高考理科數(shù)學(xué)：專題（6）數(shù)列

1、專題六 數(shù)列目 錄CONTENTS考點(diǎn)一 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法1考點(diǎn)二 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和2考點(diǎn)四 數(shù)列的綜合應(yīng)用4考點(diǎn)三 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和32考點(diǎn)一 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法必備知識(shí) 全面把握核心方法 重點(diǎn)突破考法例析 成就能力必備知識(shí) 全面把握1數(shù)列的概念按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)例如，前后項(xiàng)之間形成固定關(guān)系的有序的一列數(shù)；自變量?jī)H取正整數(shù)，圖像是離散點(diǎn)的特殊函數(shù)；每一項(xiàng)都與其項(xiàng)數(shù)及某定值形成固定關(guān)系的一列數(shù)；每一項(xiàng)與其對(duì)應(yīng)的前n項(xiàng)和形成固定關(guān)系的一列數(shù)；可以通過歸納的方法，找到表達(dá)式，并且對(duì)于每一項(xiàng)的檢驗(yàn)都恒成立的一列數(shù)考點(diǎn)一 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)

2、單表示法5圖像法；列表法；通項(xiàng)公式法；遞推公式法通項(xiàng)公式：如果數(shù)列an中的第n項(xiàng)an與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式 來表示，則稱此公式為數(shù)列的通項(xiàng)公式.2數(shù)列的表示方法 an與an是兩種不同的表示，an表示數(shù)列a1，a2，an，是數(shù)列的一種簡(jiǎn)記形式；而an只表示數(shù)列an的第n項(xiàng)，an與an是“個(gè)體”與“整體”的從屬關(guān)系遞推公式：如果從數(shù)列an的第2項(xiàng)起，任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an1(或前n項(xiàng)和Sn)間的關(guān)系可以用某個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式考點(diǎn)一 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法6按項(xiàng)數(shù)分類：有窮數(shù)列，無(wú)窮數(shù)列按項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系分類：遞增數(shù)列，遞減數(shù)列，常數(shù)列，擺動(dòng)數(shù)列3數(shù)列的分

3、類考點(diǎn)一 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法7一方面，數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，因此在解決數(shù)列問題時(shí)，要善于利用函數(shù)的思想方法來解題，即用共性來解決特殊問題另一方面，還要注意數(shù)列的特殊性(離散型)，因?yàn)樗亩x域是N*或它的有限子集1，2，n，所以它的圖像是一系列孤立的點(diǎn)，而不是連續(xù)的曲線4函數(shù)與數(shù)列的聯(lián)系與區(qū)別考點(diǎn)一 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法8已知數(shù)列為等差或等比數(shù)列，用等差、等比數(shù)列的公式、性質(zhì)等解決；5解決數(shù)列問題的一般方法形似函數(shù)的數(shù)列，可以應(yīng)用函數(shù)的方法，同時(shí)注意與函數(shù)的區(qū)別形似等差、等比的數(shù)列，可以聯(lián)想、類比、派生、轉(zhuǎn)化為等差、等比 數(shù)列；考點(diǎn)一 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法9核心方法重點(diǎn)突破方法1 由a

4、n與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)an數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn與an的關(guān)系為 先通過anSnSn1(n2)和題目中的已知條件消去an或Sn，再構(gòu)造等差數(shù)列或者等比數(shù)列求解(1)若消去Sn，應(yīng)利用已知遞推公式，把n換成n1得到另一個(gè)式子，兩式相減即可求得通項(xiàng)考點(diǎn)一 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法10(2)若消去an，只需把a(bǔ)nSnSn1代入遞推式得到Sn，Sn1的關(guān)系，求出Sn后再利用an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)在求解時(shí)一定要記?。?1)當(dāng)n1時(shí)，a1S1；(2)當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1.將n1時(shí)的表達(dá)式與n2時(shí)的表達(dá)式綜合在一起，若a1適合n2時(shí)an的通項(xiàng)公式，則可以合并在一起，否則寫成分段形式方法1 由an與Sn的關(guān)系求

5、通項(xiàng)an考點(diǎn)一 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法11【解】(1)當(dāng)n1時(shí)，a1S11；當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n5.又a11也適合上式，因此an4n5(nN*)例1 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn，求an的通項(xiàng)公式(1)Sn2n23n；(2)Sn3nb.(2)當(dāng)n1時(shí)，a1S13b；當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1(3nb)(3n1b)23n1.當(dāng)b1時(shí)，a1適合上式；當(dāng)b1時(shí)，a1不適合上式當(dāng)b1時(shí)，an23n1(nN*)；當(dāng)b1時(shí)，an考點(diǎn)一 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法12【解析】當(dāng)n1時(shí)，a16；當(dāng)n2時(shí)，由a12a23a3nann(n1)(n2)得a12a23a3(n1)a

6、n1(n1)n(n1)，兩式相減得nann(n1)(n2)(n1)n(n1)3n(n1)，所以an3n3，當(dāng)n1時(shí)也成立，故an3n3.例2 數(shù)列an滿足a12a23a3nann(n1)(n2)(nN*)，則這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式an_【答案】3n3考點(diǎn)一 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法13【解】(1)由S1A2Ba15，S2A4Ba1a29，得A2，B1.例3 在數(shù)列an中，a15，a24，數(shù)列an的前n項(xiàng)和SnA2nB(A，B為常數(shù))(1)求實(shí)數(shù)A，B的值；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式(2)因?yàn)镾n2n11，所以an當(dāng)n1時(shí)，a1S12215；當(dāng)n2時(shí)，anSnSn12n11(2n1)2n.所以an考點(diǎn)

7、一 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法14方法2 數(shù)列的單調(diào)性、最值、周期性等性質(zhì)的應(yīng)用(1)解決數(shù)列的單調(diào)性問題可用以下三種方法：作差比較法：根據(jù) an+1-an的符號(hào)進(jìn)行判斷；作商比較法：當(dāng)an中各項(xiàng)都同號(hào)時(shí)，根據(jù) 與1的大小關(guān)系進(jìn)行判斷；結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖像直觀判斷(3)解決數(shù)列周期性問題的方法：根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期求值(2)數(shù)列的最值通常利用函數(shù)最值的方法或者數(shù)列的單調(diào)性求解考點(diǎn)一 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法15【解析】an 且數(shù)列an是遞增數(shù)列，則 2a3，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2，3)【答案】(2，3)例4 已知數(shù)列an滿足an 且an是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍

8、是_考點(diǎn)一 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法16【解析】由任意連續(xù)三項(xiàng)的和都是15得anan1an2an1an2an3，則anan3，所以a12a35，且a2a3a415，則a29，所以a2 018a36722a29.例5 在數(shù)列an中，若a41，a125，且任意連續(xù)三項(xiàng)的和都是15，則a2 018_【答案】9考點(diǎn)一 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法17例6 等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知S100，S1525，則nSn的最小值為_【答案】49考點(diǎn)一 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法18考法例析成就能力本考點(diǎn)是高考的熱點(diǎn)，主要考查(3)利用數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)求最值等，主要以填空題、解答題的形式呈現(xiàn)，難度有所下降(2)由an與

9、Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式；(1)由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式；考點(diǎn)一 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法19例1 課標(biāo)全國(guó)201814記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和若Sn2an1，則S6_.考法1 由an與Sn的關(guān)系求值【解析】方法一：Sn2an1(n1)， Sn12an11(n2) 當(dāng)n2時(shí)，得an2an2an1，an2an1. 當(dāng)n1時(shí)，S1a12a11，解得a11. 數(shù)列an是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列S6 =-63考點(diǎn)一 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法20方法二：由題知當(dāng)n2時(shí)，Sn2(SnSn1)1，Sn2Sn2Sn11，Sn2Sn11.構(gòu)造Sn2(Sn1)，Sn2Sn12，Sn2Sn1.兩式對(duì)應(yīng)項(xiàng)相等，1.

10、當(dāng)n1時(shí)，S1a12a11，解得a11，S112.Sn1是以S112為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列Sn122n12n，Sn12n，S612663.【答案】63考點(diǎn)一 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法21例2 課標(biāo)全國(guó)201516設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且a11，an1SnSn1，則Sn_.【解析】an1SnSn1，Sn1SnSnSn1.兩邊同時(shí)除以SnSn1，得 1.又 1， 是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列 1(n1)(1)n，Sn【答案】考點(diǎn)一 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法22例3 課標(biāo)全國(guó)文201717設(shè)數(shù)列an滿足a13a2(2n1)an2n.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列 的前n項(xiàng)和【解】(1)

11、因?yàn)閍13a2(2n1)an2n，故當(dāng)n2時(shí)，a13a2(2n3)an12(n1)兩式相減得(2n1)an2.所以an (n2)又由題設(shè)可得a12，滿足an ， 從而an的通項(xiàng)公式為an .考點(diǎn)一 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法23考點(diǎn)一 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法例3 課標(biāo)全國(guó)文201717設(shè)數(shù)列an滿足a13a2(2n1)an2n.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列 的前n項(xiàng)和24(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； (2)記數(shù)列 的前n項(xiàng)和為Tn，求使得|Tn1| 成立的n的最小值例4 四川201516設(shè)數(shù)列an(n1，2，3，)的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn2ana1，且a1，a21，a3成等差數(shù)列考點(diǎn)一 數(shù)列

12、的概念與簡(jiǎn)單表示法25【解】(1)由已知Sn2ana1，得anSnSn12an2an1(n2)，即an2an1(n2)從而a22a1，a32a24a1.又因?yàn)閍1，a21，a3成等差數(shù)列，所以a1a32(a21)，即a14a12(2a11)，解得a12.所以數(shù)列an是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列故an2n.考點(diǎn)一 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法26考點(diǎn)一 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法27考法2 利用數(shù)列的單調(diào)性求最值例5、已知數(shù)列an滿足a12a222a32n1ann，nN*.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列(2n13)an的最大項(xiàng)【解】(1)a12a222a32n1ann，當(dāng)n2時(shí)，a12a222

13、a32n2an1n1， 得2n1an1，an ，n2.又n1時(shí)，a11也適合，an ，nN*.考點(diǎn)一 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法28考點(diǎn)一 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法29考法3 數(shù)列的新定義問題例6 課標(biāo)全國(guó)201612定義“規(guī)范01數(shù)列”an如下：an共有2m項(xiàng)，其中m項(xiàng)為0，m項(xiàng)為1，且對(duì)任意k2m，a1，a2，ak中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù)若m4，則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有() A18個(gè) B16個(gè) C14個(gè) D12個(gè)考點(diǎn)一 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法30【解析】當(dāng)m4時(shí)，數(shù)列共有8項(xiàng)，由題可知，a10，a81，分類考慮：當(dāng)前四項(xiàng)全為0時(shí)，后四項(xiàng)全為1，滿足條件，有1個(gè)；當(dāng)前四項(xiàng)有三項(xiàng)為0時(shí)，第2，3

14、，4項(xiàng)任取兩項(xiàng)為0，第5，6，7項(xiàng)任取一項(xiàng)為0，共有C32C319(個(gè))；當(dāng)前四項(xiàng)有兩項(xiàng)為0時(shí)，則第2或3項(xiàng)為0，第5項(xiàng)一定為0，第6，7項(xiàng)有一項(xiàng)為0，共有C21C214(個(gè))綜上，共有19414(個(gè))【答案】C考點(diǎn)一 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法31考點(diǎn)二 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和必備知識(shí) 全面把握核心方法 重點(diǎn)突破考法例析 成就能力32必備知識(shí) 全面把握考點(diǎn)二 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示1等差數(shù)列的定義如果a，b，c成等差數(shù)列，那么b為a，c的等差中項(xiàng)，其中b=

15、 . 2等差中項(xiàng)33 (1)等差數(shù)列的定義具有兩重性，既可以判定一個(gè)數(shù)列是否為等差數(shù)列，也可以作為等差數(shù)列的一個(gè)性質(zhì)(2)a，b，c成等差數(shù)列是2bac的充要條件(3)等差中項(xiàng)的推廣： (n2，np)考點(diǎn)二 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和34(1)在通項(xiàng)公式中包含四個(gè)量，a1(首項(xiàng))、d(公差)、n(序號(hào))、an(第n項(xiàng))，知三求一；3等差數(shù)列的通項(xiàng)公式通項(xiàng)公式：ana1(n1)d (nN*)(2)由通項(xiàng)公式可推出.注意把握：考點(diǎn)二 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和35(3)用函數(shù)觀點(diǎn)理解通項(xiàng)公式an是定義在N*或其有限子集1，2，3，n上的一次函數(shù)(d0)或常數(shù)函數(shù)(d0)反之，若anndb，則an1and(n1

16、)bndbd，可知數(shù)列an為等差數(shù)列因此有結(jié)論：數(shù)列an是等差數(shù)列 anndb.這個(gè)結(jié)論深刻揭示了等差數(shù)列的本質(zhì)特征：當(dāng)d0時(shí)，an是定義在N*或1，2，3，4，n上的一次函數(shù)；當(dāng)d0時(shí)，an是一個(gè)常數(shù)函數(shù)等差數(shù)列的圖像是均勻分布在直線ydxb上的離散的點(diǎn)(當(dāng)x取正整數(shù)時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn))，即點(diǎn)的坐標(biāo)為(n，an)，這樣可把一次函數(shù)的某些性質(zhì)用于等差數(shù)列an考點(diǎn)二 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和36 通項(xiàng)公式：ana1(n1)d和anam(nm)d的變式為 ，由此可聯(lián)想點(diǎn)列(n，an)所在直線的斜率由數(shù)列的單調(diào)性定義，易得an為遞增數(shù)列 d0；an為遞減數(shù)列 d0；an為常數(shù)列 d0.4等差數(shù)列的單調(diào)性考點(diǎn)二

17、等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和375等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式考點(diǎn)二 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和前n項(xiàng)和公式：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式整理得從函數(shù)觀點(diǎn)理解前n項(xiàng)和公式，得到結(jié)論：數(shù)列an是等差數(shù)列 SnAn2Bn(其中A，B為常數(shù))這個(gè)結(jié)論深刻揭示了等差數(shù)列前n項(xiàng)和的本質(zhì)特征：當(dāng)d0時(shí)，Sn是定義在N*或1，2，3，4，n上的二次函數(shù)，且常數(shù)項(xiàng)為0；當(dāng)d0時(shí)，Sna1n是一個(gè)一次函數(shù)或常數(shù)0.因此，當(dāng)d0時(shí)，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的圖像是分布在拋物線yAn2Bn上的一系列離散的點(diǎn)(當(dāng)n取正整數(shù)時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn))于是，我們就可以借助拋物線來研究Sn的變化規(guī)律38 若a10，d0，Sn有最大值，可由不等式 來確定n；若a10，d

18、0，Sn有最小值，可由不等式組 來確定n.考點(diǎn)二 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和396關(guān)于等差數(shù)列an的常用結(jié)論(1)對(duì)于任意正整數(shù)n，都有an1ana2a1.(2)對(duì)于任意正整數(shù)m，n，p，q，若m+n=p+q,則am+an=ap+aq.(3)對(duì)于任意正整數(shù)p，q，r，若pr2q，則有apar2aq.(4)對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)b，若數(shù)列ban是等差數(shù)列，則數(shù)列an也是等差數(shù)列(5)若數(shù)列an，bn都是等差數(shù)列且項(xiàng)數(shù)相同，則kbn，anbn，anbn，panqbn都是等差數(shù)列考點(diǎn)二 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和40(10)若數(shù)列an為等差數(shù)列，則SnAn2Bn，當(dāng)d0時(shí)，Sn有最小值；當(dāng)d0時(shí)，Sn有最大值(9)若

19、數(shù)列an為等差數(shù)列，且Spq，Sqp，則Spq(pq)，pq.(8)若數(shù)列an為等差數(shù)列，且SnSm(mn)，則Smn0.(7)若數(shù)列an為等差數(shù)列，則S3m3(S2mSm)(6)在等差數(shù)列中，每隔相同的項(xiàng)抽出來的項(xiàng)按照原來順序排列，構(gòu)成的新數(shù)列仍然是等差數(shù)列考點(diǎn)二 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和41(11)若數(shù)列an為等差數(shù)列，若數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2n1(nN*)，設(shè)S奇，S偶分別為所有奇數(shù)項(xiàng)的和與所有偶數(shù)項(xiàng)的和，則S奇S偶S2n1 (a1a2n1)(2n1)(2n1)an1(an1為中間項(xiàng))，S奇S偶an1， 若數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2n(nN*)，則S2n (a1a2n)2nn(anan1)(an，an1為中間兩

20、項(xiàng))考點(diǎn)二 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和42(12)若數(shù)列an是等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn，則數(shù)列 也是等差數(shù)列，其首項(xiàng)與數(shù)列an的首項(xiàng)相同，公差是數(shù)列an的公差的 .(13)若數(shù)列an，bn都是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，則(15)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sm，S2m，S3m，S4m，分別為數(shù)列an的前m項(xiàng)，前2m項(xiàng)，前3m項(xiàng)，前4m項(xiàng)，的和，則Sm，S2mSm，S3mS2m，成等差數(shù)列(14)若三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則通常可設(shè)這三個(gè)數(shù)分別為xd，x，xd；若四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則通?？稍O(shè)這四個(gè)數(shù)分別為x3d，xd，xd，x3d.考點(diǎn)二 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和43核心方法 重點(diǎn)突破方法1 等

21、差數(shù)列的判定與證明等差數(shù)列的判定與證明方法：(1)定義法：用定義法時(shí)常采用的兩個(gè)式子anan1d和an1and有差別，前者必須加上“n2”，否則n1時(shí)a0無(wú)意義；(3)通項(xiàng)公式法：anpnq(p，q為常數(shù))對(duì)任意的正整數(shù)n都成立an是等差數(shù)列；(2)等差中項(xiàng)法：2anan1an1(n2，nN*)成立an是等差數(shù)列；考點(diǎn)二 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和44(6)若判斷一個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列，只需找出三項(xiàng)an，an1，an2，使得這三項(xiàng)不滿足2an1anan2即可(5)an為等比數(shù)列，an0 logaan為等差數(shù)列(a0且a1)；(4)前n項(xiàng)和公式法：驗(yàn)證數(shù)列an的前n項(xiàng)和SnAn2Bn(A，B為常數(shù))對(duì)任

22、意的正整數(shù)n都成立an是等差數(shù)列；考點(diǎn)二 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和45例1 (1)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn3n22n，求證：數(shù)列an是等差數(shù)列；(2)已知 成等差數(shù)列，求證： 也成等差數(shù)列【證明】(1)當(dāng)n1時(shí)，a1S1321.當(dāng)n2時(shí)，anSnSn13n22n3(n1)22(n1)6n5.當(dāng)n1時(shí)，也滿足上式，an6n5.首項(xiàng)a11，anan16n56(n1)56(常數(shù))，數(shù)列an是等差數(shù)列，且公差為6.考點(diǎn)二 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和46考點(diǎn)二 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和例1 (1)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn3n22n，求證：數(shù)列an是等差數(shù)列；(2)已知 成等差數(shù)列，求證： 也成等差數(shù)列47例2 設(shè)

23、數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn1Sn(n1)an1 an1，nN*，a26，求證：數(shù)列an是等差數(shù)列考點(diǎn)二 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和48方法2 等差數(shù)列的基本運(yùn)算(1)方程思想：等差數(shù)列的基本量有首項(xiàng)a1，公差d，項(xiàng)數(shù)n，通項(xiàng)an，前n項(xiàng)和Sn，通常利用條件和通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式建立方程組求解(2)整體思想：當(dāng)所給條件只有一個(gè)時(shí)，可將已知和所求利用通項(xiàng)公式、求和公式都用a1和d表示，尋求兩者之間的聯(lián)系，整體代換求解解決等差數(shù)列運(yùn)算問題的常用數(shù)學(xué)思想：考點(diǎn)二 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和49例3 蘇錫常鎮(zhèn)四市2018調(diào)研已知公差為d的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若【答案】2考點(diǎn)二 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和

24、50方法3 等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用(1)在等差數(shù)列an中，若mnpq，m，n，p，qN，則amanapaq.特殊地，若mn2p，m，n，pN，則aman2ap.(2)等差數(shù)列an的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，則Sk，S2kSk，S3kS2k也成等差數(shù)列，且公差為k2d.考點(diǎn)二 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和51例4 山東菏澤單縣第五中學(xué)2018第一次月考已知等差數(shù)列an，Sn是它的前n項(xiàng)和，若S160，且S170，故a8a90.又17a90，故a90，即數(shù)列an的前8項(xiàng)為正數(shù)，所以數(shù)列的前8項(xiàng)和最大故選B.【答案】B.考點(diǎn)二 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和52例5 在等差數(shù)列an中，Sn為其前n項(xiàng)和(1)若a1a4

25、a739，a2a5a833，則a3a6a9_；(2)若a2a7a8a136，則S14_；(3)若S1166，則a6_；(4)若a1a4a8a12a152，則a3a13_；(5)若a7a8a9a10a1145，且S678，則a12a13a14a15_；(6)若a4a6a4a9a9a11a6a1181，則S14_.考點(diǎn)二 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和53【解析】(1)數(shù)列a1a4a7，a2a5a8，a3a6a9也是等差數(shù)列，2(a2a5a8)(a1a4a7)(a3a6a9)a3a6a92333927.(2)由等差數(shù)列的性質(zhì)得a2a13a7a83，S14 (a1a14)147(a2a13)7321.(3)S

26、11 66， ，a1a1112.2a6a1a1112，即a66.考點(diǎn)二 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和54(4)方法一：設(shè)數(shù)列an的公差為d，由條件可得a1(a13d)(a17d)(a111d)(a114d)2， 化簡(jiǎn)，得a17d2. a3a132a82(a17d)4.方法二：2a8a1a15a4a12，由a1a4a8a12a152得a82.a3a132a84.考點(diǎn)二 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和55(5)方法一：化成a1，d(公差)的式子，列方程求解(略)Sn2n225n. S152152251575. a12a13a14a15S15S117533108.方法二：設(shè)SnAn2Bn，則由S678，a7a8a9a

27、10a11S11S645，得S1133.考點(diǎn)二 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和56方法三：由已知，可得a99，S1133，a63.由a6，a9，a12，a15是等差數(shù)列，得公差為12.a1221，a1533.2(a12a15)108，即a12a13a14a15108.(6)a4a6a4a9a9a11a6a11a4(a6a9)a11(a9a6)(a4a11)281， a4a119，【答案】(1)27(2)21(3)6(4)4(5)108(6)63考點(diǎn)二 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和57方法4 等差數(shù)列前n項(xiàng)和及其最值(1)函數(shù)法：等差數(shù)列前n項(xiàng)和SnAn2Bn(A，B都為常數(shù))，通過配方，借助求二次函數(shù)最值的方法

28、求解求等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn最值的兩種方法：(2)鄰項(xiàng)變號(hào)法：a10，d0時(shí)，滿足 的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最大值Sm；當(dāng)a10時(shí)，滿足 的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最小值Sm.考點(diǎn)二 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和58例6 在等差數(shù)列an中，a129，S10S20，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和中最大的為() AS15 BS16 CS15和S16 DS17【答案】A考點(diǎn)二 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和59考法例析 成就能力 例1 天津201618已知an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，公差為d.對(duì)任意的nN*，bn是an和an1的等比中項(xiàng)(1)設(shè)cnbn12bn2，nN*，求證：數(shù)列cn是等差數(shù)列；【證明】(1)因?yàn)榈炔顢?shù)列an的公差為d

29、，由題意得bn2anan1， 則cnbn12bn2an1an2anan12dan1，所以cn1cn2d(an2an1)2d2.所以數(shù)列cn是等差數(shù)列考法1 等差數(shù)列的證明與判斷考點(diǎn)二 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和60考點(diǎn)二 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和61考法2 等差數(shù)列的基本運(yùn)算例2 北京201710若等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn滿足a1b11，a4b48，則 _【答案】1【解析】an是等差數(shù)列，a11，a48，公差d3，a2a1d2.bn為等比數(shù)列，b11，b48，公比q2，b2b1q2. 故 1.考點(diǎn)二 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和62例3 北京20189設(shè)an是等差數(shù)列，且a13，a2a536，則an的通項(xiàng)公式

30、為_【答案】an6n3【解析】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由a13，a2a52a15d36，d6，則an36(n1)6n3.考點(diǎn)二 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和63例4 課標(biāo)全國(guó)20174記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和若a4a524，S648，則an的公差為()A1 B2 C4 D8【解析】設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d，則由【答案】C故選C.考點(diǎn)二 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和64考法3 等差數(shù)列的性質(zhì)例5 陜西201513中位數(shù)為1 010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其末項(xiàng)為2 015，則該數(shù)列的首項(xiàng)為_【解析】當(dāng)這一列數(shù)有2n1個(gè)時(shí)，則中位數(shù)為an11 010，由對(duì)稱性得a1a2n12an12 020，a

31、15.當(dāng)這一列數(shù)有2n個(gè)時(shí)，中位數(shù)為 1 010，同樣由對(duì)稱性得a1a2nanan12 020，a15.【答案】5考點(diǎn)二 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和65【答案】6例6 北京201612已知an為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，若a16，a3a50，則S6_.【解析】方法一：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a3a52a40，a40，d3(a4a1)2，a36222，S63(a3a4)326.方法二：由等差數(shù)列的性質(zhì)，得a3a5a2a62a40.S6a16.考點(diǎn)二 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和6666考點(diǎn)三 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和必備知識(shí) 全面把握核心方法 重點(diǎn)突破考法例析 成就能力67 1等比數(shù)列的定義對(duì)于數(shù)列an，若 則數(shù)列

32、an是等比數(shù)列，其中q為常數(shù)，叫做公比2等比中項(xiàng)若a，b，c成等比數(shù)列，則b為a，c的等比中項(xiàng)，即b2ac(ac0)考點(diǎn)三 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和必備知識(shí) 全面把握68 (1)等比數(shù)列的定義具有兩重性，既可以判定一個(gè)數(shù)列是否為等比數(shù)列，也可以把它作為等比數(shù)列的一個(gè)性質(zhì)(2)a，b，c成等比數(shù)列是b2ac的充分不必要條件(3)推廣：等比數(shù)列an中，an是與an前后等距離的兩項(xiàng)anp，anp的等比中項(xiàng)，即an2anpanp(n2且np)考點(diǎn)三 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和693等比數(shù)列的通項(xiàng)公式通項(xiàng)公式：(1)在通項(xiàng)公式中包含了四個(gè)量，a1(首項(xiàng))、q(公比)、n(序號(hào))、an(第n項(xiàng))，只要知道其中任意三

33、個(gè)量，即可求出第四個(gè)量注意把握：(2)由通項(xiàng)公式可推出(3)函數(shù)觀點(diǎn)理解通項(xiàng)公式考點(diǎn)三 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和70因此有結(jié)論：數(shù)列an是等比數(shù)列ancqn.這個(gè)結(jié)論深刻揭示了等比數(shù)列的本質(zhì)特征：當(dāng)q1時(shí)，點(diǎn)(n，an)在函數(shù)ycqx的圖像上；當(dāng)q1時(shí)，點(diǎn)(n，an)在函數(shù)ya1的圖像上這樣可把指數(shù)函數(shù)的某些性質(zhì)用于等比數(shù)列an 三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則可設(shè)這三個(gè)數(shù)為 ，a，aq；同號(hào)四個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則可設(shè)這四個(gè)數(shù)為 ， ，aq，aq3.考點(diǎn)三 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和714等比數(shù)列的單調(diào)性由數(shù)列的單調(diào)性定義，易得考點(diǎn)三 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和725等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式前n項(xiàng)和公式： (1)注意掌握等比

34、數(shù)列求和公式的推導(dǎo)方法(2)通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式共含五個(gè)量，知三求二(3)在運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算時(shí)，要考慮q是否等于1，若不能確定，要分類討論考點(diǎn)三 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和73(4)如果an0，則logaan(a0且a1)是等差數(shù)列；如果數(shù)列l(wèi)ogaan是等差數(shù)列，則an成等比數(shù)列；6關(guān)于等比數(shù)列an性質(zhì)的常用結(jié)論(1)對(duì)于任意正整數(shù)n，均有(2)對(duì)于任意正整數(shù)m，n，p，q，若m+np+q；則 ; 若mn2p，則有amanap2；(3)對(duì)任意正整數(shù)n1，有an2an1an1；考點(diǎn)三 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和74(5)構(gòu)造新數(shù)列：若an，bn(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列，則an(0)， ，an2，anbn，

35、仍是等比數(shù)列；若an是等比數(shù)列，且an0，則logaan(a0且a1)是以logaa1為首項(xiàng)，logaq為公差的等差數(shù)列；已知公比不為1的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn，S2nSn，S3nS2n，仍成等比數(shù)列，其公比為qn.若不限定q1，則仍有關(guān)系式(S2nSn)2Sn(S3nS2n)，但不能說Sn，S2nSn，S3nS2n成等比數(shù)列考點(diǎn)三 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和(6)項(xiàng)數(shù)為2n的等比數(shù)列中， q；項(xiàng)數(shù)為2n1的等比數(shù)列中，75核心方法重點(diǎn)突破 方法1 等比數(shù)列的判定與證明等比數(shù)列的判定與證明有以下幾種方法：(1)定義法：在an0(nN*)的前提下，若 (q為非零常數(shù))或 (q為非零常數(shù)，

36、n2且nN*)，則an是等比數(shù)列(2)等比中項(xiàng)法：數(shù)列an中，an0，如果根據(jù)已知條件能得到an12anan2(nN*)，那么數(shù)列an是等比數(shù)列考點(diǎn)三 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和76(3)通項(xiàng)公式法：觀察已知信息，或者是計(jì)算出數(shù)列的通項(xiàng)公式，若可以寫成ancqn1(c，q均是不為0的常數(shù)，nN*)，則an是等比數(shù)列(5)性質(zhì)法：利用等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行判斷或證明(4)前n項(xiàng)和公式法：若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snkqnk(k為常數(shù)且k0，q0且q1)，則數(shù)列an是等比數(shù)列考點(diǎn)三 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和77例1 內(nèi)蒙古呼和浩特2018調(diào)研設(shè)數(shù)列an各項(xiàng)均為正數(shù)，且a24a1，an1an22an(nN*)(1)證

37、明：數(shù)列l(wèi)og3(1an)為等比數(shù)列；(2)令bnlog3(1a2n1)，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，求使Tn345成立時(shí)n的最小值考點(diǎn)三 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和78考點(diǎn)三 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和79考點(diǎn)三 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和80例2 廣西南寧2018第二次適應(yīng)性測(cè)試已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足an1Snn1(n1，2，3，)，a11.(1)求證：an1為等比數(shù)列(2)數(shù)列an中是否存在不同的三項(xiàng)，適當(dāng)排列順序后構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列？并說明理由考點(diǎn)三 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和81(1)【證明】因?yàn)閍n1Snn1(n1，2，3，)，所以anSn1n(n2)因?yàn)閍nSnSn1(n2)，所以可得an1a

38、nan1(n2)，即an12an1(n2)所以an112(an1)(n2)，即 (n2)又因?yàn)閍11，所以a23， 故an1為等比數(shù)列考點(diǎn)三 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和82(2)【解】不存在理由如下：由(1)得an2n1.假設(shè)能得到一個(gè)等差數(shù)列，不妨設(shè)滿足條件的3項(xiàng)分別為ar，as，at，則2(2s1)2r12t1，即2s12r2t.所以2rs12ts11.因?yàn)閍n是遞增數(shù)列，所以rs10，ts10中必有一個(gè)成立則2rs12ts11，與2rs12ts11矛盾故數(shù)列an中不存在不同的三項(xiàng)，適當(dāng)排列順序后構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列考點(diǎn)三 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和83方法2 等比數(shù)列的基本運(yùn)算等比數(shù)列有五個(gè)基本量a1，

39、n，q，an，Sn，可以“知三求二”(1)若已知n，an，Sn，首先驗(yàn)證q1是否成立，若q1，則可以通過列方程組 求出關(guān)鍵量a1和q，使問題迎刃而解(2)若已知數(shù)列an中的兩項(xiàng)an和am，可以利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，得到方程組 兩式相除可以先求出q，然后再代入其中一式求得a1，進(jìn)一步求得Sn.另外，還可以利用公式anamqnm直接求得q，減少運(yùn)算量考點(diǎn)三 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和84(1)等比數(shù)列求和要討論q1和q1兩種情況(2)計(jì)算過程中，若出現(xiàn)方程qnt，則要看qn中的n是奇數(shù)還是偶數(shù)若n是奇數(shù)，則 ；若n是偶數(shù)，則t0時(shí)，q t0(nN*)，兩邊同時(shí)取以2為底的對(duì)數(shù)得log2an1log2(

40、 )log22log2 12log2an.令bnlog2an，則bn12bn1.令bn1 t2(bnt)，則bn12 bnt ，則t1. bn1 12(bn1)，bn 1為等比數(shù)列，首項(xiàng)為b11log2a112，公比為2， bn 122n12n，即bn 2n1.log2an2n1，考點(diǎn)四 數(shù)列的綜合應(yīng)用119(4)同除構(gòu)造例8 甘肅天水第一中學(xué)2018期中已知數(shù)列an的首項(xiàng)a12，且滿足an12an32n1(nN*)(1)設(shè) ，證明：數(shù)列bn是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn.考點(diǎn)四 數(shù)列的綜合應(yīng)用120考點(diǎn)四 數(shù)列的綜合應(yīng)用1214歸納猜想法例9 寫出下列數(shù)列的通項(xiàng)公式考點(diǎn)四 數(shù)列的

41、綜合應(yīng)用122方法2 數(shù)列求和的方法例10 山東濟(jì)南2018教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a12，且an13Sn2(nN*)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn(1)nlog2an，求bn的前n項(xiàng)和Tn.【解】(1)由已知得，當(dāng)n2時(shí)，an1an3Sn2(3Sn12)3(SnSn1)3an，所以an14an(n2)又a12，a23S123a128，則a24a1，所以an為以2為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，所以an24n122n1.考點(diǎn)四 數(shù)列的綜合應(yīng)用123(2)由已知得bn(1)nlog2an(1)n(2n1)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，則Tnb1b2bn1357(2n3)(2n1)2 n

42、；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，n1為偶數(shù)，則TnTn1bn(n1)(2n1)n.綜上，Tn(1)nn.考點(diǎn)四 數(shù)列的綜合應(yīng)用124例11 若數(shù)列an是正項(xiàng)數(shù)列，且 n2n.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè) ，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.考點(diǎn)四 數(shù)列的綜合應(yīng)用125例12 吉林普通中學(xué)2018第二次調(diào)研已知an是等比數(shù)列，a11，a48，bn是等差數(shù)列，b13，b412.(1)求an和bn的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)cnanbn，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Sn.【解】(1)設(shè)an的公比為q，由a4a1q3得81q3，解得q2，所以an2n1.設(shè)bn的公差為d，由b4b13d得1233d，解得d3，所以bn3n.考點(diǎn)四 數(shù)

43、列的綜合應(yīng)用126考點(diǎn)四 數(shù)列的綜合應(yīng)用127例13 在公差為d的等差數(shù)列an中，已知a110，且a1，2a22，5a3成等比數(shù)列(1)求an；(2)若d0)，然后對(duì)函數(shù)yf(x)進(jìn)行分析(1)函數(shù)特征比較明顯的，可以直接根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出相關(guān)信息，如等差數(shù)列的通項(xiàng)公式ana1(n1)d(d0)對(duì)應(yīng)一次函數(shù)f(x)axb；等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Snna1 (d0)可以看成二次函數(shù)f(x)ax2bx；等比數(shù)列的通項(xiàng)公式ana1qn1(q0，且q1)可以看成函數(shù)f(x)tqx.(2)函數(shù)特征不明顯的，可以通過對(duì)函數(shù)求導(dǎo)研究其性質(zhì)考點(diǎn)四 數(shù)列的綜合應(yīng)用1302數(shù)列與不等式的綜合問題是高考考查的熱點(diǎn)內(nèi)

44、容，考查方式主要有三種：(1)判斷數(shù)列問題中的一些不等關(guān)系，可以利用數(shù)列的單調(diào)性比較大小，或者是借助數(shù)列對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性比較大小(2)以數(shù)列為載體，考查不等式的恒成立問題，此類問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題(3)考查與數(shù)列有關(guān)的不等式的證明問題，此類問題大多借助構(gòu)造函數(shù)來證明，或者直接利用放縮法證明考點(diǎn)四 數(shù)列的綜合應(yīng)用131例14 江西師大附中2018模擬已知等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn均不是常數(shù)列，若a1b11，且a1，2a2，4a4成等比數(shù)列，4b2，2b3，b4成等差數(shù)列(1)求an和bn的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)m，n是正整數(shù)，若存在正整數(shù)i，j，k(ijk)，使得ambj，amanbi，anb

45、k成等差數(shù)列，求mn的最小值；(3)令cn 記cn的前n項(xiàng)和為Tn， 的前n項(xiàng)和為An.若數(shù)列pn滿足p1c1，且對(duì)n2，nN*，都有 pn 設(shè) pn 的前n項(xiàng)和為Sn，求證：Sn44ln n.考點(diǎn)四 數(shù)列的綜合應(yīng)用132考點(diǎn)四 數(shù)列的綜合應(yīng)用133考點(diǎn)四 數(shù)列的綜合應(yīng)用134方法4 數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用1數(shù)列應(yīng)用題常見模型(1)等差模型：如果后一個(gè)量比前一個(gè)量增加(或減少)的是同一個(gè)固定值，該模型是等差模型，這個(gè)增加(或減少)的量就是公差(2)等比模型：如果后一個(gè)量與前一個(gè)量的比值是同一個(gè)固定的非零常數(shù)，該模型是等比模型，這個(gè)比值就是公比(3)遞推數(shù)列模型：如果題目中給出的前后兩項(xiàng)之間的關(guān)系不固定

46、，隨項(xiàng)的變化而變化，應(yīng)考慮an與an1(或者相鄰三項(xiàng)等)之間的遞推關(guān)系，或者Sn與Sn1(或者相鄰三項(xiàng)等)之間的遞推關(guān)系考點(diǎn)四 數(shù)列的綜合應(yīng)用1352解答數(shù)列應(yīng)用題的步驟(1)審題仔細(xì)閱讀材料，認(rèn)真理解題意(2)建模將已知條件翻譯成數(shù)學(xué)(數(shù)列)語(yǔ)言，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，弄清該數(shù)列的特征、要求的是什么(3)求解求出該問題的解(4)還原將所求結(jié)果還原到原實(shí)際問題中解等差數(shù)列、等比數(shù)列應(yīng)用題時(shí)，第一步審題至關(guān)重要，深刻理解問題的實(shí)際背景，理清隱藏在語(yǔ)言中的數(shù)學(xué)關(guān)系，把應(yīng)用問題抽象為數(shù)學(xué)中的等差數(shù)列、等比數(shù)列問題，使關(guān)系明朗化、標(biāo)準(zhǔn)化，然后用等差數(shù)列、等比數(shù)列的知識(shí)求解考點(diǎn)四 數(shù)列的綜合應(yīng)用136例15 江蘇鹽城2018期中2016年射陽(yáng)縣洋馬鎮(zhèn)政府決定投資8千萬(wàn)元啟動(dòng)“鶴鄉(xiāng)菊海