課后習題答案8-2二重積分的計算

1、習題 8.2(P122)1畫出下列二次積分所對應的二重積分的積分區(qū)域 D ，并改變積分次序.(1) 1 dxx 2 x f ( x, y)dy解：1x1y1y x 1D112y ( x )42Ox 11114114 2y 2y 0f ( x, y)dx 2dydyf ( x, y)dxy110114 2y 4aa 2 x 20 dxa xf ( x, y)dy(2)解：yaDOa xaa2 y2dyf ( x, y)dxa y012 y(3) 0 dyyf ( x, y)dx解：y2x y 2y x1D2 xO12 x1x2y)dy dxf ( x, y)dydxf ( x,0010第 8 章

2、第 2 節(jié)1/8a a 2 y2aa 2 y22(4) 0 dy解：f ( x, y)dx dy0f ( x, y)dxa2 2aya2yay x2 a2a2Da2 x2y O2aaxa 2 x 2adx0a 2 x 2f ( x, y)dy2a2計算下列二重積分.p ( p 0) 圍成.(1) xy 2dxdy ，其中 D 由拋物線 y 2 2 px 和直線 x D2pyp2解：xy 2dxdy y 2dyxdxD p y22 py2 2 pxy 6 1 pD2 2p2p y dyOx xp82p121p5(2) ye xy dxdy ，其中 D 由直線 x 2 ， y 2 和雙曲線 xy

3、1 圍成.D22xyxy解：yedxdy dyyedxy2121yD 2(e e)dy2 y1212O12x 1 e 4 2e22(3) x 2e y2 dxdy 其中 D 由直線 x 0 ， y 1 和 y x 圍成.D第 8 章第 2 節(jié)2/8Dxy 11y2 y22 y2解：x edxdy dyDx edxy1y 100(1, 1)1 1Dy23yedy30y x令t y 21 112te t dt (1 )xO606e(4) ( x 2 y)dxdy ，其中 D 由拋物線 y 2 x 2 和 y 1 x 2 圍成.Dy解：因為積分區(qū)域 D 關于 y 軸對稱， f ( x, y) x關于

4、 x 是奇函數(shù)，所以 xdxdy 0 。D2y 1 x21積分區(qū)域 D : 1 x 1,2 x 2 y 1 x 2y 2 x2Dx 2 11D2 ydxdy dx2 ydy122 xoxdx( x 1) 4 x 4 dx 32151221(5) xydxdy ，其中 D 由拋物線 y 2 2 x 6 和直線 y x 1 圍成.Dy 6y 2(5, 4)解：積分區(qū)域 D : 2 y 4, x y 12y2 2x 6D 3(1, 2)y x 14y 1xydxdy dyy 2 6 xydxDO1x1 22dy2 y 2 6 12 y 1 42y22 363計算由平面 x 4 ， y 4 ，各坐標面

5、以及旋轉拋物面 z 1 x 2 y 2 所圍立體的體積.z解：積分區(qū)域 D : 0 x 4,V (1 x 2 y 2 )dxdyD0 y 4144dx (1 x y 2 )dy2004yD4x第 8 章第 2 節(jié)3/876560 186 24(4 x )dx 203334計算由兩個直交圓柱面 x 2 R 2 和 x 2 z 2 R 2 圍成的立體體積.y 2z解：圖示部分是所圍立體V 在第一卦限的部分V1 ，對應的積分區(qū)域 D1 : x 2 R 2 ,y 2x 0,y 0，由對稱性，V 8V1 8R 2 x 2 dxdyD1o1y1x16R2 x2RR 8dxR x dy 8( R22223x

6、 )dx R00035在極坐標系下把二重積分 f ( x, y)d 表示為二次積分，其中 D 為下列區(qū)域：D(1) x 2 b2(0 a b)a 2y 2解： D : 0 2 ,a bb2f ( x, y)ddf ( cos , sin ) dD0a(2) x 2 axy 2(a 0): ,0 a cos 22a cosD解：2 f ( x, y)ddf ( cos , sin ) dD 20( x 2)2 4y 2(3)( x a) a 2 (0 a 2)2y 2: ,2a cos 4 cos 224 cosD解：2 f ( x, y)df ( cos , sin ) dDd 22a cos

7、4 x x 2 8 xy 2 x y 2 x(4)第 8 章第 2 節(jié)4/8: arctan 2,4 cos 8 cos 4D解： arctan 28 cosf ( x, y)d f ( cos , sin ) dDd44 cos6. 計算下列二重積分：1 x 2 4y 20 y xy(1)arctand ，其中 D :Dx解： D : 0 4 ,1 2 arctand d d d d 2y322x32D(2) ( x 2 y 2 )d ，其中 D : 2 x x 2 4 xDy 2: ,2 cos 4 cos 22D解：4 cos2 2 3d 602 ( x 2 y 2 )dDcos d4

8、120cos d4d 2 22 cos0 120I 120 3 1 45 44222(3) ln(1 x 2 y 2 )d ，其中 D : 1 x 2 9Dy 2: 0 2 ,1 3D解：323ln(1 ) d ln(1 ) d (1 ) ln(1 x 2 y 2 )dDd2220112 33 (1 ) ln(1 )22d (1 )11 10 ln 10 2 ln 2 (1 2 ) 3 10 ln 10 2 ln 2 81 x 2 2 xy 22y d ，其中 D :2Dx (4)0 y x第 8 章第 2 節(jié)5/8: 0 , 40 2 cosD解：83832 cosx y d d d cos

9、 d (1 sin )d (sin )D2223244400004sin3 8109(sin )2330(5) yd ，其中 D 由直線 x 2 ， y 0 ， y 2 及曲線 x D2 y 圍成.y 2解：解法 1：積分區(qū)域 D :0 y 2, 2 x 2 y y 2y2 y y222 ydDydydx y(2 2 y y 2 )dy 220022221 ( y 1)2 dy2 ydy y 2 y y dy 4 y0001 令t y 114 (t 1)1 t 2 dt1 2x11 4 t 1 t dt 21 t 2 dt1111因為 1 t1 t dt 0 （被積函數(shù)為奇函數(shù)）， 1 1 t

10、 dt 2 （由幾何意義即得）222故 ydD 4 解法 2：平移坐標軸 Y y 1 ， X x ，則 DXY : 1 Y 1, 2 X 1 Y2 yd (Y 1)d Yd dDDXYDXYDXY由于積分區(qū)域關于 X 對稱，被積函數(shù)關于Y 是奇函數(shù)，故 Yd 0DXY21而 d 區(qū)域DXY 的面積 正方形面積 半圓面積 2 2 1 4 22DXY解法 3：將積分區(qū)域 D 視為密度均勻的平面薄板，則其質心的縱坐標 y 1 ，故 yd y D的面積 y （正方形面積 半圓面積） 1 (2 2 ) 4 22D第 8 章第 2 節(jié)6/8Dd ,其中 D 由直線 y x 及曲線 y a a 22)(6)

11、D4 y 2圍成. x cos74，則直線 y x 的極坐標方程為 （或 解： 令）y sin4曲線 2 y 2 的極坐標y方程為 2a sino x D 或 7 故積分區(qū)域 D: 440 2a sin2a sin 2 d0 0 222224a 4yD4 令 2 sin d 2a cos tdt0sin tdt 2a 2 0 d(1 cos 2 )dd4a 4 4000 21 cos 20 a 2 2 ) 2 ( 2 ) a2(sin 2 2 4 162 47試求球體 x 2 y 2 y2 2R與 x的公共部分的體積.z解：圖示為兩個球體的正視圖， x 2 y 2 2R兩球體的交線為，R x y 2V34R2 xOy即z x2342 ，其公共部分在 xOy 平面的投影區(qū)域為 D : x3 R ,0 D:2 y 2 )dxdyR x y 2 ( R R x故VD第 8 章第 2 節(jié)7/8 DR x y 2 R)dxdy 2DR x y 2 dxdy R dxdyD3 R23 R2332 R R 4 2d 2 R 3004403 R232 3 R3233 22 R 2 R 3 2 R R 324400 4 ( 7353） 3 R338412z 及 x y 228立體V 滿足，求該立體的體積.z 1解：聯(lián)立得交線z 1 x y 2 2其公共部分在 xOy 平面的投影區(qū)域