課件概率2第二節(jié)

1、第二節(jié) 方 差 由第一節(jié)我們知道，隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望可以反映變量取值的平均程度，但僅用數(shù)學(xué)期望描述一個(gè)變量的取值情況是遠(yuǎn)不夠的。我們?nèi)杂妙愃朴诘谝还?jié)中的例子來(lái)說(shuō)明。 假設(shè)甲乙兩射手各發(fā)十槍，擊中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù)分別為 容易算得，二人擊中環(huán)數(shù)的平均值都是8.8環(huán)，現(xiàn)問(wèn)，甲、乙二人哪一個(gè)水平發(fā)揮的更穩(wěn)定？甲 9 8 10 8 9 8 8 9 10 9乙 6 7 9 10 10 9 10 8 9 10 直觀的理解，二選手中哪一個(gè)擊中的環(huán)數(shù)偏離平均值越少，這個(gè)選手發(fā)揮的更穩(wěn)定一些。為此我們利用二人每槍擊中的環(huán)數(shù)距平均值的偏差的均值來(lái)比較。為了防止偏差 和的計(jì)算中出現(xiàn)正、負(fù)偏差相抵的情況，應(yīng)由偏差的絕對(duì)值之

2、和求平均更合適。對(duì)于甲選手，偏差絕對(duì)值之和為：對(duì)乙選手，容易算得偏差絕對(duì)值之和為 10.8 環(huán)，所以甲、乙二人平均每槍偏離平均值為0.64 環(huán)和 1.08 環(huán)，因而可以說(shuō)，甲選手水平發(fā)揮更穩(wěn)定些。 類似的，為了避免運(yùn)算式中出現(xiàn)絕對(duì)值符號(hào)。我們也可以采用偏差平方的平均值進(jìn)行比較。為此我們引入以下定義： 定義 對(duì)隨機(jī)變量 X ，如果數(shù)學(xué)期望 存在，且 的數(shù)學(xué)期望也存在 ，則稱 的值為隨機(jī)變量X 的方差，記為 由前面的例子容易理解，方差反映了隨機(jī)變量取值相對(duì)于均值 的分散程度，即反映 X 取值的穩(wěn)定性。應(yīng)當(dāng)注意，對(duì)隨機(jī)變量 X 而言，其數(shù)學(xué)期望 是一常數(shù)，而 與 是隨機(jī)變量，利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)可得即

3、 。這是方差運(yùn)算中一個(gè)常用的公式。 為了保證變量量綱的一致性，我們稱方差的平方根 為隨機(jī)變量 X 的標(biāo)準(zhǔn)差或均方差，記為即： 例1 對(duì)服從（01）分布的隨機(jī)變量 X ，分布列為求 X 的方差。已知 而且則 X 的方差為解 例2 設(shè)隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為 的泊松分布，求在本章第一節(jié)的例11中我們已經(jīng)知道從而解 例3 對(duì)服從a，b區(qū)間上均勻分布的隨機(jī)變量X ，計(jì)算已知 ，且解從而例4 已知 求由方差的定義可得解作代換 則由此可知，正態(tài)分布 的兩個(gè)參數(shù)和 分別表示隨機(jī)變量 X 的均值和方差。關(guān)于方差的性質(zhì)，常見(jiàn)的有以下幾條：證明(4) 若X與Y相互獨(dú)立,則已知 從而因性質(zhì)（5）要用到復(fù)雜一些的數(shù)學(xué)

4、知識(shí)，略去證明過(guò)程。 性質(zhì) （4）可以推廣到多個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的情形。例如，當(dāng) 相互獨(dú)立時(shí)，成立 例5 設(shè)隨機(jī)變量 X 服從二項(xiàng)式分布 ，試求 由上節(jié)中的例14 知 其中 服從同一（01）分布： 且 相互獨(dú)立。又由本節(jié)例 1 有 于是可得：解 例6 設(shè)隨機(jī)變量 X 的期望E（X）和方差D（X ）都存在，則稱為 X 的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量，試求 和 注意到 均為常數(shù)，再由期望及方差的性質(zhì)可得：解 可見(jiàn)，標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量的期望是 0 ，方差是1 。因此，把隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)化，可以使所討論的問(wèn)題變得較簡(jiǎn)單，這種處理問(wèn)題的方法在概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中時(shí)有應(yīng)用。例如，隨機(jī)變量 X 服從正態(tài)分布 把 X 標(biāo)準(zhǔn)化 則 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布