2020年高考理科數(shù)學《排列組合》題型歸納與訓練

1、2020年高考理科數(shù)學排列組合題型歸納與訓練【題型歸納】例1某校開設A類選修課2門，B類選修課3門，一位同學從中選3門.若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有A3種B6種C9種D18種【答案】C.【解析】可分以下2種情況：A類選修課選1門，B類選修課選2門，有C2C32=6種不同的選法；A類選修課選2門，B類選修課選1門，有CC3=3種不同的選法.所以根據(jù)分類計數(shù)原理知不同的選法共有6+3=9種故要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有9種故選：C【易錯點】注意先分類再分步【思維點撥】兩類課程中各至少選一門，包含兩種情況：A類選修課選1門，B類選修課選2門；A類選修課選2門，B類選

2、修課選1門，寫出組合數(shù)，根據(jù)分類計數(shù)原理得到結果.題型二特殊元素以及特殊位置例1將A,B,C,D,E,F六個字母排成一排，且A,B均在C的同側，則不同的排法有（）種.（用數(shù)字作答）【答案】480【解析】考慮到A,B,C要求有順序地排列，所以將這三個字母當作特殊元素對待。先排D,E,F三個字母，有A3=120種排法；再考慮A,B,C的情況：C在最左端有2種排法，最右端也是26種排法，所以答案是120 x4=480種.【易錯點】注意特殊元素的考慮【思維點撥】對于特殊元素與特殊位置的考量，需要瞻前顧后，分析清楚情況，做到“不重復不遺漏”；如果情況過于復雜，能夠考慮列舉法，雖然形式上更細碎一些，但是情

3、況分的越多越細微，每種情況越簡單，準確度就越高.題型三捆綁型問題以及不相鄰問題例1由1，2，3，4，5，6組成沒有重復數(shù)字且1，3都不與5相鄰的六位偶數(shù)的個數(shù)是（）個.A72種B96種C108種D144種【答案】C【解析】要求是偶數(shù)，所以先確定末尾數(shù)字，有2，4，6一共3種情況；然后再確定5這個特殊數(shù)字的位置，本身有5種情況，但是考慮到要與1，3不相鄰，所以根據(jù)5的左右兩側情況，分為5這個特殊數(shù)字在十萬位以及十位（只有1個相鄰的位置），以及其它的3個位置；然后再考慮后面的情況分析清楚情況后，答案就出來了：C1（C1C1A3+C1A2A2）=108種.3223322【易錯點】需要考慮到不同位置對

4、于后面步驟的不同影響，實行分類討論.【思維點撥】對于相鄰問題的捆綁法，以及不相鄰問題的隔離法，需要考慮到先分類再分步的基本原則，以及瞻前顧后的原則，需要考慮到選擇的不同帶來的對于后續(xù)安排的不同影響.對于本題，5這個數(shù)字本身有五種安排方法，但是需要注意到五個位置帶來的，相鄰位置的不同：如果5這個數(shù)字在首位，以及在十位時，只有1個鄰位；但是如果在其它位置，就有兩個鄰位，所以需要分開討論.【鞏固訓練】題型一計數(shù)原理的基本應用1如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓能夠選擇的最短路徑條數(shù)為A.24種B.18種C.12種D.9種【答案】

5、B【解析】這是個分步計數(shù)的靈活應用。注意一下問題的分析，從E到F的步驟，水平方向的情況確定了，整體的路徑也就確定了。水平方向如果沿一條路，有3種可能；如果沿兩條路，有3種可能（注意因為要求最短路徑，所以沒有順序）：所以從E到F有3+3=6種情況；而從F到G有3種可能，所以可能的情況一共有3*6=18種情況。安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同的安排方式共有（）A.12種B.18種C.24種D.36種【答案】D【解析】首先確定事情如何安排：要滿足條件要求，得有1個人選擇2項工作哪兩項工作C2,4哪個人來做Ci，剩下2個人2項工作A2:所以總的安排形式共有C2C

6、iA2=36種情況.TOC o 1-5 h z32432將2名教師，4名學生分成2個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，每個小組由1名教師和2名學生組成，不同的安排方案共有（）A.12種B.10種C.9種D.8種【答案】A【解析】首先確定事情如何安排：安排好甲地的情況，乙地也就唯一確定了.對于甲地的安排，需要1名教師2名學生，所以共有CiC2=12種情況.24題型二特殊元素以及特殊位置將數(shù)字“124467”重新排列后得到不同的偶數(shù)的個數(shù)為A.72種B.120種C.192種D.240種【答案】D【解析】注意到題中要求得到的是偶數(shù)，所以特殊位置為末位，要求末位是個偶數(shù)；另外注意到題中給出的

7、數(shù)字，有兩個4，所以需要考慮到特殊元素4以及特殊位置末位；如果末位數(shù)字為4,則前面元素能夠任意排列，共有A5=120種情況；如果末位數(shù)字不是4,則必然是2,56中選擇1個，前面的數(shù)字中，兩個4是沒有先后順序的，或者只排列剩余的3個數(shù)字即可，所以有C1A3=120種情況；兩者合在一起，所以最后的答案為D25我們把各位數(shù)字之和為7的四位數(shù)稱為“北斗數(shù)”（如2014是“北斗數(shù)”），則“北斗數(shù)”中千位為2的共有（）個.【答案】21【解析】給出的是個新定義，但是難度不大，需要認真讀題仔細分析。千位為2，要求后三位的和為5，三個數(shù)都相同的不存有，有兩位相同的005，113，221，考慮先安排特殊的元素（如

8、005為例，5的位置有3種情況，5排定后，就唯一確定了，所以有3種情況）各有3種，所以有3*3=9種情況；三個元素都不相同的有014,023兩種，實行全排列，各有A3=6種情況，3共有2*6=12種情況。綜合可知，符合要求的所謂“北斗數(shù)”共有9+12=21種情況.某天下午要排物理，化學，生物和兩節(jié)自習課共5節(jié)課，如果第一節(jié)不排生物，最后一節(jié)不排物理，那么不同的排法共有（）A.36種B.39種C.60種D.78種【答案】B【解析】注意到特殊元素有生物，物理，以及自習課（2節(jié)），特殊位置是第一節(jié)和最后一節(jié).所以首先考慮事情如何安排，物理，化學，生物確定后，自習課也就唯一確定了.所以先安排課程，尤其

9、是特殊的課程.首先安排生物，第一節(jié)不排，所以共有4種，但考慮到最后一節(jié)屬于特殊位置，所以分成兩種情況：生物課排在中間位置，有3種情況，再安排物理，有3種情況，再安排化學，有3種情況，自習課也就唯一確定了，所以這種情況的可能性有3*3*3=27種情況；如果生物課安排在最后一節(jié)，物理，化學就能夠任意排列了，所以有A2=4*3=12種4可能.所以共有27+12=39種情況.題型三捆綁型問題以及不相鄰問題1.紅海行動是一部現(xiàn)代化海軍題材影片，該片講述了中國海軍“蛟龍突擊隊”奉命執(zhí)行撒僑任務的故事.撒僑過程中，海軍艦長要求隊員們依次完成六項任務，并對任務的順序提出了如下要求：重點任務A必須排在前三位，且

10、任務E、F必須排在一起，則這六項任務的不同安排方案共有（）A.240種B.188種C.156種D.120種【答案】D【解析】考慮到特殊元素A、E、F以及特殊位置前三位，所以首先規(guī)劃事件的安排：能夠先分析特殊元素A，考慮到要求E、F相鄰以及前三位情況比較少，所以能夠列舉法：A在首位時，E、F有4種情況，再加上能夠調換位置，所以有4*2=8種情況，余下的三個元素實行全排列A3=6種情況，所以共有8*6=48種情況；同樣，A在第二位時的情況有3*2*A3=36種33情況；A在第三位時的情況有3*2*A3=36種情況；所以不同的安排方案共有48+36+36=1203種情況也能夠先考慮E、F的情況，因為

11、要求E、F必須排在一起，所以共有5種情況，但注意到這5種情況有些屬于一類的，考慮到是不是占了前三位的位置，所以分為三種情況（一二位和二三位情況相同，三四位一種情況，四五位和五六位情況相同），以一二位為例，E、F能夠調換位置，有2種情況，A只有1種情況，余下的三個位置實行全排列，所以共有2*1*A33=12種情況；同樣E、F排在三四位有2*2*A3=24種情況；E、F排在四五位有2*3*A3=3633種情況；所以共有12*2+24+36*2=120種情況.2.將甲、乙、丙、丁四名學生分到三個不同的班，每個班至少分到一名學生，且甲、乙兩名學生不能分到同一個班，則不同分法的種數(shù)為（）A18B24C3

12、0D36【答案】C【解析】4個人分到3個班，必然有2個人在一起，共有C2=6種情況；要求甲、乙兩名學生4不能分到同一個班，再排除1種，所以有5種情況，再實行全排列，所以不同分法的種數(shù)為（C2-1）A3=30種情況.433.7個人排成一列，其中甲乙兩人相鄰且與丙不相鄰的方法總數(shù)是（）.（結果用數(shù)字表示）【答案】960【解析】因為要求甲乙兩人相鄰，所以能夠用捆綁法；因為與丙不相鄰，所以需要考慮到甲乙的相鄰位置，這樣就得分情況討論，如果甲乙在首位或者末位，則相鄰位置只有1個；如果在中間的話，相鄰位置有2個，所以總的情況有2*3*A4*4+2*4*A4*2=576+384=960個.44題型四染色問題

13、【問題提出】如圖1在四個相鄰區(qū)域A，B，C，D中，給每一區(qū)域染色，每一個區(qū)域中染同一種顏色，但相鄰的區(qū)域顏色不能相同，一共有4種顏色，如果顏色能夠反復使用，請問有幾種不同的染色方法？【問題拓展1】用紅、黃、藍、白、黑五種顏色染在“田”字形的四個小方格內（圖2），每格染一種顏色，相鄰的兩格染不同的顏色，如果顏色能夠反復使用，共有多少種不同的染色方法？【問題拓展2】用m（m4）種顏色染在“田”字形的四個小方格內（圖2），每格染一種顏色，相鄰的兩格染不同的顏色，如果顏色能夠反復使用，共有多少種不同的染色方案？【問題拓展3】要用4種顏色給四川、青藏、西藏、云南四省的地圖染色（圖3）每一省份用一種顏色，要求相鄰的省份不同色，如果顏色能夠反復使用，則不同的染色方法有種(染色問題部分答案：84260m(m-1)(m2-3m+3)48種)僅有B、D區(qū)域顏色相同第一步給區(qū)域B、D染色時，有m種顏色能夠選擇；第二步給區(qū)域A染色時，還剩(m-1)種顏色能夠選擇；第三步給區(qū)域C染色時，還剩(m-2)種顏色選擇.所以B、D區(qū)域顏色相同時一共有：m(m-1)(m-2)種染法；即A、C區(qū)域顏色相同或B、D區(qū)域顏色相同，其他區(qū)域各不相同時共有m(m-1)(m-2)+m(m-1)(m-2)=2m(m-1)(m-2)種染法.方案(三)用兩種顏色即：A、C區(qū)域染色相同，B、D區(qū)域顏色