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1、習(xí)題1.1解答1.下列數(shù)集哪些是數(shù)域?哪些是數(shù)環(huán)?哪些既非數(shù)域也非數(shù)環(huán)?1)所有正實(shí)數(shù)所成的集合2)所有偶數(shù)(或奇數(shù))構(gòu)成的集合3)某個(gè)整數(shù)a的所有整數(shù)倍所成的集合4)F=解 1)所有正實(shí)數(shù)所成的集合對(duì)減法不封閉,所以不是數(shù)環(huán),當(dāng)然也非數(shù)域2)所有偶數(shù)構(gòu)成的集合對(duì)加、減、乘均封閉,所以是數(shù)環(huán);但對(duì)除法不封閉,所以不是數(shù)域3)某個(gè)整數(shù)a的所有整數(shù)倍所成的集合對(duì)加、減、乘均封閉,所以是數(shù)環(huán);但對(duì)除法不封閉,所以不是數(shù)域4)在F= 中取,顯然F,即對(duì)乘法不封閉,所以F不是數(shù)環(huán),當(dāng)然也非數(shù)域2.證明:兩個(gè)數(shù)域的交是一個(gè)數(shù)域解 設(shè)A,B是兩個(gè)數(shù)域,則0,1A,0,1B,從而0,1AB;對(duì)任意x,yAB,
2、有x,yA和x,yB,從而x+yA,x-yA,xyA,xyA(對(duì)y0),同樣也有x+yB,x-yB,xyB,xyB(對(duì)y0),所以x+yAB,x-yAB,xyAB,xyAB(對(duì)y0),故AB是數(shù)域3*.證明:F=a+bi|a,bQ(i是虛單位)是一個(gè)數(shù)域解 顯然0=0+0iF,1=1+0iF;對(duì)任意a+bi,c+diF,有(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)iF,(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)iF,(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)iF,若c+di0,則(a+bi)(c+di)=所以F是數(shù)域4*.證明:G=a+bi|a,bZ是數(shù)環(huán)而不是數(shù)
3、域解 對(duì)任意a+bi,c+diG,有(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)iG,(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)iG,(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)iG,所以G是數(shù)環(huán)數(shù)1=1+0iG,2=2+0iG,20,但12G,所以G不是數(shù)域習(xí)題1.2解答1.用行的初等變換,將下列矩陣化為行最簡(jiǎn)形 解 2*.用行的與列的初等變換,將上題中的化成形為的矩陣解 接上題中的的行最簡(jiǎn)形習(xí)題1.3解答1.寫(xiě)出以下列行最簡(jiǎn)形矩陣為增廣矩陣的線性方程組的全部解 解 對(duì)應(yīng)的線性方程組可寫(xiě)為令x3=c,得x1=-3c,x2=3+2c,全部解可表示為其中c為任意數(shù) 對(duì)應(yīng)
4、的線性方程組可寫(xiě)為令x2=c,得其中c為任意數(shù)2.解下列線性方程組: 解 對(duì)應(yīng)的增廣矩陣為由于系數(shù)矩陣的秩不等于增廣矩陣的秩,所以原方程組無(wú)解 對(duì)應(yīng)的增廣矩陣為對(duì)應(yīng)的同解方程組可寫(xiě)為令x3=c,全部解可表示為其中c為任意數(shù)對(duì)應(yīng)的增廣矩陣為對(duì)應(yīng)的同解線性方程組可寫(xiě)為令x2=c1,x3=c2,得其中c1,c2為任意數(shù) 對(duì)應(yīng)的增廣矩陣為對(duì)應(yīng)的同解線性方程組可寫(xiě)為令x3=c1,x4=c2,得其中c為任意數(shù)3.解下列齊次線性方程組: 解 對(duì)應(yīng)的系數(shù)矩陣為令x4=c,得中c為任意數(shù) 對(duì)應(yīng)的系數(shù)矩陣為對(duì)應(yīng)的同解方程為令x2=c1,x4=c2,得 對(duì)應(yīng)的系數(shù)矩陣為系數(shù)矩陣的秩為4,對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組只有零解
5、4.討論a,b取什么值時(shí)下面的線性方程組無(wú)解,有唯一解,有無(wú)窮多解? 解 系數(shù)矩陣的行列式為=(a-2)(a+2)當(dāng)a2且a-2時(shí),方程組有唯一解。當(dāng)a=2時(shí),方程組對(duì)應(yīng)的增廣矩陣為此時(shí)當(dāng)b2時(shí),方程組無(wú)解;當(dāng)b=2時(shí),方程組有無(wú)窮多解。當(dāng)a=-2時(shí)有類似的結(jié)論。總之,當(dāng)a2且a-2時(shí),方程組有唯一解;當(dāng)a=2且b=2時(shí),或a=-2且b=2時(shí),方程組有無(wú)窮多解;當(dāng)a=2且b2時(shí),或a=-2且b2時(shí),方程組無(wú)解。解 系數(shù)矩陣的行列式為=(a-1)b當(dāng)a1且b0時(shí),方程組有唯一解。當(dāng)a=1時(shí),方程組對(duì)應(yīng)的增廣矩陣為此時(shí)當(dāng)b1/2時(shí),方程組無(wú)解;當(dāng)b=1/2時(shí),方程組有無(wú)窮多解。當(dāng)b=0時(shí),方程組對(duì)應(yīng)
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