1.4生活中的優(yōu)化問題(帶答案)

1、1.4生活中的優(yōu)化問題舉例1要制做一個(gè)圓錐形的漏斗，其母線長為20cm，要使其體積最大，則高為()A.eq f(r(3),3)cm Beq f(10r(3),3)cm C.eq f(16r(3),3)cm Deq f(20r(3),3)cm答案D2用總長為6m的鋼條制作一個(gè)長方體容器的框架，如果所制作容器的底面的相鄰兩邊長之比為3：4，那么容器容積最大時(shí)，高為()A0.5m B1m C0.8mD1.5m答案A解析設(shè)容器底面相鄰兩邊長分別為3xm、4xm，則高為eq f(612x16x,4)eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)7x)(m)，容積V3x4xeq blc(rc)(a

2、vs4alco1(f(3,2)7x)18x284x3eq blc(rc)(avs4alco1(0 x0，xeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,7)，f(3,14)時(shí)，V0，所以在xeq f(1,7)處，V有最大值，此時(shí)高為0.5m.3內(nèi)接于半徑為R的球且體積最大的圓錐的高為()AR B2R C.eq f(4,3)RDeq f(3,4)R答案C解析設(shè)圓錐高為h，底面半徑為r，則R2(hR)2r2，r22Rhh2，Veq f(1,3)r2heq f(,3)h(2Rhh2)eq f(2,3)Rh2eq f(,3)h3，Veq f(4,3)Rhh2.令V0得heq f(4,3)R.當(dāng)0h

3、0；當(dāng)eq f(4R,3)h2R時(shí)，V0)，yeq f(250,r(x)eq f(2,25)x2，由y0，得x25，x(0,25)時(shí)，y0，x(25，)時(shí)，y0，所以x25時(shí)，y取最大值6.如圖所示，一窗戶的上部是半圓，下部是矩形，如果窗戶面積一定，窗戶周長最小時(shí)，x與h的比為_答案1：1解析設(shè)窗戶面積為S，周長為L，則Seq f(,2)x22hx，heq f(S,2x)eq f(,4)x，窗戶周長Lx2x2heq f(,2)x2xeq f(S,x)，Leq f(,2)2eq f(S,x2).由L0，得xeq r(f(2S,4)，xeq blc(rc)(avs4alco1(0，r(f(2S,4

4、)時(shí)，L0，當(dāng)xeq r(f(2S,4)時(shí)，L取最小值，此時(shí)eq f(h,x)eq f(2Sx2,4x2)eq f(2S,4x2)eq f(,4)eq f(4,4)eq f(,4)1.7永泰某景區(qū)為提高經(jīng)濟(jì)效益，現(xiàn)對某一景點(diǎn)進(jìn)行改造升級，從而擴(kuò)大內(nèi)需，提高旅游增加值，經(jīng)過市場調(diào)查，旅游增加值y萬元與投入x(x10)萬元之間滿足：yf(x)ax2eq f(101,50)xblneq f(x,10)，a，b為常數(shù)當(dāng)x10萬元時(shí)，y19.2萬元；當(dāng)x30萬元時(shí)，y50.5萬元(參考數(shù)據(jù)：ln20.7，ln31.1，ln51.6)(1)求f(x)的解析式；(2)求該景點(diǎn)改造升級后旅游利潤T(x)的最大

5、值(利潤旅游增加值投入)解析(1)由條件可得eq blcrc (avs4alco1(a102f(101,50)10bln119.2，,a302f(101,50)30bln350.5，)解得aeq f(1,100)，b1，則f(x)eq f(x2,100)eq f(101,50)xlneq f(x,10)(x10)(2)T(x)f(x)xeq f(x2,100)eq f(51,50)xlneq f(x,10)(x10)，則T(x)eq f(x,50)eq f(51,50)eq f(1,x)eq f(x1x50,50 x)，令T(x)0，則x1(舍)或x50，當(dāng)x(10,50)時(shí)，T(x)0，因此

6、T(x)在(10,50)上是增函數(shù)；當(dāng)x(50，)時(shí)，T(x)0，因此T(x)在(50，)上是減函數(shù)，當(dāng)x50時(shí)，T(x)取最大值T(50)eq f(502,100)eq f(51,50)50lneq f(50,10)24.4(萬元)8若一球的半徑為r，作內(nèi)接于球的圓柱，則圓柱側(cè)面積的最大值為()A2r2 Br2 C4r2 Deq f(1,2)r2答案A解析設(shè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為r1，高為t，則S2r1t2r12eq r(r2roal(2,1)4r1eq r(r2roal(2,1).S4eq r(r2roal(2,1)roal(4,1).令(r2req oal(2,1)req oal(4,1)

7、0得r1eq f(r(2),2)r.此時(shí)S4eq f(r(2),2)req r(r2blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)r)2)4eq f(r(2),2)req f(r(2),2)r2r2.9某廠生產(chǎn)某種電子元件，如果生產(chǎn)出一件正品，可獲利200元，如果生產(chǎn)出一件次品，則損失100元已知該廠制造電子元件過程中，次品率p與日產(chǎn)量x的函數(shù)關(guān)系是：peq f(3x,4x32)(xN)(1)寫出該廠的日盈利額T(元)用日產(chǎn)量x(件)表示的函數(shù)關(guān)系式；(2)為獲最大日盈利，該廠的日產(chǎn)量應(yīng)定為多少件？解析(1)由意可知次品率p日產(chǎn)次品數(shù)/日產(chǎn)量，每天生產(chǎn)x件，次品數(shù)為xp，正品數(shù)為x(1

8、p)因?yàn)榇纹仿蕄eq f(3x,4x32)，當(dāng)每天生產(chǎn)x件時(shí)，有xeq f(3x,4x32)件次品，有xeq blc(rc)(avs4alco1(1f(3x,4x32)件正品所以T200 xeq blc(rc)(avs4alco1(1f(3x,4x32)100 xeq f(3x,4x32)25eq f(64xx2,x8)(xN)(2)T25eq f(x32x16,x82)，由T0得x16或x32(舍去)當(dāng)0 x16時(shí)，T0；當(dāng)x16時(shí)，T0；所以當(dāng)x16時(shí)，T最大即該廠的日產(chǎn)量定為16件，能獲得最大日盈利10時(shí)下，網(wǎng)校教學(xué)越來越受到廣大學(xué)生的喜愛，它已經(jīng)成為學(xué)生們課外學(xué)習(xí)的一種趨勢，假設(shè)某網(wǎng)校

9、的套題每日的銷售量y(單位：千套)與銷售價(jià)格x(單位：元/套)滿足的關(guān)系式y(tǒng)eq f(m,x2)4(x6)2，其中2x6，m為常數(shù)已知銷售價(jià)格為4元/套時(shí)，每日可售出套題21千套(1)求m的值；(2)假設(shè)網(wǎng)校的員工工資、辦公等所有開銷折合為每套題2元(只考慮銷售出的套數(shù))，試確定銷售價(jià)格x的值，使網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤最大(保留1位小數(shù))解析(1)因?yàn)閤4時(shí)，y21，代入關(guān)系式y(tǒng)eq f(m,x2)4(x6)2，得eq f(m,2)1621，解得m10.(2)由(1)可知，套題每日的銷售量yeq f(10,x2)4(x6)2，所以每日銷售套題所獲得的利潤f(x)(x2)eq f(10,x

10、2)4(x6)2104(x6)2(x2)4x356x2240 x278(2x6)，從而f (x)12x2112x2404(3x10)(x6)(2x0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；在(eq f(10,3)，6)上，f (x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，所以xeq f(10,3)是函數(shù)f(x)在(2,6)內(nèi)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，11某工廠擬建一座平面圖為矩形且面積為200m2的三級污水處理池(平面圖如圖所示)如果池四周圍墻建造單價(jià)為400元/m2，中間兩道隔墻建造單價(jià)為248元/m2，池底建造單價(jià)為80元/m2，水池所有墻的厚度忽視不計(jì).(1)試設(shè)計(jì)污水處理池的長和寬，使總造價(jià)最低，并求出最低總造價(jià)；

11、(2)若由于地形限制，該地的長和寬都不能超過16m，試設(shè)計(jì)污水處理池的長和寬，使總造價(jià)最低，并求出最低總造價(jià)解析設(shè)污水處理池的長為xm，則寬為eq f(200,x)m，再設(shè)總造價(jià)為y元，則有(1)y2x400eq f(200,x)24002482eq f(200,x)80200800 xeq f(259200,x)160002eq r(800 xf(259200,x)160002144001600044800，當(dāng)且僅當(dāng)800 xeq f(259200,x)，即x18(m)時(shí)，y取得最小值當(dāng)污水處理池的長為18m，寬為eq f(100,9)m時(shí)總造價(jià)最低，為44800元(2)0 x16,0eq

12、f(200,x)16，12.5x16，x18，由(1)知，y(x)800(xeq f(324,x)16000(12.5x16)y(x)800(1eq f(324,x2)，當(dāng)12.5x16時(shí)，y800eq f(x2324,x2)0，(x)在12.5,16上為減函數(shù)從而(x)(16)45000.當(dāng)長為16m、寬為12.5m時(shí)，總造價(jià)最低，最低造價(jià)為45000元.12如圖所示，在邊長為60 cm的正方形鐵片的四角上切去相等的正方形，再把它沿虛線折起，做成一個(gè)無蓋的長方體箱子，箱底的邊長是多少時(shí)，箱子的容積最大？最大容積是多少？解設(shè)箱子的底邊長為x cm，則箱子高h(yuǎn)eq f(60 x,2) cm.箱子

13、容積VV(x)x2heq f(60 x2x3,2)(0 x60)求V(x)的導(dǎo)數(shù)，得V(x)60 xeq f(3,2)x20，解得x10(不合題意，舍去)，x240.當(dāng)x在(0，60)內(nèi)變化時(shí)，導(dǎo)數(shù)V(x)的正負(fù)如下表：x(0，40)40(40，60)V(x)0因此在x40處，函數(shù)V(x)取得極大值，并且這個(gè)極大值就是函數(shù)V(x)的最大值將x40代入V(x)得最大容積V402eq f(6040,2)16 000(cm3)所以，箱子底邊長取40 cm時(shí)，容積最大，最大容積為16 000 cm3.13某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距m米，余下工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩經(jīng)測算，一個(gè)橋墩的工程費(fèi)用為256萬元；距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費(fèi)用為(2eq r(x)x萬元假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點(diǎn)，且不考慮其他因素，記余下工程的費(fèi)用為y萬元(1)試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)m640米時(shí)，需新建多少個(gè)橋墩才能使y最?。拷?1)設(shè)需新建n個(gè)橋墩，則(n1)xm，即neq f(m,x)1.所以yf(x)256n(n1)(2eq r(x)x256eq blc(rc)(avs4alco1(f(m,x)1)eq f(m,x)(2eq r(x)xeq f(256m,x)meq r(x)2m256.(2)由(1)知，f(