矢量場(chǎng)的數(shù)學(xué)

1、 矢量場(chǎng)的數(shù)學(xué)1矢量場(chǎng)的微分運(yùn)算一、矢量代數(shù)和函數(shù)微分運(yùn)算矢量有大小和方向，且滿足矢量運(yùn)算的法則矢量代數(shù)運(yùn)算的幾個(gè)結(jié)果A-B=標(biāo)量二ijk”AAA=xyzBBB.xyzA%B=(ABy(ABz(ABxy-AB)zy-AB)jz5sinOn-AByAXA=0A-(AxB)=0A-(BxC)=B(CxA)=C(AxB)Ax(BxC)=B(AC)-C(AB)多元函數(shù)微分運(yùn)算的兩個(gè)公式Af(x,y,z)=f(x+Ax,y+Ay,z+Az)-f(x,y,z),Af(x,y,z)=fAx+|Ay+?Az,(Ax,Ay,AzT0)oxoyozofdf偏導(dǎo)數(shù)含義：頁(yè)=頁(yè)僅以x為變量將y,z看作常數(shù)02fo2f

2、0 x0yOyOx，二、標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)什么是場(chǎng)指在空間連續(xù)分布的某種客體。標(biāo)量場(chǎng)T(x,y,z):指每一點(diǎn)由一個(gè)標(biāo)量給定的那種空間分布的客體。等值面(線)矢量場(chǎng)f(x,y,z):指每一點(diǎn)由一個(gè)矢量給定的那種空間分布的客體。如電場(chǎng)、磁場(chǎng)、電流場(chǎng)、速度矢量場(chǎng)v(x,y,z)等。矢量場(chǎng)的場(chǎng)線標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)隨時(shí)間的變化T(x,y,z,t)QT5a2Ta2f(藥，頁(yè))或(茁，喬)標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)隨空間的變化f(x,y,z,t)某點(diǎn)的場(chǎng)與相鄰點(diǎn)的場(chǎng)之間的關(guān)系三、標(biāo)量場(chǎng)對(duì)空間的一階微商梯度標(biāo)量場(chǎng)T(x,y,z)對(duì)空間的微商(6T6T6T)8x，8y，dz，標(biāo)量場(chǎng)T在場(chǎng)點(diǎn)P隨空間的變化與方向有Y關(guān)，沿不同方向T

3、對(duì)空間距離的微商不相同。證明T的三個(gè)分量微商構(gòu)成一個(gè)矢量?jī)蓚€(gè)無(wú)限靠近的場(chǎng)點(diǎn)P1和P2，P坐標(biāo)為(x,y,z)，P坐標(biāo)為(x+Ax,y+Ay,z+Az),2/YP2-Ax,y+Ay,z+Az)yP1(x,y,XZ連接p1p2的矢量為Ar=Ax?+亦+Azk,標(biāo)量場(chǎng)T在P1P2兩點(diǎn)的函數(shù)差A(yù)T二T(P)-T(P)，是一個(gè)標(biāo)量。1221arararAT=T(P)-T(P)=_Ax+_Ay+_Az21axayaz,(11)(6T6TdT根據(jù)兩矢量點(diǎn)積為一標(biāo)量可知阪，dy，dz構(gòu)成一個(gè)矢量梯度的定義(6T6T6T)ax9ay9az稱為t的梯度，記作gradTgradT二VT=aTi+aTj+aTkax更

4、12)ajajaj哈密頓算符V=axx+ayJ+azk13)V是一個(gè)矢量微分算符，是表示場(chǎng)對(duì)空間微商的算符。算符v本身也可以看作是一個(gè)矢量，在直角坐標(biāo)系下:aax14)標(biāo)量場(chǎng)T的梯度VT是一個(gè)矢量場(chǎng)，代表T對(duì)空間的一階微商,反映標(biāo)量場(chǎng)T的空間分布狀況。梯度的大小和方向(VT)X環(huán)，W唱，(VT)Z唱,15)T（VT）=|VT|cos9（e是1與vT的夾角）上式的含意是T沿某方向1對(duì)空間的變化率，就等于T的梯度vt沿該方向的分量。對(duì)標(biāo)量場(chǎng)任一點(diǎn)P,都有一個(gè)特定的方向1（對(duì)應(yīng)cose=1），沿著此方向1的變化率竺是最大的，此最大值就是該diP點(diǎn)梯度VT的大小；此特定方向1就是梯度VT矢量的方向。d

5、TAz=VT-Ar1.6）梯度vT給出某點(diǎn)的場(chǎng)與其相鄰點(diǎn)的場(chǎng)之間的關(guān)系A(chǔ)T=dTAx+dTAy+dxdy四、矢量場(chǎng)對(duì)空間的一階微商矢量場(chǎng)對(duì)空間的微商兩種基本方式：標(biāo)量場(chǎng)V-f，矢量場(chǎng)Vxff的散度：V-f是一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)。記作divf=V-f=f的散度。V-f二Vf+Vf+Vfxxyyzzdfdfdfx+y+zr、散度的意義：一般來(lái)說(shuō)是指矢量場(chǎng)在該點(diǎn)的發(fā)散程度”，也就是從該點(diǎn)發(fā)出或會(huì)聚的場(chǎng)線條數(shù)dxdydz（1.7）的多少。散度是一個(gè)標(biāo)量，正值代表從場(chǎng)點(diǎn)發(fā)散負(fù)值代表匯聚。ff的旋度：Vxf是一個(gè)矢量場(chǎng)。記作rotf=Vxf=f的旋度。(Vxf)=Vf-Vfxyzzy1.8)(Vxf)=Vf-VfT

6、OC o 1-5 h zyzxxz(Vxf)=Vf-Vfzxyyx旋度的意義：一般來(lái)說(shuō)是指矢量場(chǎng)在該點(diǎn)處的“渦旋程度”，就是環(huán)繞該點(diǎn)的閉合場(chǎng)線條數(shù)密度的大小。標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)對(duì)空間求微商小結(jié) HYPERLINK l bookmark48 o Current Document 。八。八。八V=i亠j亠k哈密頓算符v,丟丙j圧gradTT二T的梯度（矢量）divf=Vf=f的散度（標(biāo)量）rotf=Vxf=f的旋度（矢量）麥克斯韋方程組：VD=P，vB=o，cSBVxH=五、對(duì)空間的二階微商求二階微商分為五種情況：1)V(VT)，2)Vx(VT)，3)V(Vxf)，4)Vx(Vxf)，5)V(Vf)。

7、1)V(VT)V(VT)=(Vi+Vj+Vk)(VTi+VTj+VTk)xyzxyz=V(VT)+V(VT)+V(VT)xxyyzzd2Td2Td2T4=+=標(biāo)量8x2Qyidz2d2T82T82TV(VT)=VVT=(VV)T=V2T=8X2*夢(mèng)*面888拉普拉斯算符：=2=8X2*8y2*8Z22)Vx(VT)=0(重要恒等式)88T-88T8x8y8y8x=0Vx(VT)=VxVT=(VxV)T=0Vx(VT)=V(VT)-V(VT)zxyyx數(shù)學(xué)定理1.1如果一個(gè)矢量場(chǎng)A，它的旋度恒為零，VxA=0,則始終存在某一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)，或者說(shuō)就有一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)屮，使得A=V。3)V(Vxf)=0(重要

8、恒等式)數(shù)學(xué)定理12如果一個(gè)矢量場(chǎng)B，它的散度恒為零，V.B=0，則始終存在某一個(gè)矢量場(chǎng)，或者說(shuō)就有一個(gè)矢量場(chǎng)A，使得B=VxAoVx(Vxf)=矢量V(f)=矢量2矢量場(chǎng)的積分運(yùn)算線積分的定義：函數(shù)G從P到P2沿著路徑LG(x,y,z)A7iP2A7一、梯度VT的線積分的線積分為，2.1)fP2G(x,y,z)d7=lim工GA7耳A7tOii1iat=vta79limSAT=lim工VTA/altOaltOlimSat=fP2dT=T(P)-T(P)21a7tOP121梯度的線積分：任取一條路徑L連接片和P2,將L分割成無(wú)窮多線元AI。對(duì)于任一線元A7，lim工VTA7=fP2VTdlTO

9、C o 1-5 h z/tOP1數(shù)學(xué)定理2.1梯度的線積分等于場(chǎng)在過程起點(diǎn)和終點(diǎn)的數(shù)值之差。 HYPERLINK l bookmark88 o Current Document T(P)-T(P)“P2VTd7(2.2)21pPitVTd=0(等價(jià)的表達(dá))二、矢量場(chǎng)的通量矢量場(chǎng)通量的定義矢量的法向分量在曲面上的面積分。O=jfdS=J!fdS（2.3）SSn任取一體積V,其表面積為S。V1的表面積為Sl=Sla+S1ab，V2的表面積為S2=S2b+S2ab。J!f-dS+JJf-dS=f-dSJ!f-dS+JJf-dS=JJf-dSS2bV，SS2bS2abS2S1abS2abSS1S22.

10、4)數(shù)學(xué)定理2.2通過體積V外表面S的通量，等于S內(nèi)包含的所有各個(gè)部分小體積dV外表面的通量之和。如V分割成許多小立方體AVt0。工S內(nèi)小立方體AV表面的通量=JJfdSAVt0三、對(duì)小立方體表面的通量計(jì)算對(duì)六個(gè)正方形面元的通量之和對(duì)1、2面的通量：f(1)(-i)AyAz+f(2)iAyAzOf=f(2)-f(1)AyAz=xAxAyAzXXOx同理對(duì)3、4和5、6面的通量：Of_lAxAyAzOfzOzAxAyAzJJfdS=-JJfdS對(duì)小立方體表面的通量：afXax+afy+afz）AxAyAz=fAVayaz2.5）對(duì)小立方體表面的通量等于該點(diǎn)的散度與小立方體體積的乘積。lim工S內(nèi)

11、小立方體的通量=川fdV（2QAVT0V一般矢量場(chǎng)的高斯定理對(duì)任一閉合曲面S的通量，等于在V內(nèi)該矢量的散度的體積分。fdS=JUVfdV（2#）sv散度的定義式亠_0fdS（小立方體的通量）divf=Vf=lims人“（2.8）AVtOAV矢量場(chǎng)環(huán)流（環(huán)量）定義：矢量f切向分量沿閉合曲線L的線積分。環(huán)量=d（2.9）LL任取一閉合回路L,現(xiàn)以曲線段Lb將Lab分割為L(zhǎng)1和L2兩個(gè)回路，其中L1=L1+L1b，12111bL=L+L22b2ab.2ab.Jfd+Jfd=4fd7L2bf1afd+Jfd-L2b1abL2ab|li_JfdL2Jf-d7=-ff-d1L1abL2ab2.10)(2.

12、11)前兩式相加可得：fLfd7二JLfd7+fLfd7L2L1數(shù)學(xué)定理2.3矢量場(chǎng)對(duì)回路L的環(huán)量，等于對(duì)該回路L內(nèi)包含的所有無(wú)窮小正方形回路的環(huán)量之和。ffd7=工L內(nèi)小正方形的環(huán)量LAStO五、對(duì)小正方形的環(huán)流（環(huán)量）計(jì)算小正方形回路的環(huán)量取小正方形的繞向與Z軸構(gòu)成右手螺旋關(guān)系，Z軸正方向也就是小正方形面元法線-j3/fAy4用2X1iAx:f(i)的正方向。f(1)-iAx+f(2)jAy+f(3)(一i)Ax+f(4)(一j)Ay=f(1)-f(3)Ax+f(2)一f(4)AyxxyyQfQfQfQf=-xAxAy+yAxAy=(y-x)AxAyQyQxQxQy=(Vxf)ASz小正方

13、形回路的環(huán)量=(Vxf)nAS=(Vxf)aS(2.12)lim工L內(nèi)小正方形的環(huán)量(Vxf)dS(2.13)ASt0S一般矢量場(chǎng)的斯托克斯定理矢量場(chǎng)對(duì)任一閉合回路L的環(huán)量，等于以回路L為邊界的任一曲面S上矢量場(chǎng)旋度的通量。ffd7=ff（Vxf）dS（2.15）LS旋度的定義式(rotf)=(Vxf)=limASt0Lf-d7（垂直于n的小正方形的環(huán)量）Las旋度的含義：P點(diǎn)的旋度沿某方向的分量，等于P點(diǎn)附近垂直該方向的單位面積小正方形的環(huán)量。旋度的大小和方向（和梯度對(duì)比）在矢量場(chǎng)某一點(diǎn)上，計(jì)算單位面積小正方形的環(huán)量，當(dāng)此環(huán)量取最大值時(shí)，小正方形面元法線方向就是該點(diǎn)旋度的方向，此環(huán)量的最大值就是該點(diǎn)旋度的大小。1.矢量微分算符（哈密頓算符）v=d:i+dxdj+kdycZcczccx2.標(biāo)量場(chǎng)梯度的線積分T(P)-T(