論級(jí)數(shù)求和的解題策略開題報(bào)告

1、論級(jí)數(shù)求和的解題策略開題報(bào)告開題報(bào)告論級(jí)數(shù)求和的解題策略一、選題的背景、意義級(jí)數(shù)理論是數(shù)學(xué)研究的重要對(duì)象，它不但在日常的生產(chǎn)、生活中都有廣泛 的應(yīng)用，而且還是研究函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的有力工具。其中級(jí)數(shù)求和是級(jí)數(shù) 理論的基本問題之一，也是較難解決的問題，因?yàn)槌缺燃?jí)數(shù)、等差級(jí)數(shù)等一些常 見的特殊級(jí)數(shù)外，一般級(jí)數(shù)都難以求出它的部分和，所以級(jí)數(shù)求和的方法比較靈 活，技巧性也比較強(qiáng)，因此懂得一些解題策略和掌握一些解題方法也就顯得尤為 重要。無窮級(jí)數(shù)出現(xiàn)的很早，往往都是出現(xiàn)在對(duì)個(gè)別問題的研究中。到了中世紀(jì)， 無窮級(jí)數(shù)引起了當(dāng)時(shí)哲學(xué)家與數(shù)學(xué)家的興趣。17世紀(jì)微積分誕生之后，無窮級(jí)數(shù) 作為一種工具在數(shù)學(xué)的

2、前進(jìn)中起到了巨大的推動(dòng)作用。為了把早期的微積分方法應(yīng)用于超越函數(shù)，常常需要把這些函數(shù)表示為可以逐項(xiàng)微分或積分的無窮級(jí)數(shù)，泰勒定理為此做出了貢獻(xiàn)。將函數(shù)展成無窮級(jí)數(shù)之后，人們又在考慮這個(gè)問題的 逆問題，即級(jí)數(shù)的求和問題1。現(xiàn)今數(shù)學(xué)理論的學(xué)習(xí)與研究中，無窮級(jí)數(shù)也是一個(gè)有效工具，無窮級(jí)數(shù)求 和更是一塊重要內(nèi)容，它促使數(shù)學(xué)家在數(shù)學(xué)發(fā)展上進(jìn)行大膽的嘗試 ，雖然產(chǎn)生許 多悖論，但使數(shù)學(xué)產(chǎn)生了很多分支，豐富了數(shù)學(xué)理論的發(fā)展。經(jīng)過歷史的研究與發(fā) 展，結(jié)合歷史上大量數(shù)學(xué)家的研究理論與所得結(jié)論。當(dāng)今學(xué)者還對(duì)級(jí)數(shù)問題與級(jí)數(shù)求和問題都做出了深入的考察與進(jìn)一步的探究 ，創(chuàng)造性地提出了許多級(jí)數(shù)求和 的策略與方法。止匕外，

3、發(fā)散級(jí)數(shù)在天文、物理上的廣泛應(yīng)用，推動(dòng)了人類發(fā)展的進(jìn) 步。二、研究的基本內(nèi)容與擬解決的主要問題本課題嘗試對(duì)級(jí)數(shù)求和問題策略方法及理論邏輯進(jìn)行歸納梳理，并通過深 入理解、構(gòu)造、舉例從多方面、各角度對(duì)各類級(jí)數(shù)求和的思維轉(zhuǎn)化策略及問 題轉(zhuǎn)化的技巧作出大膽的研究和探索。（一）、利用收斂定義求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和：由級(jí)數(shù)收斂定義，若數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分?jǐn)?shù)列收斂于（即），則稱數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，稱 為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和（即）2其要點(diǎn)即求部分和，而求的方法有：1、形如的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)可用待定系數(shù)法（即交差相消法）來求3;2、當(dāng)求較困難時(shí)，可用先求和（為適當(dāng)系數(shù)）的分項(xiàng)相減法（即錯(cuò)位相減法） 來求3;3、利用熟悉的等差、等比數(shù)列及三角公式等

4、來求4。（二）、利用幕級(jí)數(shù)求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和：找一個(gè)適當(dāng)?shù)哪患?jí)數(shù)，使收斂域內(nèi)某一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)恰好為所要求的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，因此可以借助幕級(jí)數(shù)的和函數(shù)求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和，即求出幕級(jí)數(shù)的和函數(shù)，則有5。（三）、利用傅里葉級(jí)數(shù)求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和：1、將函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)；2、將函數(shù)經(jīng)奇（偶）延拓后展開成正弦（余弦）級(jí)數(shù)， TOC o 1-5 h z 再將某些指定點(diǎn)代入展開式中即可得到所要求的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和4 o（四）、利用遞推公式求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和：1、利用已知恒等式，如函數(shù)函數(shù)，華利斯公式等6;2、通過推導(dǎo)證明得到的一些固定的有趣的求和公式7。（五）、利用微分方程求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和：即某些數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和可通過一個(gè)引進(jìn)的輔

5、助的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，來構(gòu)造級(jí)數(shù)所滿 足的微分方程，然后解這個(gè)微分方程就可得到所要求的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和8。（六）、通過求導(dǎo)求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和：即可利用多項(xiàng)式導(dǎo)算子計(jì)算幕級(jí)數(shù)和數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和9。（七）、利用差分法求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和：即通過介紹差分的定義及性質(zhì)10,求一般項(xiàng)級(jí)數(shù)和某些系數(shù)為多項(xiàng)式的幕 級(jí)數(shù)的和11。（八）、利用概率組合求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和：即運(yùn)用概率知識(shí)，構(gòu)造適當(dāng)?shù)母怕誓Ｐ停龠\(yùn)用概率論的有關(guān)性質(zhì)、公式、結(jié) 論和數(shù)學(xué)特征，計(jì)算出所構(gòu)造模型中相關(guān)事件的概率，進(jìn)而推導(dǎo)出某些組合恒等 式12,并可對(duì)組合數(shù)公式進(jìn)行深入探討，得到新性質(zhì)并通過對(duì)其恒等式變形，來 求得數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和13。三、研究的方法與技術(shù)路線、研究難點(diǎn)

6、，預(yù)期達(dá)到的目標(biāo)1、研究方法本課題通過大量閱讀有關(guān)文獻(xiàn)資料，查閱、研究已有的成果，并對(duì)已有的結(jié) 果進(jìn)行系統(tǒng)地歸納總結(jié)并加以深入研究和探索推廣整理，來增強(qiáng)我們洞察級(jí)數(shù)問 題的能力，提高我們解答級(jí)數(shù)求和問題的速度與準(zhǔn)確率。2、研究難點(diǎn)1數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)功底不夠扎實(shí)、全面，對(duì)有些實(shí)際例子中的概念不是特別的消 晰；有些不常用的知識(shí)點(diǎn)運(yùn)用不夠熟練，甚至遺忘；還有可能在研究的過程中會(huì)運(yùn) 用到我們所沒有學(xué)習(xí)到的知識(shí)。2所討論的級(jí)數(shù)求和的策略與方法之間不是孤立的，往往相互滲透、共同 作用才能解決問題，需要我們能熟練并靈活地掌握，并反復(fù)思考，深入挖掘其本 質(zhì)。3有些級(jí)數(shù)求和公式的證明比較抽象，比較困難。3、預(yù)期達(dá)到的目

7、標(biāo)本課題對(duì)級(jí)數(shù)、級(jí)數(shù)收斂及級(jí)數(shù)求和有關(guān)性質(zhì)、內(nèi)容等進(jìn)行探討，并對(duì)一些公式及結(jié)論進(jìn)行證明。從多方面、各角度，如利用收斂定義、幕級(jí)數(shù)、傅里葉 級(jí)數(shù)、遞推公式、微分方程、求導(dǎo)、差分法及概率組合等對(duì)各類級(jí)數(shù)求和的思維 轉(zhuǎn)化策略及問題轉(zhuǎn)化的技巧作出大膽的研究和探索，并作出較完整地呈現(xiàn)。在已有的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上，對(duì)前人研究結(jié)果的參考學(xué)習(xí)、理解分析、歸納總結(jié)與推廣探究， 使在提高解題效率與準(zhǔn)確率的同時(shí)對(duì)級(jí)數(shù)求和問題上有更開寬闊創(chuàng)新的思維，并做出更深一步的研究，提出更進(jìn)一步的理論。四、論文詳細(xì)工作進(jìn)度和安排1、2010-11-18至2011-01-06收集、閱讀大量文獻(xiàn)，完成文獻(xiàn)綜述，外文翻 譯，并整理、分析文獻(xiàn)，

8、對(duì)其歸納、總結(jié)、思考后進(jìn)行論文構(gòu)思，完成開題報(bào)告；2、2011-02-21至2011-03-20仔細(xì)研讀、分析資料，理清文章脈絡(luò)，完成初 稿；3、2011-03-21至2011-04-20積極與導(dǎo)師交流，在導(dǎo)師的指導(dǎo)下完成第一次修改；4、2011-04-21至2011-05-20反復(fù)與導(dǎo)師交流，在導(dǎo)師的指導(dǎo)下完成第二次 修改并定稿；5、2011-05-21至2011-05-23對(duì)論文進(jìn)行深入研究，彌補(bǔ)不足之處，最后定 稿，準(zhǔn)備論文答辯。五、主要參考文獻(xiàn)：1美莫里斯？克萊因，古今數(shù)學(xué)思想，上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，20022華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析M,北京:高等教育出版社， 2001.3康國(guó)強(qiáng)、

9、華守亮，數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的求和問題初探J,殷都學(xué)刊（自然科學(xué) 版）,1998年12月，第六卷:3-54于乃福，數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和法J,山東紡織工學(xué)院學(xué)報(bào),1989年3月，第 四卷（第1期）:75-805仲濟(jì)？，級(jí)數(shù)求和的解題策略J,高等數(shù)學(xué)研究,2006年5月，第九卷（第 3 期）:36-386郭定根，數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和的若干方法J,湘潭師范學(xué)院學(xué)報(bào)，1991年6 月，第十二卷（第3期）:76-817湯光宋，幾類有趣分式型數(shù)列的求和公式J,大慶高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào),1998年12月，第十八卷（第4期）:11-158潘天娟，利用解微分方程求無窮級(jí)數(shù)的和J,金華職業(yè)技術(shù)學(xué)報(bào),2006年2月，第六卷（第1期）:89-909

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