專題04函數(shù)的奇偶性題型歸納

1、專題04函數(shù)基本性質(zhì)（奇偶性）一、學(xué)法指導(dǎo)與考點(diǎn)梳理L函數(shù)的奇偶性（1）.函數(shù)奇偶性的定義及圖象特點(diǎn)奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)/（X）的定義域內(nèi)任意一個(gè)X,都有/（-x） = /（x）,那么函數(shù)/（X）是偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱奇函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)/（X）的定義域內(nèi)任意一個(gè)工,都有 f（T）= -f（X）,那么函數(shù)/（X）是奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱注意：由函數(shù)奇偶性的定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)前提條件是：對(duì)于定義域內(nèi)的任意 一個(gè)x, -X也在定義域內(nèi)（即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）.（2）.函數(shù)奇偶性的幾個(gè)重要結(jié)論（1）奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單

2、 調(diào)性相反.（2） /（x）, g（x）在它們的公共定義域上有下面的結(jié)論：/(A)g(x)f(x) + g(x)fM-gW/(x)g(x)/(g(x)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)（3）若奇函數(shù)的定義域包括0,則/（0） = 0.（4）若函數(shù)/（X）是偶函數(shù)，則 /（-%） = /（%） = /（|x|）.（5）定義在（YO,一）上的任意函數(shù)/（X）都可以唯一表示成一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)之和.若函數(shù)y = f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則f（x）+f（T）為偶函數(shù),fx）-

3、f（-x） 為奇函數(shù)，/（1）/（一工）為偶函數(shù).重難點(diǎn)1判斷或證明函數(shù)的奇偶性.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性奇函數(shù)十奇函數(shù)二奇函數(shù)，偶函數(shù)+偶函數(shù)二偶函數(shù)：奇函數(shù)X奇函數(shù)二偶函數(shù)，奇函數(shù)X偶函數(shù)二奇函數(shù)，偶函數(shù)X偶函數(shù)二偶函數(shù)：.判斷函數(shù)奇偶性的常用方法及思路:（1）定義法：（2）圖象法:（3）性質(zhì)法：利用奇函數(shù)和偶函數(shù)的和、差、枳、商的奇偶性和復(fù)合函數(shù)的奇偶性來判斷.注意：分段函數(shù)奇偶性的判斷，要注意定義域內(nèi)x取值的任意性，應(yīng)分段討論，討論時(shí)可 依據(jù)X的范圍相應(yīng)地化簡(jiǎn)解析式，判斷/（X）與/（八）的關(guān)系，得出結(jié)論，也可以利用圖象 作判斷.性質(zhì)法中的結(jié)論是在兩個(gè)函數(shù)的公共定義域內(nèi)才成立的.性質(zhì)法在選擇題

4、和填空題中可直接運(yùn)用，但在解答題中應(yīng)給出性質(zhì)推導(dǎo)的過程.例.(1)判斷下列函數(shù)的奇偶性.產(chǎn)+2 Cv0)(1)危)=T；(2)=F十(3)危)=10(A=0)一.v22 (.v021 ),廠一l,x/x2-l ,不滿足奇偶性的定義，是非奇非偶函數(shù).對(duì)于C,函數(shù)的定義域?yàn)?S,O)U(O,4S)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.當(dāng)R0時(shí)，f(-x) = -l(-x)2-l=-(1x2 + l) = -f(x)：當(dāng) X 0【變式訓(xùn)練】(初9喋湖中學(xué)高一期中)函數(shù)心)=；)為奇函數(shù)，則心【解析】由函數(shù)f(X)為奇函可得，f ( -X)=-f (x)5x5x,7-；7777 = 7；777；，- 5x (4x - 3)

5、 (x+a) = - 5x (4x+3) (x - a)(-4x + 3)(-x-“)(4x + 3)(x-)3 (4a-3) x2=0,，4a-3=0 即 a=二，故選：C.4(2)設(shè)函數(shù)/()= 3+1卜+4)為奇函數(shù)，則=o【解析】由函數(shù)/(戈)=(/ + 1卜+ )為奇函數(shù)得到/(0)= 0,即(O?+1)(0 + ) = 0 所以 =0(3)(202。.四川省瀘縣第二中學(xué)高一月考)設(shè)函數(shù)/(1)=1+(。 12+以，若“X)為 奇函數(shù)，則。的值為()A. 0B. 1C. -1D. 1或0【解析】/) = +(a-1)x2 +ax,f(-x) = -x +(a-)x2-ax,/(a)為

6、奇函數(shù)，故/(-a) = -/(x),xeR恒成立，即2(。-1)產(chǎn)=0/eR恒成立，所以“ =1,正確答案為B.重難點(diǎn)3利用函數(shù)的奇偶性求解析式例3. (1) (2020.四川成都市.棠湖中學(xué)高一月考)已知X)是奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)f(x) = -x(l+x) t 當(dāng)x0時(shí)，/(x)等于()A. -x(l - X)B. A(l-A)C. -X(l + A)D. x(l+x)【解析】當(dāng)x0, Rijf(-x) = x(l-x).又f(x)是R上的奇函數(shù)，所以當(dāng)x0時(shí)f(x) = -f(x) = x(l x).故選項(xiàng)A正確.(202。四川省宜賓市第四中學(xué)校高一月考)已知/(X)是定義在R上的偶函數(shù)，

7、當(dāng)X2 0時(shí)，f(x) = x2-xt則當(dāng)x0時(shí)，/()的解析式是()A. f(x) = X2 -XB. f (x) = -X2 - XC. f(x) = x2 +XD. f (x) = -X2 + X【解析】設(shè)x0,因?yàn)閤0時(shí)，f(x) = x2-x所以/()=(_刈2一(_幻=/+工，又因?yàn)榱?是定義在R上的偶函數(shù)，所以/(-x) = /(x)J(x) = /+x,故選：C【變式訓(xùn)練1】(202。.四川成都市.成都外國語學(xué)校高一期中)已知函數(shù)/(X)是奇函數(shù)，當(dāng)工0時(shí)，/(x) = x(6 + x),則當(dāng)x0時(shí)/*)=.【解析】設(shè) X0,由當(dāng) X0 時(shí)/(x) = M6 + x)可得 f(

8、-%) = r(6 x).再由函數(shù)為奇函數(shù)可得一/W = -a(6 - x), .,./(%) = x(6 x).故x0時(shí)，/1) = /-3則當(dāng)0時(shí)，f ()=/-x,二(一工)=/+工口,.(同是偶函數(shù),則f(T)= f(x), .,J(x) = f+x (x2-10 =,+可得：20 = 10+M,解得M=30,即/=-30.故答案為：-30(3)已知函數(shù)N = /(x) + x是偶函數(shù)，且/=1,貝11/(-2) =.【解析】因?yàn)閥 = /(x) + x是偶函數(shù)，所以設(shè)g(X)= /(X)+ X,則 g(-x) = /(-x)-x = /(x) + x,即/(-x)-/(x) = 2x

9、,因?yàn)?) = 1,所以/(2)_/(2) = 2x2 = 4, Kp/(-2) = 4 + /(2) = 4 + l=5重難點(diǎn)5奇函數(shù)與圖像例5-1. (1)奇函數(shù)“X)定義域?yàn)?,3,當(dāng)x0,3時(shí)，八公如圖所示，不等式/(x)0的解集為(2019.四川省仁壽縣文宮中學(xué)高一期中)已知/(X)為奇函數(shù)，且在(0,+”)上是遞 增的，若/(一3) = 0,則4(耳0的解集是()A. xl-3x3b. xlxc-3或x3c. xlx-3或0 x3D. xl-3x0時(shí)，4(x)0n/(x)0 = /(3)=x3：當(dāng)x/Wx-3.故選：B(2020,成都市溫江區(qū)東辰外國語學(xué)校高一月考)設(shè)奇函數(shù)/(力在

10、(0,+8)上為增函數(shù)，且/(1) = 0,則不等式4(x+l)v0的解集為() 【解析】根據(jù)題意，函數(shù)/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增且/=0,則在區(qū)間(0,1)上,/(x)0,在區(qū)間(l,xo)上，又由/(%)為奇函數(shù),在區(qū)間(一8,1)上，/(x)o,則 M.(x+l)v0,可得：x0或0/ -.、g + l)。解得20；在(1,2), /(x)0:由/(X)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,在 X0 時(shí)，在(ro,2)51,0)，/U) 0 ；又y = V(x),在xNO時(shí)與y = f(x)同號(hào),在xvO時(shí)與y=/(x)異號(hào)故不等式4(力0的 解集為.【變式訓(xùn)練3】(2020.四川省成都市第

11、四十九中學(xué)校高一月考)設(shè)奇函數(shù)/()在(0，+ s)上為增函數(shù)，且/。)= 0,則不等式)二二)。的解集為()XA. ( l0)kJ(L + oo)B. (-o 1) kJ (0,1)C. (， 1)kJ(1，+ )D. (l，0)o(0，l)【解析】由F(X)為奇函數(shù)可知，&匕止n=出口0 時(shí)，/Cy)0 = A-1).又.(”)在(0, +8)上為增函數(shù)，奇函數(shù)f(x)在(-8, 0)上為增函數(shù).所以00,當(dāng)xe(2,0)U(2,+s)時(shí)，f(x)09所以由MXx1)20可得：x0-2x-l2x0或0 x-l2gU-l0, 求實(shí)數(shù)？的取值范圍。【解析】./*)是定義在(2,2)上奇函數(shù)，對(duì)

12、任意工(一2,2)有“7：) = /(力由條件+ /(2加- 1) 0得/(zn-l)= /(I-2m) TOC o 1-5 h z 12.* /(X)是定義在(一2,2)上減函數(shù): 一21 2712,解得一一m-2319/.實(shí)數(shù)川的取值范圍是一!/- 23(2) (2020山東濰坊期中)已知奇函數(shù)x)在0, +8)上單調(diào)遞增，且1)=1,則滿足 |/(A1)|1的x的取值范圍是()A. -1, 1 B. 0， 2 C. 1， 2 D.1, 3【解析】根據(jù)題意，得函數(shù)危)在(-8, 0上單調(diào)遞增，且人- 1)=一1,則函數(shù)危)在R上 單調(diào)遞增.若火、一1)區(qū)1,則一 1#l1月，即一 1與一閆

13、，解得00注2,即x的 取值范圍為0, 2,故選B.+ 3 v x之0(3)(202。.四川成都市樹德協(xié)進(jìn)中學(xué)高一月考)已知/(%)=. , 7 一八，則不等式 -k +3x,x 0【詳解】fW = ,一在(8,0)單調(diào)遞增，在(0,+8)單調(diào)遞增，且/(0)= 0,一廠 + 3x, x 0故/(力在R在單調(diào)遞增的奇函數(shù)，則/(x-2) + /(/-4)= /(x2) /(4 一丁)。，Hp/(x-2)/(4-x2),./(幻在R上單調(diào)遞增，.x 2v4/，即V+x60,解得一3工2,貝ij /(X 2) + /(x2 -4)/()，所以/(x)在(一1,1)上遞減，又/(x)為奇函數(shù)，所以由

14、/(，) + /(，-Dvo,得/(r)-/(r-l) = /(1-z),所以-iv/vi,解得Jv/vi,即實(shí)數(shù)r的取值范圍是(1,1).【變式訓(xùn)練2】(2020盤錦市第二高級(jí)中學(xué))若函數(shù)/(X)是奇函數(shù)，且在定義域R上是減函數(shù)，/(-2)= 3,則滿足一3v/(x3)v3的實(shí)數(shù)x的取值范圍是()A. (1,5) B. (2,4) C. (3,6) D. (2,5)【解析】函數(shù)/(五)是奇函數(shù)，且在定義域K上是減函數(shù)，-3v/(x3)v3,即/(2)/(x-3)/(-2),則2,解得lx32x)的解集是()C.D.2一 ,+813【詳解】當(dāng)一3&XW0時(shí)，f(x) = x2-2x9可得了(X

15、)在一34x0上為減函數(shù)，又/(X)是奇函數(shù)，-3x + l/(3-2a) = -33-2x3 x +1 3 2x TOC o 1-5 h z -4 x 2r22、.0 x3解得。W1 即不等式的解集為.故選：B.2x0, x0,貝！I x./()(), ，xe(3,+co)時(shí)，f(x) 0 ,則 x./OvO,綜上所述：不等式A- f(x) 0的解集為(-3,0) U (3, +0C).(2)(河南省金太陽2020年高一期中聯(lián)考)已知偶函數(shù)f(x)在O.+x)上單調(diào)遞增,/(4) = 3 , 則滿足fix +1) 3的1的取值范圍是.【解析】二/。)為偶函數(shù)且在。.y)上單調(diào)遞增，匚/(幻在

16、(華上單調(diào)遞減.結(jié)合偶函數(shù)的對(duì)稱性可知，若/(x+l)v3,則Tvx+lv4,得5vx3,從而滿足/U + 1) f (3)成立的x的取值范圍是A. (1,+x) B. (-, 0)52, +00) C. (0,1) D. SO)【解析】根據(jù)題意，/(x+l)是偶函數(shù)，則函數(shù)/(X)的圖象關(guān)于直線X=1對(duì)稱，若y = /(x)在(-8, 1上單調(diào)遞減，則/(X)在1, +00)上為增函數(shù),/(2x-l)f(3) T2x 2II3 II,解可得x2,即x的取值范圍是(-co, 0)D(2, +x)；故選B.(3)(202。.成都市實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校(西區(qū))高一期中)已知函數(shù)人v)的圖象關(guān)于)，軸對(duì)稱

17、, 且危)在(一如0上單調(diào)遞減,則滿足/(3x + D/f1的實(shí)數(shù).V的取值范圍是()【詳解】由題意/（x）是偶函數(shù)，且在。，）上單調(diào)遞增,.不等式/(3x + l)/可變?yōu)?(|3x+l|).|3x+1|vL解得 J/2vxv故選：B.26【變式訓(xùn)練1】定義在-2, 2上的偶函數(shù)g（x）,當(dāng)xO時(shí)，gG）單調(diào)遞減,若g （1 m ） ca B. bacC. cabD. cba【解析】因?yàn)?（X）是R上的偶函數(shù)，所以 = /（2） = /（2）,匕=/（兀）=/（兀），又/支）在0,+8）上單調(diào)遞增，所以/（兀）/（3）/（2）,即歷c4.故選A.【變式訓(xùn)練3】已知定義在（7,+8）的偶函數(shù)/

18、*）在0,內(nèi)）單調(diào)遞減，若則%取值范圍.2解：因?yàn)榕己瘮?shù)在0, +功單調(diào)遞減，/（-l） = -p根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱性可知，f。）在（-8,0）上單調(diào)遞增，且f（1）=-1,2由/（2x 1彥一；，可得TW2X -14，解得，0&W1,故答案為：0, 1【變式訓(xùn)練4】（2019.成都市第二十中學(xué)校高一月考）已知偶函數(shù)/（X）在。,十8）上單調(diào)遞減，則滿足/（2x 的范圍為（）2A. （f,0）51，+o） B. （一，一） C. 0,1）D. （0,1）3【詳解】因?yàn)?*）是偶函數(shù)，所以1|）,因?yàn)樵凇?*）單調(diào)遞減,所以分一1|0時(shí)，/W1(1)判斷函數(shù)/(x)是否為奇函數(shù)，(2)證明：/(X

19、)在R上是增函數(shù)，(3)若4) = 5,解不等式/(3/一一2)3.；解：(1)當(dāng)。= =0時(shí)，解得/(0) = 1,顯然函數(shù)不可能是奇函數(shù)，(2)任取網(wǎng),乙火，且玉0，/./(x) ,/(電)_/(凡)0,/(1)在R上但增(3)令4=8 = 2,由題4) = 22)-1,則”2) = 3.f(3nr-/n-2)3 = f(2), (x)在R上單增，.3/_?_2v2，7,43m /? 40 ：.- m l時(shí)，/(x)0.(1)求/(1)與一1)的值；(2)判斷并證明y = /(x)的奇偶性和單調(diào)性；(3)求不等式/(x) + f(x 1)為。，則上1,由題意得當(dāng)X1時(shí)，/(x)0,所以x/

20、（-）0,則工2）= /（叫土）=”占）+ 馬，即/（占）一/區(qū)）=/（ 2）。Vl玉玉X所以/。）在（0,+8）上為增函數(shù)，根據(jù)/（X）是偶函數(shù)，可得/*）在（-8,0）為減函數(shù),綜上/“）在（,0）為減函數(shù)，在（0,+8）上為增函數(shù)；t w 0（3）因?yàn)閄）+ /（X_1）O,由題意可得/5*7）40,且_工0， 由（1）和（2）可得一 1Kx（x - 1）v0或Ovx（x - 1）K1,解得Kx0 或 Ovxvl 或 lx 1 ， 22故解集為Wx0或Ovxvl或1 x& -, ）【變式訓(xùn)練】（2020.四川成都市.樹德中學(xué)高一月考）定義在/ = （2,0）口（0,2）上的函數(shù)/（x）,

21、對(duì)任意xye/,都有/（g，）= /（x） + /（），） 2,且當(dāng) Ovxvl 時(shí)，/（x）2.（1）求/與/（一1）的值；（2）證明/（力為偶函數(shù)：（3）判斷 = /（）在（0,2）上的單調(diào)性，并求解不等式/（2工1）2.詳解（1）令x=y = l,則/（1） = 2令x = y = l,則/（-1） = 2令丁 = 一1,則/（）= 工）+-1）-2 二 /（1），.工）為偶函數(shù).（3）令= x = x2,設(shè)0再修2,則丁 = 土且0丁1/（%）-/（8）= /子2,/（內(nèi)）再） y = f 0）在（0,2）上單調(diào)遞減,又“X）為偶函數(shù)， TOC o 1-5 h z 322一11或 12

22、x12, 工0或1不 一,213/. x xvO或 1cx 一 22課后訓(xùn)練一、單選題(2。19.四川棠湖中學(xué)高一期中)設(shè)f(x) =必n + +A - 2是定義在2。,6 +可上的偶函數(shù),貝+ +) =A. 10B. -10C. 8D. -8【詳解】/(力=如3+/+/?工一2是定義在2。,6 + 4上的偶函數(shù)，f ( - x) =f (x)且 6+a+2a=0，即一優(yōu)？+(戊2 一工一2 = 田？+以2 十/一？，且。=一2，一7 = /一b = b，即 “1 = 0, b = 0,/ (x) = -2r2/(m+ +/?) = /(2) = 8 2 = 10,故選：B(2020.成都市田

23、家炳中學(xué)高一月考)定義在R上的偶函數(shù)/(X)滿足：對(duì)任意的.1/ f(x)-/(X ),%(,0(內(nèi)。)，都有 ,” 。則()X2 一為A. /(3)/(-2)/(1)B. /(1)/(-2)/(3)C. /(-2)/(1)/(3)D. /(3)/(1)/(-2)【詳解】由題意，對(duì)任意的不天(，/(內(nèi))一/(/)一2 -3. ./(-1)/(-2)/(-3),又/(X)是偶函數(shù)，./(-1) = /(1),/(-3) = /(3), ./(1)/(_2) =/(x) + /(x),則/(x) = /(r)./(x)為偶函數(shù).故B正確，A不正確，選項(xiàng)C、D條件不夠推不出來.故選：B.(2018.

24、四川省新津中學(xué)高一開學(xué)考試)定義在R上的奇函數(shù)/J),滿足/=。，且在(0,)上單調(diào)遞增，則#(a) 0的解集為(). xlxv-1 或X1B. xIOVXV 1 或一1 VX0C. xIO VX V 1 或X 1【解析】定義在R上的奇函數(shù)f(X)在(0, -Ho)上單調(diào)遞增，且f (1) =0,函數(shù)f (x)在(-8, 0)上單調(diào)遞增，且f ( - 1) =0, x0v (x0等價(jià)于l或-l&V-l, .不等式xf (x) 0的解集為xlxl或XV-1.故選A.(2019.四川省成都市鄲都區(qū)第四中學(xué)高一期中)已知/)是定義在%,1-可上的偶函 數(shù)，且在純0上為增函數(shù)，則/(2x l)/(2x)的解集為()【詳解】(x)為以/。上的偶函數(shù):A-b = -2l7,解得：b = -. / (在2,0上為增函數(shù)，在0,2上為減函數(shù)3-歸 2x|由/(2彳-1)/(以)得：-22x-l2,解得:-x-22x2.2工-1)/(2力的解集為一天上，故選：B4 (2020.陜西西安市長安一中高一月考)函數(shù)在(-S,y)單調(diào)遞減，且為奇函數(shù).若/=-1,則滿足一14/*-2)41的x的取值范圍是().A. -2,2B. -1,1c, 0,4D. 1,3【解析】由函數(shù)由為奇函數(shù),得/(1