2022年人教A版高中數(shù)學(xué)必修四242《平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示模夾角》示范教案

1、名師精編 優(yōu)秀教案2.4.2 平面對(duì)量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角整體設(shè)計(jì)教學(xué)分析平面對(duì)量的數(shù)量積, 教材將其分為兩部分. 在第一部分向量的數(shù)量積中, 第一爭(zhēng)論平面對(duì)量所成的角 , 其次 , 介紹了向量數(shù)量積的定義, 最終爭(zhēng)論了向量數(shù)量積的基本運(yùn)算法就和基本結(jié)論 ; 在其次部分平面對(duì)量數(shù)量積的坐標(biāo)表示中 , 在平面對(duì)量數(shù)量積的坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)上 , 利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示研討了平面對(duì)量所成角的運(yùn)算方式 , 得到了兩向量垂直的判定方法 , 本節(jié)是平面對(duì)量數(shù)量積的其次部分 . 前面我們學(xué)習(xí)了平面對(duì)量的數(shù)量積 , 以及平面對(duì)量的坐標(biāo)表示 . 那么在有了平面對(duì)量的坐標(biāo)表示以及坐標(biāo)運(yùn)算的體會(huì)和引進(jìn)平面對(duì)量的數(shù)

2、量積后, 就順其自然地要考慮到平面對(duì)量的數(shù)量積是否也能用坐標(biāo)表示的問(wèn)題. 另一方面 , 由于平面對(duì)量數(shù)量積涉及了向量的模、夾角 ,因此在實(shí)現(xiàn)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示后, 向量的模、夾角也都可以與向量的坐標(biāo)聯(lián)系起來(lái). 利用平面對(duì)量的坐標(biāo)表示和坐標(biāo)運(yùn)算, 結(jié)合平面對(duì)量與平面對(duì)量數(shù)量積的關(guān)系來(lái)推導(dǎo)出平面對(duì)量數(shù)量積以及向量的模、夾角的坐標(biāo)表示 . 老師應(yīng)在坐標(biāo)基底向量的數(shù)量積的基礎(chǔ)上 , 推導(dǎo)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示 . 通過(guò)例題分析、課堂訓(xùn)練 , 讓同學(xué)總結(jié)歸納出對(duì)于向量的坐標(biāo)、數(shù)量積、 向量所成角及模等幾個(gè)因素 , 知道其中一些因素 , 求出其他因素基此題型的求解方法. 平面對(duì)量數(shù)量積的坐標(biāo)表示是在同學(xué)學(xué)

3、習(xí)了平面對(duì)量的坐標(biāo)表示和平面對(duì)量數(shù)量積的基礎(chǔ)上進(jìn)一步學(xué)習(xí)的 , 這都為數(shù)量積的坐標(biāo)表示奠定了學(xué)問(wèn)和方法基礎(chǔ) . 三維目標(biāo)1. 通過(guò)探究平面對(duì)量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算 , 把握兩個(gè)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示方法 . 2. 把握兩個(gè)向量垂直的坐標(biāo)條件以及能運(yùn)用兩個(gè)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示解決有關(guān)長(zhǎng)度、角度、垂直等幾何問(wèn)題 . 3. 通過(guò)平面對(duì)量數(shù)量積的坐標(biāo)表示 , 進(jìn)一步加深同學(xué)對(duì)平面對(duì)量數(shù)量積的熟悉 , 提高同學(xué)的運(yùn)算速度 , 培育同學(xué)的運(yùn)算才能 , 培育同學(xué)的創(chuàng)新才能 , 提高同學(xué)的數(shù)學(xué)素養(yǎng) . 重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn) : 平面對(duì)量數(shù)量積的坐標(biāo)表示. . 教學(xué)難點(diǎn) : 向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示的應(yīng)用課時(shí)支配1 課時(shí)

4、教學(xué)過(guò)程導(dǎo)入新課思路 1. 平面對(duì)量的表示方法有幾何法和坐標(biāo)法, 向量的表示形式不同, 對(duì)其運(yùn)算的表示.,方式也會(huì)轉(zhuǎn)變 . 向量的坐標(biāo)表示, 為我們解決有關(guān)向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算帶來(lái)了極大的便利上一節(jié) , 我們學(xué)習(xí)了平面對(duì)量的數(shù)量積, 那么向量的坐標(biāo)表示, 對(duì)平面對(duì)量的數(shù)量積的表示方式又會(huì)帶來(lái)哪些變化呢？由此直接進(jìn)入主題. 思路 2. 在平面直角坐標(biāo)系中, 平面對(duì)量可以用有序?qū)崝?shù)對(duì)來(lái)表示, 兩個(gè)平面對(duì)量共線的條件也可以用坐標(biāo)運(yùn)算的形式刻畫(huà)出來(lái), 那么學(xué)習(xí)了平面對(duì)量的數(shù)量積之后, 它能否用坐標(biāo)來(lái)表示？如能 , 如何通過(guò)坐標(biāo)來(lái)實(shí)現(xiàn)呢？平面對(duì)量的數(shù)量積仍會(huì)是一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)嗎？同時(shí)平面對(duì)量的模、 夾角

5、又該如何用坐標(biāo)來(lái)表示呢？通過(guò)回憶兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義和向量的坐標(biāo)表示 , 在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)同學(xué)推導(dǎo)、探究平面對(duì)量數(shù)量積的坐標(biāo)表示 . 推動(dòng)新課名師精編 優(yōu)秀教案新知探究 提出問(wèn)題平面對(duì)量的數(shù)量積能否用坐標(biāo)表示. ab 呢. 已知兩個(gè)非零向量a=x1,y1, b=x2,y2, 怎樣用 a 與 b 的坐標(biāo)表示怎樣用向量的坐標(biāo)表示兩個(gè)平面對(duì)量垂直的條件？你能否依據(jù)所學(xué)學(xué)問(wèn)推導(dǎo)出向量的長(zhǎng)度、距離和夾角公式？活動(dòng) : 老師引導(dǎo)同學(xué)利用前面所學(xué)學(xué)問(wèn)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行推導(dǎo)和探究. 前面學(xué)習(xí)了向量的坐標(biāo)可以用平面直角坐標(biāo)系中的有序?qū)崝?shù)對(duì)來(lái)表示 , 而且我們也知道了向量的加、減以及實(shí)數(shù)與向量積的線性運(yùn)算都可以用坐標(biāo)來(lái)表

6、示 . 兩個(gè)向量共線時(shí)它們對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)也具備某種關(guān)系 ,那么我們就自然而然地想到既然向量具有數(shù)量積的運(yùn)算關(guān)系, 這種運(yùn)算關(guān)系能否用向量的坐標(biāo)來(lái)表示呢？老師提示同學(xué)在向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)上結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行推導(dǎo)數(shù)量積的坐標(biāo)表示 . 老師可以組織同學(xué)到黑板上板書(shū)推導(dǎo)過(guò)程, 老師賜予必要的提示和補(bǔ)充. 推導(dǎo)過(guò)程如下 : a=x1 +y1j , b=x2+y2j , ab=x 1+y1j x 2+y2j =x1x2 2+x1y 2 j +x2y1j +y 1y2j 2. 又=1, j j =1, j =j =0, ab=x1x2+y1y2. 老師給出結(jié)論性的總結(jié) , 由此可歸納如下 : 1 平面對(duì)量數(shù)

7、量積的坐標(biāo)表示兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和 , 即 a=x 1,y 1, b=x 2,y 2, 就 ab=x1x 2+y 1y2. 2 向量模的坐標(biāo)表示如 a=x,y, 就| a| 2=x 2+y 2, 或| a|= x 2 y 2. 假如表示向量 a 的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 x1,y1、x2,y2, 那么a=x2-x1,y2-y1,| a|= x 2 x 1 2 y 2 y 1 2 .3 兩向量垂直的坐標(biāo)表示設(shè) a=x 1,y 1, b=x 2,y 2, 就ab x 1x 2+y1y2=0. 4 兩向量夾角的坐標(biāo)表示設(shè) a、b 都是非零向量 , a=x1,y1, b

8、=x2,y2, 是 a 與 b 的夾角 , 依據(jù)向量數(shù)量積的定義及坐標(biāo)表示 , 可得cos =|a|b|x2x 1x2y1y2y2ab2 y 1x2 212爭(zhēng)論結(jié)果 : 略 . 應(yīng)用示例例 1 已知 A1,2,B2,3,C-2,5,試判定 A BC的外形 , 并給出證明 . 活動(dòng) : 老師引導(dǎo)同學(xué)利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)解決平面圖形的外形問(wèn)題 . 判定平面圖形的外形 , 特殊是三角形的外形時(shí)主要看邊長(zhǎng)是否相等 , 角是否為直角 . 可先作出草圖 , 進(jìn)行直觀判定 , 再去證明 . 在證明中如平面圖形中有兩個(gè)邊所在的向量共線或者模相等 , 就此平名師精編 優(yōu)秀教案面圖形與平行四邊形有關(guān) ; 如

9、三角形的兩條邊所在的向量模相等或者由兩邊所在向量的數(shù)量積為零 , 就此三角形為等腰三角形或者為直角三角形 圖形外形的方法 . . 老師可以讓同學(xué)多總結(jié)幾種判定平面解: 在平面直角坐標(biāo)系中標(biāo)出A1,2,B2,3,C-2,5三點(diǎn) , 我們發(fā)覺(jué) A BC 是直角三角形 .下面給出證明 . AB =2-1,3-2=1,1, AC =-2-1,5-2=-3,3, AB AC =1 - 3+1 3=0. AB AC . A BC是直角三角形 . 點(diǎn)評(píng) : 此題考查的是向量數(shù)量積的應(yīng)用, 利用向量垂直的條件和模長(zhǎng)公式來(lái)判定三角形的外形 . 當(dāng)給出要判定的三角形的頂點(diǎn)坐標(biāo)時(shí), 第一要作出草圖, 得到直觀判定,

10、 然后對(duì)你的結(jié)論給出充分的證明. 變式訓(xùn)練在 A BC中, AB =2,3,AC =1,k,且 A BC的一個(gè)內(nèi)角為直角, 求 k 的值 . 解: 由于題設(shè)中未指明哪一個(gè)角為直角, 故需分別爭(zhēng)論 . 如A=90 , 就 AB AC , 所以 AB AC =0. 于是 2 1+3k=0.故 k=2. 3同理可求 , 如B=90 時(shí) ,k 的值為11 ; 3如C=90 時(shí) ,k 的值為3213. 故所求 k 的值為2或11 或 33213. 3例 2 1已知三點(diǎn) A2,-2,B5,1,C1,4,求B AC的余弦值 ; 2 a=3,0,b=-5,5,求 a 與 b 的夾角 . 活動(dòng) : 老師讓同學(xué)利

11、用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出兩向量a=x 1,y 1 與 b=x 2,y 2 的數(shù)量積a b=x1x2+y1y2 和模 | a|= x 1 2 y 1 2,| b|= x 2 2 y 2 2的積 , 其比值就是這兩個(gè)向量夾角的余弦值 , 即 cos = a b x 1 x 2 y 1 y 2 . 當(dāng)求出兩向量夾角的余弦值后再求兩向| a | b | x 1 2y 1 2x 2 2y 2 2量的夾角大小時(shí) , 需留意兩向量夾角的范疇是 0 . 同學(xué)在解這方面的題目時(shí)需要把向量的坐標(biāo)表示清晰 , 以免顯現(xiàn)不必要的錯(cuò)誤 . 解: 1 AB =5,1-2,-2=3,3, AC =1,4-2,-2=-1,6,

12、AB AC=3 - 1+3 6=15.名師精編優(yōu)秀教案又| AB |=2 32 3=32 ,| AC |=1262=37 , .cosB AC= |AB|AC|31537574ABAC2742 ab=3 - 5+0 5=-15,|a|=3,|b|=52. 設(shè) a 與 b 的夾角為 , 就cos =|a|b|31522.又0 , =3. 4ab52點(diǎn)評(píng) : 此題考查的是利用向量的坐標(biāo)表示來(lái)求兩向量的夾角 求解主要是對(duì)基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)的鞏固與提高 . 變式訓(xùn)練. 利用基本公式進(jìn)行運(yùn)算與設(shè) a=5,-7, b=-6,-4, 求 ab 及 a、b 間的夾角 . 精確到解:a b=5 -6+-7 -4=-30+

13、28=-2. | a|= 5 2 7 2 74 ,| b|= 6 2 4 252由運(yùn)算器得 cos = 2-0.03. 74 52利用運(yùn)算器中得 92 .例 3 已知 | a|=3, b=2,3, 試分別解答下面兩個(gè)問(wèn)題 : 1 如 ab, 求 a; 2 如 a b, 求 a.活動(dòng) : 對(duì)平面中的兩向量a=x1,y1 與 b=x2,y2, 要讓同學(xué)在應(yīng)用中深刻領(lǐng)會(huì)其本質(zhì)屬性,向量垂直的坐標(biāo)表示x1x2+y1y2=0 與向量共線的坐標(biāo)表示x1y2-x2y1=0 很簡(jiǎn)潔混淆 , 應(yīng)認(rèn)真比較并熟記, 當(dāng)難以區(qū)分時(shí) , 要從意義上鑒別, 兩向量垂直是ab=0, 而共線是方向相同或相反 . 老師可多加強(qiáng)

14、反例練習(xí), 多給出這兩種類型的同式變形訓(xùn)練. 解: 1 設(shè) a=x,y,由| a|=3 且 ab, 得x2y2|a2 |,92x3x,0解得x913 ,或x913,1313y613y6131313a=913,613 或a=913,613.131313132 設(shè) a=x,y,由| a|=3 且 a b, 得x2y2|a2 |,93 x2y.0解得x613,或x6名師精編優(yōu)秀教案13,1313y913y913.1313a= 613 , 9 13 或 a= 613 , 913 . 13 13 13 13點(diǎn)評(píng) : 此題主要考查同學(xué)對(duì)公式的把握情形 , 同學(xué)能嫻熟運(yùn)用兩向量的坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)判定垂直或者共線

15、, 也能嫻熟地進(jìn)行公式的逆用 , 利用已知關(guān)系來(lái)求向量的坐標(biāo) . 變式訓(xùn)練1求證 : 一次函數(shù) y=2x-3 的圖象 直線 l 1 與一次函數(shù) y= x 的圖象 直線 l2 相互垂直 . 2解: 在 l 1:y=2x-3 中, 令 x=1 得 y=-1; 令 x=2 得 y=1, 即在 l 1 上取兩點(diǎn) A1,-1,B2,1. 同理 , 在直線 l2 上取兩點(diǎn) C-2,1,D-4,2, 于是 : AB =2,1-1,-1=2-1,1+1=1,2, CD =-4,2-2,1=-4+2,2-1=-2,1. 由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示, 可得 AB CD =1 - 2+1 2=0, AB CD , 即

16、 l 1l2. 知能訓(xùn)練課本本節(jié)練習(xí) . 解答 : 1.| a|=5,| b|= 29 , a b=-7. 2. ab=8, a+b a- b=-7, a a+b=0, a+b 2=49. 3. ab=1,| a|= 13 ,| b|= 74 , 88 .課堂小結(jié)1. 在學(xué)問(wèn)層面上 , 先引導(dǎo)同學(xué)歸納平面對(duì)量數(shù)量積的坐標(biāo)表示, 向量的模 , 兩向量的夾角, 向量垂直的條件 . 其次引導(dǎo)同學(xué)總結(jié)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算規(guī)律 標(biāo)表示 . , 夾角和距離公式、 兩向量垂直的坐2. 在思想方法上 , 老師與同學(xué)一起回憶探究過(guò)程中用到的思維方法和數(shù)學(xué)思想方法 , 定義法 ,待定系數(shù)法等 . 作業(yè)課本習(xí)題 2.4

17、 A 組 8、9、10. 設(shè)計(jì)感想由于本節(jié)課是對(duì)平面對(duì)量的進(jìn)一步探究與應(yīng)用 , 是對(duì)平面對(duì)量幾何意義的綜合爭(zhēng)論提高 ,因此教案設(shè)計(jì)流程是探究、發(fā)覺(jué)、應(yīng)用、提高 , 這符合新課程理念 , 符合新課標(biāo)要求 . 我們知道平面對(duì)量的數(shù)量積是本章最重要的內(nèi)容 , 也是高考中的重點(diǎn) , 既有挑選題、填空題 , 也有解答題 大多同立體幾何、解析幾何綜合考查, 故學(xué)習(xí)時(shí)要嫻熟把握基本概念和性質(zhì)及其綜合運(yùn)用 . 而且數(shù)量積的坐標(biāo)表示又是向量運(yùn)算的一個(gè)重要內(nèi)容 , 用坐標(biāo)表示直角坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)名師精編 優(yōu)秀教案的位置 , 是解析幾何的一個(gè)基本特點(diǎn), 從而以坐標(biāo)為橋梁可以建立向量與解析幾何的內(nèi)在聯(lián)系. 以三角函數(shù)表示點(diǎn)的坐標(biāo) , 又可以溝通向量與三角函數(shù)的相互關(guān)系