14462-材料力學第六章

1、1 CHAPTER 6 彎 曲 變 形 DEFORMATION OF BEAMS DUE TO BENDING目錄2第六章 彎曲變形6-1 概述6-2 撓曲線的近似微分方程6-3 用積分法求梁的變形6-4 用疊加法求梁的變形6-5 梁的剛度條件及提高梁剛度的措施目錄目錄36-1 概 述7-1目錄456-1 概 述目錄66-1 概 述目錄76-2 撓曲線的近似微分方程1.基本概念撓曲線方程：由于小變形，截面形心在x方向的位移忽略不計撓度轉角關系為：撓曲線撓度轉角撓度y：截面形心在y方向的位移轉角：截面繞中性軸轉過的角度。逆時針為正7-2目錄向上為正82.撓曲線的近似微分方程推導彎曲正應力時，得到

2、：忽略剪力對變形的影響6-2 撓曲線的近似微分方程目錄9由數(shù)學知識可知：略去高階小量，得所以6-2 撓曲線的近似微分方程目錄10 由彎矩的正負號規(guī)定可得，彎矩的符號與撓曲線的二階導數(shù)符號一致，所以撓曲線的近似微分方程為： 由上式進行積分，就可以求出梁橫截面的轉角和撓度。6-2 撓曲線的近似微分方程目錄116-3 用積分法求梁的變形撓曲線的近似微分方程為：積分一次得轉角方程為：再積分一次得撓度方程為：7-3目錄12 積分常數(shù)C、D 由梁的位移邊界條件和光滑連續(xù)條件確定。位移邊界條件光滑連續(xù)條件 彈簧變形6-3 用積分法求梁的變形目錄13例1 求梁的轉角方程和撓度方程，并求最大轉角和最大撓度，梁的

3、EI已知。解：1）由梁的整體平衡分析可得：2）寫出x截面的彎矩方程3）列撓曲線近似微分方程并積分積分一次再積分一次ABF6-3 用積分法求梁的變形目錄144）由位移邊界條件確定積分常數(shù)代入求解5）確定轉角方程和撓度方程6）確定最大轉角和最大撓度ABF6-3 用積分法求梁的變形目錄15例2 求梁的轉角方程和撓度方程，并求最大轉角和最大撓度，梁的EI已知，l=a+b，ab。解：1）由梁整體平衡分析得：2）彎矩方程AC 段：CB 段：6-3 用積分法求梁的變形目錄163）列撓曲線近似微分方程并積分AC 段：CB 段：6-3 用積分法求梁的變形目錄174）由邊界條件確定積分常數(shù)代入求解，得位移邊界條件

4、光滑連續(xù)條件6-3 用積分法求梁的變形目錄185）確定轉角方程和撓度方程AC 段：CB 段：6-3 用積分法求梁的變形目錄196）確定最大轉角和最大撓度令 得，令 得，6-3 用積分法求梁的變形目錄20 比較上述結果可知，如用跨中撓度來代替最大撓度，其最大誤差僅為2.65%。 因此，在簡支梁中，不論受什么荷載作用，只要撓曲線上無拐點，最大撓度值都可用跨中撓度來代替，其精度能夠滿足工程計算的要求。 21討 論積分法求變形有什么優(yōu)缺點？6-3 用積分法求梁的變形目錄226-4 用疊加法求梁的變形 設梁上有n 個載荷同時作用，任意截面上的彎矩為M(x)，轉角為 ，撓度為y，則有： 若梁上只有第i個載

5、荷單獨作用，截面上彎矩為 ，轉角為 ，撓度為 ，則有：由彎矩的疊加原理知：所以，7-4目錄23故由于梁的邊界條件不變，因此重要結論： 梁在若干個載荷共同作用時的撓度或轉角，等于在各個載荷單獨作用時的撓度或轉角的代數(shù)和。這就是計算彎曲變形的疊加原理。6-4 用疊加法求梁的變形目錄24例3 已知簡支梁受力如圖示，q、l、EI均為已知。求C 截面的撓度yC ；B截面的轉角B1）將梁上的載荷分解yC1yC2yC32）查表得3種情形下C截面的撓度和B截面的轉角。解：6-4 用疊加法求梁的變形目錄25yC1yC2yC33） 應用疊加法，將簡單載荷作用時的結果求和 6-4 用疊加法求梁的變形目錄26例4 已

6、知：懸臂梁受力如圖示，q、l、EI均為已知。求C截面的撓度yC和轉角C1）首先，將梁上的載荷變成有表可查的情形 為了利用梁全長承受均布載荷的已知結果，先將均布載荷延長至梁的全長，為了不改變原來載荷作用的效果，在AB 段還需再加上集度相同、方向相反的均布載荷。 解：6-4 用疊加法求梁的變形目錄273）將結果疊加 2）再將處理后的梁分解為簡單載荷作用的情形，計算各自C截面的撓度和轉角。 6-4 用疊加法求梁的變形目錄28討 論疊加法求變形有什么優(yōu)缺點？6-4 用疊加法求梁的變形目錄296-5 梁的剛度條件及提高梁剛度的措施1.剛度條件 建筑鋼梁的許可撓度：機械傳動軸的許可轉角：精密機床的許可轉角

7、：7-5目錄30 根據(jù)要求，圓軸必須具有足夠的剛度，以保證軸承B 處轉角不超過許用數(shù)值。 B1）由撓度表中查得承受集中載荷的外伸梁B 處的轉角為： 解6-5 梁的剛度條件及提高梁剛度的措施目錄例5 已知鋼制圓軸左端受力為F20 kN，al m，l2 m，E=206 GPa。軸承B處的許可轉角 =0.5。根據(jù)剛度要求確定軸的直徑d。31例6 已知鋼制圓軸左端受力為F20 kN，al m，l2 m，E=206 GPa。軸承B處的許可轉角 =0.5。根據(jù)剛度要求確定軸的直徑d。B2）由剛度條件確定軸的直徑：6-5 梁的剛度條件及提高梁剛度的措施目錄326-5 梁的剛度條件及提高梁剛度的措施提高梁剛度的措施1）選擇合理的截面形狀目錄332）改善結構形式，減少彎矩數(shù)值改變支座形式6-5 梁的剛度條件及提高梁剛度的措施目錄342）改善結構形式，減少彎矩數(shù)值改變載荷類型6-5 梁的剛度條件及提高梁剛度的措施目錄3