山大《理論力學(xué)》教案第3章 空間力系

1、第3章 空間力系一、目的和要求1、能熟練地計(jì)算力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影。2、熟練掌握力對(duì)點(diǎn)之矩與力對(duì)軸之矩的計(jì)算。3、對(duì)空間力偶的性質(zhì)及其作用效應(yīng)有清晰的理解。4、了解空間力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化的方法，明確空間力系合成的四種結(jié)果。5、能正確地畫(huà)出各種常見(jiàn)空間的約束反力。6、會(huì)應(yīng)用各種形式的空間力系平衡方程求解簡(jiǎn)單空間平衡問(wèn)題。7、對(duì)平行力系中心和重心應(yīng)有清晰的概念，能熟練地應(yīng)用坐標(biāo)公式求物體的重心。二、基本內(nèi)容1基本概念1）力在空間直角坐標(biāo)軸的投影(a)直接投影法：已知力F和直角坐標(biāo)軸夾角、，則力F在三個(gè)軸上的投影分別為 (b)間接投影法（即二次投影法）：已知力F和夾角、，則力F在三個(gè)軸上的投影分別

2、為 2)力矩的計(jì)算(a)力對(duì)點(diǎn)之矩在空間情況下力對(duì)點(diǎn)之矩為一個(gè)定位矢量，其定義為其中r為力F作用點(diǎn)的位置矢徑(b)力對(duì)軸之矩在空間情況下力對(duì)軸之矩為一代數(shù)量，其大小等于此力在垂直于該軸的平面上的投影對(duì)該軸與此平面的交點(diǎn)之矩，其正負(fù)號(hào)按右手螺旋法則來(lái)確定，即在直角坐標(biāo)條下有Mx(F)=yZ-zY My(F)=zX-xZ Mz(F)=xY-yX（c）力矩關(guān)系定理 力對(duì)已知點(diǎn)之矩在通過(guò)該點(diǎn)的任意軸上的投影等于同一力對(duì)該軸之矩。在直角坐標(biāo)系下有Mo(F)=Mx(F)i+My(F)j+Mz(F)k（d）合力矩定理空間力系的合力對(duì)任一點(diǎn)之矩等于力系中各力對(duì)同一點(diǎn)之矩的矢量和，即Mo(FR)=Mo(F)空間

3、力系的合力對(duì)任一軸（例如z軸）之矩等于力系中各力對(duì)同一軸之矩的代數(shù)和，即Mz(FR)=Mz(F)=(xY-yX)3）空間力偶及其等效條件（a）力偶矩矢空間力偶對(duì)剛體的作用效果決定于三個(gè)要素（力偶矩大小、力偶作用面方位及力偶的轉(zhuǎn)向），它可用力偶矩矢M表示。力偶矩矢M是個(gè)自由矢量，其大小等于力與力偶臂的乘積，方向與力偶作用面垂直，指向與力偶轉(zhuǎn)向的關(guān)系服從右手螺旋法則。（b）力偶的等效條件：若兩個(gè)力偶的力偶矩矢相等，則它們彼此等效。2空間力系的簡(jiǎn)化與合成的最終結(jié)果1）空間力系向已知點(diǎn)O簡(jiǎn)化空間力系向已知點(diǎn)O簡(jiǎn)化的一般結(jié)果為一個(gè)作用在O點(diǎn)的力和一個(gè)力偶，該力矢量等于此力系的主矢。該力偶的力偶矩矢量等于

4、力系對(duì)簡(jiǎn)化中心O的主矩。主矢與簡(jiǎn)化中心的選取無(wú)關(guān)。一般情況下，主矩與簡(jiǎn)化中心的選取有關(guān)。2）空間力系合成的最終結(jié)果空間力系的最終合成結(jié)果有四種可能：一個(gè)合力、一個(gè)合力偶、一個(gè)力螺旋和平衡，這四種結(jié)果可由力系的主矢和力系對(duì)任意一點(diǎn)的主矩來(lái)判斷。具體歸納如下：主 矢主 矩最后結(jié)果說(shuō) 明FRMo=0平 衡Mo0合力偶此時(shí)主矩與簡(jiǎn)化中心的位置無(wú)關(guān)FR0Mo=0合 力合力作用線通過(guò)簡(jiǎn)化中心Mo0FRMo合 力合力作用線離簡(jiǎn)化中心O的距離為Mo0FRMo力螺旋力系的中心軸通過(guò)簡(jiǎn)化中心FR與Mo成角力螺旋力系的中心軸離簡(jiǎn)化中心O的距離為3空間力系的平衡條件和平衡方程空間力系平衡的充分與必要條件為：該力系的主

5、矢和對(duì)任意點(diǎn)的主矩同時(shí)為零。其基本形式的平衡方程為：X=0 Mx(F)=0Y=0 My(F)=0Z=0 Mz(F)=0須指出，空間一般力系有六個(gè)獨(dú)立的平衡方程可以求解六個(gè)未知量。具體應(yīng)用時(shí)，不一定使3個(gè)投影軸或矩軸互相垂直，也沒(méi)有必要使矩軸和投影軸重合，而可以選取適宜軸線為投影軸或矩軸，使每一個(gè)平衡方程中所含未知量最少，以簡(jiǎn)化計(jì)算。此外，還可以將投影方程用適當(dāng)?shù)牧胤匠倘〈玫剿木厥?、五矩式以至六矩式的平衡方程。使?jì)算更為簡(jiǎn)便。幾種特殊力系的平衡方程（a）空間匯交力系X=0Y=0Z=0（b）空間力偶系Mx(F)=0My(F)=0Mz(F)=0（c）空間平行力系（若各力/z軸）Z=0Mx(F)

6、=0My(F)=04空間力系平衡方程的應(yīng)用求解空間力系平衡問(wèn)題的要點(diǎn)歸納如下：（1）求解空間力系的平衡問(wèn)題，其解題步驟與平面力系相同，即先確定研究對(duì)象，再進(jìn)行受力分析，畫(huà)出受力圖，最后列出平衡方程求解。但是，由于力系中各力在空間任意分布，故某些約束的類型及其反力的畫(huà)法與平面力系有所不同。（2）為簡(jiǎn)化計(jì)算，在選擇投影軸與力矩軸時(shí)，注意使軸與各力的有關(guān)角度及尺寸為已知或較易求出，并盡可能使軸與大多數(shù)的未知力平行或相交，這樣在計(jì)算力在坐標(biāo)軸上的投影或力對(duì)軸之矩就較為方便，且使平衡方程中所含未知量較少。同時(shí)注意，空間力偶對(duì)軸之矩等于力偶矩矢在該軸上的投影。（3）根據(jù)題目特點(diǎn)，可選用不同形式的平衡方程。

7、所選投影軸不必相互垂直，也不必與矩軸重合。當(dāng)用力矩方程取代投影方程時(shí)，必須附加相應(yīng)條件以確保方程的獨(dú)立性。但由于這些附加條件比較復(fù)雜，故具體應(yīng)用時(shí)，只要所建立的一組平衡方程，能解出全部未知量，則說(shuō)明這組平衡方程是彼此獨(dú)立的，已滿足了附加條件。（4）求解空間力系平衡問(wèn)題，有時(shí)采用將該力系向三個(gè)正交的坐標(biāo)平面投影的方法，把空間力系的平衡問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題求解。這時(shí)必須注意正確確定各力在投影面中投影的大小、方向及作用點(diǎn)的位置。5平行力系中心及物體的重心1）平行力系中心只要平行力系中各力的大小及作用點(diǎn)的位置確定，無(wú)論平衡力系中力的方向如何，其合力作用線必定通過(guò)確定的一點(diǎn)，該點(diǎn)稱為平行力系中心。其坐標(biāo)公

8、式為2）物體的重心物體的重心是該重力的合力始終通過(guò)的一點(diǎn)。均質(zhì)物體的重心與中心重合。物體的重心在物體內(nèi)占有確定的位置，與物體在空間的位置無(wú)關(guān)。物體重心的坐標(biāo)公式為三、重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)：1力在空間直角坐標(biāo)軸上的兩種投影法；2力對(duì)軸之矩和力對(duì)點(diǎn)之矩的計(jì)算及力矩關(guān)系定理；3空間匯交力系、空間任意力系、空間平行力系的平衡方程及其應(yīng)用；4各種常見(jiàn)的空間約束及約束反力畫(huà)法；5重心的坐標(biāo)公式。難點(diǎn)：1力在坐標(biāo)軸上的二次投影；2空間力偶矩矢在坐標(biāo)軸上的投影；3空間結(jié)構(gòu)的幾何關(guān)系與立體圖；4解空間力系平衡問(wèn)題時(shí)力矩軸的選??；5求組合體的形心坐標(biāo)。四、學(xué)習(xí)建議計(jì)算空間力在坐標(biāo)軸上的投影有兩種方法，講清各自的適用條件，區(qū)分力的軸上、平面上的投影。明確空間力偶矩矢的性質(zhì)，為什么規(guī)定它為自由矢量、如何表示其等效條件，熟悉空間力偶系合成的解析法。力對(duì)點(diǎn)之矩是理解空間力系簡(jiǎn)化與合成的關(guān)鍵，而力對(duì)軸之矩是正確列出力矩式平衡方程的基礎(chǔ)，故要充分重視力對(duì)軸之矩的計(jì)算。計(jì)算的方法有4種：（a）當(dāng)力臂便于確定時(shí)，可直接由定義計(jì)算；（b）一般情況下，常將力沿坐標(biāo)軸分解，應(yīng)用合力矩定理計(jì)算；（c）將力沿坐標(biāo)軸分解之后代入力對(duì)軸之矩的分析表達(dá)式計(jì)算；（d）利用力矩關(guān)系定理計(jì)算。在計(jì)算力對(duì)軸之矩時(shí)準(zhǔn)確地分析一個(gè)力對(duì)某軸之矩的正、負(fù)或?yàn)榱阋埠苤匾ㄈ粢涣εc某軸共面，則此力對(duì)該軸之矩為零）。通過(guò)與平面任意力系對(duì)照和比較的方法