淺析空間角的求解方法

1、 淺析空間角的求解方法獲2013年云南省教育科研論文競(jìng)賽二等獎(jiǎng)?wù)淹ㄊ忻褡逯袑W(xué)溫抗美空間角包括線線角、線面角、面面角，在高考中常以多面體為載體，對(duì)這三種角考察的命題趨勢(shì)較強(qiáng)，特別是對(duì)線面角和面面角是很常見的考察，教學(xué)中應(yīng)高度關(guān)注.兒何法求這三種角的一般步驟：首先找出或作出有關(guān)的平面角；然后證明它符合定義；最后歸到某一三角形中進(jìn)行計(jì)算可總結(jié)為一找，二證，三計(jì)算”的步驟用這種方法求解空間角，通常對(duì)學(xué)生的空間想象力和推理能力的要求都很高，常常因?yàn)楸尘爸R(shí)的復(fù)雜性使學(xué)生在尋找角時(shí)往往力不從心，導(dǎo)致問(wèn)題解答無(wú)法進(jìn)行下去，從而求空間角也就成為了教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn).普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書選修2-1的第三章中

2、，在平面向量的基礎(chǔ)上，引入了空間向量的相關(guān)概念及其運(yùn)算，利用空間向量可以確定空間中直線、平面的位置關(guān)系，同時(shí)為解決空間角也提供了有效的解題工具，這樣不但拓寬了學(xué)生學(xué)習(xí)的視野，同時(shí)也豐富了教學(xué)內(nèi)容，關(guān)于空間角的求解方法也就靈活多樣了.下面是本人結(jié)合教學(xué)實(shí)踐對(duì)求空間角的常見方法的分析總結(jié)，淺析如下：一、重要知識(shí)點(diǎn)1.求異面直線所成的角幾何法：根據(jù)定義，通常用“平移轉(zhuǎn)化”的方法，通過(guò)平移一條或兩條直線，使之成為兩相交直線所成的角，然后通過(guò)解三角形獲解.向量法：設(shè)方，厶分別是兩異面直線厶仏的方向向量，則a與5的夾角厶與人所成的角0范圍(0,7T)(0冷求法t7abcos=_-SAIcos0=cosa,

3、b|=f耳b|2求直線與平面所成的角(1)幾何法：根據(jù)定義，通常找出斜線在平面上的射影，則斜線與平面所成角就是線面角，可通過(guò)斜線段、垂線段和射影線段所構(gòu)成的宜角三角形求解.（2）向量法：設(shè)直線/的方向向量為方，平面n的法向量為齊直線/與平面a所成的角為0,=（P則0=-（p（卩為銳角）或0=（p（卩為鈍22角）如圖所示sin0=|cos(p1=f1,cos0=sin(p-Jlcos(p.Wil川3求二面角（1）幾何法:通過(guò)確定二面角的平面角的大小求二面角，常見情形如下:定義法：如圖，若04丄丄兒則ZAOB就是二面角a-l-0的平面角.三垂線法：如圖，若丄04丄兒則ZAOB就是二面角a-l-0的

4、平面角垂面法：如圖，若P4丄PB1卩,平面PABZ=O,則ZAO3就是二面角a-l-0的平面角.S其中&為平面角的大小此法不必在s投圖中畫出平面角.（2）向量法若43、CD分別是二面角a-l-0的兩個(gè)面內(nèi)與棱/垂直的異面直線，則二面角的大小就是向量亦與動(dòng)的夾角或補(bǔ)角（如圖）.設(shè)”耳分別是二面角a-l-0的兩個(gè)面0的法向量，則二面角a-l-0的大小就是兀與可的夾角或補(bǔ)角. 二、典例賞析類型一求異面直線所成的角【例1】如圖1,正方體ABCD-AQCp中，E、F分別為AQ、AG的中點(diǎn),求異面直線AE與CF所成的角的余弦值.解法1:（幾何法）如圖M所示，取4B的中點(diǎn)M,連接EF,MF,CM.則四邊形A

5、MFE是平行四邊形，-,AE/MF,ZMFC或其補(bǔ)角是異面直線AE與CF所成的角.(孫+(辰)Si)，_屈25(1-46(1百設(shè)正方體ABCD-的棱長(zhǎng)為2a,則CM=MF=辰,CF=/6a,在卜CMF中,cos乙MFC=W空_IMFCF異面直線AE與CF所成的角的余弦值是里.解法2：（向量坐標(biāo)法）建立如圖1-2所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz,設(shè)正方體.旋=(0,2),喬=(1,1,2),的棱長(zhǎng)為2,則4(2,0,0),C(0,2,0),E(l,0,2),F(l,l,2),忌|=肩|喬|=&,祚AECF3cos=_,_.=-=-=AECFyfSxy/6AECF=1x1-1-0 x(1)+2x2=

6、3,/30lo-異面直線AE與CF所成的角的余弦值是穿ac=bc=0,解法3：（基向量法）如圖1,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，DA=iDC=D=c,則|6T1=|=|C|=1,且&=，0:.AE=AAk+人丘=ca,，0I.I.IICF=Cq+QF=CC】+-CA=CQ+-(DA-DC)=c-b-a-b,，tl-*1*t21T1*1TZ1*:.AECF=(ca)(cab)=cHcicbecica-ab22222242X|AE|=1-丄=344，=妁朗+（疥=孚TOC o 1-5 h z_3.cosv正，喬=亙聖=導(dǎo).AECFV5y/610 x22異面直線AE與CF所成的角的余弦值迥.10評(píng)析：本題三種

7、解法是求異面直線所成角的基本方法，具體應(yīng)根據(jù)實(shí)際的背景知識(shí)靈活選用.類型二求直線與平面所成的角【例2】如圖2,正三棱柱ABC-AC,的底面邊長(zhǎng)為a,側(cè)棱長(zhǎng)為J刃，求4C；與側(cè)面ABB.A,所成角的大小.解法1：（幾何法）如圖2-1,取AQ的中點(diǎn)M,連接正三棱柱ABC-ABC的底面邊長(zhǎng)為AdG是等邊三角形，/.CtM丄AQ乂側(cè)面A.ABB,丄底面AQC；,且它們的交線為4百，CMc平面40C.-GM丄平面A.ABB,/.ZC/M是4C；與側(cè)面ABB.A,所成的角.乂AM=3a在RtAMC,中,cosZCAM=ZCAM=-.11AC,216即AC與側(cè)面ABB所成角的大小為-.6解法2：（向量法）設(shè)

8、00分別為4C,4C的中點(diǎn)，則OOl,AC,OB兩兩互相垂直,故可建立如圖2-2所示的空間直角坐標(biāo)系ORZ，于是4（扌,0,0）,3（0,乎、0）,A（,0,y/a）,C（,0,/Td）,二必=（0,0,血）,M=（_彳,年,0）,乙乙A41=（0,0,y/2ci）設(shè)n=（x,y,z）是平面ABB的法向量,nAB=0nAAk=0即x=yf令）,=i,得h=（V3丄o）.z=o9ACt/?=/3nJACk=y/3an|=2,/.cos=設(shè)AC與平面ABB所成角0,則0g(0,；),且sin0=|cos=扌,e=96即AC】與側(cè)面ABB所成角的大小為-.解法3：（向量法）設(shè)00分別為4CMC的中點(diǎn)

9、，則OOAC.OB兩兩互相垂直,故可建立如圖2-3所示的空間直角坐標(biāo)系ORZ，則4（號(hào),0,0）,3（0,孕,0）,A(,0,G(,0,yfla),:.AC=(-a,0,忑a),AB=(-#,0),=(0,0,V7d),乙乙設(shè)n=（x,y,z）是平面ABB.A,的法向量,nAB=0由nAA=0y/2az=0即x=*y,令),=,得7=(jj丄o).z=o.ACk/?=y/3aACt|=5/36/Jn|=2,設(shè)點(diǎn)c到平面ABB.A,的距離為d,AC與平面ABB所成角0,則化（0,工）,.sinP=7T62即AC；與側(cè)面所成角的大小為-6評(píng)析：本題三種解法是求線面角的基本方法，具體應(yīng)根據(jù)實(shí)際的背景

10、知識(shí)靈活選用.在建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)，方法靈活，本題解法中的建空間直角坐標(biāo)系是一種常見的對(duì)正三棱柱的建系方法，還可作其他建系方法.類型三求二面角【例3】如圖3,正方體ABCD-ACfi,中，M、N分別為AB八BD的中點(diǎn),求平面與平面MNB所成的銳二面角.4JN/3-圖解：建立如圖3J所示空間直角坐標(biāo)系B-xyz，設(shè)正方體ABCD-AQD,的棱長(zhǎng)為2,則5(0,0,0),A(2,0,0),A/(1,0,1),N(1丄0),麗=(一1丄0)麗=(K04),MN=(0,1，-1),設(shè)兀=(心)2)是平面MN4的法向量，兀=(心凡心)是平面MNB的法向量,兀麗=0兀顧=0呂+)1=0兒一3=令開=1,

11、得4=(14,1).n2BM0仏MN0令x2=l,得云.*.=1X1+1X(1)+1X(-1)=-1,|/?!|=|772|=/3,、/?.-/-11COS=二=嚴(yán)=-.-MIMI(Q3平面MN4與平面MNB所成的銳二面角的余弦值是|評(píng)析：本題解法是向量法坐標(biāo)法，通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量而獲解，這是求二面角的一種基本而又常用方法之一.【例4】如圖4,己知P4丄平面ABC,AC丄BC.PA=AC=1*C=屁求二面角A-PB-C的余弦值.圖4解法1：（向量坐標(biāo)法）建立如圖4J所示的空間克角坐標(biāo)系則A(0,0,0),B(丄0),C(0丄0),P(0,0,1),血=(血丄一1)刀=(0.

12、0,1),荒=(-72.0,0),屈|+開7=0,令兀=1,得兀=(i,_7Io).4=0+”一乙=0,e，令兒=1，得fU=(0丄1)y/2x=0設(shè)耳=(心)izj是平面PBA的法向量，n2=(x2.y2,z2)是平面PBC的法向量,得qAP=0空得仏BC=0:.nn2=1x0+(-V2)x1+0 x1=-a/2,|q|=$|=V?,*/?.仏.COSS，仏=二二=亠-山剛屁忑3由圖知二面角A-PB-C是銳二面角，VL_/3二面角的余弦值是半解法2：（向量坐標(biāo)法）建立如圖42所示的空間直角坐標(biāo)系4-廠2,則4（0、0、0）,B（屁,0）,C（0,l,0）,P（0,0,l）,二西=（VI丄_1

13、），麗=（X（M）,CB=（Q0,0）,設(shè)EePB.FePB.且4E丄P艮CF丄PB,則PE=tPB=(Q,心-tBF=mPB=(5/2/77,m.m).AE=AP+PE=(屈M-0,由旋PB=O,CF兩=0,得2/+一1+/=02+2m+m+加=0解得/=丄沖=丄，42.旋.污|狷=斗,|CF1=1,一_丄atAECF2品cos=，i_=.AECF逅燈32二面角A-PB-C的余弦值是f.【例5如圖5,在矩形ABCD中，AB=AD=PA丄平面ABCD,PA=5求二面角ABDP的大小圖5p解法1:（幾何法）如圖54,作AM丄BD于M,連接 PA丄平面ABCD,.PA丄BD,（三垂線定理）:.Z.

14、PMA是二面角A-BD-P的平面角.在RtABD中，:AB=3,AD=4,BD=y/ABrTAb2=5,BD乂在R3AM中,ZP9。：,*半tanAPMA=AM4/3=%.ZPMA=3(y,T二面角A-BD-P的大小為30解法2：（向量坐標(biāo)法）如圖5-2,由題意知可建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-則4(0,0,0),(3,0,0),(0,4,0),P(0,0羋)4P=(0O，麗=(_3,4、0),PB=(3,0,_羋),.PA丄平面ABCD,.AP=(0,0,是平面的法向量,設(shè)n=（x,”z）是平面BDP的法向量,迺“得nBP=03x+4y=0遲=05令x=4,得y=3皿=5羽，/=(435血),=12

15、,|伯=半,|；|=10,cos麗；=雪2=斗=巫，./17,求該二面角的大小.解：（基向量法）如圖6,AB丄AC4B丄BD:.AB刃=0.忑麗=0、:CD=CA-AB+BD.AB=4,AC=6.BD=&CD=2廬,:.CD=(CAAB+BD)1=CA+BD2CAAB+2AB麗+2刃而,.(2/F7)2=62+42+g2+2x6x8cos,，.I.，.cos=，/.=120,/.=60、2所求二面角的大小60.【例7將正方形ABCD沿對(duì)角線折成如圖7所示的直二面角，求二面角A-BC-D的平面角的余弦值.解法X（幾何法）如圖7-1,取3的中點(diǎn)O,BC的中點(diǎn)E,連接OE.OAAE,則40丄BDQE

16、/CD.二面角A-BD-C直二面角，平面ABD丄平面CBD,乂平面ABDQ平面CBD=BD,AOC平面ABD,AO丄BD,平面40丄平面CBD.AOE是AE在平面CBD上的射影.：OECD,BCA_CD,.OE丄BC,:.AE丄BC,（三垂線定理）ZAEO是二面角A-BC-D的平面角.設(shè)則在OE中，心,*字心孚cos如。=鬻=.二面角込D的平面角的余弦值是拿解法2：（向量坐標(biāo)法）取3D的中點(diǎn)0,連接OCQA,AB=BC=CD=DA,.04JBDQC丄BD.又.二面角A-BD-C直二面角，.OA,BD,OC兩兩互相垂直，可建立如圖7-2所示的空間直角坐標(biāo)系O-QZ.設(shè)AB=2t則0(000),4(0,0),C(Q,0,0),B(0,-妊0).*.OA.=(0,0,2),BC=(2,-2,0),BA.=(0,2,2),易知刃是平面BCD的法向量.設(shè)=（兀y,z）是平面BCA的法向量,.tvBA=0則T一BC=0Q+g,即y/2x+y/2y=0二分令j得je.OAn=/2,/OA|=/2,n=5/3,/.cos=OA-n_5/2OAn2x/3二面角C_Q的平面角的余弦值是拿解法3：（面積法）如圖7-3,取BD的中點(diǎn)0,連接OC,Q4,:AB=BC,.OA丄BD、.二面角A-BD-C直二面角，平面丄平面BCD,.04丄