2022年二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)和題型歸納總結(jié)文檔3

1、二次函數(shù)學(xué)問(wèn)點(diǎn)總結(jié)和題型總結(jié) 一,二次函數(shù)概念： 1二次函數(shù)的概念：一般地,形如 y 2 ax bx c （ a ,b ,c 是常數(shù), a0 ）的函 數(shù),叫做二次函數(shù)； 這里需要強(qiáng)調(diào)： a 0 最高次數(shù)為 2代數(shù)式確定是整式 2. 二次函數(shù) y 2 ax bx c 的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)： 等號(hào)左邊是函數(shù),右邊是關(guān)于自變量 x 的二次式, x 的最高次數(shù)是 2 a ,b ,c 是常 a 是二次項(xiàng)系數(shù), b 是一次項(xiàng)系數(shù), c 是常數(shù)項(xiàng) 例題： 數(shù),例 1,已知函數(shù) y=m1x m2 +1 +5x3 是二次函數(shù),求 m 的 2 2 練習(xí),如函數(shù) y=m +2m 7x +4x+5 是關(guān)于 x 的二次函數(shù),就

2、m 的取值范 為 ； 疇 二,二次函數(shù)的基本形式 1. 二次函數(shù)基本形式： y 2 ax 的性質(zhì)： a 的確定值越大,拋物線的開口越??； a 的符號(hào) 開口方 頂點(diǎn)坐 對(duì)稱 性質(zhì) 向 標(biāo) 軸 x 0 時(shí), y 隨 x 的增大而增大； x 0 時(shí), a 0 向上 0 ,0 y 軸 y 隨 x 的增大而減?。?x 0 時(shí), y 有最小 值 0 x 0 時(shí), y 隨 x 的增大而減??； x 0 時(shí), a 0 向下 0 ,0 y 軸 y 隨 x 的增大而增大； x 0 時(shí), y 有最大 值 0 2. y 2 ax c 的性質(zhì)： 上加下減； a 的符號(hào) 開口方 頂點(diǎn)坐 對(duì)稱 性質(zhì) 向 標(biāo) 軸 x 0 時(shí),

3、 y 隨 x 的增大而增大； x 0 時(shí), a0向上 0 ,c y 軸 y 隨 x 的增大而減??； x 0 時(shí), y 有最小 值 c 第 1 頁(yè),共 13 頁(yè)a0向下 0 ,c y 軸 x 0 時(shí), y 隨 x 的增大而減小； x 0 時(shí), y 隨 x 的增大而增大； x 0 時(shí), y 有最大 值 c 3. y a x h2的性質(zhì)： 左加右減； a 的符號(hào) 開口方 頂點(diǎn)坐 對(duì)稱 性質(zhì) 向 標(biāo) 軸 x h 時(shí), y 隨 x 的增大而增大； x h 時(shí), a0向上 h ,0 X=h y 隨 x 的增大而減小； x h 時(shí), y 有最小 值 0 x h 時(shí), y 隨 x 的增大而減??； x h 時(shí),

4、 a0向下 h ,0 X=h y 隨 x 的增大而增大； x h 時(shí), y 有最大 值 0 4. y a x h2k 的性質(zhì)： 對(duì)稱 性質(zhì) a 的符號(hào) 開口方 頂點(diǎn)坐 向 標(biāo) 軸 a0向上 h ,k X=h x h 時(shí), y 隨 x 的增大而增大； x h 時(shí), y 隨 x 的增大而減?。?x h 時(shí), y 有最小 值 k x h 時(shí), y 隨 x 的增大而減?。?x h 時(shí), a0向下 h ,k X=h y 隨 x 的增大而增大； x h 時(shí), y 有最大 值 k 二次函數(shù)的對(duì)稱軸,頂點(diǎn),最值 2（技法：假如解析式為頂點(diǎn)式 y=ax h +k,就最值為 k；假如解析式為一般式 22 4ac-

5、b y=ax +bx+c 就最值為 4a ） 2 21拋物線 y=2x +4x+mm 經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),m 的值； 22拋物 y=x +bx+c 線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ 1, 3）,就 b ,c . 3拋物線 yx 3x 的頂點(diǎn)在 A. 第一象限 B. 其次象限 C. 第三象限 D. 第四象限 第 2 頁(yè),共 13 頁(yè)2 4如拋物線 yax 6x 經(jīng)過(guò)點(diǎn) 2 ,0 ,就拋物線頂點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為 A. 13 B. 10 C. 15 D. 14 5如直線 yaxb 不經(jīng)過(guò)二,四象限,就拋物線 yax bxc A. 開口向上,對(duì)稱軸是 y 軸 B. 開口向下,對(duì)稱軸是 y 軸 C. 開口向下,對(duì)稱軸平行于

6、 y 軸 D. 開口向上,對(duì)稱軸平行于 y 軸 6已知二次函數(shù) y=mx+m 1x+m1 有最小值為 0,就 m ； 三,二次函數(shù)圖象的平移 1. 平移步驟： 2k ,確定其頂點(diǎn)坐標(biāo) 方法一： 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式 y a x hh ,k ； h,k 處,具體平移方法 保持拋物線 y 2 ax 的形狀不變, 將其頂點(diǎn)平移到 如下： y=ax 2向上 k0【或向下 k0【或左 h0【或左 h0 【或左 h0 【或下 k0 【或下 k1 時(shí), y 隨 x 的增大而 值是 ；當(dāng) x 2 時(shí),y 隨 x 的增大而增大；當(dāng) x 2 時(shí), y 隨 x 的增大而削減；就 x1 時(shí),y 的值為 ； 23

7、. 已知二次函數(shù) y=x m+1x+1,當(dāng) x 1 時(shí), y 隨 x 的增大而增大,就 m 的取 值范疇是 . 1 2 54. 已知二次函數(shù) y= x +3x+ 的圖象上有三點(diǎn) Ax 1 ,y 1,Bx 2 ,y 2,Cx 3,y 3 且 2 23x1x20,b0,c0 B.a0,b0,c=0 C.a0,b0,b0,c 0 B b -2a C a-b+c 0 D c0； a+b+c 0 a-b+c 0 b -4ac0 abc 0 ；其中正確的為 （ ） A B C D 2 4. 當(dāng) bbc,且 a b c 0,就它的圖象可能 是圖所示的 y y y y O 1 x O 1 x O 1 x O

8、1x A B C D2 2 6二次函數(shù) yax bxc 的圖象如圖 5 所示,那么 abc, b 4ac, 2a b, abc 四個(gè)代數(shù)式中,值為正數(shù)的有 A.4 個(gè) 個(gè) 個(gè) 個(gè) 第 7 頁(yè),共 13 頁(yè)7. 在同一坐標(biāo)系中,函數(shù) y= ax +c 與 y= c a 0 時(shí),y 隨 x 的增大而增大, 就二次函數(shù) ykx +2kx 的圖象大致為圖中的（ ） A B C D二次函數(shù)解析式的確定： 依據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式,通常利用待定系數(shù)法用待定系數(shù)法求 二次函數(shù)的解析式必需依據(jù)題目的特點(diǎn), 般來(lái)說(shuō),有如下幾種情形： 選擇適當(dāng)?shù)男问? 才能使解題簡(jiǎn)便 一 1. 2. 3. 4. 已知拋物線

9、上三點(diǎn)的坐標(biāo),一般選用一般式； 已知拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大（?。┲?一般選用頂點(diǎn)式； 已知拋物線與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo),一般選用兩根式； 已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn),常選用頂點(diǎn)式 例題：函數(shù)解析式的求法 一,已知拋物線上任意三點(diǎn)時(shí),通常設(shè)解析式為一般式 元方程組求解； 2 y=ax +bx+c,然后解三 1已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò) A（0,3）, B（ 1,3）,C（ 1,1）三點(diǎn),求該二 次函數(shù)的解析式； 第 8 頁(yè),共 13 頁(yè)2已知拋物線過(guò) A（1,0）和 B（4, 0）兩點(diǎn),交 y 軸于 C 點(diǎn)且 BC 5,求該 次函數(shù)的解析式； 二 二, 已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo),或拋物線上縱坐

10、標(biāo)相同的兩點(diǎn)和拋物線上另一點(diǎn) 2 時(shí),通常設(shè)解析式為頂點(diǎn)式 y=ax h +k 求解 ； 3已知二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ 次函數(shù)的解析式； 4已知二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ 次函數(shù)的解析式； 1, 6）,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（ 2, 8）,求該二 1, 3）,且經(jīng)過(guò)點(diǎn) P（ 2,0）點(diǎn),求二 三, 已知拋物線與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí),通常設(shè)解析式為交點(diǎn)式 x2 ； y=ax x1x 5二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò) A（ 1, 0）,B（3,0）,函數(shù)有最小值 8,求該二次 函數(shù)的解析式； 九,二次函數(shù)圖象的對(duì)稱 二次函數(shù)圖象的對(duì)稱一般有五種情形,可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá) 1. 關(guān)于 x 軸對(duì)稱 2. y 2 ax

11、bx c 關(guān)x 軸對(duì)稱后,得到的解析式是 y 2 ax bx c ； 于 a x h2k ； y a x h2k 關(guān)于 x 軸對(duì)稱后,得到的解析式是 y 關(guān)于 y 軸對(duì)稱 y 2 ax bx c 關(guān)y 軸對(duì)稱后,得到的解析式是 y 2 ax bx c； 于 3. a x h2k ； y a x h2k 關(guān)于 y 軸對(duì)稱后,得到的解析式是 y 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 第 9 頁(yè),共 13 頁(yè)4. 5. y y 2 ax bx c 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后,得到的解析式y(tǒng) 2 ax bx c ； 是 y a x h2k 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后,得到的解析式是 y a x h2k ； 關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱（即：拋物線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 180

12、） y 2 ax bx c 關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后,得到的解析式y(tǒng) 2 ax bx c b2； 2a 是 y a x h2k 關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后,得到的解析式是 y a x h2k 關(guān)于點(diǎn) m ,n 對(duì)稱 y a x h2k 關(guān) 于 點(diǎn) m ,n 對(duì) 稱 后 , 得 到 的 解 析 式 是 a x h 2m 22n k 依據(jù)對(duì)稱的性質(zhì), 明顯無(wú)論作何種對(duì)稱變換, 拋物線的形狀確定不會(huì)發(fā)生變 化,因此 永久不變 求拋物線的對(duì)稱拋物線的表達(dá)式時(shí), 可以依據(jù)題意或便利 a運(yùn)算的原就, 選擇合適的形式, 習(xí)慣上是先確定原拋物線 （或表達(dá)式已知的拋物 線）的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向, 再確定其對(duì)稱拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方

13、向, 然后 再寫出其對(duì)稱拋物線的表達(dá)式 十,二次函數(shù)與一元二次1. 二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與 2 2一元二次方程 ax bx c 0 是二次函數(shù) y ax x 軸交點(diǎn)情形）： 0 時(shí)的特殊 bx c 當(dāng)函數(shù)值 y 情形 . 圖象與 x 軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)： 2 當(dāng) b 4ac 0 時(shí),圖象與 x 軸交于兩點(diǎn) A x ,0 ,B x ,0 x 1 x 2 ,其中的 2x1 ,x2 是一元二次方程 ax bx c 0 a 0 的兩根這兩點(diǎn)間的距離 2AB x2 x1 b 4ac . a 當(dāng) 0 時(shí),圖象與 x 軸只有一個(gè)交點(diǎn)； 當(dāng) 0 時(shí),圖象與 x 軸沒(méi)有交點(diǎn) . 1 當(dāng) a 0 時(shí),

14、圖象落在 x 軸的上方,無(wú)論 x 為任何實(shí)數(shù),都有 y 0 ； 2 當(dāng) a 0 時(shí),圖象落在 x 軸的下方,無(wú)論 x 為任何實(shí)數(shù),都有 y 0 22. 拋物線 y ax bx c 的圖象與 y 軸確定相交,交點(diǎn)坐標(biāo)為 0 , c ； 3. 二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)： 求二次函數(shù)的圖象與 x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo),需轉(zhuǎn)化為一元二次方程； 求二次函數(shù)的最大（小）值需要利用配方法將二次函數(shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂 第 10 頁(yè),共 13 頁(yè)點(diǎn)式； 依據(jù)圖象的位置判定二次函數(shù) y 2 ax bx c 中 a , b , c 的符號(hào),或由二次 函數(shù)中 a , b , c 的符號(hào)判定圖象的位置,要數(shù)形結(jié)合； 二次函數(shù)的圖

15、象關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱,可利用這一性質(zhì),求和已知一點(diǎn)對(duì)稱的 點(diǎn)坐標(biāo),或已知與 x 軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo),可由對(duì)稱性求出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo) . 2 與二次函數(shù)有關(guān)的仍有二次三項(xiàng)式,二次三項(xiàng)式 ax bx ca 0 本身就是 所含字母 x 的二次函數(shù)；下面以 a 0 時(shí)為例,揭示二次函數(shù),二次三項(xiàng)式和一 元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系： 0 拋 物 線 與 軸 x 二次三 項(xiàng) 式的值 可 一元二次方程有兩個(gè)不相等實(shí) 有兩個(gè)交點(diǎn) 正,可零,可負(fù) 根 一元二次方程有兩個(gè)相等0 拋 物 線 與 x 軸 二次三 項(xiàng) 式的值 為 的實(shí) 數(shù)根 只有一個(gè)交點(diǎn) 非負(fù) 一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根 . 0 拋 物 線 與 x 軸 二次三 項(xiàng)

16、式的值 恒 無(wú)交點(diǎn) 為正 例題：二次函數(shù)與 x 軸, y 軸的交點(diǎn)（二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系） 21. 假如二次函數(shù) yx 4xc 圖象與 x 軸沒(méi)有交點(diǎn),其中 c 為整數(shù),就 c （寫一個(gè)即可） 2. 二次函數(shù) yx -2x-3 圖象與 x 軸交點(diǎn)之間的距離為 23. 拋物線 y 3x 2x 1 的圖象與 x 軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 A. 沒(méi)有交點(diǎn) B. 只有一個(gè)交點(diǎn) C. 有兩個(gè)交點(diǎn) D. 有三個(gè)交點(diǎn) 4. 如以下圖,二次函數(shù) yx 4x 3 的圖象交 x 軸于 2 A,B 兩點(diǎn), 交 y 軸于 點(diǎn) C, 就 ABC 的面積為 25. 已知拋物線 y5x m1x m 與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn) y

17、軸同側(cè),它們的距離 在 49 平方等于為 25 ,就 m 的值為 A.2 26. 已知拋物線 yx -2x-8 , （1）求證：該拋物線與 x 軸確定有兩個(gè)交點(diǎn)； （2）如該拋物線與 面積； x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)為 A,B,且它的頂點(diǎn)為 P,求 ABP 的 第 11 頁(yè),共 13 頁(yè)十一,函數(shù)的應(yīng)用 二次函數(shù)應(yīng)用 剎車距離 何時(shí)獲得最大利潤(rùn) 最大面積是多少 二次函數(shù)圖像與性質(zhì)口訣 : 二次函數(shù)拋物線,圖象對(duì)稱是關(guān)鍵；開口,頂 點(diǎn)和交點(diǎn) , 它們確定圖象現(xiàn)；開口,大小由 a 斷,c 與 Y 軸來(lái)相見(jiàn) ,b 的符號(hào)較特 別,符號(hào)與 a 相關(guān)聯(lián)；頂點(diǎn)位置先找見(jiàn), Y 軸作為參考線,左同右異中 0,牢 記

18、心中莫紛亂；頂點(diǎn)坐標(biāo)最重要 , 一般式配方它就現(xiàn),橫標(biāo)即為對(duì)稱軸 , 縱標(biāo)函 數(shù)最值見(jiàn)；如求對(duì)稱軸位置 , 符號(hào)反 , 一般,頂點(diǎn),交點(diǎn)式,不同表達(dá)能互換； 二次函數(shù)拋物線,選定需要三個(gè)點(diǎn), a 的正負(fù)開口判, c 的大小 y 軸看,的 符號(hào)最簡(jiǎn)便, x 軸上數(shù)交點(diǎn), a,b 同號(hào)軸左邊拋物線平移 a 不變,頂點(diǎn)牽著圖 象轉(zhuǎn),三種形式可變換,配方法作用最關(guān)鍵； 例題：二次函數(shù)應(yīng)用 一）經(jīng)濟(jì)策略性 1. 某商店購(gòu)進(jìn)一批單價(jià)為 16 元的日用品,銷售一段時(shí)間后,為了獲得更多的利 潤(rùn),商店準(zhǔn)備提高銷售價(jià)格；經(jīng)檢驗(yàn)發(fā)覺(jué),如按每件 能賣 360 件如按每件 25 元的價(jià)格銷售時(shí),每月能賣 y 件）是價(jià)格 X 的一次函數(shù) . 1 試求 y 與 x 的之間的關(guān)系式 . 20 元的價(jià)格銷售時(shí),每月 210 件；假定每月銷售件數(shù) 2 在商品不積壓,且不考慮其他因素的條件下,問(wèn)銷售價(jià)格定為多少時(shí),才 能使每月獲得最大利潤(rùn), 每月的最大利潤(rùn)是多少？ （總利潤(rùn) =總收入總成本） 2. 有一種螃蟹, 從海上捕獲后不放養(yǎng)最多只能活兩天, 假如放養(yǎng)在塘內(nèi), 可