山大《線性代數(shù)》輔導課件08投入產(chǎn)出問題

1、投入產(chǎn)出問題1. 背景介紹 一個國家或區(qū)域的經(jīng)濟系統(tǒng)中,各部門(或企業(yè))既有消耗又有生產(chǎn),或者說既有“投入” 又有“產(chǎn)出”.生產(chǎn)的產(chǎn)品供給各部門和系統(tǒng)外的需求,同時也消耗系統(tǒng)各部門所提供的產(chǎn)品,消耗的目的是為了生產(chǎn)；生產(chǎn)的結(jié)果必然要創(chuàng)造新價值. 顯然對每一部門,物資消耗和新創(chuàng)造的價值等于它生產(chǎn)的總產(chǎn)值. 這就是“投入”和“產(chǎn)出”之間的平衡關系. 俄裔美國經(jīng)濟學家W.Leontief于20世紀30年代首先提出并成功地建立了研究國民經(jīng)濟的投入產(chǎn)出的數(shù)學模型，他數(shù)次主持制定了美國的國民經(jīng)濟投入產(chǎn)出表，且由此對國民經(jīng)濟各部門的結(jié)構(gòu)和各種比例關系進行了定量分析. 這一方法即投入產(chǎn)出法以其重要的應用價值迅

2、速為世界各國經(jīng)濟學界和決策部門所采納. W.Leontief因此于1973年獲得了Nobel經(jīng)濟學獎.2. 實際問題 一個城鎮(zhèn)有三個主要生產(chǎn)企業(yè)：煤礦、電廠和地方鐵路作為它的經(jīng)濟系統(tǒng).生產(chǎn)價值1元的煤，需消耗0.25元的電費和0.35元的運輸費；生產(chǎn)價值1元的電，需消耗0.40元的煤費、0.05元的電費和0.10元的運輸費；而提供價值1元的鐵路運輸服務，則需消耗0.45元的煤、0.10元的電費和0.10元的運輸費. 在某個星期內(nèi)，除了這三個企業(yè)間的彼此需求，煤礦得到50000元的訂單，電廠得到25000元的電量供應要求，而地方鐵路得到價值30000元的運輸需求. 試問 這三個企業(yè)在這星期各應生

3、產(chǎn)多少產(chǎn)值才能滿足內(nèi)外需求？3. 數(shù)學模型 設煤礦、電廠和地方鐵路在這星期生產(chǎn)總產(chǎn)值分別為x1 x2和x3(元)，那么(分配平衡方程組)(直接消耗矩陣)鱹鱹鱹鴠鰙鐌鐌鐌鑮鎪-=-90.010035.010.095.025045.040.01AE求各生產(chǎn)總值我們把分配平衡方程寫成解上述方程可知，在該星期中,煤礦、電廠和地方鐵路的總產(chǎn)值分別為114458元, 65395.4元和85111元.其中4. 新創(chuàng)價值問題 除了外部需求，試求這星期各企業(yè)之間的消耗需求，同時求出各企業(yè)新創(chuàng)造的價值(即產(chǎn)值中除去各企業(yè)的消耗所剩的部分)分析 將x1=114458分別乘以0，0.25，0.35得到各企業(yè)為煤礦的總

4、產(chǎn)值所作消耗，寫為把上面三個向量寫成矩陣即得下面的關系式 類似地各企業(yè)對電廠、鐵路的產(chǎn)值所作消耗分別為 設 z1 , z2和z3(元)分別為煤礦、電廠和地方鐵路在這星期的新創(chuàng)價值，那么應有 容易得到 z1 = 45783.2 z2= 29427.9 z3= 29766.8 產(chǎn)出 中間產(chǎn)品 最終產(chǎn)品 總產(chǎn)值投入 煤礦 電廠 鐵路 小計 煤礦 0 26158 38300 64458 50000 114458 電廠 28614 3270 8511 40395 25000 65395 鐵路 40060 6540 8511 55111 30000 85111 小計 68674 35968 55322 1

5、59964 105000 264964新創(chuàng)價值 45784 29427 29789 105000 總產(chǎn)值 114458 65395 85111 264964 一般說，在對一個國家或區(qū)域的經(jīng)濟用投入產(chǎn)出法進行分析和研究時，首先根據(jù)統(tǒng)計數(shù)字制定投入產(chǎn)出表，進而計算出有關的技術系數(shù).對這些系數(shù)的分析，可以了解經(jīng)濟系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和各部門之間的數(shù)量關系，還可通過求解方程組來獲知最終需求的變動對各部門生產(chǎn)的影響投入產(chǎn)出表5. 完全消耗 如果煤礦需要增加總產(chǎn)值10000元，它對各個企業(yè)的產(chǎn)品或服務的完全需求分別將是多少？ 在某個企業(yè)生產(chǎn)或提供服務時，對任何一個產(chǎn)品的直接消耗事實上還蘊含著其他產(chǎn)品的間接消耗.例如

6、地方鐵路在運輸時直接消耗了煤，但它還通過消耗電而間接消耗煤，因為電的生產(chǎn)需要消耗煤.這樣就有了完全消耗系數(shù)的概念. 設煤礦、電廠和地方鐵路生產(chǎn)單位產(chǎn)值對煤、電和鐵路運輸?shù)目傁闹?即完全消耗系數(shù))分別為bij；那么記 完全消耗矩陣反映了煤礦、電廠和鐵路在生產(chǎn)需求上的關系.而且從完全需求的角度揭示了它們在更深層次上的相互依賴關系.這意味著如果該城鎮(zhèn)要擴大煤的生產(chǎn)而每周增加產(chǎn)值1萬元，那就不僅需要相應增產(chǎn)0.25萬元的電和0.35萬元的運輸能力作為直接消耗，事實上而且還將有約近0.46萬元的煤、0.20萬元的電和0.27萬元的運輸能力作為間接消耗可得6. 經(jīng)濟預測 若在以后的三星期內(nèi),企業(yè)外部需求的增長速度是煤每周增長15，電力每周增長3，鐵路每周運輸增長12；那么各企業(yè)的總產(chǎn)值將平均每周增長多少？ 根據(jù)問題中給出的增長率，可知在以后的第三周，煤、電和鐵路運輸?shù)耐獠啃枨?最終產(chǎn)品)量分別為根據(jù)外部需求，解方程組 利于Mathematica,就可以解出第三周的產(chǎn)出應為 即屆時這三企業(yè)的總產(chǎn)值分別達到元、元和元.以目前這周的產(chǎn)出向量為