《高等代數(shù)》第一章習題及答案

1、習題1.1解答1.下列數(shù)集哪些是數(shù)域？哪些是數(shù)環(huán)？哪些既非數(shù)域也非數(shù)環(huán)？1）所有正實數(shù)所成的集合2）所有偶數(shù)（或奇數(shù)）構成的集合3）某個整數(shù)a的所有整數(shù)倍所成的集合4）F=解 1）所有正實數(shù)所成的集合對減法不封閉，所以不是數(shù)環(huán)，當然也非數(shù)域2）所有偶數(shù)構成的集合對加、減、乘均封閉，所以是數(shù)環(huán)；但對除法不封閉，所以不是數(shù)域3）某個整數(shù)a的所有整數(shù)倍所成的集合對加、減、乘均封閉，所以是數(shù)環(huán)；但對除法不封閉，所以不是數(shù)域4）在F= 中取，顯然F，即對乘法不封閉，所以F不是數(shù)環(huán)，當然也非數(shù)域2.證明：兩個數(shù)域的交是一個數(shù)域解 設A，B是兩個數(shù)域，則0,1A，0,1B，從而0,1AB；對任意x,yAB，

2、有x,yA和x,yB，從而x+yA，x-yA，xyA，xyA（對y0），同樣也有x+yB，x-yB，xyB，xyB（對y0），所以x+yAB，x-yAB，xyAB，xyAB（對y0），故AB是數(shù)域3*.證明：F=a+bi|a,bQ（i是虛單位）是一個數(shù)域解 顯然0=0+0iF，1=1+0iF；對任意a+bi,c+diF，有(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)iF，(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)iF，(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)iF，若c+di0，則(a+bi)(c+di)=所以F是數(shù)域4*.證明：G=a+bi|a,bZ是數(shù)環(huán)而不是數(shù)

3、域解 對任意a+bi,c+diG，有(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)iG，(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)iG，(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)iG，所以G是數(shù)環(huán)數(shù)1=1+0iG，2=2+0iG，20，但12G，所以G不是數(shù)域習題1.2解答1.用行的初等變換，將下列矩陣化為行最簡形 解 2*.用行的與列的初等變換，將上題中的化成形為的矩陣解 接上題中的的行最簡形習題1.3解答1.寫出以下列行最簡形矩陣為增廣矩陣的線性方程組的全部解 解 對應的線性方程組可寫為令x3=c，得x1=-3c，x2=3+2c，全部解可表示為其中c為任意數(shù) 對應

4、的線性方程組可寫為令x2=c，得其中c為任意數(shù)2.解下列線性方程組： 解 對應的增廣矩陣為由于系數(shù)矩陣的秩不等于增廣矩陣的秩，所以原方程組無解 對應的增廣矩陣為對應的同解方程組可寫為令x3=c，全部解可表示為其中c為任意數(shù)對應的增廣矩陣為對應的同解線性方程組可寫為令x2=c1，x3=c2，得其中c1，c2為任意數(shù) 對應的增廣矩陣為對應的同解線性方程組可寫為令x3=c1，x4=c2，得其中c為任意數(shù)3.解下列齊次線性方程組： 解 對應的系數(shù)矩陣為令x4=c，得中c為任意數(shù) 對應的系數(shù)矩陣為對應的同解方程為令x2=c1，x4=c2，得 對應的系數(shù)矩陣為系數(shù)矩陣的秩為4，對應的齊次線性方程組只有零解

5、4.討論a,b取什么值時下面的線性方程組無解，有唯一解，有無窮多解？ 解 系數(shù)矩陣的行列式為=(a-2)(a+2)當a2且a-2時，方程組有唯一解。當a=2時，方程組對應的增廣矩陣為此時當b2時，方程組無解；當b=2時，方程組有無窮多解。當a=-2時有類似的結論?？傊?，當a2且a-2時，方程組有唯一解；當a=2且b=2時，或a=-2且b=2時，方程組有無窮多解；當a=2且b2時，或a=-2且b2時，方程組無解。解 系數(shù)矩陣的行列式為=(a-1)b當a1且b0時，方程組有唯一解。當a=1時，方程組對應的增廣矩陣為此時當b1/2時，方程組無解；當b=1/2時，方程組有無窮多解。當b=0時，方程組對應