人教版高中數(shù)學(xué)高考一輪復(fù)習(xí)-　立體幾何中的向量方法

1、7.6立體幾何中的向量方法第七章2022高中總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)GAO ZHONG ZONG FU XI YOU HUA SHE JI課標(biāo)要求1.能用向量語言描述直線和平面,理解直線的方向向量與平面的法向量.2.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角以及垂直與平行關(guān)系.3.能用向量方法證明必修內(nèi)容中有關(guān)直線、平面位置關(guān)系的判定定理.4.能用向量方法解決點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、相互平行的直線、相互平行的平面的距離問題和簡(jiǎn)單夾角問題,并能描述解決這一類問題的程序,體會(huì)向量方法在研究幾何問題中的作用.備考指導(dǎo)立體幾何解答題是高考六道大題之一,每年必考,主要考查空間線、面位置關(guān)系的性質(zhì)與判定,

2、應(yīng)用向量方法求空間角,折疊問題以及存在性探究題等,難度中等.主要涉及邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的學(xué)科素養(yǎng),考查數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用.復(fù)習(xí)時(shí)要注意歸納常用的證明空間平行、垂直的模型與規(guī)律,認(rèn)真分析圖形,建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,準(zhǔn)確寫出相關(guān)坐標(biāo),計(jì)算所求的角或角的函數(shù)值等.內(nèi)容索引010203第一環(huán)節(jié)必備知識(shí)落實(shí)第二環(huán)節(jié)關(guān)鍵能力形成第三環(huán)節(jié)學(xué)科素養(yǎng)提升第一環(huán)節(jié)必備知識(shí)落實(shí)【知識(shí)篩查】 (3)空間平面的法向量定義:直線l ,取直線l的方向向量a,則向量a叫做平面的法向量.給定一個(gè)點(diǎn)A和一個(gè)向量a,那么過點(diǎn)A,且以向量a為法向量的平面完全確定,可以表示為集合 .2.空間中直線、平面位

3、置關(guān)系的向量表示 溫馨提示1.用向量刻畫空間中直線、平面的平行、垂直關(guān)系時(shí),要注意線面關(guān)系與向量關(guān)系的異同,可簡(jiǎn)記為“同類同性,異類相反”,即線線平行(垂直)、面面平行(垂直)中向量仍平行(垂直),但線面平行(垂直)中向量變?yōu)榇怪?平行).2.因?yàn)橹本€的方向向量與平面的法向量都不是唯一的,所以應(yīng)優(yōu)先選取方便運(yùn)算的向量.【知識(shí)鞏固】 1.下列說法正確的畫“”,錯(cuò)誤的畫“”.(1)直線的方向向量是唯一確定的.()(2)平面的單位法向量是唯一確定的.()(3)若兩條直線的方向向量不平行,則這兩條直線不平行.()(4)若空間向量a平行于平面,則a所在直線與平面平行.()(5)兩條直線的方向向量的夾角就

4、是這兩條直線所成的角.()2.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,則AC1與平面BB1C1C所成角的正弦值為()C3.已知點(diǎn)A(0,0,2),B(1,0,2),C(0,2,0),則點(diǎn)A到直線BC的距離為()A4.設(shè)u,v分別是平面,的法向量,u=(-2,2,5),當(dāng)v=(3,-2,2)時(shí),與的位置關(guān)系為;當(dāng)v=(4,-4,-10)時(shí),與的位置關(guān)系為. 當(dāng)v=(3,-2,2)時(shí),uv=(-2,2,5)(3,-2,2)=0.當(dāng)v=(4,-4,-10)時(shí),v=-2u.5.過正方形ABCD的頂點(diǎn)A作線段PA平面ABCD,若AB=PA,則平面PAB與平面PCD的夾角為.45 如圖,以A為坐標(biāo)

5、原點(diǎn),AB,AD,AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AB=PA=1,則A(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),由題意,知AD平面PAB,設(shè)E為PD的中點(diǎn),連接AE,則AEPD,又CD平面PAD,所以CDAE,從而AE平面PCD.第二環(huán)節(jié)關(guān)鍵能力形成能力形成點(diǎn)1利用空間向量證明平行、垂直例1如圖,在多面體ABC-A1B1C1中,四邊形A1ABB1是正方形,AB=AC, ,二面角A1-AB-C是直二面角.求證:(1)A1B1平面AA1C;(2)AB1平面A1C1C.證明 二面角A1-AB-C是直二面角,四邊形A1ABB1為正方形,AA1平面A1ABB1,AA1

6、平面BAC.又AB=AC, ,CAB=90,即CAAB,AB,AC,AA1兩兩互相垂直.以A為坐標(biāo)原點(diǎn),以AC,AB,AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,設(shè)AB=2,則點(diǎn)A(0,0,0),B1(0,2,2),A1(0,0,2),C(2,0,0),C1(1,1,2).解題心得1.用向量法證明平行類問題的常用方法 2.用向量法證明垂直類問題的常用方法對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1如圖,在三棱錐P-ABC 中,AB=AC,D為BC的中點(diǎn),PO平面ABC,垂足O落在線段AD上.已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.(1)求證:APBC;(2)若點(diǎn)M是線段AP上一點(diǎn),且AM=3.

7、試證明平面AMC平面BMC.證明 (1)如圖所示,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以射線OD,OP為y軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.所以點(diǎn)O(0,0,0),A(0,-3,0),B(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4).能力形成點(diǎn)2利用空間向量解決探索性問題例2如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E為CD的中點(diǎn).(1)求證:B1EAD1.(2)在棱AA1上是否存在一點(diǎn)P,使得DP平面B1AE?若存在,求AP的長(zhǎng);若不存在,說明理由.解題心得立體幾何探索性問題的求解方法有以下兩種:(1)根據(jù)題目的已知條件進(jìn)行綜合分析和觀察猜想,找出點(diǎn)或線的位置,然后加以證

8、明,得出結(jié)論;(2)假設(shè)所求的點(diǎn)或線存在,并設(shè)定參數(shù)表達(dá)已知條件,根據(jù)題目要求進(jìn)行求解,若能求出參數(shù)的值且符合已知限定的范圍,則存在這樣的點(diǎn)或線,否則不存在.本題是設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo),借助向量運(yùn)算,判斷關(guān)于z0的方程是否有解.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2如圖,四棱錐S-ABCD的底面是正方形,每條側(cè)棱的長(zhǎng)都是底面邊長(zhǎng)的 倍,P為側(cè)棱SD上的點(diǎn).(1)求證:ACSD.(2)若SD平面PAC,側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E,使得BE平面PAC?若存在,求SEEC的值;若不存在,試說明理由.(1)證明 連接BD,設(shè)AC交BD于點(diǎn)O,連接SO,則ACBD.由題意知SO平面ABCD.能力形成點(diǎn)3利用空間向量求空間角命題角度1 利用

9、空間向量求直線與平面所成的角例3如圖,四邊形ABCD為正方形,E,F分別為AD,BC的中點(diǎn),以DF為折痕把DFC折起,使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置,且PFBF.(1)證明:平面PEF平面ABFD;(2)求DP與平面ABFD所成角的正弦值.(1)證明 由已知可得,BFPF,BFEF,所以BF平面PEF.又BF平面ABFD,所以平面PEF平面ABFD.命題角度2 利用空間向量求兩個(gè)平面的夾角例4如圖,在四棱錐P-ABCD中,ABCD,且BAP=CDP=90.(1)證明:平面PAB平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,APD=90,求平面PAB與平面PCB的夾角的余弦值.(1)證明 由BAP=CDP=

10、90,得ABAP,CDPD.由于ABCD,故ABPD,從而AB平面PAD.又AB平面PAB,所以平面PAB平面PAD.(2)解 在平面PAD內(nèi)作PFAD,垂足為F.由(1)可知,AB平面PAD,故ABPF,可得PF平面ABCD.解題心得1.利用向量法求線面角的方法:(1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影的方向向量,轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角);(2)通過平面的法向量來求,即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角(或鈍角的補(bǔ)角),取其余角就是斜線和平面所成的角.2.利用向量法求兩個(gè)平面的夾角的方法:求出兩個(gè)平面的法向量分別為n1,n2,設(shè)兩個(gè)平面的夾角為,則cos = |cos|,進(jìn)

11、而求出的值.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(1)在平面四邊形ABCD中,AB=BD=CD=1,ABBD,CDBD.將ABD沿BD折起,使得平面ABD平面BCD,如圖.求證:ABCD;若M為AD中點(diǎn),求直線AD與平面MBC所成角的正弦值.證明 平面ABD平面BCD,平面ABD平面BCD=BD,AB平面ABD,ABBD,AB平面BCD.又CD平面BCD,ABCD.解 過點(diǎn)B在平面BCD內(nèi)作BEBD,如圖.由知AB平面BCD,BE平面BCD,BD平面BCD,ABBE,ABBD.(2)如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AA1平面ABCD,且AB=AD=2, ,BAD=120.求異面直線A1B與AC1所成角的

12、余弦值;求平面A1BD與平面A1AD的夾角的正弦值.能力形成點(diǎn)4利用空間向量求距離例5如圖,BCD與MCD都是邊長(zhǎng)為2的正三角形,平面MCD平面BCD,AB平面BCD, ,求點(diǎn)A到平面MBC的距離.解 如圖,取CD的中點(diǎn)O,連接OB,OM,則OBCD,OMCD.又平面MCD平面BCD,交線為CD,所以O(shè)M平面BCD.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OC,BO,OM所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.解題心得1.求解點(diǎn)到平面距離的基本步驟為: 2.求平面外一點(diǎn)B到平面的距離,可以先求出點(diǎn)B在平面內(nèi)的射影,再運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式.3.求線面距離、面面距離可轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)面距離來解決.BC第三環(huán)節(jié)學(xué)科素

13、養(yǎng)提升轉(zhuǎn)化與化歸思想立體幾何中的展開問題典例在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面為直角三角形,ACB=90, AC=6,BC=CC1= ,P是BC1上一動(dòng)點(diǎn),如圖所示,則CP+PA1的最小值為.解析:PA1在平面A1BC1內(nèi),PC在平面BCC1內(nèi),將其鋪平后轉(zhuǎn)化為平面上的問題.展開平面A1BC1,平面BCC1,如圖所示,計(jì)算得A1B=AB1= ,BC1=2.又A1C1=6,故A1BC1是直角三角形,A1C1B=90.又BCC1為等腰直角三角形,所以A1C1C=135.設(shè)P是BC1上任一點(diǎn),則CP+PA1A1C,即當(dāng)A1,P,C三點(diǎn)共線時(shí),CP+PA1有最小值.在A1C1C中,由余弦定理,得解題心得1.“展開問題”是“折疊問題”的逆向思維,“展開問題”是指將立體圖形的表面(或部分表面)按一定的要求鋪成平面圖形,再利用平面圖形的性質(zhì)解決立體問題的一類題型.解決展開問題的關(guān)鍵是:確定需要展開立體圖形中的哪幾個(gè)面(有時(shí)需要分類討論),以及利用什么平面的性質(zhì)和定理來解決對(duì)應(yīng)的立體