2022年人教版七年級數學第二學期第五章二元一次方程組全部教案

1、第五章 二元一次方程組第1節(jié) 二元一次方程組 教學目標 1使同學弄懂二元一次方程、二元一次方程組和它的解的含義,并 會檢驗一對數是不是某個二元一次方程組的解；力2通過練習和爭論,進一步培育同學的觀看、比較、分析問題的能教學重點和難點 重點：二元一次方程、二元一次方程組及其解的意義難點：弄懂二元一次方程組解的含義課堂教學過程設計 一、從同學原有的認知結構提出問題1我們在初一時學習了一元一次方程的有關概念及其解法,出一個元一次方程,并指出它的解是多少？誰能寫2為什么它 是指同學回答疑題 1時例舉的方程 叫一元一次方程？3方程中“ 元” 是指什么？“ 次” 是指什么？二、引導同學爭論二元一次方程、二

2、元一次方程組和它的解等概念 問題： 投影一個農夫有如干只雞和兔子,它們共有 50個頭和 140只腳,問雞和兔子各多少只？老師提出：這是一個特別有意思的問題,它曾在好幾個世 紀里引起過人們的愛好,我想這個問題也肯定會使在坐的每一名同學感愛好那么,現(xiàn)在我們怎樣來解答這個問題呢？先讓同學摸索一下,然后自己做出解答,老師巡察最終,在同學動手動腦的基礎上,老師引 導給出各種解法 解法一： 在分析時,可提出如下問題：150只動物都是雞,對嗎？不對,由于 50只雞有 100只腳,腳數少了 250只動物都是兔子對嗎？不對,由于 50只兔子共有 200只腳,腳數多了 3一半是雞,一半是兔子對嗎？不對,由于 25

3、只雞, 25只兔共有 150只腳,多 10只腳 怎么辦？ 在同學摸索后,老師指出：我們可實行逐步調整,驗算的 方法來加以解決 化？4如增加一只雞,削減一只兔,那么動物總只數,腳數分別怎樣變當增加一只雞,削減一只兔時,動物的總只數不變,腳數比原先少 兩只 5現(xiàn)在你是否知道有幾只雞、幾只兔？如同學回答仍是感到困難,老師應引導同學依據一半是雞,一半是 兔時多 10只腳,做出 5次如問題 4所述的方法進行調整,即增加 5只雞,減 少5只兔,就多出的 10只腳就沒有了,故答案是 30只雞、 20只兔 此時,老師指出：這個問題是解決了,但它在很大程度上依靠于數字,50和140比較小,比較簡潔,如它們相當大

4、且又很復雜,那么像上述方法這樣一次次的試算就很麻煩了然后提出問題：是否可有其它的方 法來解決這個問題呢？ 如同學在摸索后,仍很茫然,就老師引導同學嘗 試可否用一元一次方程來解由一名同學板演,其余同學自行完成 解法二：設有 x只雞,就有50-x只兔依據題意,得2x450-x=140解方程略 追問：對于上面的問題用一元一次方程可解,是否仍有其它方法可 解？如同學想不到,老師可引導同學留意,要求的是兩個未知數,能否 設兩個未知數列方程求解呢？讓同學自己設未知數,列方程然后請一 名同學板演解所列的方程 解法三： 設有x只雞, y只兔,依題意得 xy=50,2x+4y=140針對同學列出的這兩個方程,提

5、出如下問題：1結合前面的復習提問,這兩個方程應當叫幾元幾次方程呢？2為什么叫二元一次方程呢？3什么樣的方程叫二元一次方程呢？結合同學的回答, 老師板書二元一次方程的定義：且未知項次數是 1的方程,叫做二元一次方程含有兩個未知數,從解法一,我們仍知道,x=30,y=20,使方程組中每一個方程成立 以 我們把右兩邊的值都相等的兩個未知數的值,叫做二元一次方程組的解 將上述問題的三種解法進行優(yōu)劣對比,你有哪些想法呢？如同學回 答得不全面,不準確,老師可補充歸納如下：當我們運用代數學問將問 題翻譯成代數語言列方程時,就可以借助代數運算來求解,從上面的問 題可以看到,列二元一次方程組比列一元一次方程簡潔

6、 三、課堂練習1造一個二元一次方程,一個二元一次方程組通過提問,檢查同學對這兩個概念的把握程度2填表,使上、下每對 x,y的值滿意方程 3xy=5投影3已知以下三對數值：哪一對是以下方程組的解？4已知滿意二元一次方程組的x值是x=-1,你能求出哪個方程組的解四、師生共同小結 第一,讓同學回答以下問題：1本節(jié)課學習了哪些內容？2什么叫二元一次方程？3什么叫二元一次方程組？4什么叫二元一次方程組的解？然后,老師結合同學的回答,用投影儀將預先制作好的投影膠片打出,以此培育同學歸納小結的才能五、作業(yè)1是方程 y=2x-3的解有 ；2是方程 3x+2y=1的解有 ；1用含x的代數式表示 y；2分別求出方

7、程和的四個解,其中 3方程組的解是什么？3利用一元一次方程 2x1=x+2解二元一次方程組課堂教學設計說明x=0,1,2,3；本課的設計是從提出雞兔同籠的求解問題入手,以試算的方法襯托 出方程解法的優(yōu)越性,以列一元一次方程解法襯托出列二元一次方程組 解法的優(yōu)越性以使同學感到二元一次方程組的引入順理成章教學過程中用了“ 試算的方法” ,即在解決某一問題時,經過一連 串的試驗,使后者不斷地終止前者試驗中產生的誤差從而使問題得到解 決它表達了數學中“ 逐次靠近” 的思想這種“ 試一試” ,“ 碰一碰”的思想方法常常能誘發(fā)同學制造性思維的進展,對培育同學的才能大有 好處第2節(jié) 用代入法解二次一次方程組

8、 一教學目標1使同學會用代入消元法解二元一次方程組；2懂得代入消元法的基本思想表達的“ 化未知為已知” ,“ 變生疏 為熟識” 的化歸思想方法；3在本節(jié)課的教學過程中,逐步滲透樸實的辯證唯物主義思想教學重點和難點 重點：用代入法解二元一次方程組難點：代入消元法的基本思想課堂教學過程設計一、從同學原有的認知結構提出問題 1誰能造一個二元一次方程組？為什么你造的方程組是二元一次方 程組？2誰能知道上述方程組 指同學提出的方程組 的解是什么？什么叫 二元一次方程組的解？3上節(jié)課我們提出了雞兔同籠問題：投影 它們共有 50個頭和 140只腳,問雞和兔 一個農夫有如干只雞和兔子,子各有多少？設農夫有 x

9、只雞, y只兔,就得到二元一次方程組對于列出的這個二元一次方程組,我們如何求出它的解呢？同學思 考得老師引導并提出問題：如設有 x只雞,就兔子就有 50-x只,依題意,2x+450-x=140 從而可解得, x=30,50-x=20,使問題得解出它的解法 1在一元一次方程解法中,列方程時所用的等量關系是什么？2該等量關系中,雞數與兔子數的表達式分別含有幾個未知數？3前述方程組中方程所表示的等量關系與用一元一次方程表示的 等量關系是否相同？4能否由方程組中的方程求解該問題呢？5怎樣使方程中含有的兩個未知數變?yōu)橹缓幸粋€未知數呢？以上問題,要求同學獨立摸索,想出消元的方法 老師作出講解結合同學的回

10、答,由方程可得 y=50-x,即兔子數 y用雞數 x的代數式 50-x表示,由 于方程中的 y與方程中的 y都表示兔子的只數, 故可以把方程中的 y 用50-x來代換,即把方程代入方程中,得解得x=302x+450-x=140,將x=30代入方程,得 y=20本節(jié)課,我們來學習二元一次方程組的解法二、講授新課 例 1 解方程組分析： 如此方程組有解,就這兩個方程中同一個未知數就應取相同的值,因此,方程中的y就可用方程中的表示 y的代數式來代替解： 把代人,得3x+21-x=5,所以x=3y=-23x+2-2x=5,把x=3代入,得此題應以老師講解為主,并板書,同時老師在最終應提示同學,與 解一

11、元一次方程一樣,要判定運算的結果是否正確,需檢驗其方法是將所求得的一對未知數的值分別代入原方程組里的每一個方程中,看看方程的左、右兩邊是否相等檢驗可以口算,也可以在草稿紙上驗算 老師講解完例 1后,結合板書,就此題解法及步驟提出以下問題：1方程代入哪一個方程？其目的是什么？2為什么能代入？3只求出一個未知數的值,方程組解完了嗎？4把已求出的未知數的值, 代入哪個方程來求另一個未知數的值較 簡便？在同學回答完上述問題的基礎上,老師指出：這種通過代入消去一 個未知數,使二元方程轉化為一元方程,從而方程組得以求解的方法叫做代入消元法,簡稱代入法例 2 解方程組分析： 例1是用 y=1-x直接代入的例

12、 2的兩個方程都不具備這樣的 條件即用含有一個未知數的代數式表示另一個未知數 ,所以不能直接代 入為此,我們需要想方法制造條件,把一個方程變形為用含 x的代數式 表示 y或含 y的代數式表示 x那么選用哪個方程變形較簡便呢？通過觀 察,發(fā)覺方程中 x的系數為 1,因此,可先將方程變形,用含有 y的代 數式表示 x,再代入方程求解解： 由,得 x=8-3y, 把代入,得 問：能否代入中？ 28-3y+5y=-21,所以y=37-y=-37,問：此題解完了嗎？把 y=37代入哪個方程求 x較簡潔？ 把 y=37代入,得 x=8-3 37,所以x=-103此題可由一名同學口述,老師板書完成 三、課堂

13、練習用代入法解以下方程組：四、師生共同小結 在與同學共同回憶了本節(jié)課所學內容的基礎上,老師著重指出,因 為方程組在有解的前提下,兩個方程中同一個未知數所表示的是同一個 數值,故可以用它進行等量代換,即使“ 代入” 成為可能而代入的目 的就是為了消元,使二元方程轉化為一元方程,從而使問題最終得到解 決五、作業(yè) 用代入法解以下方程組：5x+3y=3x+2y=7 課堂教學設計說明 本課的設計是通過上節(jié)課的雞兔同籠問題入手,將設未知數列一元 一次方程的求解過程與二元一次方程組相比較,從而得到二元一次方程 組的代入 消元 解法這種比較, 可使同學在復習舊學問的同時,使新知 識得以把握,這對于同學體會新學

14、問的產生和形成過程是特別重要的第3節(jié) 用代入法解二元一次方程組 二教學目標 1使同學嫻熟地把握用代入法解二元一次方程組；2使同學進一步懂得代入消元法所表達出的化歸意識教學重點和難點組重點：學會用代入法解未知數系數的肯定值不為 1的二元一次方程難點：進一步懂得在用代入消元法解方程組時所表達出的化歸意識課堂教學過程設計一、從同學原有的認知結構提出問題此題為小測驗,老師把題抄在黑板上, 同學預備數學作業(yè)紙完成 其 目的是檢查并督促同學復習鞏固所學學問,時間為 3分鐘 2結合第 1小題的解答,老師引導同學歸納總結出用代入消元法解 方程組的一般步驟 先提問,后老師用投影打出 1從方程組中選一個系數比較簡

15、潔的方程,將這個方程中的一個未 知數,如 y,用含 x的的代數式表示,即 y=ax+b；2將y=ax+b代入另一個方程中,消去 方程；y,得到一個關于 x的一元一次3解這個一元一次方程,求出 x的值；4把求得的 x的值代入 y=ax+b中,求出 y的值,從而得到方程組的解二、講授新課分析： 該方程組中的每一個方程都不是以含有一個未知數的代數式表示另一個未知數的形式,因此不能直接代入應先將其中的某個方程 變形是用含 x的代數式表示 y,仍是用含 y的代數式表示 x呢？引導同學通過觀看得出,由于方程中 得出用含 x的代數式表示 y把代入,得y的系數的肯定值是 2,較小故由方程8x-53x-11=6

16、,所以x=7y=5-7x=-49,把x=7代入,得此題的解答過程由同學口述, 老師板書完成； 通過師生的共同探討,得出挑選未知數的系數的肯定值比較小的一個方程進行變形,可使解題 較為簡便 例 2 解方程組分析： 未知數的系數是分數的方程組,在求解時一般先將分數系數 化為整數系數,然后求解解： 方程兩邊同乘以 12,得 4x+3y=12, 方程兩邊同乘以 6,得 2y-3x=6將代入,得8x+9x+18=24,17x=6,此題的解答過程,可由同學口述,老師板書完成例 3解方程組其中x,y是未知數分析： 解含有字母系數的方程組時,第一要分清哪些字母表示未知 數,哪些字母表示已知數 即常量 解： 由

17、,得 y=2a+b-3x, 將代入,得x-32a+b-3x=2b-a,10 x-6a-3b=2b-a,10 x=5a+5b,三、課堂練習1已知方程組：對于每一個方程組,分別指出以下方法中比較簡捷的解法是 A利用,用含 x的代數式表示 y,再代入；B利用,用含 y的代數式表示 x,再代入；C利用,用含 x的代數式表示 y,再代入；D利用,用含 y的代數式表示 x,再代入；2用代入法解方程組：四、師生共同小結在師生共同回憶了本節(jié)課所學內容的基礎上,老師指出,對于用代入法解未知數系數的肯定值不是1的二元一次方程組, 解題時,應挑選未知數的系數肯定值比較小的一個方程進行變形,這樣可使運算簡便五、作業(yè)

18、用代入法解以下方程組：課堂教學設計說明 代入消元法的消元思想表達了數學學習中“ 化未知為已知” 的化歸 思想方法,它是極重要的數學思想方法它的核心就是將待解的問題轉 化為既定解決方法和程序的問題,以便應用已知的理論、方法和技術來 解決問題其思想方法包蘊著深刻的辯證觀點因此在教學時,應加強化歸思想的總結和提煉,這對于提高同學的才能,進展同學的思維極有 好處第4節(jié) 用加減法解二元一次方法組 一教學目標 1使同學正確把握用加減法解二元一次方程組；2使同學懂得加減消元法的基本思想所表達的“ 化未知為已知” 的 化歸思想方法教學重點和難點 重點：用加減消元法解二元一次方程組難點：明確用加減法解二元一次方

19、程組的關鍵是必需使兩個方程中 同一未知數的系數肯定值相等課堂教學過程設計 一、從同學原有的認知結構提出問題 1用代入法解方程組：2代入消元法解方程組的基本思想是什么？在同學回答完上述問題的基礎上,老師指出,我們學習了“ 代入消 元法” 解方程組,代入法的核心是代入“ 消元” ,通過“ 消元” ,使“ 二 元” 轉化為“ 一元” ,從而問題得以解決,那么除了代入可“ 消元” 外,是否仍有其它方法也能達到“ 消元” 的目的呢？本節(jié)課我們就來解決這 一問題二、講授新課 1用加減法解某一未知數的系數的肯定值相等的二元一次方程組 第一,引導同學觀看上面練習 1中的方程組的特點,不難發(fā)覺：方程 組的兩個方

20、程中,未知數 x的系數相等,都是 2因此可利用等式的性質,把這兩個方程兩邊分別相減,就可以消去一個未知數,得到一元一次方 程,從而實現(xiàn)化“ 二元” 為“ 一元” 的目的然后,指導同學寫出此題的解答過程解： -,得 10y=30,y=3所以 把 y=3代入,得 x=2問：把 y=3代入求 x值,可以嗎？ 解答完此題后,應讓同學口算檢驗 隨后,老師進一步追問消未知數 x是由 -達到目的,那么 -可 以嗎？怎樣做更簡捷？同學一試即知再次引導同學觀看方程組構成特點,并提出問題：能否通過消去未 知數 y,得到關于 x的一元一次方程,從而使問題得解呢？怎樣消去未知 數y呢？請同學通過觀看、摸索后求解,讓一

21、名同學板演,其余同學自己完 成,最終老師講評 解： +,得 4x=8,所以 x=2把x=2代入,得 y=3解答完此題后,老師指出,從上面的解答過程來看,對某些二元一次方程組可通過兩個方程兩邊分別相加或相減,消去其中一個未知數,得到一個一元一次方程,從而求出它的解這種解二元一次方程組的方 法叫做加減消元法,簡稱加減法例 1 解方程組分析：方程組中兩個方程的同一未知數 -或 -消去未知數 x解： -,得 12y=-36,所以 y=-3把 y=-3代入,得x的系數相等, 因此可直接由6x-5 -3=17,6x+15=17,此時,老師需強調以下兩點：1解題時,-或 -都可以消去未知數 x,不過在 -得

22、到的方 程中, y的系數是負數,所以在上面解法中應挑選-；2把y=-3代入或,最終結果是一樣的但我們通常的作法是將 所求出的一個未知數的值代入系數簡潔的方程中求出另一個未知數的 值y 問題：如直接將上面方程組中的兩個方程兩邊相加或相減可以消去 嗎？啟示同學得出以下結論：在方程組的兩個方程中,如某個未知數的系數是相反數,就可直接 把這兩個方程的兩邊分別相加,消去這個未知數；如某個未知數的系數相等,就可直接把這兩個方程的兩邊分別相減,消去這個未知數2用加減法解某一未知數的系數成整數倍數關系的二元一次方程組 例 2 解方程組分析： 該方程組中同一未知數的系數的肯定值均不相等,將這兩個 方程直接相加減

23、都不能消去未知數那么怎樣使方程組中某一未知數系 數的肯定值相等呢？啟示同學認真觀看方程組的結構特點,得出：2,得 4x+6y=32由 -即可消去 x,從而使問題得解解： 2,得4x+6y=32,-,得18y=36,問： -可以嗎？怎樣更好 所以y=2把 y=2代入,得x=5此時,老師應進一步提問：能否通過消去未知數 元一次方程,使問題得 解呢？怎樣更好呢？三、課堂練習 以下方程組中 1先消去哪個未知數較簡潔,怎樣消？2用加減法解以下方程組：四、師生共同小結 第一,應向同學提出以下問題：y,得出關于 x的一1當方程組的某一方程中某一未知數的系數的肯定值是 種方法解較好？1時,用何2當方程組中某一

24、未知數系數的肯定值相等時,用何種方法解較好？例如解方程組：3當方程組中某一未知數系數肯定值不相等,但成整倍數關系時,用何種方法較好？然后,老師結合同學的回答情形指出,對于問題 求解；對問題 2,3,常用加減消元法求解五、作業(yè) 用加減法解以下方程組：課堂教學設計說明1,常用代入消元法在學習加減法解題之前,同學們已經知道了代入法解二元一次方程 組的核心是代入“ 消元” ,以使二元方程轉化為一元方程求解因此本 節(jié)課是從提出問題,“ 除了代入可“ 消元” ,是否仍有其它方法可達到“ 消元” 目的” 入手的其目的是不輕易地告知同學加減法解題的過程,而通過引導同學觀看方程組的結構特點,讓同學自己探究發(fā)覺解

25、題的方 法這樣可使同學在積極參加的學習中不僅能感受到學習的愛好,更重 要的是在這種積極求索的學習中,促使其才能得到充分的發(fā)揮、提高第5節(jié) 用加減法解二元一次方程組 二 教學目標 1使同學嫻熟地把握用加減法解二元一次方程組；2進一步使同學懂得加減消元法的基本思想所表達的 知” 的化歸思想方法“ 化未知為已教學重點和難點 重點：學會用加減法解同一未知數的系數肯定值不相等,且不成整 數倍的二元一次方程組難點：怎樣將方程組化成某個未知數系數肯定值相等的方程組課堂教學過程設計 一、從同學原有的認知結構提出問題1解二元一次方程組有哪些方法？2以下方程組中,用哪種方法解較為簡捷？投影 只分析不求解 結合同學

26、的回答, 老師作小結： 第1小題由方程得 x=4y+1,因此 用代入法較好或者 - 5,消去 x,用加減法；第 2題未知數 y的系 數肯定值相等,第 3題未知數 y的系數成整倍關系因此,第 2,3題 用加減法較好 二、講授新課上節(jié)課,我們學習了用加減法解二元一次方程組,本節(jié)課我們連續(xù)學習利用加減法解二元一次方程組例1 解方程組在分析本例題時,可向同學提出以下問題：1方程組中兩方程是否可通過直接相加或相減消元？2為什么兩方程直接相加或相減消不了元？3怎樣可使方程組中某一未知數的系數肯定值相等呢？4怎樣可使方程組中某一未知數的系數肯定值相等,且方程系數又 都是整數呢？讓同學自己摸索,分析得出解題方

27、法：通過由3,2,使關于 y的系數肯定值相等,從而可用加減法解得解： 3,得 2,得9x12y=48,10 x-12y=66,得所以x=619x=144,把x=6代入,得 3 64y=16,4y-2,上述例題,有的同學可能挑選消未知數 x,再求解老師可讓用不 同消元過程解題的兩名同學板演通過對比,使同學自己總結出應挑選 方程組中同一未知數系數肯定值的最小公倍數較小的未知數消元 老師結合例 1的解答過程, 引導同學總結出用加減法解二元一次方程 組的一般步驟 利用投影逐一打出 1方程組的兩個方程中,某一未知數的系數肯定值相等時：1把兩個方程的兩邊分別相加或相減,消去一個未知數,得到一個 一元一次方

28、程；2解這個一元一次方程；3將求出的未知數的值代入原方程組的任意一個方程中,求出另一 個未知數的值,從而得到方程組的解2方程組中同一未知數的系數肯定值均不相等時,把一個 或兩個 方程的兩邊乘以適當的數, 使兩個方程中某一未知數的系數肯定值相等,從而化為第一類型方程組求解例 2 解方程組分析： 當方程組比較復雜時,應先化簡,利用去括號、去分母、合 并同類項等解： 化簡方程組,得+ 5,得 27x=17550,所以 x=650把x=650代入中,得 5 6503y3400,所以 y=50三、課堂練習1以下各題中,消去哪個未知數比較合理？方程兩邊同乘以什么數,怎樣相加減以達到消元目的？只分析,不求解

29、 此題利用投影打在屏幕上 2把以下方程組化成標準形式：只整理成標準形式,不解出3解以下方程組：四、師生共同小結 第一,向同學提出問題： 用加減法解二元一次方程組的步驟是什么？然后,結合同學的回答,老師指出,解二元一次方程組,可以用代 入法,也可以用本節(jié)課學習的加減法今后解題時,假如沒有提出具體 要求,應當依據方程組的特點,選用其中一種比較簡便的解法五、作業(yè)1解以下方程組：課堂教學設計說明 加減法解二元一次方程組的基本思想與代入法相同,仍是“ 消元”化歸思想,通過代入法、加減法這些手段,使二元方程轉化為一元方程,從而使“ 消元” 化歸這一轉化思想得以實現(xiàn)因此在設計教學過程時,留意化歸意識的點撥與

30、滲透,使同學在學習中逐步體會懂得這種具有普 遍意義的分析問題、解決問題的思想方法由于本節(jié)課是用加減法解方程組的其次節(jié),因此,選用了一道運算 較復雜的方程組作為例子,目的是通過該例題的講解,提高同學解較復 雜方程組的才能第6節(jié) 三元一次方程組的解法 一 教學目標1使同學明白三元一次方程組的概念,次方程組；會用消元法解簡潔的三元一2懂得用消元法解三元一次方程組時表達的“ 三元” 化“ 二元” 、“ 二元” 化“ 一元” 的化歸思想方法教學重點和難點重點：應用消元法解三元一次方程組難點：挑選恰當的方法消元,解方程組課堂教學過程設計 一、新課引入 前面我們學習了用代入法、加減法解二元一次方程組,這兩種

31、方法 的實質都是消元,即把“ 二元” 轉化為“ 一元” ,從而使問題得以解決但在實際中,我們所需要解決的問題往往涉及到 因而求解多元方程組的問題是我們連續(xù)爭論的課題3個或多個未知數,引例 甲、乙、丙三數之和是 26,甲數比乙數大 1,甲數的兩倍與丙 數的和比乙數大 18求這三個數由同學設未知數,列方程組并提問同學,讓其板演列方程組 設甲數是 x,乙數是 y,丙數是 z,依據題意,可以得到以下幾個方程 xy+z=26,x-y=1,2x+z-y=18這個問題的解必需同時滿意上述三個方程,因此,我們把上述三個方程 合在一起寫成這就構成了方程組,該方程組中含有三個未知數,且組成方程組的每個方程的未知數

32、項的次數都是1,這就是我們要學習的三元一次方程組本節(jié)課我們主要學習三元一次方程組的解法二、師生共同探討三元一次方程組的解法 提問：怎樣求解由引例列出的三元一次方程組呢？先由同學自己做,老師巡察,在同學動手動腦的基礎上,老師賜予 適當引導 第一引導同學摸索：三元一次方程組與二元一次方程組的不同 之處是什么？然后,老師指出：我們知道二元一次方程組可以利用代入 法或加減法消去一個未知數,化成一元一次方程求解利用它們的解題 思想和方法,我們是否會求解三元一次方程組呢？通過以上的啟示工作,引導同學自然地想到通過代入法或加減法消 元,化“ 三元” 為“ 二元” ,化“ 二元” 為“ 一元” ,從而方程組得

33、以 求解 例 1 解方程組分析： 仿照前面學過的代入法,將變形后代入、中消元,再 求解解法一： 由,得x=y+1將分別代入、得解這個方程組,得把 y=9代入,得 x=10此時,老師進一步提出如下問題：1上面方程組中方程只含有未知數 x、y,是一個二元一次方程,由它可以直接求出 x與y的值嗎？那么怎樣可以求出 x與y的值呢？2怎樣得出關于 x,y的其次個二元一次方程呢？由同學獨立摸索,自己找出解題方法 解法二： -,得 x-2y=-8 由,組成方程組把x=10,y=9代入中,得 z=7此時,老師進一步追問：此題是否仍有更簡捷方法求解？如有同學發(fā)覺簡捷方法,老師應準時賜予夸獎,并請同學板演如不然,

34、老師應引導同學觀看這三個方程中未知數系數間的對應關系從而發(fā)覺所得的方程中 x與z的系數與方程中 x與z的系數分別對應相等,因此可由+-直接得到關于 y的一元一次方程,求出 y值后再代回,即可得到關于 x、y的二元一次方程組 解法三： 由 -,得 y=9把 y=9代入,得 x=10把x=10,y=9代入,得 z=7解答完此題后, 應提示同學不要遺忘檢驗, 但檢驗過程一般不寫出 從上述問題的一題多解,使我們體會到,敏捷運用代入法或加減法消元,將有助于我們快速求解方程組例 2 解方程組分析： 在這個方程組中,方程只含有兩個未知數 x、z,所以只要由消去 y,就可以得到只含有 x,z的二元一次方程組解

35、： 3,得11x7z=29,把方程,組成方程組三、課堂練習 解以下方程組：四、師生共同小結 在師生共同回憶了本節(jié)課所講內容的基礎上,老師著重指出：1解 三元一次方程組的基本思想仍舊是通過代入法或加減法消元；2當三元 一次方程組中某個方程缺少一個未知數時,由另兩個方程消去與前述方 程中所缺未知數相同的未知數,從而組成二元一次方程組求解五、作業(yè) 解方程組：課堂教學設計說明 由于同學已嫻熟地把握了代入法、加減法解二元一次方程組的基本 消元思想,對解三元一次方程組的問題,很自然地會聯(lián)想到是否可運用 此法求解本節(jié)設計時,以同學自己探求解題方法為主,在“ 三元” 化 為“ 二元” 的基本解題思想指導下,讓

36、同學自己觀看,分析,摸索出達 到消元目的的途徑第7節(jié) 三元一次方程組的解法 二教學目標法；1使同學嫻熟地把握用消元法解簡潔的三元一次方程組的一般方2通過對問題的一題多解,培育同學觀看、分析問題及敏捷地解題 的才能；3進一步懂得消元法解方程組時表達的化歸意識教學重點和難點重點：敏捷地用代入法或加減法解三元一次方程組難點：正確地挑選消元的方法課堂教學過程設計 一、從同學原有的認知結構提出問題 不解方程組,指出以下方程組中先消去哪個未知數,使得求解方程 組較為簡便？ 投影 結合同學的回答情形,老師指出,第1題由 2 7,消去 z,得到方程,由與組成關于 x、y的二元一次方程組；第 2題由 -消去 y

37、,得方程,與組成關于x、z的二元一次方程組,或由 -消去x,得方程,與組成關于y、z的二元一次方程組,或由-消z,得方程,與組成關于x,y的二元一次方程組老師進一步追問：對上述方程組是否仍有簡便方法求解呢？先由同學摸索回答,然后老師補充小結：通過觀看方程組的構成特 點,發(fā)覺第 1題方程、中 x與y的系數對應相等,因此可由-消去 x 與y項,求出 z值,再將 z值代入得方程,與組成關于 x,y的二元 一次方程組第 2題由 +,得 xy+z=30,再由 -, -, -分別求出 x,y,z二、講授新課 本節(jié)課,我們連續(xù)來學習三元一次方程組的解法例 1 解方程組分析時,引導同學觀看方程組中每一個方程的

38、構成情形,并提出以 下問題：1每個方程是否有缺項？2怎樣通過消元,使“ 三元” 轉化為“ 二元” ？用代入法解行嗎？由于方程組中每個方程中的每一未知數的系數肯定值都不是 1,因 此將某一方程變形用代入法解較繁,用加減法解較好 3用加減法解消哪個未知數求解較為簡捷呢？用加減法解,應挑選消去系數肯定值的最小公倍數最小的未知數 解： ,得 5x+5y=25 2,得 5x+7y=31 由與組成方程組把x=2,y=3代入,得 3 2+2 3z=13,所以 z=1此時,結合上述例題的解答過程,老師應再次提出問題：1先消未知數 x或y可以嗎？比較上述三種不同的消元挑選,哪種消元挑選更好呢？例 2解方程組將,

39、代入,得所以 y=45把 y=45分別代入、,得x=30,z=36此題也可作以下分析：yx=32,即 x y=23=1015,而 yz=54=1512,故有 xyz=101512因此,可設 x=10k,y=15k,z=12k將它們一起代入中求出 k值,從而求出 x、y、z的值解法二： 由,得 xy=23,即 xy=1015由,得 yz=54,即 yz=1512所以 xyz=101512設, x=10k,y=15k,z=12k,代入中得所以 k=3故 x=30,y=45,z=3610k+15k+12k=111,三、課堂練習A先消去 x；B先消去 y；C先消去 z；D以上說法都不對3解以下方程組：

40、四、師生共同小結在師生共同回憶本節(jié)課所學內容的基礎上,老師指出,一般地,用消元法解三元一次方程組,要先觀看方程組中未知數的系數情形,然后再打算是用代入法仍是用加減法來解對于方程組中方程間系數成比例,或具有肯定聯(lián)系的特別情形,可實行觀看、分析,巧解的程序來求解五、作業(yè) 解以下方程組：第8節(jié)堂 習題課第9節(jié) 一次方程組的應用 一教學目標1使同學初步把握布列二元一次方程組解應用題；2通過將實際問題轉化為純數學問題的訓練,才能教學重點和難點培育同學分析問題的依據題目中的已知量與未知量間的相等關系,布列方程組課堂教學過程設計 一、從同學原有的認知結構提出問題 第一學期我們學習了運用一元一次方程解決實際問

41、題請看下例投影 例 1 小華買了 10分與 20分的郵票共 16枚,花了 2元5角求10分與20 分的郵票各買了多少枚？問：怎樣求解這個問題呢？引導同學分析,提問：題目中的已知量是什么？未知量是什么？已知量與未知量的相等關系是什么？在黑板上 分析：已知量 未知量結合同學的回答,老師將分析依次寫10分與20分郵票共 16枚 10分郵票買多少枚 這兩種郵票共花了 2元5角 20分郵票買多少枚 相等關系：110分郵票的枚數 +20分郵票的枚數 =總枚數；210分郵票的總價 +20分郵票的總價 =全部郵票的總價請同學在筆記本上設未知數,并布列方程,老師請一名同學板演 解： 設10分郵票買了 x枚,就

42、20分郵票買了 16-x枚依題意,得10 x+2016-x=250解方程略 二、講授新課 結合例 1的分析與解答過程,老師指出：對于該題,我們是通過列一 元一次方程求解的,是否仍可用其它方法求解呢？有的同學如剛才列的就是二元一次方程組,就可請這名同學板 演如沒有,可引導同學摸索：要求的是兩個數,可否設兩個未知數列 方程組求解呢？由同學自己設未知數,布列方程組,同時,老師請一名 同學板演所列的方程組部分 解： 設10分郵票共買了 x枚, 20分郵票共買了 y枚依題意,得答： 10分郵票買了 7枚, 20分郵票買了 9枚此題在解答時,應提示同學要統(tǒng)一單位 在講評本例的基礎上,師生共同作出如下小結1

43、布列一元一次方程解應用題與布列二元一次方程組解應用題的區(qū) 別僅在于,前者是設一個未知數,列一個方程求解而后者是設兩個未 知數,列二元一次方程組求解；2設兩個未知數,需列兩個方程；3解應用題應按以下步驟進行操作：投影 審題, 設未知數并列出有關代數式,找出相等關系列出方程,解方程,檢驗 代入原方程及原應用題檢驗, 不用寫出,寫出答案簡記：審、設、列、解、檢、答分析： 從其次車間調 10人到第一車間,即是其次車間削減 10人,同 時第一車間增加 10人上讓同學說出此題的已知量和未知量間的相等關系,老師板書在黑板答：第一、二車間的人數各為170人, 250人此題應請一名同學板演解答過程,其余同學在練

44、習本上自己完成,老師巡察,準時訂正同學們在解題時顯現(xiàn)的錯誤,并幫忙他們克服在解 題時遇到的困難 三、課堂練習 只列方程,不解出 投影1小蘭在玩具廠勞動,做 4個小狗、 7個小汽車用 3小時 42分,做 5 個小狗、 6個小汽車用去 3小時 37分求平均做 1個小狗與 1個小汽車各用 多少時間？2一條貨船的載重量是 680噸,貨艙載貨容積是 3000米3,現(xiàn)在要裝 運甲、乙兩種貨,甲種貨物每噸的體積是 9米3,乙種貨物每噸的體積是 2.5米3求這兩種貨物各裝多少噸才能最大限度地利用這條船的載重量及 載貨容積？提示：“ 最大限度的利用這條船的載重量及載貨容積” 是指甲、乙 兩種貨物重量的總和等于

45、680噸,體積總和等于 3000米33某農廠用一臺大型拖拉機和4臺手扶拖拉機耕田, 一天共耕了 250畝另外有一塊 300畝的田, 用2臺大型拖拉機和 3臺手扶拖拉機也是剛好 1天耕完問每臺大型拖拉機和手扶拖拉機每天各耕田多少畝？四、師生共同小結 在師生共同回憶本節(jié)課所學內容的基礎上,老師指出,對應用題應 進行透徹的分析, 弄清題目中的各種數量的實際意義及它們之間的關系,并能用式子把這種關系表示出來以便正確地找出應用題中存在的兩個 相等關系,這是正確地布列二元一次方程組解應用題的關鍵五、作業(yè) 1班里買了 35張劇票,共用 25元其中甲種票每張 8角,乙種票每 張6角問甲、乙兩種票各買多少張？2

46、運往某地的一批化肥第一批 360噸,需用 6節(jié)火車皮加上 15輛汽 車；其次批 440噸,需用 8節(jié)火車皮加上 10輛汽車問每節(jié)火車皮與每輛 汽車平均各裝多少噸？3一個長方形的周長是 108厘米,長比寬的 2倍多6厘米,求長與寬 各是多少？4甲、乙兩人做同樣的機器零件 如甲先做 1天,乙再開頭做 5天后,兩人做的零件同樣多如甲先做 30個,乙再開頭做, 4天后,乙反而多做 了10個求兩人每天各做多少個零件？5學校辦了小儲蓄所開學時,李英存了 20元,王建存了 14元,以 后李英每月存 2元,王建每月存 3.5元,經過幾個月,李英、王建的存款 數相等？這時兩人的存款數都是多少？第10節(jié) 一次方程

47、組的應用 二教學目標1使同學學會分析有關盈虧問題中的已知量和未知量間的關系,布列方程組；并2通過本節(jié)課的教學, 進一步培育同學分析問題和解決問題的才能教學重點和難點 正確懂得并善于應用盈虧問題中的基本等量關系課堂教學過程設計 一、從同學原有的認知結構提出問題 在解決實際問題中,我們常常遇到量與量間的“ 多與少” ,“ 超額 與相差” ,“ 提前與耽擱” ,“ 快與慢” 等概念當列方程表示它們的 等量間關系時,是不是“ 多” 的關系肯定就是“ 加” ？“ 少” 的肯定就 是“ 減” 呢？其實不然要想正確的表達,關鍵要弄清晰一量的“ 多”或“ 少” 是相對于哪個量而言的問題：表達以下各語句所涉及的

48、各量間的關系建立關系,并回答,題目均用投影打出 由同學獨立摸索,1庫存的化肥都給一塊麥田施肥后仍缺250千克=所需化肥千克數 =庫存化肥千克數 +250千克,或庫存化肥千克數 所需化肥千克數 -250千克 2一列貨車裝運一批貨物,滿載后,仍有 該批貨物噸數 =貨車載重量 +4噸；貨車載重量 =該批貨物噸數 -4噸4噸貨物裝不下3由于采納了先進的操作方法,車間 9月份比原方案提前兩天完成 了任務 實際完成任務所用天數 =原方案完成任務所用天數-2天；原方案完成任務所用的天數 =實際完成任務所用天數 +2天 4由于新技術的引入,工作效率大大提高,一周就超額完成 35個零 件實際完成零件數 =方案定

49、額零件數 +35個；方案定額零件數 =實際完 成零件數 -35個 5由于下暴雨,列車到站晚點兩小時 實際所用時間小時數 =方案所用時間小時數 +2小時；方案所用時間 小時數 =實際所用時間小時數 -2小時 通過師生對上述問題的爭論, 老師提出：“ 多” 的關系不肯定是“ 加” ,而“ 少” 的東西不肯定是“ 減” ,要看“ 多” 的是誰相對于誰“ 多” ,“ 少” 是誰相對于誰“ 少” 二、講授新課 本節(jié)課我們來學習列二元一次方程組解決有關盈虧問題例 1某單位外出參觀如每輛汽車坐45人,那么 15人沒有座位；如每輛汽車坐 60人,就空出一輛汽車,問共需幾輛汽車, 該單位有多少人？啟示同學分析摸

50、索如下：1題目中的已知條件是什么？2“ 有人沒有座位” 是指什么意思？“ 有空座位” 是指什么意思？3基于上述分析,那么已知條件“ 每輛車坐 45人, 15人沒有座位”可懂得成什么？“ 每輛車坐 60人,空出一輛車” 又可懂得成什么？由同學通過上述分析,自己設未知數,列方程組求解,老師請一名 同學板演解題過程 解： 設該單位共有 x輛車, y個人依題意,得答：該單位共有 5輛車, 240人針對此題的分析可提出以下問題：1. 路程、速度、時間三者關系是什么？2. 此題中的“ 延誤” 和“ 提前” 都是以什么為標準的？經過以上分析,讓同學在練習本上自己設未知數,列方程組求解,老師將解題過程寫在黑板

51、上 解： 設甲、乙兩地的距離為 x千米,原方案行駛時間為 y小時依題 意,得三、課堂練習 只列方程,不求出用投影將題目打出 1某農場用庫存化肥給麥田施肥如每畝施肥6千克,就缺少化肥200千克；如每畝施肥 5千克,又剩余 300千克問該農場有多少畝麥田？庫存化肥多少千克？2某班同學去旅行,要住旅社如每個房間住 4人,就有 13人沒有 房間??；如每個房間住 5人,就仍缺少一個房間 求：旅社有多少個房間,有同學多少人？3某車間預定方案生產一批零件,如按原方案每天生產 30個,就只 能完成任少任務？這批零件有多少個？四、師生共同小結 在師生共同回憶本節(jié)課所學內容的基礎上,老師指出：盈虧問題存 在的“

52、多” 、“ 少” 等關系,列方程時到底是用加法仍是用減法,關鍵 是搞清哪個量相對于哪個量而言的,其標準是什么五、作業(yè)1預備如干節(jié)車皮裝運一批貨物假如每節(jié)裝15.5噸,就有 4噸裝不下；假如每節(jié)裝 16.5噸,就仍可多裝 8噸問要多少節(jié)車皮？貨物有多 少噸？2食堂存煤如每天用 130千克,按估計天數運算就缺少 60千克；如每天用 120千克,就到估計天數后仍可以剩余 60千克問食堂存煤多 少？估計用多少天？3一輛汽車從 A地動身,向東行駛,途中要過一座橋使用相同的 時間,如車速是每小時行 60千米,就能越過橋 2千米；如車速是每小時 50 千米,就差 3千米才到橋問 A地與橋相距多遠？用了多少時

53、間？課堂教學設計說明 本節(jié)課的開頭部分設計了一組問答題,其目的是使同學通過分析、摸索回答疑題,弄懂一量相對于另一量的“ 多少” 關系從而對這一類 問題有肯定的熟識,為后面例題部分的綻開學習奠定了基礎第11節(jié) 一次方程組的應用 三教學目標 1使同學學會分析有關行程問題中已知量與未知量間的關系,并會 列一次方程組解應用題；2通過本節(jié)課的教學, 進一步培育同學分析問題和解決問題的才能教學重點和難點 正確懂得并善于應用行程問題中的基本等量關系課堂教學過程設計 一、從同學原有的認知結構提出問題 在解決實際問題中,我們常常遇到有關行程的問題行程問題中所 涉及的“ 路程、速度、時間” 等量間的關系,以及“

54、相遇” 、“ 追及”中的數量關系,是我們必需要搞清晰的問題1行程問題中“ 路程、速度、時間” 這三者間的數量關系是什么？2相遇問題中存在的相等關系是什么？相遇時兩者所走的路程之和=原先兩者之間的路程 3追及問題中存在的相等關系是什么？快慢兩者所走的路程之差 =原先兩者間的路程 4環(huán)形跑道上的相遇問題 追及問題 中存在的相等關系是什么？兩次相遇間兩者所走的路程之和差=跑道一圈的路程 5航行問題中的基本關系是什么？順水速度 =靜水速度 +水流速度；逆水速度 =靜水速度 -水流速度 6投影在相距 55千米的 A,B兩地有甲、乙兩人他們的行走速度 分別是每小時 v1千米和每小時 v2千米且 v1v2.

55、1當兩人同時相向而行時, 10小時后兩人相遇2當兩人同時同向而行時, 25小時后甲追上乙將上述問題中路程、速度、時間三者之間的數量關系表示出來答： 1如圖2如圖7投影 在全程 150千米的環(huán)城大路上有兩輛汽車,它們的行駛速度分別是每小時 v1千米和每小時 v2千米,其中 v1v2.1當兩車同時同地背道而行時,3小時后兩車相遇；2當兩車同時同地同向而行時,7小時后快車追上了慢車將上述問題中的路程、速度、時間三者之間的數量關系表示出來答： 1如下圖 1：150=3v1+3v22如下圖 2：7v1-7v2=150二、講授新課例 1 A,B兩地相距20千米甲、乙兩人分別從 A,B兩地同時相向而行,兩小

56、時后在途中相遇, 然后甲返回 A地,乙仍連續(xù)前進,當甲回 到A地時,乙離 A地仍有 2千米求甲、乙的速度分析：這個問題是直線行駛中的相遇追及問題甲、乙各自的速度,有兩個相等關系即1相向而行：甲、乙的行程和 =20千米2同向而行：甲的行程 -乙的行程 =2千米其中有兩個未知數：讓同學自己設未知數,列方程組求解老師提問一同學并板書解題 過程 解：設甲人的速度是每小時行 x千米,乙人的速度是每小時 y千米依題意,得例 2 甲、乙兩人在周長是 400米的環(huán)形跑道上漫步如兩人從同地 同時背道而行,就經過 2分鐘就相遇如兩人從同地同時同向而行,就經 過20分鐘后兩人相遇已知甲的速度較快,求二人漫步時的速度

57、只列 方程,不求出 分析： 這個問題是環(huán)形線上的相遇、追及問題其中有兩個未知數：甲、乙二人各自的速度有兩個相等關系,即1背向而行：兩次相遇間甲、乙的行程之和 2同向而行：兩次相遇間甲、乙的行程之差=400米；=400米讓同學自己設未知數,列方程組,老師請一名同學將自己所列的方 程組寫在黑板上 解：設甲人速度為每分鐘 x米,乙人速度為每分鐘行走 y米依題意,得三、課堂練習 只列方程,不解出用投影給出 1兩人騎自行車繞 800米長的環(huán)形跑道行駛, 他們從同一地點動身,假如方向相反,每 1分20秒相遇一次假如方向相同,每 次求各人的速度13分20秒相遇一2已知某一鐵路橋長 1000米現(xiàn)有一列火車從橋

58、上通過,測得火車從開頭上橋到完全過橋共用1分鐘,整列火車完全在橋上的時間為40秒鐘求火車速度對于學習成果較好的同學,可讓他們完整地寫出解題過程 四、師生共同小結在師生共同回憶了本節(jié)課所學內容的基礎上,老師指出,與行程有 關的問題有時是在路程上找等量關系,有時是在時間或速度上找等量關 系五、作業(yè) 1甲、乙兩人從相距 28千米的兩地同時相向動身經過 3小時 30分 鐘相遇如乙先動身 2小時,那么甲動身 2小時 45分鐘后相遇問甲、乙 兩人每小時各走多少千米？2兩個物體在周長等于 100米的圓周上運動假如同向運動,那么 它們每隔 20秒鐘相遇一次如相向運動,就它們每隔 4秒鐘相遇一次求 每個物體的速

59、度3兩地相距 280千米,一艘輪船在其間航行順流用了 流用了 20小時求這艘輪船在靜水中的速度和水流速度14小時,逆第12節(jié)一次方程組的應用 四教學目標題；1使同學學會利用三元一次方程組求解含有三個未知數的應用問2通過實際問題向數學問題的轉化,進一步培育同學分析問題、解 決問題的才能教學重點和難點重點：依據已知量與未知量間的等量關系布列方程組難點：分析實際問題中的等量關系課堂教學過程設計 一、從同學原有的認知結構提出問題 問題：汽車在平路上每小時走 30千米,上坡路每小時走 28千米,下坡路每 小時走 35千米現(xiàn)在走 142千米的路程,去用了 4小時 30分鐘,回來時用 下坡路各有 了4小時4

60、2分鐘問這段路中平路有多少千米？去時上坡路、多少千米？分析： 題中存在兩個等量關系：去時用了 用了4小時42分鐘4小時30分鐘；回來時由同學自己設未知數,列方程組求解請一名同學在黑板上板演列 方程組部分 解： 設去時上坡路有 x千米,下坡路有 y千米就平路有 142-x-y千 米,依題意,得解方程組的過程略 二、講授新課 結合同學對上述問題的解答,老師指出：我們是利用二元一次方程 組求解上面的問題,那么是否仍有其他方法解這個問題呢？讓同學自己動手動腦,老師巡察,如有的同學已列出了三元一次方 程,請該同學在黑板上板演如沒有,老師可引導同學摸索：要求三個 數,是否可設三個未知數列方程組求解呢？由同