隨機(jī)過程基本概念

1、關(guān)于隨機(jī)過程的基本概念第一張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月一、直觀背景及例 第一節(jié) 隨機(jī)過程的基本概念例1 生物群體的增長問題。在描述群體的發(fā)展或演變過程中，以群體的個數(shù)，則對每一個t，從t=0開始每隔24小時對群體的次數(shù)觀測一次，則表示在時刻t是一個隨機(jī)變量.是隨機(jī)過程。假設(shè)我們第二張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例2 某電話交換臺在時間段0, t內(nèi)接到的呼喚次數(shù)是 與t有關(guān)的隨機(jī)變量X(t), 對于固定的t, X(t)是一個 取非負(fù)整數(shù)的隨機(jī)變量。故X(t), t 0,是隨 機(jī)過程。第三張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 由上例可見隨機(jī)過程表示依賴于一個變動參量

2、的一族隨機(jī)變量。它雖然不能用一個確定的函數(shù)來描述，但也是有規(guī)律的。為此，我們給出隨機(jī)過程的一般定義。第四張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月二、隨機(jī)過程的定義隨機(jī)過程說明1參數(shù)集T在實際問題中，常常指的是時間參數(shù)，但有時也用其它物理量作為參數(shù)集。 隨機(jī)過程是概率空間(,F,P)上的一族隨機(jī)變量 ，其中T稱為指標(biāo)集或參數(shù)集. 說明2通常將隨機(jī)過程 解釋為一個物理、自然和社會的系統(tǒng)， 表示系統(tǒng)在時刻t所處的狀態(tài)。 第五張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月的所有可能狀態(tài)構(gòu)成的集合為狀態(tài)空間，記為S.一般地，如果不做說明都認(rèn)為狀態(tài)空間是實數(shù)集R或R的子集。狀態(tài)分類離散狀態(tài)連續(xù)狀態(tài)取值是離散

3、的取值是連續(xù)的第六張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月說明3第七張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月說明4當(dāng)T取為R， 或a,b時，稱 為連續(xù)參數(shù)的隨機(jī)過程。當(dāng)T取為Z， 時，稱 為離散參數(shù)的隨機(jī)過程。參數(shù)集T通常代表時間，T可取實數(shù)集R,非負(fù)實數(shù)集 ，整數(shù)集Z，或非負(fù)整數(shù)集 等第八張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 參數(shù)集T是一個可列集 T=0,1,2,離散參數(shù)連續(xù)參數(shù)參數(shù)分類參數(shù)集T是一個不可列集第九張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例1（隨機(jī)游動）一個醉漢在路上行走，以 概率p前進(jìn)一步，以概率1-p后退一步（假定其步長相同）。以X(t)記他t時刻在路上的位置,

4、則X(t)就是直線上的隨機(jī)游動第十張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例2 （布朗運動）英國植物學(xué)家布朗注意到漂浮在液 面上的微小粒子不斷進(jìn)行無規(guī)則的運動，這種 運動后來稱為布朗運動。它是分子大量隨機(jī)碰 撞的結(jié)果。若以（X(t),Y(t)）表示粒子在平面坐 標(biāo)上的位置，則它是平面上的布朗運動。第十一張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例3 （排隊模型）顧客來到服務(wù)臺要求服務(wù)。當(dāng)服務(wù)站中的服務(wù)員都忙碌，即服務(wù)員都在為別的顧客服務(wù)時，來到的顧客就要排隊等候。顧客的到來、每個顧客所需的服務(wù)時間是隨機(jī)的，所以如果X(t)表示t時刻的隊長,Y(t) 表示t時刻到來的顧客所需的等待時間，則X(

5、t), tTY(t), tT都是隨機(jī)過程。第十二張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月一、隨機(jī)過程的分布函數(shù)一維分布函數(shù)其分布函數(shù)為 第二節(jié) 有限維分布與Kolmogorov定理第十三張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月二維分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù)第十四張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 n維分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù)第十五張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月有限維分布族一維，二維，n維分布等的全體：易知第十六張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月一個隨機(jī)過程的有限維分布族具有對稱性和相容性.(1)對稱性(2)相容性第十七張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月Kolmog

6、orov定理前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家1931年證明了此定理 說明隨機(jī)過程的有限分布函數(shù)族可以完整描述隨機(jī)過程的統(tǒng)計規(guī)律性.設(shè)分布函數(shù)族滿足上面的對稱性和相容性，則必存在一個隨機(jī)過程X(t), tT使恰好是X(t), tT的有限維分布。第十八張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例1 袋中放有一個白球，兩個紅球，每隔單位時間從袋中任取一球，取后放回，對每一個確定的t對應(yīng)隨機(jī)變量試求這個隨機(jī)過程的一維分布函數(shù)族。分析先求 的概率分布第十九張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月所以解P第二十張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月練習(xí)求一維分布函數(shù)解:第二十一張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月

7、第二十二張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月二、隨機(jī)過程的數(shù)字特征 1均值函數(shù)說明第二十三張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月如果對任意的則稱隨機(jī)過程為二階矩過程第二十四張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 2方差函數(shù)說明第二十五張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 3協(xié)方差函數(shù)二階中心混合矩注第二十六張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 4自相關(guān)函數(shù)注 協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)反映隨機(jī)過程在時刻 和 時的線性相關(guān)程度.第二十七張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例2解求:(1)均值函數(shù);(2)協(xié)方差函數(shù);(3)方差函數(shù)。（1）（2）（3）第二十八張，PPT共

8、五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月練習(xí)解：例 其中 是相互獨立的且均服從N(0，1)分布的隨機(jī)變量第二十九張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月1.嚴(yán)平穩(wěn)過程定義1則 稱為嚴(yán)平穩(wěn)過程第三節(jié) 隨機(jī)過程的基本類型一、平穩(wěn)過程若對任意的和任意的嚴(yán)平穩(wěn)過程的有限維分布關(guān)于時間是平移不變的.第三十張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月2.寬平穩(wěn)過程定義2如果它滿足：則稱 為寬平穩(wěn)過程（二階平穩(wěn)過程），簡稱平穩(wěn)過程第三十一張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月注2注1 嚴(yán)平穩(wěn)過程不一定是寬平穩(wěn)過程。因為嚴(yán)平穩(wěn)過程不一定是二階矩過程。若嚴(yán)平穩(wěn)過程存在二階矩，則它一定是寬平穩(wěn)過程。寬平穩(wěn)過程也不一定是

9、嚴(yán)平穩(wěn)過程。因為寬平穩(wěn)過程只保證一階矩和二階矩不隨時間推移而改變，這當(dāng)然不能保證其有窮維分布不隨時間而推移。第三十二張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月3. 平穩(wěn)過程協(xié)方差函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)3性質(zhì)1性質(zhì)4性質(zhì)2即對任意的2n個實數(shù)第三十三張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例1滿足試討論隨機(jī)序列 的平穩(wěn)性。解因為注在科學(xué)和工程中，例1中的過程稱為“白噪聲”，它是實際中最常用的噪聲模型。第三十四張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例2解的密度函數(shù)為所以其中T=1,2,，試討論隨機(jī)序列 的平穩(wěn)性。 是在0，1上服從均勻分布的隨機(jī)變量，第三十五張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月

10、練習(xí)解：例 其中 是相互獨立的且均服從N(0，1)分布的隨機(jī)變量第三十六張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月二、獨立增量過程定義隨機(jī)變量是相互獨立的第三十七張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例3證的隨機(jī)變量序列,則令第三十八張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月三、平穩(wěn)增量過程定義第三十九張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月兼有獨立增量和平穩(wěn)增量的過程稱為平穩(wěn)獨立增量過程.四、平穩(wěn)獨立增量過程Poisson過程和Brown運動都是平穩(wěn)獨立增量過程.第四十張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 在何種條件下，平穩(wěn)過程對時間的平均值可以等于過程的均值？ 對于平穩(wěn)過程重要

11、的是確定它的均值和它的協(xié)方差函數(shù)由大數(shù)定律知，可以用第四十一張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 然而對隨機(jī)過程作多次觀察一般來說比較困難，容易的是作一次觀察, 獲得一條樣本路徑, 我們希望由這一次觀察來估計 , 對于一般的隨機(jī)過程這是不可能的，但對于平穩(wěn)過程, 只要加上一些條件，就可以從一次觀察中得到 的較好的估計，這就是遍歷性定理。 介紹從一次試驗所獲得的一個樣本函數(shù)來決定隨機(jī)過程的均值和協(xié)方差函數(shù)，從而就可以得到該過程的全部信息，即遍歷性問題。第四十二張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 定義1稱 的均值有遍歷性注這里的極限是指在均方意義下的極限.稱 的協(xié)方差函數(shù)有遍歷性.第四十三張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月第四十四張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月定理（均值遍歷性定理） 第四十五張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例1是否具有均值遍歷性。解所以 是平穩(wěn)過程。第四十六張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月故有即此過程是均值遍歷的。第四十七張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 歷第四十八張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于20