人教版高中數(shù)學(xué)高考一輪復(fù)習(xí)-數(shù)學(xué)歸納法

1、5.5*數(shù)學(xué)歸納法第五章2022高中總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計GAO ZHONG ZONG FU XI YOU HUA SHE JI課標(biāo)要求了解數(shù)學(xué)歸納法的原理,能用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列中的一些簡單命題.備考指導(dǎo)本節(jié)為選學(xué)內(nèi)容,不作考試要求.但是對于歸納猜想證明的思想還是應(yīng)該注意理解,提升邏輯推理素養(yǎng).內(nèi)容索引010203第一環(huán)節(jié)必備知識落實第二環(huán)節(jié)關(guān)鍵能力形成第三環(huán)節(jié)學(xué)科素養(yǎng)提升第一環(huán)節(jié)必備知識落實【知識篩查】 數(shù)學(xué)歸納法一般地,證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題,可按下列步驟進行:(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n=n0(n0N*)時命題成立;(2)(歸納遞推)以“當(dāng)n=k(kN*,kn0)時命題成立”為條件,推出“

2、當(dāng)n=k+1時命題也成立”.只要完成這兩個步驟,就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立,這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法(mathematical induction).溫馨提示能使多米諾骨牌全部倒下需要以下兩個條件:(1)第一塊骨牌倒下;(2)任意相鄰的兩塊骨牌,前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下.【知識鞏固】 1.下列說法正確的畫“”,錯誤的畫“”.(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時,第一步是驗證當(dāng)n=1時結(jié)論成立.()(2)所有與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題都必須用數(shù)學(xué)歸納法證明.()(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時,歸納假設(shè)可以不用.()(4)不論是等式還是不等式,用數(shù)學(xué)歸納法證明時,由n=k到n=k+1時

3、,項數(shù)都增加了一項.()(5)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式“1+2+22+2n+2=2n+3-1”,驗證當(dāng)n=1結(jié)論成立時,左邊式子應(yīng)為1+2+22+23.()C345n+1根據(jù)題意可得,a2=3,a3=4,a4=5,故猜想an=n+1. 4.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+(2n+1)=(n+1)(2n+1)時,從n=k到n=k+1,左邊需增添的代數(shù)式是.(2k+2)+(2k+3) 當(dāng)n=k時,待證等式左邊=1+2+3+(2k+1),當(dāng)n=k+1時,待證等式左邊=1+2+3+(2k+1)+(2k+2)+(2k+3),所以從n=k到n=k+1,左邊需增添的代數(shù)式是(2k+2)+(2k+3).第二環(huán)節(jié)關(guān)鍵能

4、力形成能力形成點1用數(shù)學(xué)歸納法證明等式解題心得1.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問題,要“先看項”,弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律,等式兩邊各有多少項,初始值n0是多少.2.由當(dāng)n=k時等式成立,推出當(dāng)n=k+1時等式成立,一要找出等式兩邊的變化(差異),明確變形目標(biāo);二要充分利用歸納假設(shè),進行合理變形,正確寫出證明過程.3.不利用歸納假設(shè)的證明,就不是數(shù)學(xué)歸納法.對點訓(xùn)練1求證:(n+1)(n+2)(n+n)=2n135(2n-1)(nN*).證明 (1)當(dāng)n=1時,等式左邊=2,右邊=2,故等式成立;(2)假設(shè)當(dāng)n=k(kN*)時等式成立,即(k+1)(k+2)(k+k)=2k135(2k-1),則當(dāng)n=k

5、+1時,左邊=(k+1+1)(k+1+2)(k+1+k+1)=(k+2)(k+3)(k+k)(2k+1)(2k+2)=2k135(2k-1)(2k+1)2=2k+1135(2k-1)(2k+1),即當(dāng)n=k+1時等式也成立.由(1)(2)可知,對所有nN*等式都成立.能力形成點2用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式解題心得1.當(dāng)遇到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明時,若應(yīng)用其他辦法不容易證明,則可考慮用數(shù)學(xué)歸納法.2.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由n=k成立,推證n=k+1時也成立,證明時用上歸納假設(shè)后,可采用求差(求商)比較法、放縮法、構(gòu)造函數(shù)法等證明方法.能力形成點3歸納猜想證明(1)求a2,a3,a4;(

6、2)猜想數(shù)列an的通項公式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.解題心得在解決某些歸納猜想問題時要注意以下幾點:(1)計算特例時,不僅僅是簡單的計算過程,有時要通過計算過程發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)的變化規(guī)律;(2)如果猜想出來的結(jié)論與正整數(shù)n有關(guān),一般用數(shù)學(xué)歸納法證明.對點訓(xùn)練3 (1)求S1,S2,S3,S4;(2)猜想該數(shù)列的前n項和Sn,并證明.第三環(huán)節(jié)學(xué)科素養(yǎng)提升用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題典例用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n為正奇數(shù)時,xn+yn能被x+y整除.證明:(1)當(dāng)n=1時,xn+yn=x+y,顯然能被x+y整除,命題成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(kN*,且k為奇數(shù))時,命題成立,即xk+yk能被x+y整除.那么當(dāng)n

7、=k+2時,xk+2+yk+2=x2(xk+yk)+yk+2-x2yk=x2(xk+yk)-yk(x+y)(x-y).又根據(jù)假設(shè),xk+yk能被x+y整除,所以x2(xk+yk)能被x+y整除.又yk(x+y)(x-y)能被x+y整除,所以x2(xk+yk)-yk(x+y)(x-y)能被x+y整除,即當(dāng)n=k+2時,命題成立.由(1)(2)可知,當(dāng)n為正奇數(shù)時,xn+yn能被x+y整除.解題心得用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題時,首先從要證的n=k+1的式子中拼湊出當(dāng)n=k時的假設(shè)成立的式子,然后證明剩余的式子也能被某式或某數(shù)整除.證明過程中的關(guān)鍵是“湊項”,可采用增項、減項、拆項和因式分解等方法分析出因子,從而利用當(dāng)n=k時的假設(shè)使問題得到解決.變式訓(xùn)練證明:(3n+1)7n-1能被9整除(nN*).證明 (1)當(dāng)n=1時,(3n+1)7n-1=(3+1)7-1=27是9的倍數(shù),命題成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(kN*)時,命題成立,即(3k+1)7k-1能被9整除.那么當(dāng)n=k+1時,3(k+1)+17k+1-1=(21k+28)7k-1=(3k+1)7k-1+(18k+27)7k,由假設(shè)知