七年級春季班第19講：壓軸綜合題-學(xué)生-馬秋燕

1、 # / 23 / 23 / 23壓軸綜合題內(nèi)容分析本章主要針對圖形在運(yùn)動過程中存在的不變性進(jìn)行推理論證，找出特殊的 三角形的隱含條件作為輔助，解決相關(guān)角度不變性及比值和面積的相關(guān)問題， 對于復(fù)雜的綜合題，需添加輔助線，常見的輔助線有倍長中線構(gòu)造全等，做高 等，視具體題目而定.知識結(jié)構(gòu)模塊一：角度的不變性知識精講本節(jié)主要運(yùn)用三角形的內(nèi)外角之間的關(guān)系進(jìn)行換算和求解動點(diǎn)下產(chǎn)生不變角的問題, 特別是外角定理的運(yùn)用在本節(jié)中非常重要.例題解析【例1】 如圖，已知/ MON=90 ,點(diǎn)A、B分別在射線 OM、ON上，/ OAB的內(nèi)角平分線與/ OBA的外角平分線所在的直線交于點(diǎn)C.(1)試說明/ C與/

2、O的關(guān)系；(2)當(dāng)點(diǎn)A、B分別在射線OM、ON上移動時，試問/ C的大小是否發(fā)生變化， 若保持不變，求出/ C的大??；若發(fā)生變化，求出其變化范圍.【難度】【答案】【解析】 / 23步同級年七 / 23【例2】 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中， ABO是直角三角形，/ AOB=90 ,斜邊AB與y軸交于點(diǎn)C.(1)若/A=/AOC,求證：/ B=/BOC;(2)延長 AB 交 x 軸于點(diǎn) E,過。作 ODLAB,且 / DOB = / EOB, /OAE=/ OEA,求/ A的度數(shù);（3）如圖，OF平分/AOM, /BCO的平分線交 FO的延長線于點(diǎn) P,當(dāng) AOB繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時（斜邊 AB與y軸正半軸

3、始終交于點(diǎn) C）,在（2）的條件下，試問/ P的度數(shù)是否發(fā)生變化 *不變，請求出其度數(shù)；若改變，請說明理由【例3】 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A, B的坐標(biāo)分別為(1, 0) , (3, 0),現(xiàn)同時將點(diǎn)A, B分別向上平移2個單位，再向右平移 1個單位，分別得到點(diǎn) A, B的對應(yīng) 點(diǎn) C, D,連接 AC, BD, CD.(1)求點(diǎn)C, D的坐標(biāo)及四邊形 ABDC的面積；(2)在y軸上是否存在一點(diǎn) P,連接PA, PB,使S於B =S四邊形ABCD ,若存在這樣一點(diǎn)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，試說明理由.(3)點(diǎn)P是線段BD上的一個動點(diǎn)，連接PC, PO,當(dāng)點(diǎn)P在BD上移動時(不與B,D重

4、合)給出下列結(jié)論：.DCP+. B0P的值不變,. DCP+ CPO的值不變,其ZBOP中有且只有一個是正確的，請你找出這個結(jié)論并求其值.【解析】【例4】 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，/ ABO=2/BAO, P為x軸正半軸上一動點(diǎn)， BC平 分/ABP, PC 平分/ APF, OD 平分/ POE.(1)求/ BAO的度數(shù)；(2)求證：/ C=15 +1 /OAP;2(3) P在運(yùn)動中，/ C+/D的值是否發(fā)生變化，若發(fā)生變化，說明理由，若不變，求出其值.【難度】【答案】【解析】模塊二：旋轉(zhuǎn)問題知識精講旋轉(zhuǎn)問題是七年級幾何證明的一個難點(diǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中，找出隱含的邊角之間的關(guān) 系是解決旋轉(zhuǎn)類

5、問題是關(guān)鍵；本節(jié)的另一個難點(diǎn)是考察空間想象力，找出旋轉(zhuǎn)之后圖形的 位置.例題解析【例5】 如圖，正方形OGHK繞正方形ABCD中點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，其交點(diǎn)為E、F ,求證：AE+CF=AB.【難度】【答案】【解析】【例6】 如圖1、圖2, 4AOB, COD均是等腰直角三角形，/ AOB = /COD = 90(1)在圖1中，AC與BD相等嗎，有怎樣的位置關(guān)系 叫說明理由.(2)若 COD繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)一定角度后，到達(dá)圖 2的位置，請問AC與BD還相等嗎，為什么？【難度】圖1圖2【例7】 如圖1,在梯形ABCD中，AD / BC , /C =90。，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在底 邊 BC 上，且 /FA

6、E =/DAE .(1)請你通過觀察、測量、猜想，得出/AEF的度數(shù)；(2)若梯形ABCD中，AD / BC , NC不是直角，點(diǎn)F在底邊BC或其延長線上，如 圖2、圖3,其他條件不變，你在(1)中得出的結(jié)論是否仍然成立，若都成立，請在 圖2、圖3中選擇其中一圖進(jìn)行證明；若不都成立，請說明理由.【難度】圖1C. 3對【例8】 如圖，C是線段BD上一點(diǎn)，分別以 BC、CD為邊在BD同側(cè)作等邊 ABC和等邊CDE, AD交CE于F, BE交AC于G,則圖中可通過旋轉(zhuǎn)而相互得到的三角形對數(shù)有().A.B. 2對【難度】【答案】【解析】【例9】 已知：如圖，點(diǎn) C為線段AB上一點(diǎn)， ACM、 CBN是

7、等邊三角形.求證：CF平分/ AFB .(備注：直角邊和斜邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等)【難度】【答案】【解析】【例10 如圖1, E、F分別在正方形 ABCD的邊BC、CD上，且/ EAF = 45 .(1)請猜測線段EF、BE、DF之間的等量關(guān)系并證明.(2)變式：如圖2, E、F分別在四邊形 ABCD的邊BC、CD上，/ B+Z D = 180 ,AB=AD, /EAF=1/BAD,則線段BE、EF、FD的等量關(guān)系又如何？請加以證明.2【例11】請閱讀下列材料：已知：如圖1在RtAABC中，/ BAC=90 , AB=AC,點(diǎn)D、E分別為線段 BC上兩動 點(diǎn)，若/ DAE=45 ,探究

8、以線段 BD、DE、EC三條線段的為邊構(gòu)成的三角形是什么三 角形.小智的思路是：把 AEC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90 ,得到 ABF,連結(jié)FD ,使問題 得到解決.請你參考小明的思路探究并解決下列問題：(1)猜想以線段 BD、DE、EC三條線段的為邊構(gòu)成的三角形是什么三角形，并對你 的猜想給予證明；(2)當(dāng)動點(diǎn)E在線段BC上，動點(diǎn)D運(yùn)動在線段CB延長線上時，如圖 2,其它條件 不變，(1)中探究的結(jié)論是否發(fā)生改變 ？請說明你的猜想并給予證明.【例12 如圖，在 MBC形外作等腰 RtiABD和等腰RtAACE,使/BAD=90=/CAE =90：作 AH _LBC于 H,延長 HA,交 DE 于 M

9、,求證：DM = ME.【難度】【答案】【解析】 / 23步同級年七 / 23【例13】 在等邊三角形 ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別由兩點(diǎn) M, N, D為AABC外 一點(diǎn)，且 ZMDN =60/BDC =120*, BD=CD,探究：當(dāng)點(diǎn) M, N 分別在直線 AB, AC 上移動時，BM, NC, MN之間的數(shù)量關(guān)系及 MMN的周長Q與等邊AABC的周長L 的關(guān)系.（1）如圖（1）,當(dāng)點(diǎn) M、N在邊 AB、AC上，且 DM=DN時，BM、NC、MN之間的 數(shù)量關(guān)系是;此時Q =.L（2）如圖（2）,當(dāng)點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且DM #DN時，猜想（1）問的兩個結(jié)論 還成立嗎？寫出

10、你的猜想并加以證明.（3）如圖（3）,當(dāng)點(diǎn)M、N分別在邊AB、CA的延長線上時, 含x、L的式子表示）.【難度】【答案】【解析】【例14 如圖1,在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)E, AF平分/BAC , 交BD于點(diǎn)F .1(1)求證：EF +_ AC =AB ; 2(2)點(diǎn)C1從點(diǎn)C出發(fā)，沿著線段 CB向點(diǎn)B運(yùn)動(不與點(diǎn)B重合)，同時點(diǎn)A從點(diǎn)A 出發(fā)，沿著BA的延長線運(yùn)動，點(diǎn)C1與A的運(yùn)動速度相同，當(dāng)動點(diǎn) C1停止運(yùn)動時，另 一動點(diǎn)A也隨之停止運(yùn)動.如圖2, AE平分NBAC1 ,交BD于點(diǎn)F1 ,過點(diǎn)E作、，一1F1E1_LAC1,垂足為E1 ,請猜想E1F1,萬A1C1與AB

11、三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.圖1圖2【例15如圖，在等腰 RtABC與等腰 RtDBE中， / BDE =/ACB=90 ,且 BE在AB 邊上，取AE的中點(diǎn)F, CD的中點(diǎn)G,連結(jié)GF.(1) FG與DC的位置關(guān)系是，F(xiàn)G與DC的數(shù)量關(guān)系是；(2)若將 BDE繞B點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)180 ,其它條件不變，請完成下圖，并判斷(1) 中的結(jié)論是否仍然成立？請證明你的結(jié)論.【難度】【答案】模塊三：構(gòu)造全等類知識精講本節(jié)主要針對常規(guī)圖形，添加合適的輔助線，如截長補(bǔ)短、倍長中線，添加平行線等 構(gòu)造全等的三角形，題目綜合性較強(qiáng)，考察同學(xué)們?nèi)热切闻卸ê托再|(zhì)的綜合運(yùn)用能力.例題解析【例16】數(shù)學(xué)課上，

12、張老師出示了問題：如圖 1,四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC 的中點(diǎn)./ AEF=90 ,且EF交正方形外角/ DCG 的平分線 CF于點(diǎn)F,求證： AE=EF.經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的解題思路：取 AB的中點(diǎn)M,連接ME,則 AM=EC,易證 AMEAECF,所以 AE=EF .在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究：(1)小穎提出：如圖2,如果把“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊BC上(除B, C外)的任意一點(diǎn)”，其它條件不變，那么結(jié)論 AE=EF”仍然成立，你認(rèn)為小穎的觀點(diǎn) 正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由；(2)小華提出：如圖3,點(diǎn)E是BC的延長線上(除

13、C點(diǎn)外)的任意一點(diǎn)，其他條件不 變，結(jié)論 AE=EF”仍然成立.你認(rèn)為小華的觀點(diǎn)正確嗎 ？如果正確，寫出證明過程；如 果不正確，請說明理由.【難度】【答案】【解析】【例17】已知 ABC為等邊三角形，點(diǎn) D為直線BC上的一動點(diǎn)(點(diǎn) D不與B、C重合)， 以AD為邊作等邊 ADF ,且 DE / AF , EF / AD,連接 CF .(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時，求證： BD=CF;AC=CF+CD;(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長線上且其他條件不變時，結(jié)論 AC=CF+CD是否成 立？若不成立，請寫出 AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長線

14、上且其他條件不變時，補(bǔ)全圖形，并直接寫出AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系.【難度】【答案】【解析】【例18】已知如圖1,在 ABC中，BC邊在直線l上，ACXBC,且AC=BC. EFP的邊FP也在直線l上，邊 EF與邊 AC重合，且 EF=FP.(1)在圖1中，請你通過觀察、測量，猜想并寫出AP與AB所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；(2)將4EFP沿直線l向左平移到圖14-2的位置時，EP交AC于點(diǎn)Q,連結(jié)AP,BQ.猜 想并寫出BQ與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請證明你的猜想；(3)將 EFP沿直線l向左平移到圖14-3的位置時，EP的延長線交 AC的延長線于 點(diǎn)Q,連結(jié)AP, BQ.你

15、認(rèn)為(2)中所猜想的 BQ與AP的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系還成 立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由.【例19】直線CD經(jīng)過/ BCA的頂點(diǎn)C, CA=CB. E、F分別是直線 CD上兩點(diǎn),且/ BEC=/ CFA=/ a.(1)若直線CD經(jīng)過/ BCA的內(nèi)部，且E、F在射線CD上，請解決下面兩個問題:|BE-AF|（填“，“”或“二”號）;圖 1,若/ BCA=90 , / a=90 ,貝 U EF如圖2,若0 /BCA 場邊形abdc*存在這樣一點(diǎn)，求出點(diǎn)求 m的取值范圍；若不存在，試說明理由.(2)點(diǎn)P是線段BD上的一個動點(diǎn)，連接PC, PO,當(dāng)點(diǎn)P在BD上移動時(不與B、D重合)(3)若點(diǎn). dcp+ B0P的值是否發(fā)生變化,并說明理由. .CPOP是線段AB上的動點(diǎn)，Sapc +S