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1、PAGE PAGE 122005年考研數(shù)學(xué)(三)試題解析填空題(本題共6小題,每小題4分,滿分24分. 把答案填在題中橫線上)(1)極限= 2 .【分析】 本題屬基本題型,直接用無窮小量的等價(jià)代換進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】 =【評注】 若在某變化過程下,則(2) 微分方程滿足初始條件的特解為 .【分析】 直接積分即可.【詳解】 原方程可化為 ,積分得 ,代入初始條件得C=2,故所求特解為 xy=2.【評注】 本題雖屬基本題型, 也可先變形 ,再積分求解.(3)設(shè)二元函數(shù),則 .【分析】 基本題型,直接套用相應(yīng)的公式即可.【詳解】 , ,于是 .(4)設(shè)行向量組,線性相關(guān),且,則a= .【分析】 四

2、個4維向量線性相關(guān),必有其對應(yīng)行列式為零,由此即可確定a.【詳解】 由題設(shè),有 , 得,但題設(shè),故【評注】 當(dāng)向量的個數(shù)小于維數(shù)時(shí),一般通過初等變換化階梯形討論其線性相關(guān)性.(5)從數(shù)1,2,3,4中任取一個數(shù),記為X, 再從中任取一個數(shù),記為Y, 則= .【分析】 本題涉及到兩次隨機(jī)試驗(yàn),想到用全概率公式, 且第一次試驗(yàn)的各種兩兩互不相容的結(jié)果即為完備事件組或樣本空間的劃分.【詳解】 =+ + =【評注】 全概率公式綜合考查了加法公式、乘法公式和條件概率,這類題型一直都是考查的重點(diǎn).(6)設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y) 的概率分布為 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1已知隨機(jī)事件與相互

3、獨(dú)立,則a= 0.4 , b= 0.1 .【分析】 首先所有概率求和為1,可得a+b=0.5, 其次,利用事件的獨(dú)立性又可得一等式,由此可確定a,b的取值.【詳解】 由題設(shè),知 a+b=0.5又事件與相互獨(dú)立,于是有 ,即 a=, 由此可解得 a=0.4, b=0.1【評注】 本題考查二維隨機(jī)變量分布律的性質(zhì)和獨(dú)立隨機(jī)事件的概念,均為大綱要求的基本內(nèi)容.二、選擇題(本題共8小題,每小題4分,滿分32分. 每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi))(7)當(dāng)a取下列哪個值時(shí),函數(shù)恰好有兩個不同的零點(diǎn).(A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. B

4、【分析】 先求出可能極值點(diǎn),再利用單調(diào)性與極值畫出函數(shù)對應(yīng)簡單圖形進(jìn)行分析,當(dāng)恰好有一個極值為零時(shí),函數(shù)f(x)恰好有兩個不同的零點(diǎn).【詳解】 =,知可能極值點(diǎn)為x=1,x=2,且 ,可見當(dāng)a=4時(shí),函數(shù)f(x) 恰好有兩個零點(diǎn),故應(yīng)選(B).【評注】 對于三次多項(xiàng)式函數(shù)f(x)=,當(dāng)兩個極值同號時(shí),函數(shù)f(x) 只有一個零點(diǎn);當(dāng)兩個極值異號時(shí),函數(shù)f(x) 有三個零點(diǎn);當(dāng)兩個極值有一為零時(shí),函數(shù)f(x) 有兩個零點(diǎn).(8)設(shè),其中,則(A) . (B).(C) . (D) . A 【分析】 關(guān)鍵在于比較、與在區(qū)域上的大小.【詳解】 在區(qū)域上,有,從而有 由于cosx在 上為單調(diào)減函數(shù),于是

5、因此 ,故應(yīng)選(A).【評注】 本題比較二重積分大小,本質(zhì)上涉及到用重積分的不等式性質(zhì)和函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行分析討論.(9)設(shè)若發(fā)散,收斂,則下列結(jié)論正確的是 (A) 收斂,發(fā)散 . (B) 收斂,發(fā)散.(C) 收斂. (D) 收斂. D 【分析】 可通過反例用排除法找到正確答案.【詳解】 取,則發(fā)散,收斂,但與均發(fā)散,排除(A),(B)選項(xiàng),且發(fā)散,進(jìn)一步排除(C), 故應(yīng)選(D). 事實(shí)上,級數(shù)的部分和數(shù)列極限存在.【評注】 通過反例用排除法找答案是求解類似無窮級數(shù)選擇問題的最常用方法.(10)設(shè),下列命題中正確的是f(0)是極大值,是極小值. (B) f(0)是極小值,是極大值.(C) f(

6、0)是極大值,也是極大值. (D) f(0)是極小值,也是極小值. B 【分析】 先求出,再用取極值的充分條件判斷即可.【詳解】 ,顯然 ,又 ,且,故f(0)是極小值,是極大值,應(yīng)選(B).【評注】 本題為基本題型,主要考查取極值的充分條件.(11)以下四個命題中,正確的是(A) 若在(0,1)內(nèi)連續(xù),則f(x)在(0,1)內(nèi)有界. (B)若在(0,1)內(nèi)連續(xù),則f(x)在(0,1)內(nèi)有界. (C)若在(0,1)內(nèi)有界,則f(x)在(0,1)內(nèi)有界. (D) 若在(0,1)內(nèi)有界,則在(0,1)內(nèi)有界. C 【分析】 通過反例用排除法找到正確答案即可.【詳解】 設(shè)f(x)=, 則f(x)及均

7、在(0,1)內(nèi)連續(xù),但f(x)在(0,1)內(nèi)無界,排除(A)、(B); 又在(0,1)內(nèi)有界,但在(0,1)內(nèi)無界,排除(D). 故應(yīng)選(C). 【評注】 本題也可直接證明:用拉格朗日中值定理,有 在(0,1)之間,由此容易推知若在(0,1)內(nèi)有界,則f(x)在(0,1)內(nèi)有界. (12)設(shè)矩陣A= 滿足,其中是A的伴隨矩陣,為A的轉(zhuǎn)置矩陣. 若為三個相等的正數(shù),則為(A) . (B) 3. (C) . (D) . A 【分析】 題設(shè)與A的伴隨矩陣有關(guān),一般聯(lián)想到用行列展開定理和相應(yīng)公式:.【詳解】 由及,有,其中為的代數(shù)余子式,且或 而,于是,且 故正確選項(xiàng)為(A).【評注】 涉及伴隨矩陣的

8、問題是??碱}型,只需注意到兩個重要思路:一是用行列展開定理,另一是用公式:(13)設(shè)是矩陣A的兩個不同的特征值,對應(yīng)的特征向量分別為,則,線性無關(guān)的充分必要條件是(A) . (B) . (C) . (D) . D 【分析】 討論一組抽象向量的線性無關(guān)性,可用定義或轉(zhuǎn)化為求其秩即可.【詳解】 方法一:令 ,則 , .由于線性無關(guān),于是有 當(dāng)時(shí),顯然有,此時(shí),線性無關(guān);反過來,若,線性無關(guān),則必然有(,否則,與=線性相關(guān)),故應(yīng)選(B).方法二: 由于 ,可見,線性無關(guān)的充要條件是故應(yīng)選(D).【評注】 本題綜合考查了特征值、特征向量和線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念.(14) 設(shè)一批零件的長度服從正態(tài)分

9、布,其中均未知. 現(xiàn)從中隨機(jī)抽取16個零件,測得樣本均值,樣本標(biāo)準(zhǔn)差,則的置信度為0.90的置信區(qū)間是(A) (B) (C)(D) C 【分析】 總體方差未知,求期望的區(qū)間估計(jì),用統(tǒng)計(jì)量:【詳解】 由正態(tài)總體抽樣分布的性質(zhì)知, 故的置信度為0.90的置信區(qū)間是,即故應(yīng)選(C).【評注】 正態(tài)總體的三個抽樣分布:、是??贾R點(diǎn),應(yīng)當(dāng)牢記.三 、解答題(本題共9小題,滿分94分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)(15)(本題滿分8分)求 【分析】 型未定式,一般先通分,再用羅必塔法則.【詳解】 = = =【評注】 本題屬基本題型,在里用羅必塔法則求極限的過程中,應(yīng)注意利用無窮小量的等價(jià)代

10、換進(jìn)行簡化.(16)(本題滿分8分)設(shè)f(u)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且,求 【分析】 先求出二階偏導(dǎo)數(shù),再代入相應(yīng)表達(dá)式即可.【詳解】 由已知條件可得 , , ,所以 =【評注】 本題屬基本題型,但在求偏導(dǎo)數(shù)的過程中應(yīng)注意計(jì)算的準(zhǔn)確性.(17)(本題滿分9分) 計(jì)算二重積分,其中.【分析】 被積函數(shù)含有絕對值,應(yīng)當(dāng)作分區(qū)域函數(shù)看待,利用積分的可加性分區(qū)域積分即可.【詳解】 記,于是 =+=【評注】 形如積分、等的被積函數(shù)均應(yīng)當(dāng)作分區(qū)域函數(shù)看待,利用積分的可加性分區(qū)域積分.(18)(本題滿分9分)求冪級數(shù)在區(qū)間(-1,1)內(nèi)的和函數(shù)S(x).【分析】冪級數(shù)求和函數(shù)一般采用逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分,轉(zhuǎn)化為幾

11、何級數(shù)或已知函數(shù)的冪級數(shù)展開式,從而達(dá)到求和的目的.【詳解】 設(shè) , ,則 ,由于 =, ,因此 ,又由于 ,故 所以 【評注】 而冪級數(shù)求和盡量將其轉(zhuǎn)化為形如或冪級數(shù),再通過逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分求出其和函數(shù). 本題應(yīng)特別注意x=0的情形.(19)(本題滿分8分)設(shè)f(x),g(x)在0,1上的導(dǎo)數(shù)連續(xù),且f(0)=0,.證明:對任何a,有 【分析】 可用參數(shù)變易法轉(zhuǎn)化為函數(shù)不等式證明,或根據(jù)被積函數(shù)的形式,通過分部積分討論. 【詳解】 方法一:設(shè),則F(x)在0,1上的導(dǎo)數(shù)連續(xù),并且,由于時(shí),因此,即F(x)在0,1上單調(diào)遞減.注意到 ,而 =,故F(1)=0.因此時(shí),由此可得對任何,有 方法

12、二: =, = 由于時(shí),因此 , ,從而 【評注】 對于積分不等式的證明,主要有兩個途徑:一是轉(zhuǎn)化為函數(shù)不等式,二是通過恒等變形,如變量代換、分部積分等,再用積分的不等式性質(zhì)進(jìn)行討論.(20)(本題滿分13分)已知齊次線性方程組 ( = 1 * roman i) 和( = 2 * roman ii) 同解,求a,b, c的值.【分析】 方程組( = 2 * roman ii)顯然有無窮多解,于是方程組( = 1 * roman i)也有無窮多解,從而可確定a,這樣先求出( = 1 * roman i)的通解,再代入方程組( = 2 * roman ii)確定b,c即可.【詳解】 方程組( =

13、2 * roman ii)的未知量個數(shù)大于方程個數(shù),故方程組方程組( = 2 * roman ii)有無窮多解.因?yàn)榉匠探M( = 1 * roman i)與( = 2 * roman ii)同解,所以方程組( = 1 * roman i)的系數(shù)矩陣的秩小于3.對方程組( = 1 * roman i)的系數(shù)矩陣施以初等行變換 ,從而a=2. 此時(shí),方程組( = 1 * roman i)的系數(shù)矩陣可化為 ,故是方程組( = 1 * roman i)的一個基礎(chǔ)解系.將代入方程組( = 2 * roman ii)可得 或當(dāng)時(shí),對方程組( = 2 * roman ii)的系數(shù)矩陣施以初等行變換,有 ,顯

14、然此時(shí)方程組( = 1 * roman i)與( = 2 * roman ii)同解.當(dāng)時(shí),對方程組( = 2 * roman ii)的系數(shù)矩陣施以初等行變換,有 ,顯然此時(shí)方程組( = 1 * roman i)與( = 2 * roman ii)的解不相同. 綜上所述,當(dāng)a=2,b=1,c=2時(shí),方程組( = 1 * roman i)與( = 2 * roman ii)同解.【評注】 本題求a也可利用行列式,得a=2.本題也可這樣考慮:方程組必存在無窮多解,化系數(shù)矩陣為階梯形,可確定a=2,b=0,c=1或a=2,b=1,c=2,再對兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行討論即可.(21)(本題滿分13分)設(shè)為正定矩

15、陣,其中A,B分別為m階,n階對稱矩陣,C為矩陣.( = 1 * ROMAN I) 計(jì)算,其中;( = 2 * ROMAN II)利用( = 1 * ROMAN I)的結(jié)果判斷矩陣是否為正定矩陣,并證明你的結(jié)論.【分析】 第一部分直接利用分塊矩陣的乘法即可;第二部分是討論抽象矩陣的正定性,一般用定義.【詳解】 ( = 1 * ROMAN I) 因 ,有 = = =.( = 2 * ROMAN II)矩陣是正定矩陣.由( = 1 * ROMAN I)的結(jié)果可知,矩陣D合同于矩陣又D為正定矩陣,可知矩陣M為正定矩陣.因矩陣M為對稱矩陣,故為對稱矩陣. 對及任意的,有 故為正定矩陣.【評注】 判定正

16、定矩陣的典型方法有:(1)用順序主子式全大于0;(2)用特征值全大于零;(3)用定義. 對于抽象矩陣,一般用后兩個方法.(22)(本題滿分13分)設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為 求:( = 1 * ROMAN I) (X,Y)的邊緣概率密度; ( = 2 * ROMAN II) 的概率密度 ( = 3 * ROMAN III ) 【分析】 求邊緣概率密度直接用公式即可;而求二維隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度,一般用分布函數(shù)法,即先用定義求出分布函數(shù),再求導(dǎo)得到相應(yīng)的概率密度; 直接用條件概率公式計(jì)算即可.【詳解】 ( = 1 * ROMAN I) 關(guān)于X的邊緣概率密度= =關(guān)于Y的邊緣概率密度= = ( = 2 * ROMAN II) 令,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí), =; 3) 當(dāng)時(shí),即分布函數(shù)為: 故所求的概率密度為:( = 3 * ROMAN III) 【評注】 本題屬基本題型,只需注意計(jì)算的準(zhǔn)確性,應(yīng)該可以順利求解.第二步求隨機(jī)變量函數(shù)分布,一般都是通過定義用分布函數(shù)法討論.(23)(本題滿分13分)設(shè)為來自總體N(0,)的簡單隨機(jī)樣本,為樣本均值,記求:( = 1 * ROMAN I) 的方差; ( = 2 * ROMAN II)與的協(xié)方差 ( = 3 * ROMAN III)若是的無偏估計(jì)量,求常

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