復變函數(shù)第一章講義

1、復變函數(shù)第一章講義作者：日期：引言復數(shù)理論的產(chǎn)生、發(fā)展經(jīng)歷了漫長而又艱難的歲月。復數(shù)是16世紀人們在解代數(shù)方程時引入的。1545年意大利數(shù)學物理學家HCardan在所著重要的藝術一書中列出并解出將10分成兩部分，使其積為40的問題，即求方程x(10 x)40的根。他求出形式的根為5庶和5石，積為25(15)40。但由于這只是單純從形式上推廣而引進，并且人們原先就已斷言負數(shù)開平方是沒有意義的。因而復數(shù)在歷史上長期不能為人們所接受?！疤摂?shù)”這一名詞就恰好反映了這一點。直到十八世紀，JRDAlembert,LEuler等人逐步闡明了復數(shù)的幾何意義與物理意義，建立了系統(tǒng)的復數(shù)理論，從而使人們dt接受并

2、理解了復數(shù)。復數(shù)函數(shù)和理論基礎是在十九世紀奠定的，主要是圍繞Cauchy、Weierstrass和Riemann三人的工作進行的。到本世紀，復數(shù)函數(shù)論是數(shù)學的重要分支之一，隨著它的領域不斷擴大而發(fā)展成龐大的一門學科，在自然科學其它學科及數(shù)學的其它分支中，復數(shù)函數(shù)論都有著重要應用。第一章復數(shù)與復變函數(shù)教學重點：復變函數(shù)的極限和連續(xù)性教學難點：復平面上點集的n個概念教學基本要求：1、了解復數(shù)定義及其幾何意義，熟練掌握復數(shù)運算2、知道無窮遠點鄰域3、了解單連通區(qū)域與復連通區(qū)域4、理解復變函數(shù)、極限與連續(xù)1復數(shù)1、復數(shù)域形如zxiy或zxyi的數(shù),稱為復數(shù)，其中x和y均是實數(shù)，分別稱為z的實部和虛部，

3、記作xRez,yImz；i稱為虛單位。兩個復數(shù)乙Xiiy1,z2x2iy2,4z2為x2,%y2.虛部為零的復數(shù)可看作壬數(shù)。因此，全體實數(shù)是全體復數(shù)的一部分。xiy和xiy稱為互為共軻復數(shù)，記為xiyxiy或xiyxiy.復數(shù)四則運算規(guī)定為：Ziz2(x1x2)i(y1y2)ZiZ2(x1x2小幻i(x1y2x2y1)Z1%x2y丫222Z2x2yiyx2%y222x2y2(Z20)易驗證復數(shù)的四則運算滿足與實數(shù)的四則運算相應的運算規(guī)律。全體復數(shù)并引進上述運算后稱為復數(shù)域，必須特別提出的是，在復數(shù)域中，復數(shù)是不能比較大小的。2、復平面一個復數(shù)zxiy實際上是由一對有序實數(shù)(x,y)唯一確定，因

4、此，若平面上的點(x,y)與復數(shù)zxiy對應,就建立了平面上全部的點和全體復數(shù)間的一一對應關系。由于x軸上的點和y軸上非原點的點分別對應著實數(shù)和純虛數(shù)，因而通常稱x軸為實軸，y軸為虛軸，這樣表不復數(shù)z的平面稱為復平面或z平面。3、復數(shù)的模與幅角由圖1-1中可以知道，z與從原點到點z所引的向mOz也構成一一對應關系。從而，我們能夠借助于z的極坐標r和來確定點z,OZ的長度稱為復數(shù)z的模，記為r|ZJx2y20根據(jù)向量的運算及幾何知識，得到兩個重要的不等式:Z2oZ與實軸正向間的夾角非復數(shù)Z均有無窮多個幅角一個值為ArgZ的主值或ZZiZ2Z1Z2tan滿足x稱為Z的幅角(Arguent),記作，

5、以argZ表示其中一個特定值，并稱滿足條件的主幅角，則有ArgZargZ2k(k0,ArgZ,任一argZ的)1,2,注：當z0時，r0,幅角無意義從直角坐標與極坐標關系有Zr(cosisin)(三角形式)(1)若引進著名的Euler公式：eicosisin，則可化為zrei(指數(shù)形式)(2),由(2)及指數(shù)函數(shù)性質即可推得i(1Z1Z2nr2e2)Z1Z2臬2i(1因此ZlZ2Z)|Z2特別地，當Z1Z2ZZ2Hl時,有(cosnisinn)n例1.1求cos3及sin3例1.2例1.3ZiZ2arg(4Z2)nZnZ時，有Z(argZ1argZ2inninre)re,Z1、arg()arg

6、4Z2rn(cosnisinn)argZ2cosnisinn(DeMoivre公式)用cos與sin表示的式子。4、曲線的復數(shù)方程連接乙及Z2兩點的線段的參數(shù)方程為:Z4t(Z2Z1)(0t1)連接乙及4兩點的直線的參數(shù)方程為：ZZ1t(Z2Z平面上以原點心，k為半徑的圓周的方程為ZRZ1)上以R為半徑的圓周的方程為ZZ0例1.4Z平面上實軸的方程為ImZ0契復平面上的點集1、幾個基本概念Z平面虛ReZ定義1.N(Z0)1滿足不等式定義1.ZZ0的所有點Z組成的平面點集稱為Z0的-鄰域，記為2設E為一平面點集，若點Z。的任意鄰域內均有E的無窮多個點，則稱。為E的聚點;若0使得N(Z。)定義1.

7、3若E上的每個聚點都屬于集。E則稱為E的內點。E,則稱E為閉集；若E的所有點均為內點，則稱E為開定義1.4若M0,zE均有M,則稱E為有界集，否則稱E為無界集。2、區(qū)域與Jordan曲線定義1.5若非空點集D滿足下列兩個條件：(1)D為開集(2)D中任意兩點均可用全在D中的折線連接起來，則稱D為區(qū)域。定義1.6若z0為區(qū)域D的聚點，且zo不是D的內點，則稱zo為D的界點，D的所有界點組成D的邊界，記為D,若r0,stNr(Zo)0，則稱zo為D的外點。定義1.7區(qū)域D加上它的邊界C稱為閉區(qū)域，記為DDC。例1.5z平面上以點zo為心，R為半徑的圓周內部(即圓形區(qū)域)：Zz0R例1.6z平面上以

8、zo為心，R為半徑的圓周及其內部(即圓形閉區(qū)域)：ZZoR例1.7上半平面Imzo下半平面Imzo它們都是以實軸Imzo為邊界，且均為無界區(qū)域。左半平面Rezo右半平面Rezo它們以虛軸Rezo為邊界，且均為無界區(qū)域。例1.8圖17所示的帶形區(qū)域表為y11mZy2其邊界為yy1與yy2,亦為無界區(qū)域r與ZR,為有界區(qū)域。上的連續(xù)函數(shù)，則由方程ZZ(t)x(t)iy(t)(t)所確定的點集C稱為z平面上一條連續(xù)曲線，對任意滿足t1及t2的t1與t2，若t1t2時有Z(t1)Z(t2),則點Z(t1)稱為C的重點；無重點的連續(xù)曲線稱為簡單曲線(Jordan)；z()z()的Jordan曲線稱為簡單

9、閉曲線；若在t上時，x(t)及y(t)存在且不全為零，則稱C為光滑(閉)曲線。定義1.9由有限條光滑曲線連接而成的連續(xù)曲線稱為逐段光滑曲線。定理1-1(Jordan定理)任一簡單閉曲線C將z平面唯一地分為c,I(c)及E(c)三個點集(下圖)，它們是有如下性質：(1)彼此不交；(2)I(c)與E(c)一個為界區(qū)域(c的內部)，另一個為無界區(qū)域(C的外部)；(3)若簡單折線p的一個端點屬于I(c),另一個端點屬于E(c)，則p與c必有交點。對簡單閉曲線的方向，通常我們是這樣來規(guī)定的：當觀察者沿c繞行一周時，c的內部(或外部)始終在c的左方，即“逆時針”(或“順時針”)方向，稱為c的正方向(或負方

10、向)。定義1.10若平面上的區(qū)域D內任意一條簡單閉曲線的內部全含于D,則稱D為單連通區(qū)域，不是單連通區(qū)域稱為多連通區(qū)域。例如例1.51.8所示的區(qū)域均為單連通區(qū)域；例1.9所示區(qū)域為多連通區(qū)域。作業(yè)：P123.5.7.8復變函數(shù)一、教學目標或要求：掌握復變函數(shù)概念、反變換、極限與連續(xù)、比較與數(shù)學分析中同與不同二、教學內容(包括基本內容、重點、難點)：基本內容：復變函數(shù)概念、反變換、極限與連續(xù)、比較與數(shù)學分析中同與不同重點：比較與數(shù)學分析中異同點難點：比較與數(shù)學分析中異同點三、思考題、討論題、作業(yè)與練習：習題一11-19.復變函數(shù)的概念定義1.12設E為一復數(shù)集，若對E內每一復數(shù)z,有唯一確定的

11、復數(shù)w與之對應，則稱在E上確定了一個單值函數(shù)wf(z)，如對內每一復數(shù)z,有幾個或無窮多個w與之對應，則稱在E上確定了一個多值函數(shù)f(z),(zE),e稱為函數(shù)wf(z)的定義域。對于E,w值的全體所成集稱為函數(shù)wf(z)的值域。例|z|,z2，wz等均為單值函數(shù)。UziArgz等均為多值函數(shù)。注以后如不特別說明，所提函數(shù)均指單值函數(shù)。?復變函數(shù)一般有三種表示形式：f(z),(zE)?(2)若令zxiy,則有u(x,y)iv(x,y),(x,y)E)?(3)若令zr(cosisin),則有P(r,)iQ(r,)。？復變函數(shù)wf(z)的定義類似于數(shù)學分析中實函數(shù)yf(x)的定義，不同的是前者wf

12、(z)是復平面到復平面的映射，所以復變函數(shù)不能用同一個平面或同一個三維空間中的幾何圖形來表示。要描述wf(z)的圖形，可取兩張復平面，圖1.7分別稱為z平面與w平面，而把復變函數(shù)理解為兩個復平面上的點集間的對應，如圖1.7所示.具體地說，復變函數(shù)wf(z)給出了從z平面上的點集D到w平面上的點集F間的一個對應關系，與點zD對應的點wf(z)稱為z點的象點，而z點就稱為wf(z)的原象.定義1.13若對z平面上點集E的任一點z,有平面上點集F的點由，使得wf(z)，則稱wf(z)把百變(映)入尸(簡記為f(E)F)，或稱wf(z)是與到尸的入變換。定義1.14若f(E)F,且對F任一點，有式的點

13、胃，使得田.,，則稱出./仁)把不變(映)成F,簡記為/=尸，或稱心/是否到產(chǎn)的滿變換。定義1.15若B(Z)是點集豆到F的滿變換，且對F中的每一點0，在E中有一個或至少兩個點與之相對應，則在F上確定了一個單值或多值函數(shù)，記為工二/，稱為的57反函數(shù)；若是產(chǎn)到區(qū)的單值變換，則稱色/(幻是下到F的雙方單值變換或變換。一2.例函數(shù)z把z平面上的下列曲線度為W平面上的何種曲線？(1)以原點為心,2為半徑，在第一象限里的圓?。粌A角3的直線；22)雙曲線xy4；解：(1)設zxiyr(cosisin),wuivR(cosisin)2w4,0argz因為Rr，2,故得(i)當z2時a2時，0argz.故以

14、原點為心.2為半徑.在第一象限里的園弧變?yōu)閃。平面上以原點為心.4為半徑.在上半面的園弧。l1:argzl1:argz(2)傾角3的直線；即為兩條射線：3及33時經(jīng)變化2argw2argz2v.因ywxy4故u=4又7Z在雙曲線u是一條射線.且與射線L重合。i2xy,故xy因xy在y,v22一、xy4上變動時v2argzargw2argzargz當3時經(jīng)變化得3為射線L.當(-8,+8)上變動。因此.z的象wuiv是這樣的點：其實都U恒為4.其實部v2xye(-8,+8),因此滿足上述條件的點所成立之集是平行于虛軸的一條直線u=4。2.復變函數(shù)的極限與連續(xù)性定義1.16設wf(z)于點集E上有

15、定義，z0為E的聚點。如果存在一復數(shù)w0,使對任給的0,有0,只要0|zz0|,zE。就有1fw0|limf(z)w0則稱函數(shù)wf(z)沿E于z0有極限w0。并記為zz0。limf(z)w0注極限zz00與趨于z0的方式無關。即z要沿從四面八方通向z0的任何路徑趨于z0。這是與實函數(shù)的極限的不同之處。？下述定理給出了復變函數(shù)極限與其實部和虛部極限的關系定理1.2設函數(shù)f(z)u(x,y)iv(x,y)于點集E上有定義，z0 x。iy。，則lzmfaib?的充要條件是(x,y)linLy0)u(X,y)a,?證由極限定義易證。下面再引入復變函數(shù)連續(xù)性的概念，其定義與實函數(shù)的連續(xù)性是相似的。定義1

16、.17設wf(z)子點集E上有定義，z0為E的聚點，且z0E。若limf(z)f(4)zz0即對任給的0,0,只要zz0,zE,就有f(z)f(z。)則稱f(z)沿E于z0連續(xù)。?定理1.3設函數(shù)/+z()于點集式上有定義，豆亙，則了沿在點。十佻連續(xù)的充要條件是：二元實變函數(shù)火工加),Mk/)沿/于點打)連續(xù)。上述定理告訴我們：判斷復變函數(shù)是否連續(xù)，只需看其實部、虛部是否連點無極限，從而在原點不連續(xù)。證令變點66+工28）,則=sin26血1/（己）=0nn從而ZQ八,（沿正實軸日=口）而沿第一象限的平分角線4,2T0時，/T1。故,（力在原點無確定的極限，從而在原點不連續(xù)。lim例試證z0Rezz不存在。Rezx證設zxiy，則zxiylimx0ykxRezzlimx0ykxxxikx11ik顯然，k取不同值時，1值1ik也不同，故極限lzm0Rezz不存在。定義1.18如函數(shù)fu(x,y)iv(x,y)在點集E上各點均連續(xù)，則稱wf（z）在E上連續(xù)。例設了在點詼連續(xù)，且了（小0,則加）在點%的某以鄰域內恒不為0.?ffi因了在點分連續(xù)，則甲岑0/：。，只要卜一叫0因此，/在了鄰域屯區(qū)）內就恒不為o。在數(shù)學分析中，閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有三個重要性質：有界性、達到最值及一致連