定限口訣后積先定限(投影)限內(nèi)劃條線(xiàn)(穿線(xiàn)) 先交下限寫(xiě)后交上限見(jiàn)aboxyDx(后積變量上下限必為常數(shù))該線(xiàn)平行于坐標(biāo)軸且同向投影穿線(xiàn)法3.【二重積分的計(jì)算步驟可歸結(jié)為】畫(huà)出積分域的圖形，標(biāo)出邊界線(xiàn)方程；根據(jù)積分域特征，確定積分次序；根據(jù)上述結(jié)果，化二重積分為二次積分并計(jì)算。公式2(1) 使用公式1必須是X型域，公式2必須是Y型域.(2) 若積分區(qū)域既是X型區(qū)域又是Y 型區(qū)域 , 為計(jì)算方便,可選擇積分次序, 必要時(shí)還可交換積分次序. (見(jiàn)后續(xù)補(bǔ)充例題)(3) 若積分域較復(fù)雜,可將它分成若干X-型域（或Y-型域

3、） 說(shuō)明4. 【例題部分】例1解看作X型域12oxy y = xy =1Dx12oxyx = yx=2Dy12解看作Y型域例2解D 既是X型域又是Y型域法1111xoy=xDxy法2注意到先對(duì)x 的積分較繁，故應(yīng)用法1較方便111yoy=xD1xy注意兩種積分次序的計(jì)算效果！例3解D既是X型域又是Y型域先求交點(diǎn)法1法2視為X型域計(jì)算較繁本題進(jìn)一步說(shuō)明兩種積分次序的不同計(jì)算效果！小結(jié)以上三例說(shuō)明，在化二重積分為二次積分時(shí)，為簡(jiǎn)便見(jiàn)需恰當(dāng)選擇積分次序；既要考慮積分區(qū)域 D 的形狀，又要考慮被積函數(shù)的特性(易積)5.【簡(jiǎn)單應(yīng)用】例4求兩個(gè)底圓半徑都等于R的直交圓柱面所圍成的立體的體積V.解 設(shè)兩個(gè)直

4、圓柱方程為利用對(duì)稱(chēng)性, 考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為則所求體積為例5解據(jù)二重積分的性質(zhì)4（幾何意義）交點(diǎn)與定積分元素法相同6.【補(bǔ)充】 改變二次積分的積分次序例題補(bǔ)例1解隨堂練習(xí)1.計(jì)算其中 D 是由直線(xiàn) y = x 及拋物線(xiàn) y2 = x 所圍成.解積不出的積分，無(wú)法計(jì)算。課本P154 第5題第6題練習(xí)解當(dāng)被積函數(shù)中有絕對(duì)值時(shí)，要考慮積分域中不同范圍脫去絕對(duì)值符號(hào)。分析補(bǔ)例2作業(yè):1 x 1計(jì)算其中D 由所圍成.令(如圖所示)顯然,利用對(duì)稱(chēng)性與奇偶性補(bǔ)例3分析解課本P154 第3 題與積分變量無(wú)關(guān)補(bǔ)例4與積分變量無(wú)關(guān)與積分變量無(wú)關(guān)分部積分法(略). (05/06學(xué)年第一學(xué)期考試題A卷)化為二次積分,交換積分次序