山東大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件10貝努里概型和二項(xiàng)分布

1、例1 設(shè)生男孩的概率為p,生女孩的概率為q=1-p，令X表示隨機(jī)抽查出生的4個(gè)嬰兒中“男孩”的個(gè)數(shù).貝努里概型和二項(xiàng)分布一、我們來求X的概率分布.X的概率函數(shù)是：男女X表示隨機(jī)抽查的4個(gè)嬰兒中男孩的個(gè)數(shù)，生男孩的概率為 p.X=0X =1X =2X =3X =4X可取值0,1,2,3,4.例2 將一枚均勻骰子拋擲3次，令X 表示3次中出現(xiàn)“4”點(diǎn)的次數(shù)X的概率函數(shù)是：不難求得， 擲骰子：“擲出4點(diǎn)”，“未擲出4點(diǎn)” 一般地，設(shè)在一次試驗(yàn)中我們只考慮兩個(gè)互逆的結(jié)果：A或 ， 或者形象地把兩個(gè)互逆結(jié)果叫做“成功”和“失敗”. 新生兒：“是男孩”，“是女孩” 抽驗(yàn)產(chǎn)品：“是正品”，“是次品” 這樣的

2、n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)稱作n重貝努里試驗(yàn)，簡稱貝努里試驗(yàn)或貝努里概型. 再設(shè)我們重復(fù)地進(jìn)行n次獨(dú)立試驗(yàn) ( “重復(fù)”是指這次試驗(yàn)中各次試驗(yàn)條件相同 )， 每次試驗(yàn)成功的概率都是p，失敗的概率都是q=1-p. 用X表示n重貝努里試驗(yàn)中事件A（成功）出現(xiàn)的次數(shù)，則（2）不難驗(yàn)證：（1）稱r.vX服從參數(shù)為n和p的二項(xiàng)分布，記作 XB(n,p)當(dāng)n=1時(shí)，P(X=k)=pk(1-p)1-k,k=0,1稱X服從兩點(diǎn)分布例3 已知100個(gè)產(chǎn)品中有5個(gè)次品，現(xiàn)從中有放回地取3次，每次任取1個(gè)，求在所取的3個(gè)中恰有2個(gè)次品的概率.解: 因?yàn)檫@是有放回地取3次，因此這3 次試驗(yàn)的條件完全相同且獨(dú)立，它是貝努里試驗(yàn).

3、依題意，每次試驗(yàn)取到次品的概率為0.05.設(shè)X為所取的3個(gè)中的次品數(shù)，于是，所求概率為：則X B (3, 0.05)，注：若將本例中的“有放回”改為”無放回”，那么各次試驗(yàn)條件就不同了，不是貝努里概型，此時(shí)，只能用古典概型求解.古典概型與貝努里概型不同，有何區(qū)別？請思考： 貝努里概型對試驗(yàn)結(jié)果沒有等可能的要求，但有下述要求：（1）每次試驗(yàn)條件相同；二項(xiàng)分布描述的是n重貝努里試驗(yàn)中出現(xiàn)“成功”次數(shù)X的概率分布.（2）每次試驗(yàn)只考慮兩個(gè)互逆結(jié)果A或 ， 且P(A)=p ， ； （3）各次試驗(yàn)相互獨(dú)立.可以簡單地說，例4 某類燈泡使用時(shí)數(shù)在1000小時(shí)以上的概率是0.2，求三個(gè)燈泡在使用1000小時(shí)

4、以后最多只有一個(gè)壞了的概率.解: 設(shè)X為三個(gè)燈泡在使用1000小時(shí)已壞的燈泡數(shù) . X B (3, 0.8)，把觀察一個(gè)燈泡的使用時(shí)數(shù)看作一次試驗(yàn),“使用到1000小時(shí)已壞”視為“成功”.每次試驗(yàn),“成功”的概率為0.8 P(X 1) =P(X=0)+P(X=1)=(0.2)3+3(0.8)(0.2)2=0.104 對于固定n及p，當(dāng)k增加時(shí) ,概率P(X=k) 先是隨之增加直至 達(dá)到最大值, 隨后單調(diào)減少.二項(xiàng)分布的圖形特點(diǎn)：XB(n,p)當(dāng)(n+1)p不為整數(shù)時(shí)，二項(xiàng)概率P(X=k)在k=(n+1)p達(dá)到最大值；( x 表示不超過 x 的最大整數(shù))n=10,p=0.7kPk 對于固定n及p

5、，當(dāng)k增加時(shí) ,概率P(X=k) 先是隨之增加直至 達(dá)到最大值, 隨后單調(diào)減少.二項(xiàng)分布的圖形特點(diǎn)：XB(n,p)當(dāng)(n+1)p為整數(shù)時(shí)，二項(xiàng)概率P(X=k)在k=(n +1)p和k =(n+1)p-1處達(dá)到最大值.課下請自行證明上述結(jié)論.n=13,p=0.5Pkk0二、二項(xiàng)分布的泊松近似 當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí)，計(jì)算二項(xiàng)概率變得很麻煩. 我們先來介紹二項(xiàng)分布的泊松近似，后面我們將介紹二項(xiàng)分布的正態(tài)近似.必須尋求近似方法.證明見教材. 定理的條件意味著當(dāng) n很大時(shí)，pn 必定很小. 因此，泊松定理表明，當(dāng) n 很大，p 很小時(shí)有以下近似式：泊松定理設(shè) 是一個(gè)正整數(shù)， ，則有其中 n 100, np

6、 9 時(shí)近似效果就較好.實(shí)際計(jì)算中，其中 例5 為保證設(shè)備正常工作，需要配備適量的維修人員 . 設(shè)共有300臺設(shè)備，每臺的工作相互獨(dú)立，發(fā)生故障的概率都是0.01.若在通常的情況下，一臺設(shè)備的故障可由一人來處理 . 問至少應(yīng)配備多少維修人員，才能保證當(dāng)設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率小于0.01?我們先對題目進(jìn)行分析： 300臺設(shè)備，獨(dú)立工作，出故障概率都是0.01. 一臺設(shè)備故障一人來處理. 問至少配備多少維修人員，才能保證當(dāng)設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率小于0.01? 設(shè)X為300臺設(shè)備同時(shí)發(fā)生故障的臺數(shù)，300臺設(shè)備，獨(dú)立工作，每臺出故障概率p=0.01 . 可看作n=300的貝努里概型.XB(n,p)，n=300, p=0.01可見， 300臺設(shè)備，獨(dú)立工作，出故障概率都是0.01 . 一臺設(shè)備故障一人來處理. 問至少配備多少維修人員，才能保證當(dāng)設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率小于0.01?設(shè)X為300臺設(shè)備同時(shí)發(fā)生故障的臺數(shù)，XB(n,p)，n=300, p=0.01設(shè)需配備N個(gè)維修人員，所求的是滿足P(XN) N) N) n大,p小,np=3,用 =np=3的泊松近似下面給出正式求解過程：即至少需配備8個(gè)維修人員.查書末的泊松分布表得N+1 9,即N 8我們求滿足的最小的N.我們介紹了二項(xiàng)分布.二