華中師大一附中高三2010年五月適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題(理工類(lèi))

1、華中師大一附中高三2010年五月適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題（理工類(lèi)）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是滿足題目要求的。1若集合, 則A B C D 2在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在A 第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限3設(shè)的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為M，二項(xiàng)式系數(shù)之和為N，若，則展開(kāi)式中的系數(shù)為A150 B150 C500 D5004設(shè)為公比大于1的等比數(shù)列，若和是方程的兩根，則=A B C D5是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，Q是雙曲線上任一點(diǎn)，從焦點(diǎn)引的平分線的垂線，垂足為P，則點(diǎn)P的軌跡為A直線 B圓 C橢圓 D雙曲線6對(duì)于函數(shù)的極值情況，3位同

2、學(xué)有下列看法：甲：該函數(shù)必有2個(gè)極值；乙：該函數(shù)的極大值必大于1；丙：該函數(shù)的極小值必小于1；這三種看法中，正確的的個(gè)數(shù)是A0個(gè) B1個(gè) C2個(gè) D3個(gè)7將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，同時(shí)將縱坐標(biāo)縮小到原來(lái)的倍，得到函數(shù)的圖象另一方面函數(shù)的圖象也可以由函數(shù)的圖象按向量平移得到，則可以是A B C D8如果關(guān)于的一元二次方程中，、分別是兩次投擲骰子所得的點(diǎn)數(shù)，則該二次方程有兩個(gè)正根的概率 A B C D9若，且，則的最小值為A B C D10在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，頂點(diǎn)S在底面內(nèi)的射影O在正方形ABCD的內(nèi)部（不在邊上），且，為常數(shù)，設(shè)側(cè)面與底面ABCD所成的二面角依次

3、為，則下列各式為常數(shù)的是 A B C D二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.請(qǐng)將答案填在答題卡對(duì)應(yīng)題號(hào)的位置上,一題兩空的題,其答案按先后次序填寫(xiě).11設(shè)函數(shù)存在反函數(shù)，且函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則函數(shù)的圖象一定過(guò)點(diǎn) 12已知函數(shù)在上連續(xù)，則 13已知、，且滿足下列兩個(gè)條件：、分別為回歸直線方程的常數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng)系數(shù)，其中與之間有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：3456253445；則的最小值是 14是球面上三點(diǎn)，且，若球心到截面的距離為，則該球的表面積為 15設(shè)， 是軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)在所表示的平面區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)的最小值構(gòu)成的集合為，則中最大的數(shù)是 三、解答題：本大題共6小題，共75分。解答應(yīng)寫(xiě)出

4、文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。CABO16（本小題滿分10分）（注意：在試題卷上作答無(wú)效）如圖，已知O為的外心，角A、B、C的對(duì)邊，且滿足（）證明：； （）求的值17（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無(wú)效）某種項(xiàng)目的射擊比賽，開(kāi)始時(shí)選手在距離目標(biāo)100m處射擊，若命中則記3分，且停止射擊若第一次射擊未命中，可以進(jìn)行第二次射擊，但需在距離目標(biāo)150m處，這時(shí)命中目標(biāo)記2分，且停止射擊若第二次仍未命中，還可以進(jìn)行第三次射擊，此時(shí)需在距離目標(biāo)200m處，若第三次命中則記1分，并停止射擊若三次都未命中則記0分，并停止射擊已知選手甲的命中率與目標(biāo)的距離的平方成反比，他在100m處擊中目標(biāo)的概率為

5、，且各次射擊都相互獨(dú)立（）求選手甲在三次射擊中命中目標(biāo)的概率；（）設(shè)選手甲在比賽中的得分為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望18（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無(wú)效）如圖，在多面體中，上、下兩個(gè)底面和互相平行，且都是正方形，底面，（）求異面直線與所成的角的余弦值；（）試在平面內(nèi)確定一個(gè)點(diǎn)，使得平面；（）在（）條件下，求二面角的余弦值19（本小題滿分13分）（注意：在試題卷上作答無(wú)效）以為焦點(diǎn)的橢圓過(guò)點(diǎn)(，1)()求橢圓的方程；()過(guò)點(diǎn)(，0)的動(dòng)直線交橢圓于、兩點(diǎn)，試問(wèn)：在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得無(wú)論如何轉(zhuǎn)動(dòng)，以為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)? 若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由20（本小題滿

6、分14分）（注意：在試題卷上作答無(wú)效）對(duì)于函數(shù)，若存在使得則稱為函數(shù)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)比如函數(shù)有唯一不動(dòng)點(diǎn)現(xiàn)已知函數(shù)有且僅有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)0和2（）試求與的關(guān)系式；（）若，各項(xiàng)不為0的數(shù)列滿足其中為的前項(xiàng)和，試求的通項(xiàng)公式；（）設(shè)記試比較A,B,C的大小，并說(shuō)明理由21(本小題滿分14分) （注意：在試題卷上作答無(wú)效）已知定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)記為，且滿足：，為常數(shù)（）試求的值；（）設(shè)函數(shù)與的乘積為函數(shù)，求的極大值與極小值；（）試討論關(guān)于的方程在區(qū)間上的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)華中師大一附中高三2010年五月適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題 理工類(lèi)參考答案一、選擇題： 1；2；3；4；5；6；7；8；9；10二、填空題：

7、 11；12；13；14；15。三、解答題： 16（本小題滿分10分）解：（）取AB、AC的中點(diǎn)E、F，則CABOFE3分同理；所以。5分（）10分17（本小題滿分12分）解：記選手甲第一、二、三次射擊命中目標(biāo)分別為事件、，三次均為擊中目標(biāo)為事件，則設(shè)選手甲在m處擊中目標(biāo)的概率為，則由m時(shí)，得，4分（）由于各次射擊都是相互獨(dú)立的，所以選手甲在三次射擊中擊中目標(biāo)的概率為7分（）由題設(shè)知，的可取值為，的分布列為0123數(shù)學(xué)期望為12分18（本小題滿分12分）解法1：（）過(guò)，且，則為異面直線與所成的角3分（）為的中點(diǎn)。為的中點(diǎn),平面，從而。5分，6分平面7分（）由平面，得又由（2）平面，由三垂線定理

8、得，是二面角的平面角10分，即二面角的余弦值為12分解法2：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立直角坐標(biāo)系2分（），3分（）設(shè)，6分由平面得，即為的中點(diǎn)7分（）由（2）知，為平面的一個(gè)法向量設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，由令10分，即二面角的余弦值為12分19（本小題滿分13分）解法一： ()設(shè)橢圓方程為，由已知。又所以，橢圓C的方程是+ =14分 ()若直線l與x軸重合，則以AB為直徑的圓是x2+y2=1, 5分若直線l垂直于x軸，則以AB為直徑的圓是(x+)2+y2=6分由解得即兩圓相切于點(diǎn)(1，)7分因此所求的點(diǎn)T如果存在，只能是(1，0) 事實(shí)上，點(diǎn)T(1，)就是所求的點(diǎn)證明如下：當(dāng)直線l垂

9、直于x軸時(shí)，以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)T(1，0)若直線l不垂直于x軸，可設(shè)直線l：y=k(x+)由即(k2+2)x2+k2x+k2-2=09分記點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),則10分又因?yàn)?(x1-1, y1), =(x2-1, y2),=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(x1-1)(x2-1)+k2(x1+)(x2+)=(k2+1)x1x2+(k2-1)(x1+x2)+k2+1=(k2+1) +(k2-1) + +1=0， 所以TATB，即以AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)T(1，0)所以在坐標(biāo)平面上存在一個(gè)定點(diǎn)T(1，0)滿足條件13分解法二：()由已知，設(shè)橢圓C的方程是 因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓C上，

10、所以,解得，所以橢圓C的方程是：4分()假設(shè)存在定點(diǎn)T(u，v)滿足條件同解法一得(k2+2)x2+k2x+k2-2=06分記點(diǎn)A(x1,y1)，B(x2,y2),則7分又因?yàn)?(x1-u, y1-v), =(x2-u, y2-v),及y1=k(x1+),y2=k(x2+)所以=(x1-u)(x2-u)+(y1-v)(y2-v)=(k2+1)x1x2+(k2-u-kv)(x1+x2)+k2-v+u2+v2=(k2+1) +(k2-u-kv)+ -v + u2+v2，=10分當(dāng)且僅當(dāng)=恒成立時(shí)，以AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)T=恒成立等價(jià)于解得u=1,v=0此時(shí)，以AB為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)T(1，)13分

11、當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，以AB為直徑的圓亦過(guò)點(diǎn)T(1，) 所以在坐標(biāo)平面上存在一個(gè)定點(diǎn)T(1，O)滿足條件13分解法三：()同解法一或解法二4分 ()設(shè)坐標(biāo)平面上存在一個(gè)定點(diǎn)T滿足條件，根據(jù)直線過(guò)x軸上的定點(diǎn)S及橢圓的對(duì)稱性，所求的點(diǎn)T如果存在，只能在x軸上，設(shè)T(t，O)5分 同解法一得7分又因?yàn)?(x1-t, y1), =(x2-t, y2),所以=(x1-t)(x2-t)+y1y2=(x1-t)(x2-t)+k2(x1+)(x2+)=(k2+1)x1x2+(k2-t)(x1+x2)+k2+t 2=(k2+1) +(k2-t)+t2= 10分當(dāng)且僅當(dāng)=O恒成立時(shí)，以AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)T=O恒成立等價(jià)于解得t=1所以當(dāng)t=1時(shí),以AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)T12分當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，以AB為直徑的圓亦過(guò)點(diǎn)T(1，O)所以在坐標(biāo)平面上存在一個(gè)定點(diǎn)T(1，O)滿足條件13分20（本小題滿分14分）解：（）由得，為該方程的兩個(gè)根。（）若c=2,則b=2.，又由式-式可得：當(dāng)=1時(shí)，有6分故（）以下首先證明不等式事實(shí)上要證則另一方面我們又設(shè)函數(shù)，則。故在上單調(diào)遞減，我們?nèi)【C上：分別令=1，2，3，2009得：將這2009個(gè)式子累加得：21(本小題滿分14分) 解：（），則，又， 2分（）令，則，