《高等代數(shù)》第十章習(xí)題及答案

1、習(xí)題10.1解答1.設(shè)矩陣A()=diag(d1(), d2(),., d5()如果dj()|dj+1(),j=1,2,3,4，求的前三項(xiàng)行列式因子解A()的1階行列式因子顯然為d1(), 2階行列式因子顯然為d1()d2(), 3階行列式因子顯然為d1()d2()d3(), 4階行列式因子顯然為d1()d2()d3()d4(), 5階行列式因子顯然為d1()d2()d3()d4()d5()2.設(shè)矩陣A()=把A()寫(xiě)成A22+A1+A0的形式，其中A2 ，A1，A0都是數(shù)字矩陣，又將(A()2也寫(xiě)成上述形式解A()= +=+(A() 2=(A22+A1+A0)2=+3.求Jordan塊J(0

2、,n)的平方的特征矩陣的各階行列式因子解 (J(0,n)2=n階行列式因子為n有一個(gè)n-2階子式等于(-1)n-2，所以n-2階行列式因子為1階數(shù)小于n-2的行列式因子均為1n-1階行列式因子一定整除n階行列式因子，且因?yàn)橹挥衝-2個(gè)-1，要使n-1階子式不為零，必須有，但多一個(gè)，就會(huì)少一個(gè)-1可以從第2行開(kāi)始，偶數(shù)行取，奇數(shù)行取-1相乘，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，乘的結(jié)果取正號(hào)時(shí)為(n-1)/2；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，乘的結(jié)果取正號(hào)時(shí)為n/2所以當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，A的n-1階行列式因子為(n-1)/2；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，A的n-1階行列式因子為n/210.2習(xí)題解答1.求A的特征矩陣的不變因子組：A= 解 E-A=A的

3、不變因子組為1，+1，(+1)2 E-A=A的不變因子組為1，1，(-1)32.求A()的標(biāo)準(zhǔn)形： A()= A()=A()=解 A()= A()=A()=習(xí)題10.5解答如果矩陣A的不變因子組如下，求矩陣A的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形1，1，(-1)，(-1) 31，1，1，(-1)(-1) 31，1，1，1，1，(+1) 2，(+1) 2，(+2) 2(-3)2解 A的初等因子組為(-1)，(-1) 3，A的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為J=A的初等因子組為(-1) 4，A的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為J= A的初等因子組為(+1) 2，(+1) 2，(+2) 2，(-3)2，A的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為 J=2.求下述矩陣的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形 解 E-A=

4、A的初等因子為(+1),( +1)2，A的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為J= E-A=A的初等因子為(-2)3，A的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為J= E-A=A的初等因子為，(+1)2，A的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為J= E-A= E-A=A的初等因子為(-1)2，(-1)2，A的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為J=3.設(shè)AMatnn(C)證明A的不變因子組中的最后一個(gè)不變因子恰是A的最小多項(xiàng)式證 設(shè)A的初等因子組為(-1)n1，(-2)n2，. ,(-s)ns，則A的特征多項(xiàng)式為f()= (-1)n1(-2)n2.(-s)ns其中1，2，.，s中有些是相同的，當(dāng)i和j相同，則去掉(-i)ni，(-j)nj，中指數(shù)較小的一個(gè)，不妨設(shè)1，2，.，t中互不相同，且

5、在(-1)n1，(-2)n2，. ,(-s)ns對(duì)應(yīng)最大指數(shù)，令 m(x)= (x-1)n1(x-2)n2.(x-t)nt設(shè)A的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為J，則存在可逆矩陣C使A=C-1JC，顯然m(A)=C-1m(J)C =C-10C=0假設(shè)A的最小多項(xiàng)式為m1(x),則m1(x)|m(x)，根據(jù)初等因子與若當(dāng)塊的對(duì)應(yīng)關(guān)系知，假若m1(x)= (x-1)p1(x-2)p2.(x-t)pt 的次數(shù)比m(x)小不妨設(shè)p1n1，則m1(J)= (J-1E)p1(J-2E)p2.(J-tE)pt，右邊各項(xiàng)中第一個(gè)若當(dāng)塊對(duì)應(yīng)的分塊對(duì)角陣都不為零，從而m1(J)不為零，所以m1(A)不為零，矛盾故m(x)是A的最小多項(xiàng)式4.求(J(0,n)2的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形解 在習(xí)題10.1的第3題中得(J(0,n)2的n階行列式因子為n；n-2階行列式因子為1階數(shù)小于n-2的行列式因子均為1當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，(J(0,n)2的n-1階行列式因子為(n-1)/2；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，(J(0,n)2的n-1階行列式因子為n/2所以當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，(J(0,n)2的初等因子組為(n-1)/2，(n+1)/2，對(duì)應(yīng)的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為dia