考研數(shù)學(xué)一-向量代數(shù)和空間解析幾何

1、考研數(shù)學(xué)-向量代數(shù)和空間解析幾何（總分：110.00 ,做題時(shí)間：90分鐘）一、B選擇題/B（總題數(shù)：11,分?jǐn)?shù)：22.00）.設(shè)a, b為非零向量，且eib,則必有 （分?jǐn)?shù)：2.00）A.（A） |a+b|=|a|+|b|B.（B） |a-b|=|a|-|b|C.（C） |a+b|=|a-b|7D.（D） a+b=a-b解析：分析由“非零向量a, b滿(mǎn)足|a+b|=|a|+|b|的充要條件是a與b方向相同”可知，（A）不對(duì).由“非零向量a, b滿(mǎn)足|a-b|=|a|-|b|的充要條件是a與b方向相反”可知，（B）也不對(duì).對(duì)于（C）：非零向量a、b垂直時(shí)，以a, b為兩鄰的平行四邊形是矩形，而

2、矩陣的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)度相等，故必有 |a+b|=a-b|,即（C）正確.至于（D）,顯然不對(duì).綜上分析，應(yīng)選（C）.直線(xiàn)與平面 6x+15y-10z+31=0的夾角 小 為 （分?jǐn)?shù)：2.00）V解析：分析直線(xiàn)方向向量為 故選（A）.下列曲面中，不是旋轉(zhuǎn)曲面的是 （分?jǐn)?shù)：2.00）V解析：分析（A）是繞x軸旋轉(zhuǎn)而成；（B）是繞y旋轉(zhuǎn)而成；（D）是繞z軸旋轉(zhuǎn)而成.（A） , （B） , （D）都 應(yīng)排除，故應(yīng)選（C）.下列直線(xiàn)對(duì)，不共面的是 （分?jǐn)?shù)：2.00）V解析：分析對(duì)于（A）:兩條直線(xiàn)分別過(guò)點(diǎn) M（-1 , 0, 0）與M（1, 0, 2）,方向向量分別為對(duì)三個(gè)向量，由于所以（A）中二直線(xiàn)不共面，

3、故應(yīng)選（A）.若單位向量 a, b, c滿(mǎn)足a+b+c=0,貝U a b+b-c+c a= （分?jǐn)?shù)：2.00）V解析：分析由，從而.故選（A）.已知平面： x+2y-z+1=0 ,曲面z=xy上點(diǎn)P處的法線(xiàn)與平面口垂直，則點(diǎn) P的坐標(biāo)為(分?jǐn)?shù)：2.00)A.(A) (1 ,2,2).B.(B) (2 ,1,2). VC.(C) (-1,-2,2).D.(D) (-2 ,-1,2).解析：分析z=xy的法向量n=y , x, -1,法線(xiàn)與平面H垂直，從而與平面口的法向量(1 , 2,-1平行, 故有，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2 , 1 , 2).故應(yīng)選(B).設(shè)曲面z2-xy=8(z 0)上某點(diǎn)的切平面

4、平行于已知平面x-y+2z-1=0 ,則該點(diǎn)的坐標(biāo)為(分?jǐn)?shù)：2.00)A.(A) (-2, 2, 2).B.(B) (1 , -4, 2).C.(C) (2 ,-2,2). VD.(D) (4 ,-1,2).解析:分析記F(x, y, z)=z 2-xy-8 ,曲面在任意點(diǎn)的法向量n=F x, Fy, Fz ： -y，-x , 2x.已知平面的法向量n1=1 , -1 , 2,令n/ii1,即，得x=z=t , y=-t ,代入曲面方程F=0,得，因?yàn)閦=t 0,舍去負(fù)值， 得切點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-2, 2),故應(yīng)選(C).設(shè)曲線(xiàn)在點(diǎn)(1, 3, 4)處的法平面為口，則原點(diǎn)到口的距離為 (分?jǐn)?shù)：2

5、.00)V解析：分析一因在點(diǎn)(1 , 3, 4)處解得dx=4dz,即，故曲線(xiàn)在點(diǎn)(1 , 3,4)法平面的法向量，法平面口 的方程為12(x-1)-4(y-3)+3(z-4)=0,即12x-4y+3z-12=0 ,于是原點(diǎn)到口的距離 故應(yīng)選(B).分析二曲線(xiàn)在點(diǎn)(1 , 3, 4)處法平面的法向量下同分析一.設(shè)非零向量a與b不平行，c=(axb)xa,則(分?jǐn)?shù)：2.00)V解析：分析如下圖所示. 因，故應(yīng)選(B).評(píng)注 若a, b,則(axb)xa=入b, =0.過(guò)點(diǎn)M(1 , -1 , 1)與平面x=y+2z=1平行且與相交的的直線(xiàn)方程為(分?jǐn)?shù)：2.00)A. VB.C.D.解析：分析一

6、于是分析二過(guò)B的直線(xiàn)方程為L(zhǎng):過(guò)A與L垂直的平面方程為口:6(x-3)+6(y-4)+7(z-2)=0,即 6x+6y+7z-56=0 。L與口的交點(diǎn)(x。，y。，Z0)為.沒(méi)有直線(xiàn)L:和曲面z=x2-y 22+z2在點(diǎn)(1, 1, 1)處的切平面口，則直線(xiàn) L與平面，口的位置關(guān)系是(分?jǐn)?shù)：2.00)A.(A)b.(b) l / n.c.(C) l n. vD.(D) L與口斜交.解析：分析L的方向向量，曲面 F(x, y, z)=x 2-y 2+z2-z=0在點(diǎn)(1 , 1, 1)處的切平面口的法向量由于n/s,因此Ln.故應(yīng)選(C).二、B填空題/B(總題數(shù)：11,分?jǐn)?shù)：22.00).已知

7、a=i , b=j-2k , c=2i-2j+k ,若有一單位向量 r,滿(mǎn)足r c,且r與a, b共面，貝U r=.(分?jǐn)?shù)：2.00)解析：分析設(shè)r=x , y, z,則由rc可得r - c=0,即2x-2y+z=0 ,由 |r|=1 可得 x2+y2+z2=1, 由r與a, b共面可得(a xb) r=0,即聯(lián)立，可解得.設(shè)直線(xiàn)L平行于平面3x+2y-z+5=0 ,且與直線(xiàn)H: x=3+2t , y=-2+4t , z=t垂直，則直線(xiàn)L的方向余弦為(分?jǐn)?shù)：2.00)解析：分析一L的方向向量為分析二設(shè)L的方向向量為s=m, n, p,則由題設(shè)，有.設(shè)空間兩條直線(xiàn) L：和Lz： x+1=y-1=

8、z相交，貝U人=1 .(分?jǐn)?shù)：2.00)解析：分析因直線(xiàn)L1過(guò)點(diǎn)M(1, -1,1),直線(xiàn)L2過(guò)點(diǎn)P(-1 , 1,0),兩條直線(xiàn)L1, L2相交，則三個(gè)向量共面.由.設(shè)直線(xiàn)在平面z=1上的投影為直線(xiàn)L,則點(diǎn)(1 , 2, 1)到直線(xiàn)L的距離d=.(分?jǐn)?shù)：2.00)解析：分析取平面束x+2y-3z-2+ 入(2x-y+z-3)=0 ,其法向量為n尸1+2入，2-入，-3+入，平面z=1的法向量為n2=0, 0, 1, n1n2,所以Q 112=入-3=0 , 于是人=3.于是投影平面的方程為 7x-y-11=0 .因而投影直線(xiàn)L的方程為其方向向量為s=7 , -1 , 0X0,0, 1=-1

9、, 7, 0.又 L 通過(guò)點(diǎn) P1(1 ,-4,1),于是點(diǎn)P0(1 , 2, 1)到直線(xiàn)L的距離為.設(shè)一直線(xiàn)通過(guò)點(diǎn) B(1, 2, 3)且與向量C=6, 6, 7平行，則點(diǎn)A(3, 4, 2)到該直線(xiàn)的距離d=. (分?jǐn)?shù)：2.00)解析：分析一于是分析二過(guò)B的直線(xiàn)方程為L(zhǎng):過(guò)A與L垂直的平面方程為口 ：6(x-3)+6(y-4)+7(z-2)=0,即 6x+6y+7z-56=0 。L與口的交點(diǎn)(x, y, z0)為.直線(xiàn)的最短距離d=.（分?jǐn)?shù)：2.00）解析：分析一公垂線(xiàn)的方向向量為公垂線(xiàn)方程為直線(xiàn)，Li的參數(shù)方程為x=3+2t , y=t , z=1;直線(xiàn)L2的參數(shù)方程為 x=-1+t ,

10、 y=2 , z=t .將Li的參數(shù)方程代入公垂線(xiàn)方程得垂足；將L2的參數(shù)方程代入公垂線(xiàn)方程得垂足，所以Li與L2的最短距離分析二記 M（3, 0, 1）, M（-1 ,2,0）,則，Li 的方向向量 si=2, 1, 0; L2 的方向向量 S2=1 , 0, 1;.平面曲線(xiàn)L:繞z軸旋轉(zhuǎn)而生成的曲面 S的方程為.（分?jǐn)?shù)：2.00）解析：分析設(shè)P（x, y, z）是空間一點(diǎn)，由旋轉(zhuǎn)面特性可知，P在曲面S上的充要條件是：存在點(diǎn) Q（0,Y, z）在曲線(xiàn)L上，P, Q的z坐標(biāo)相同，且使得旋轉(zhuǎn)半徑相同，即 由于Q（0, Y, Z）在曲線(xiàn)L上，因此有 Z=f（Y）.再以P（x, y, z）的坐標(biāo)代入

11、，得到旋轉(zhuǎn)面 S的方程 19.直線(xiàn)繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程 .（分?jǐn)?shù)：2.00）填空項(xiàng)1: （正確答案：x2-2y2-2z2=-4 .）解析：分析曲線(xiàn)上任取點(diǎn)P（x, y, z）,過(guò)P作平面垂直于x軸（如下圖），該平面與直線(xiàn)的交點(diǎn)為Q（x, y, z）,與x軸的交點(diǎn)為 M（x, 0, 0）,則|PM|=|QM| ,即由于點(diǎn)Q（x, y。，z。）在直線(xiàn)AB上，所以因此可得旋轉(zhuǎn)曲面方程為即 x2-2y 2-2z 2=-4 .已知直線(xiàn)L過(guò)點(diǎn)M（1, -2 , 0）且與兩條直線(xiàn)，垂直，則 L的參數(shù)方程為1 .（分?jǐn)?shù)：2.00）填空項(xiàng) 1: （正確答案：x=1+8t , y=-2+2t , z=

12、-t ）解析：分析直線(xiàn)L1的方向向量S1=2, 0, 1X1, -1 , 3=1 , -5, -2,直線(xiàn)L2的方向向量S2=1 ,-4,0, 于是所求直線(xiàn)的方向向量 s=1 , -5 , -2X1 , -4 , 0=-8 , 2, -1,從而所求直線(xiàn)L的參數(shù)方程為x=1+8t, y=-2+2t , z=-t .過(guò)直線(xiàn)，且垂直平面口： 4x-y+z=1的平面方程為 ，直線(xiàn)L在平面口上的投影直線(xiàn)方程為 .（分?jǐn)?shù)：2.00）解析：分析通過(guò)L的平面束方程為口 1：（2+3入）x-（4+入）y+（1-2入）z-9入=0,因?yàn)榭?，口即m n,所以從而平面方程為 17x+31y-37z-117=0 ,而直

13、線(xiàn)L在平面口上的投影直線(xiàn)方程為評(píng)注 過(guò)直線(xiàn)，的平面束方程 Ax+B1y+C1z+D +入（A2x+B2y+C2z+D）=0 ,通常是建立空間的平面方程或直線(xiàn)方程 的常用方法之一.曲線(xiàn)方程化為參數(shù)方程是1 .（分?jǐn)?shù)：2.00）解析：分析由曲線(xiàn)方程消去y,得母線(xiàn)平行于y軸的投影柱面方程2x2+z2=9.令可得曲線(xiàn)的參數(shù)方程為三、B解答題/B(總題數(shù)：11,分?jǐn)?shù)：66.00).求通過(guò)點(diǎn)(1 , 2,-1)且與直線(xiàn)垂直的平面方程.(分?jǐn)?shù)：6.00)正確答案：()解析：由題意，直線(xiàn)的方向向量為所求平面的一個(gè)法向量，所以所求平面方程為 5(x-1)+7(y-2)+11(z+1)=0.求過(guò)定點(diǎn)(3,-1,

14、3)且通過(guò)直線(xiàn)x=2+3t , y=-1+t , z=1+2t的平面方程.(分?jǐn)?shù)：6.00) 正確答案：()解析：設(shè)所求平面方程為 A(x-3)+B(y+1)+C(z-3)=0,因?yàn)樗笃矫嫱ㄟ^(guò)給定的直線(xiàn)，所以所求平面的法向量A, B, C與所給直線(xiàn)的方向向量垂直，而所給直線(xiàn)的方向向量為s=3 ,1,2,因此有3A+B+2c=0又所給直線(xiàn)上的點(diǎn)(2,-1, 1)也在所求平面上，所以-A-2c=0 .由，可得：A=-2C, B=4c.故所 求平面方程為-2(x-3)+4(y+1)+(z-3)=0.求垂直于平面口：x-y+z=0且通過(guò)直線(xiàn)的平面方程.(分?jǐn)?shù)：6.00) 正確答案：()解析：由題意所

15、求平面通過(guò)點(diǎn) (2 , -1 , 0),故設(shè)所求平面的方程為 A(x-2)+B(y+1)+Cz=0 .由于所求平面 與已知平面垂直，所以 A-B+C=0.又由于所求平面通過(guò)已知直線(xiàn)，所以 A+2B+3C=0由，可得， 故所求平面方程為 -5(x-2)-2(y+1)+3z=0.求過(guò)點(diǎn)(1, 1, 1)且與平面口 1；x-y+z=7和rL:3x+2y-12z+5=0都垂直的平面方程. (分?jǐn)?shù)：6.00)正確答案：()解析：設(shè)所求平面方程為 A(x-1)+B(y-1)+C(z-1)=0,由題設(shè)知它的法向量A, B, C*平面口 1的法向量n尸1 ,-1 , 1及平面口 2的法向量，n2=3 , 2,

16、-12都垂直，所以有所以所求平面的方程為2(x-1)+3(y-1)+(z-1)=0.求過(guò)點(diǎn)(1, 2, 1)且與直線(xiàn)平行的平面方程.(分?jǐn)?shù)：6.00) 正確答案：()解析：設(shè)所求平面方程為A(x-1)+B(y-2)+C(z-1)=0,由于Si=1 , -2 , -3是Li的一個(gè)方向向量，是 L2的一個(gè)方向向量，而根據(jù)題意，所求平面的法向量n=A, B, C與Si, S2都垂直，所以有故所求平面方程為(x-1)-(y-2)+(z-1)=0.求過(guò)點(diǎn)Pi(1 , 0, 2) , P2(-1 , 3, 1)且平行于直線(xiàn)的平面方程.(分?jǐn)?shù)：6.00) 正確答案：()解析：設(shè)所求平面方程為 A(x-1)+

17、By+C(z-2)=0 ,由于是已知直線(xiàn)的一個(gè)方向向量，而向量在所求平面上,所以 故所求平面方程為：-7(x-1)-y+11(z-2)=0.求平行于直線(xiàn)，且通過(guò)直線(xiàn)的平面方程.(分?jǐn)?shù)：6.00) 正確答案：()解析：由題意所求平而通過(guò)點(diǎn)（1 , 2, 3）,故設(shè)所求平面方程為A（x-1）+B（y-2）+C（z-3）=0由于所求平面平行于直線(xiàn) Li,所以2A+B+C=0 又由于所求平面通過(guò)直線(xiàn) L2,所以A-C=0.由，可得：A=C, B=-3C,故所求平面方程為（x-1）-3（y-2）+（z-3）=0.求過(guò)點(diǎn)（1 , 2, 3）和z軸相交，且垂直于直線(xiàn)的直線(xiàn)方程.（分?jǐn)?shù)：6.00） 正確答案：

18、（）解析：設(shè)所求直線(xiàn)與z軸的交點(diǎn)為（0, 0, m）,則所求直線(xiàn)的方程為，又所求直線(xiàn)與已知直線(xiàn)垂直，從而有3+4+3-m=0,故m=1Q 因此所求直線(xiàn)方程為.求過(guò)點(diǎn)（-3 ,5,-9）且與二直線(xiàn)相交的直線(xiàn)方程.（分?jǐn)?shù)：6.00） 正確答案：（）解析：設(shè)所求直線(xiàn)與兩直線(xiàn)的交點(diǎn)分別為（X1, 3x1+5, 2x1-3） , （X2, 4x2-7, 5先+10）,由題意所以所求直線(xiàn)方程為.求直線(xiàn)在平面口： x+2y-z=0上的投影直線(xiàn)方程.（分?jǐn)?shù)：6.00） 正確答案：（）解析：過(guò)直線(xiàn)L的平面束方程為入（2x-y+z-1）+ g （x+y-z+1）=0 ,即（2入+ ii ）x+（ p,-入）y+（入-ii ）z+ p,-入=0.所以平面束中與已知平面口垂直的平面應(yīng)滿(mǎn)足2入+2（ R-入）-（入-）=0,.從而過(guò)直線(xiàn)與已知平面垂直的平面方程為9x-3y+3z-3=0，即3x-y+z-1=0 .因此投影直線(xiàn)的方程為設(shè)有直線(xiàn).（分?jǐn)?shù)：6.00）.判定，L1, L2是否為異面直線(xiàn)；（分?jǐn)?shù)：3.00） 正確答案：（）解析：由于L1的方向向量為s尸-1 , 2, 1,它通過(guò)點(diǎn) M（1 , 0, -1） ; L