統(tǒng)計(jì)學(xué)課件：第四章 參數(shù)估計(jì)

1、 第四章 參 數(shù) 估 計(jì)參數(shù)估計(jì)在統(tǒng)計(jì)方法中的地位統(tǒng)計(jì)方法描述統(tǒng)計(jì)推斷統(tǒng)計(jì)參數(shù)估計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)第一節(jié)：參數(shù)估計(jì)的一般問題第二節(jié)：一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)第三節(jié)：兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)第四節(jié)：樣本容量的選擇第一節(jié) 參數(shù)估計(jì)的一般問題一、估計(jì)量與估計(jì)值二、判斷估計(jì)量的優(yōu)良性原則三、估計(jì)方法 1.用于估計(jì)總體某一參數(shù)的隨機(jī)變量如樣本均值，樣本比例、樣本中位數(shù)等例如: 樣本均值就是總體均值的一個(gè)估計(jì)量如果樣本均值 x = 3 ，則 3 就是對總體均值的估計(jì)值 2、理論基礎(chǔ)是抽樣分布 一、估計(jì)量與估計(jì)值二、判斷估計(jì)量優(yōu)良性原則無偏性：估計(jì)量的數(shù)學(xué)期望等于被估計(jì) 的總體參數(shù)P( X )XCA無偏有偏AB中位數(shù)的

2、抽樣分布均值的抽樣分布XP(X )有效性：一個(gè)方差較小的無偏估計(jì)量稱為一個(gè)更有效的估計(jì)量。如:與其他估計(jì)量相比，樣本均值是一個(gè)更有效的估計(jì)量一致性：隨著樣本容量的增大，估計(jì)量越來越接近被估計(jì)的總體參數(shù)AB較小的樣本容量較大的樣本容量P(X )X三、參數(shù)估計(jì)的方法估 計(jì) 方 法點(diǎn) 估 計(jì)區(qū)間估計(jì)估計(jì)方法點(diǎn)估計(jì)1、從總體中抽取一個(gè)樣本，根據(jù)該樣本的統(tǒng)計(jì)量對總體的未知參數(shù)作出一個(gè)數(shù)值點(diǎn)的估計(jì) 例如: 用樣本均值作為總體未知均值的估計(jì)值就是一個(gè)點(diǎn)估計(jì)2、點(diǎn)估計(jì)沒有給出估計(jì)值接近總體未知參數(shù)程度的信息,很難控制誤差3、點(diǎn)估計(jì)的方法有矩估計(jì)法、順序統(tǒng)計(jì)量法、最大似然法、最小二乘法等思考：點(diǎn)估計(jì)實(shí)際上只有一

3、個(gè)取值，怎樣的估計(jì)會更科學(xué)？引例1 蓋洛普公司就消費(fèi)者對美國產(chǎn)品質(zhì)量的看法，對美國、德國、日本的消費(fèi)者分別進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果表明：有55%的美國人相信美國產(chǎn)品的質(zhì)量非常好，而持同樣看法的德國人和日本人的比例分別是26%和17%，美聯(lián)社在報(bào)道這項(xiàng)調(diào)查結(jié)果時(shí)曾提到“抽樣誤差在正、負(fù)三個(gè)百分點(diǎn)之間”，在報(bào)道中，“正、負(fù)三個(gè)百分點(diǎn)”這句話有什么作用？引例2 銷售經(jīng)理想估計(jì)一下明年的出口總值，甲估計(jì)是53萬美元，乙估計(jì)是5056萬美元之間，并可以確切地說“有95%的把握”。哪一個(gè)更可信,為什么? 5056萬美元的范圍是如何計(jì)算的？“有95%的把握”是什么意思？區(qū)間估計(jì)1.根據(jù)一個(gè)樣本的觀察值給出總體參數(shù)的估

4、計(jì)范圍并給出總體參數(shù)落在這一區(qū)間的可信度例如: 總體均值落在5070之間，置信度為95%樣本統(tǒng)計(jì)量 (點(diǎn)估計(jì))置信區(qū)間置信下限置信上限 區(qū)間估計(jì)就是根據(jù)樣本估計(jì)量以一定可靠程度推斷總體參數(shù)所在的區(qū)間范圍。 分別稱為置信下限和置信上限，通稱為置信限。 為顯著性水平， 則稱為置信度。區(qū)間估計(jì)中幾個(gè)常用的概念置信度、顯著性水平置信區(qū)間、置信限置信度1、置信度（置信系數(shù)）：總體未知參數(shù)落在所估計(jì)區(qū)間內(nèi)的可信度(可靠度）2 、置信度用1-表示。置信度越大，估計(jì)區(qū)間內(nèi)所包含總體參數(shù)的可信度越高。(稱為顯著性水平：與總體參數(shù)存在顯著差異的比例) 3 、常用的置信度有 99%, 95%, 90% 95.45%

5、，99.73%（事先給定的）x95.45%的 - 2x +2x99.73%的 - 3x +3x90%的 -1.65 x +1.65x均值的抽樣分布:例如：教材第16題（3）若從該種電池中隨機(jī)抽取25個(gè)電池檢驗(yàn)，該樣本電池的平均壽命在200小時(shí)左右多大的范圍內(nèi)概率不小于0.9？（4）若已知該樣本電池的平均壽命為198小時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差為30小時(shí)，而總體平均壽命未知，那么總體平均壽命在198左右多大的范圍內(nèi)可信度不小于0.9呢？但實(shí)際估計(jì)時(shí)，情況恰好相反。 是已知的，而 是未知的，也正是我們想要估計(jì)的。由于 與 的距離是對稱的，如果某個(gè) 落在 的1.65倍標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi)，那么反過來， 也落在以 為中心

6、、兩側(cè)1.65倍標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi)，這意味著，有90%的樣本均值所構(gòu)造的1.65倍標(biāo)準(zhǔn)差的區(qū)間會包括 。理論基礎(chǔ)：抽樣分布置信度的圖示x90%的樣本 -1.65 x +1.65x均值的抽樣分布:在電池壽命的例題中，若樣本的平均使用壽命為198，標(biāo)準(zhǔn)差為30，以0.9的置信度建立總體均值的置信區(qū)間會如何？置信度的圖示x90%的樣本 -1.65 x +1.65x均值的抽樣分布:根據(jù)抽樣分布理論得：抽樣分布為正態(tài)分布，按90%的置信度區(qū)間半徑應(yīng)為每一個(gè)可能樣本都可以建立一個(gè)90%置信度的半徑相同的區(qū)間 對置信度的理解 均值的抽樣分布:(1 - ) % 區(qū)間包含了， % 的區(qū)間未包含1 - aa/2a/

7、2 置信度是表示多次抽樣得到的區(qū)間中大概有多少區(qū)間包含總體參數(shù)，也可以理解為某個(gè)樣本有多大的概率是這些包含總體參數(shù)的區(qū)間中的一個(gè) 對置信區(qū)間的理解 置信區(qū)間是由樣本統(tǒng)計(jì)量所構(gòu)造的總體參數(shù)的估計(jì)區(qū)間 用一個(gè)具體的樣本所構(gòu)造的區(qū)間是一個(gè)特定的區(qū)間，我們無法知道這個(gè)樣本所產(chǎn)生的區(qū)間是否包含總體參數(shù)的真值 我們只能希望這個(gè)區(qū)間是大量包含總體參數(shù)真值的區(qū)間中的一個(gè)，但它也可能是少數(shù)幾個(gè)不包含參數(shù)真值的區(qū)間中的一個(gè)置信區(qū)間與置信限 置信區(qū)間: 與一個(gè)“置信度”相聯(lián)系的估計(jì)值的取值范圍。用 表示置信限：與置信區(qū)間相聯(lián)系的界限，包括上限和下限。思考: 置信區(qū)間與置信度的關(guān)系? 置信度與估計(jì)的精度的關(guān)系？第二節(jié)

8、 一個(gè)總體參數(shù)的估計(jì)大樣本小樣本均 值方 差比 例置 信 區(qū) 間大樣本大樣本【引例】 某食品進(jìn)出口公司向東南亞出口一批花生制品，管理人員從中抽取50包作為樣本，計(jì)算其平均數(shù)為250克。另外，合同規(guī)定總體標(biāo)準(zhǔn)差為6克。 分析: “這個(gè)估計(jì)量的平均誤差是多少？” “總體平均數(shù)可能落入樣本平均數(shù)上、下多大范圍內(nèi)？” “這個(gè)估計(jì)值的可靠程度是多少？” 確定抽樣分布 (2)抽樣平均誤差(3)若用250克這個(gè)估計(jì)值估計(jì)總體平均數(shù)，其平均誤差 為0.8487。 (4)總體平均數(shù)在2500.8487克之間的可信度為68.26%?？傮w平均數(shù)在25020.8487克之間的可信度為95.45%?？傮w平均數(shù)在2503

9、0.8487克之間的可信度為99.73%。解析過程:總結(jié)做區(qū)間估計(jì)的必要條件影響區(qū)間寬度（半徑）的因素1. 總體數(shù)據(jù)的離散程度，用 來測度2. 樣本容量，影響3.置信水平 (1 -)，影響 z 的大小68.26%180%1.2890%1.64595%1.9695.45%299%2.5899.73%3總體均值的置信區(qū)間 (大樣本的估計(jì)方法)1.假定條件總體服從正態(tài)分布,且總體方差（）已知如果不是正態(tài)分布，但為大樣本 (n 30)使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量總體均值 在1- 置信水平下的置信區(qū)間即當(dāng)已知樣本均值：其中抽樣極限誤差為：（一）正態(tài)總體、方差已知 （大、小樣本） 總體均值 在1- 置信水平下的置信

10、區(qū)間為：例題1: 某種零件長度服從正態(tài)分布，從該批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取件，測得其平均長度為21.4 mm。已知總體標(biāo)準(zhǔn)差 =0.15mm，試建立該種零件平均長度的置信區(qū)間，給定置信水平為0.95。解：已知N(，0.152)，x21.4, n=9, 1- = 0.95/2=1.96 總體均值的置信區(qū)間為：結(jié)論: 我們可以95的置信度保證該種零件的平均長度在21.302 - 21.498 mm之間例題2： 某企業(yè)從長期實(shí)踐得知，其產(chǎn)品直徑X是一隨機(jī)變量，服從標(biāo)準(zhǔn)差為0.05的正態(tài)分布。從某日產(chǎn)品中隨機(jī)抽取6個(gè)，測得其直徑分別為14.8,15.3, 15.1, 15, 14.7, 15.1 (單位:厘米)

11、。在0.95的置信度下,試求該產(chǎn)品直徑的均值的置信區(qū)間。（二）大樣本（總體分布未知） 1、方差已知 例題3： 某大學(xué)從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取100人，調(diào)查到他們平均每天參加體育鍛煉的時(shí)間為26分鐘。試以95的置信水平估計(jì)該大學(xué)全體學(xué)生平均每天參加體育鍛煉的時(shí)間（已知總體方差為36）。解：已知 x26, =6，n=100, 1- = 0.95，/2=1.96總體均值區(qū)間為：結(jié)論：我們可以95的置信度保證平均每天參加鍛煉的時(shí)間在24.824 - 27.176 分鐘之間 例題4： 某企業(yè)購進(jìn)一批部件，這批部件的質(zhì)量取決于平均每件的缺陷數(shù)。根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，平均每件產(chǎn)品的缺陷數(shù)為1，標(biāo)準(zhǔn)差為0.2，如果缺陷

12、數(shù)超過1就應(yīng)該拒收?，F(xiàn)隨機(jī)抽取64件，其平均缺陷數(shù)為1.1，要求以95%的置信系數(shù)構(gòu)造缺陷數(shù)的置信界限，并決定是否拒收。 2、方差未知 分析：大樣本情形下，當(dāng)方差未知時(shí)，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差代替總體標(biāo)準(zhǔn)差 例題5： 某藥廠在生產(chǎn)過程中改換了一種新的酵素，測定了36批的產(chǎn)出率與理論產(chǎn)出率的比值： 1.28 1.31 1.48 1.10 0.99 1.25 1.22 1.65 1.40 0.95 1.25 1.32 1.23 1.43 1.24 1.73 1.35 1.31 0.92 1.10 1.05 1.39 1.16 1.19 1.41 0.98 0.82 1.22 0.91 1.26 1.32 1

13、.71 1.29 1.17 1.74 1.51 要求:(1)計(jì)算這一比值95%的置信區(qū)間; (2)得出上述結(jié)論時(shí)作了什么假設(shè); (3)能否以95%的置信水平說明新酵素的產(chǎn)出率提高了。（2）假設(shè)36批的樣本是隨機(jī)的。（3）置信區(qū)間（1.194,1.342)1,說明新酵素的產(chǎn)出率提高了。例題6: 某企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品的工人有1000人，某日采用非重復(fù)抽樣 抽取100人調(diào)查他們的當(dāng)日產(chǎn)量，樣本人均產(chǎn)量為35件，產(chǎn)量的樣本標(biāo)準(zhǔn)差為4.5件,試以95.45%的置信度估計(jì)平均產(chǎn)量的抽樣極限誤差和置信區(qū)間。（一）t分布介紹（二）如何用t分布做區(qū)間估計(jì)總體均值的置信區(qū)間(小樣本的估計(jì)方法)t分布 小樣本理論 t

14、分布也稱“學(xué)生分布” 。19081909年，英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家戈塞特（Gosset），以筆名（Student）陸續(xù)在生物計(jì)量學(xué)雜志上發(fā)表了三篇文章：“平均數(shù)的概差”、“相關(guān)系數(shù)的概差”、“論非隨機(jī)樣本平均數(shù)的分布”，從而奠定了“小樣本理論”的基礎(chǔ)，并使他獲得了崇高的榮譽(yù)。因此t分布也稱“學(xué)生分布”。小樣本理論的先驅(qū)稱其為服從自由度為n-1的t分布t 分布圖形特征 t分布也是對稱分布，形狀比正態(tài)分布更平緩些，當(dāng)n30時(shí)t分布與正態(tài)分布很接近。 t分布特征： （1）t分布平均數(shù)所處的曲線峰頂?shù)陀谡龖B(tài)分布； （2）t分布兩個(gè)尾端的面積按一定比例比正態(tài)分布多起來； （3）如果包含曲線下相同的面積，t分布的界

15、限離開平均數(shù)更遠(yuǎn)些。t00.051.7291t02.093-2.0930.0250.025當(dāng)=0.05，n=20 df=19時(shí)，t=1.7291t分布表當(dāng)=0.05，n=20 df=19時(shí)，t=1.7291 =0.10， n=15 t=？ =0.05， n=10 t=？ =0.025，n=10 t=？（二）如何用t分布進(jìn)行區(qū)間估計(jì)正態(tài)總體、方差未知、小樣本（ ） 例題1： 某商場從一批袋裝食品中隨機(jī)抽取10袋，測得每袋重量（單位：克）分別為789、780、794、762、802、813、770、785、810、806，要求以95%的把握程度，估計(jì)這批食品的平均每袋重量的區(qū)間范圍及其允許誤差。

16、例題2： 為管理的需要，銀行要測定在業(yè)務(wù)柜臺上每筆業(yè)務(wù)平均所需的時(shí)間。假設(shè)每筆業(yè)務(wù)所需時(shí)間服從正態(tài)分布，現(xiàn)隨機(jī)抽取樣本量為16，測得平均時(shí)間為13分鐘，標(biāo)準(zhǔn)差為5.6分鐘，要求以99%的置信系數(shù)確定置信界限。若置信系數(shù)改為90%，其置信界限有什么區(qū)別？ 樣本比例的區(qū)間估計(jì)理論基礎(chǔ)：抽樣分布總體比例的置信區(qū)間1.假定條件兩類結(jié)果(交替標(biāo)志或二項(xiàng)總體)大樣本條件下可以由正態(tài)分布來近似使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量3. 總體比例 的置信區(qū)間為：重復(fù)抽樣：不重復(fù)抽樣：例題1： 某企業(yè)在一項(xiàng)關(guān)于職工流動原因的研究中，從該企業(yè)前職工的總體中隨機(jī)選取了200人組成一個(gè)樣本。在對其進(jìn)行訪問時(shí)，有140人說他們離開該企業(yè)是

17、由于同管理人員不能融洽相處。試對由于這種原因而離開該企業(yè)的人員的真正比例構(gòu)造95%的置信區(qū)間。解：已知 n=200 ， p0.7 , 1-= 0.95，/2=1.96結(jié)論：我們可以95的置信度保證該企業(yè)職工由于同管理人員不能融洽相處而離開的比例在63.6%76.4%之間 例題2： 某廠對一批產(chǎn)品的質(zhì)量進(jìn)行抽樣檢驗(yàn)，采用重復(fù)抽樣抽取樣品200只，樣本優(yōu)質(zhì)品率為85%，試計(jì)算把握程度為90%時(shí)優(yōu)質(zhì)品率的區(qū)間范圍。第四節(jié): 樣本容量的確定滿足條件： 給定的置信度 最大允許誤差一、抽樣極限誤差 抽樣極限誤差也稱允許誤差，是指在一定置信度下抽樣誤差的可能范圍。思考：抽樣極限誤差與估計(jì)精度的關(guān)系其中抽樣極

18、限誤差為：二、樣本容量的確定 所謂必要的抽樣數(shù)目，也就是指為了使抽樣誤差不超過給定的允許范圍至少應(yīng)抽取的樣本單位數(shù)目。根據(jù)均值區(qū)間估計(jì)公式可得樣本容量n為估計(jì)總體均值時(shí)樣本容量的確定 樣本容量n與總體方差2、允許誤差、可靠性系數(shù)Z 之間的關(guān)系為與總體方差成正比與允許誤差成反比與可靠性系數(shù)成正比其中： 例題1： 一家廣告公想估計(jì)某類商店去年所花的平均廣告費(fèi)用有多少。經(jīng)驗(yàn)表明，總體方差約為1800000元。如置信度取95%，并要使估計(jì)處在總體平均值附近500元的范圍內(nèi)，這家廣告公司應(yīng)抽多大的樣本？解:已知2=1800000，=0.05， Z/2=1.96，=500 應(yīng)抽取的樣本容量為： 例題2： 某食品廠要檢驗(yàn)本月生產(chǎn)的10000袋產(chǎn)品的重量，根據(jù)上月資料，這種產(chǎn)品每袋重量的標(biāo)準(zhǔn)差為25克。要求在95.45%的概率保證程度下,平均每袋重量的誤差范圍不超過5克,應(yīng)抽查多少袋產(chǎn)品?不重復(fù)抽樣：估