福建省長(zhǎng)泰一中高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案《三垂線定理》

1、鑼點(diǎn)亮心燈/(AvA)照亮人生.鑼第5課時(shí)三垂線定理基礎(chǔ)L和一個(gè)平面相交，但不和這個(gè)平面冊(cè)直線叫做平面的斜線，斜線和平面的交點(diǎn)叫做.亠2.射當(dāng)門(mén)平面外一點(diǎn)向平窗引垂線的閣做點(diǎn)在平更內(nèi)的射影；心(2)過(guò)垂足和斜足的直線叫斜妥在平ffiwm+斜線上任意一點(diǎn)在平ffi上的射影一定在.垂線在平面上的射影只是.直線和平面平行時(shí)，直線在平面上的射影是和諭直線_的一條直線.3-如圖，A0是平面空斜線，去為斜足，X亠胃，為垂足，AC二XZOAB=總，一BAC=壬.ZOAC歹，貝IIcosJ-直線和平面所成的第平面的斜線和它在這個(gè)平面內(nèi)的所感的_叫做這條直線和平面所戚角*a斜線和平面所成角，是這條斜線和平面內(nèi)任

2、一條直線所成角中2三垂線定理;在平面內(nèi)的一條直線如果和這個(gè)平面的一條斜線的也和垂直.乍逆定理在平面內(nèi)的一條直統(tǒng).如果和這個(gè)平面的一條.直*卩典型例題所成第垂直、那么它A垂直，那么它也和建條B例1.已知按-ABC的斜邊3C在平面:內(nèi)，玄至i|；的距離2,兩築直角邊和平分別是4亍和炒.求：斜邊上的高AD和平面:所成的角(2)點(diǎn)A在:-內(nèi)的射影到BC冊(cè)距熬*答案=解：取AB中點(diǎn)D.A2C=BC.CiD丄A2BA2BiCiAiBCC變式訓(xùn)練1：如圖，道旁有一條河，河對(duì)岸有電塔AB塔頂A到道路距離為AC且測(cè)得ZBCA=30,在道路上取一點(diǎn)D,又測(cè)得CD=30m/CDB=45.求電塔AB的高度.解：BC=

3、30,AB=BCtan30=103例2.如圖，矩形紙片AAAA,BC、B、C分別為AA4、A2A3的三等分點(diǎn)，將矩形片沿BB,CC折成三棱柱，若面對(duì)角線AB丄BC;求證：ACAB.又A1A2丄面ABC.CiD丄A1A2CD丄面AiABiB.BD是BC在面AB上的射影由AiBi丄BGBD丄AiBi取AiB中點(diǎn)D同理可證AD是AC在面AB上的射影TA2D纟BD.A2DBD是平行四邊形由BD_LA1B1.AiBi丄A2DA2C丄A1Bi變式訓(xùn)練2:如圖，在正三棱柱ABC-ABC中，AB=3,AA=4,M為AA中點(diǎn)，P是BC上一點(diǎn)，且由P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過(guò)棱CC到M的最短路線長(zhǎng)29，設(shè)這條最短路線與CCB

4、CNC交點(diǎn)N,求：PC和NC的長(zhǎng)；平面NMP與平面ABC所成二面角(銳角)大小.解：將側(cè)面BBCC繞棱CC旋轉(zhuǎn)120使其與側(cè)面AAiCiC在同一平面上，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)Pi的位置，連接MP,則MP就是由點(diǎn)P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過(guò)棱CC到點(diǎn)M的最短路線設(shè)PC=x,貝VPiC=x，在RtMAP中，由勾股定理得x=2PC=PiC=2NC-PiC_2NC=4MARA55(2)連接PP,貝VPP就是平面NMP與平面ABC的交線，作NHLPPi于H,又CC丄平面ABC連結(jié)CH由三垂線定理得CHLPR/NHC就是平面NMP與平面ABC所成的平面角(銳角)在RtPHC中tZPCH=丄/PCP=602CH=；c=i在RtP

5、HC中tanNHC=45故平面NMP與平面ABC所成二面角大小為arctan45例3.如圖在棱長(zhǎng)為i的正方體ABCABiCD中，點(diǎn)E是棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱CD上的動(dòng)點(diǎn).試確定點(diǎn)F的位置，使得DE丄面ABF;(2)當(dāng)DE丄面ABF時(shí)，求二面角Ci-EF-A大小.解：連結(jié)AiB,則AiB是DE在面ABBAi內(nèi)的射影tAB丄AiB.DiE丄AB于是DiE丄平面ABF二DEXAF連結(jié)DE,則DE是DiE在底面ABCD內(nèi)的射影DiE丄AFuDELAFtABCD是正方形，E是BC的中點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)F是CD的中點(diǎn)時(shí)，DELAF即當(dāng)點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)時(shí)，DE丄面ABF(2)當(dāng)DE丄平面ABF時(shí)，由知點(diǎn)F是CD的中

6、點(diǎn)，又已知點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，連結(jié)EF,貝yEF/BD連AC,設(shè)AC與EF交點(diǎn)H,貝VCHLEF,連CH,貝VCH是GH在底面ABCD內(nèi)的射影CiH丄EF即ZC1HC是二面角CEFC的平面角在RtHC中vCC=1CH=4AC=tanZC1HC=CH*ZCiHC=arctan2v2ZAHC=narctan22變式訓(xùn)練3:正方體ABCA1B1C1D中棱長(zhǎng)a,點(diǎn)P在AC上,Q在BC上，AP=BQ=a,求直線PQ與平面ABCD所成角的正切值；求證：PQLADaQM=PMtanZQP=(1)解：過(guò)Q作QMCC交BC于M則QML面ABCDZQPM就是所求角CP2a_a.CMCPPM/ABAC-2aBCAC在

7、RtPQM中PM=2-1a2QM=2aBQBC1BMBC即BMBCCMBC2a_a二2a2a22-1a2(2)由(1)可知PMLBCPQ在面ABCD內(nèi)的射影是PM.PQLBC又AD/BCPQLAD例4.如圖，在長(zhǎng)方體ABCA1B1C1D中，AD=AA=1,AB=2,點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng).(1)證明：DE丄AQ;當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)E到面ACD的距離；AE等于何值時(shí)，二面角DECD的大小為匹.4CC證明:(1)AE丄平面AADD,A1DAD,44丄D1E.(2)設(shè)點(diǎn)E到面ACD的距離為山在厶ACD中，AC=CD=了5,AD=返,s如c=5_2=2，而S-Adc=2AEBC=2.2x1=3xh，

8、過(guò)D作DHLCE于H,連DHDE貝VDH丄CEDHD為二面角DECD的平面角設(shè)AE=x，貝VBE=2x在RtDiDH中，KDHD=二，二DH=14在RtADE中，DE=i-x2，二在RtDHE中,EH=x，在RtDHC中，CH=3,CE=x2_4x5,則x+3=x2_4x-5,解得x=23即當(dāng)x=23時(shí)，二面角為DECD的大小為王.4PD=變式訓(xùn)練4:如圖，在四棱錐PABCC中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形，且Ca,PA=PC=2a求證：PDL面ABCD求直線PB與AC所成角；求二面角APB-D大小.證明：(1)tPC=2aPD=DC=aPD+DC=PC2PDC是直角三角形PDLDC同理PDLDA又TDAHDC=DPDL平面ABCD連BDtABCD是正方形ACLBD又PDL平面ABCDACLPB(三垂線定理)PB與AC所成角為90設(shè)ACHBD=0作AE!PB于E,連OEtACLBDPDL平面ABCDAC面ABCDPDLACACL平面PDB又TOE是AE在平面PDB內(nèi)的射影OELPBZAEO就是二面角APB-O的平面角又TAB=aPA=：J2aPB=J3atPDL面ABCDDALABPALAB在RtPAB中AE-PB=PA-AB2sinZAEO=3/AEO=6012小結(jié)1.求直線和平面所成的角的一般步驟是一找（作）,二證，三算.尋找直線在平面內(nèi)的射影是