2022年人教B版數(shù)學(xué)歸納法名師精編單元測(cè)試2

1、 名校名師舉薦 精選題專練（ 37）數(shù)學(xué)歸納法1設(shè) fx 是定義在正整數(shù)集上的函數(shù) , 且 fx 滿意 : 當(dāng) fk k+1 成立時(shí) , 總能推出 fk+1k+2 成立 , 那么以下命題總成立的是 A.如 f12 成立 , 就 f1011 成立B.如 f3 4 成立 , 就當(dāng) k1 時(shí), 均有 fkk+1 成立C.如 f22,f8,f163,f32, 觀看上述結(jié)果 , 可估計(jì)出一般結(jié)論 A.f2nB.fn2 3 名校名師舉薦 C.f2n D. 以上都不對(duì)【解析】選C.f2=f21=,f4=f22, f8=f23,f16=f24, f32=f25, 由此可推知f2n . 10用數(shù)學(xué)歸納法證明 1

2、2 3 n 2n 4 n2,就當(dāng) nk 1 時(shí)左端應(yīng)在 nk 的基礎(chǔ)上 2加上 Ak 21 2B k1k4k2C. 2D k 2 1 k 2 2 k 23 k1 2【答案】D 11用數(shù)學(xué)歸納法證明“2 nn 2+1 對(duì)于 nn0的正整數(shù) n 都成立” 時(shí) , 第一步證明中的起始值n0 應(yīng)取 A.2 B.3 C.5 D.6 【解析】選 C.當(dāng) n=1 時(shí),2 1=2=1 2+1, 當(dāng) n=2 時(shí),2 2=42 2+1=5, 當(dāng) n=3 時(shí),2 3=83 2+1=10, 當(dāng) n=4 時(shí),2 4=165 2+1=26, 當(dāng) n=6 時(shí),2 6=646 2+1=37, 故起始值 n0 應(yīng)取 5. 12

3、已知整數(shù)對(duì)的序列如下：1,1 ,1,2 ,2,1 ,1,3 ,2,2 ,3,1 ,1,4 ,2,3,3,2 ,4,1 ,1,5 ,2,4 , ,就第 60 個(gè)數(shù)對(duì)是【答案】5,7 4 名校名師舉薦 【解析】此題規(guī)律： 2 11；31221；4132231；514233241； ；一個(gè)整數(shù) n 所擁有數(shù)對(duì)為 n1 對(duì)設(shè) 123 n1 60,n2n 60,12,n11 時(shí)仍多 5 對(duì)數(shù),且這5 對(duì)數(shù)和都為12 111 2103948 57,第 60 個(gè)數(shù)對(duì)為 5,7 13用數(shù)學(xué)歸納法證明1+ +1 時(shí) , 第一步應(yīng)驗(yàn)證的不等式是 . 解析】由 nN,n1 知,n 取第一個(gè)值n0=2, 當(dāng) n=2

4、時(shí), 不等式為 1+2. 答案 :1+2. 14 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1 n11 n2 1 n n13 24的過程中,由nk 推導(dǎo) nk1時(shí),不等式的左邊增加的式子是1k,故填【答案】k1k1 2k 11 2k 21 k1k【解析】不等式的左邊增加的式子是k1k. , 設(shè) fn=1-a11-a21-a3 1-a n, 運(yùn)算15 已知數(shù)列 a n 滿意條件 an=f1,f2,f3,f4,f2=的值 , 由此猜想 fn 的通項(xiàng)公式為 . . 【解析】 f1=,f3=,f4=. 由此可猜想fn=5 名校名師舉薦 答案 :fn=216 12 分 設(shè)數(shù)列 an 滿意 a13,an 1a n2nan2,

5、n1,2,3 ,1 求 a2,a3, a4 的值,并猜想數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 不需證明 ；2 記 Sn為數(shù)列 an 的前 n項(xiàng)和,試求使得 Sn2 n成立的最小正整數(shù) n,并給出證明【解析】1 a25,a3 7,a49,猜想 an2n1. 2 Snn2n n 22n,使得 Snn 22n. n6 時(shí), 2 66 22 6,即 6448 成立；假設(shè) nk k6, kN 時(shí), 2 kk 22k 成立,那么 2 k12 2 k2 k 22k k 22k k 22kk 22k32k k 1 22 k1 ,即 n k1 時(shí),不等式成立；由、可得,對(duì)于全部的 n6 nN 都有 2 nn 22n 成立17

6、 在數(shù)列 a n 中,a 1=2,a n+1= an+ n+1+2- 2 nn N, 0. 1 求 a2,a3,a4. 2 猜想 a n 的通項(xiàng)公式 , 并加以證明 . 【解析】 1a 2=2 + 2+22- = 2+2 2, a3= 2+2 2+ 3+2- 2 2=2 3+2 3, a4= 2 3+2 3+ 4+2- 2 3=3 4+2 4. 2 由1 可猜想數(shù)列通項(xiàng)公式為an=n-1 n+2 n. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明 : 當(dāng) n=1,2,3,4 時(shí) , 等式明顯成立 , 假設(shè)當(dāng) n=kk 4,k N 時(shí)等式成立 , 即 ak= k-1k+2 k, 那么當(dāng) n=k+1 時(shí), ak+1= a

7、k+ k+1+2- 2 k= k-1 k+ 2 k+ k+1+2 k+1- 2 k=k-1 k+1+ k+1+2 k+1=k+1-1 k+1+2 k+1, 所以當(dāng) n=k+1 時(shí),a k+1=k+1-1 k+1+2 k+1, 猜想成立 , 由知數(shù)列的通項(xiàng)公式為 an=n-1 n+2 nn N, 0. 18已知 Sn123 n n1,nN ,求證： S2n1n 2 n2,nN 1 16 名校名師舉薦 19已知 Sn=1+ +n1,n N, 求證 :1+n 2,n N . 【證明】 1 當(dāng) n=2 時(shí),=S4=1+=1+, 即 n=2 時(shí)命題成立 ; 2 假設(shè)當(dāng) n=kk 2,k N 時(shí)命題成立 , 即=1+ +1+, 就當(dāng) n=k+1 時(shí),=1+ +1+ +1+=1+=1+, 故當(dāng) n=k+1 時(shí), 命題成立 . 由1 和2 可知 , 對(duì) n2,n N . 不等式1+都成立 . 20已知數(shù)列 an 滿意 a12, an12an a n 1 an nN 1 如 1,證明數(shù)列 lg an1 為等比數(shù)列,并求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；2 如 0,是否存在實(shí)數(shù) ,使得 an2 對(duì)一切 nN 恒成立？如存在,求出的取值范疇,如不存在,說明理由7 名校名師舉薦 2 方法一：由a22a1 1 a14 1 22,得 3,猜想 3 時(shí),對(duì)一切 nN ,an2 恒成立當(dāng) n 1 時(shí), a12,猜想成