磁場區(qū)域的最小面積問題202209

1、磁場區(qū)域的最小面積問題考題中屢次出現(xiàn)求磁場的最小范圍問題，這類題對學生的平面幾何知識與物理知識的綜合運用能力要求較高。其難點在于帶電粒子的運動軌跡不是完整的圓，其進入邊界未知的磁場后一般只運動一段圓弧后就飛出磁場邊界，運動過程中的臨界點如運動形式的轉(zhuǎn)折點、軌跡的切點、磁場的邊界點等難以確定。下面我們以實例對此類問題進行分析。一、磁場范圍為圓形1、一帶電質(zhì)點，質(zhì)量為m，電荷量為q，以平行于x軸的速度v從y軸上的a點射入如下圖的第一象限所示的區(qū)域、為了使該質(zhì)點能從x軸上的b點以垂直于x軸的速度v射出，可在適當?shù)胤郊右粋€垂直于xOy平面磁感應強度為B的勻強磁場假設此磁場僅分布在一個圓形區(qū)域內(nèi)，試求這

2、個圓形磁場區(qū)域的最小半徑，重力忽略不計2、2022北京朝陽一模，23題18分如下圖，在真空室中平面直角坐標系的y軸豎直向上，x軸上的P點與Q點關于坐標原點O對稱，PQ間的距離d=30cm。坐標系所在空間存在一勻強電場，場強的大小E=1.0N/C。一帶電油滴在xOy平面內(nèi)，從P點與x軸成30的夾角射出，該油滴將做勻速直線運動，油滴的速度v=2.0m/s射出，所帶電荷量q=1.010-7C，重力加速度為g=10m/s2。1求油滴的質(zhì)量m。2假設在空間疊加一個垂直于xOy平面的圓形有界勻強磁場，使油滴通過Q點，且其運動軌跡關于y軸對稱。磁場的磁感應強度大小為B=2.0T，求：a油滴在磁場中運動的時間

3、t；b圓形磁場區(qū)域的最小面積S。2、【答案】見解析【 解析】1對帶電油滴進行受力分析，根據(jù)牛頓運動定律有所以kg4分2帶電油滴進入勻強磁場，其軌跡如下圖，設其做勻速圓周運動設圓周運動的半徑為R、運動周期為T、油滴在磁場中運動的時間為t，根據(jù)牛頓第二定律： 所以m 所以s設帶電油滴從M點進入磁場，從N點射出磁場，由于油滴的運動軌跡關于y軸對稱，如下圖，根據(jù)幾何關系可知，所以，帶電油滴在磁場中運動的時間s 由題意可知，油滴在P到M和N到Q的過程中做勻速直線運動，且運動時間相等。根據(jù)幾何關系可知，所以油滴在P到M和N到Q過程中的運動時間s 那么油滴從P到Q運動的時間s8分3連接MN，當MN為圓形磁場

4、的直徑時，圓形磁場面積最小，如下圖。根據(jù)幾何關系圓形磁場的半徑m其面積為m2 m2 6分3、一質(zhì)量為m、帶電量為q的粒子以速度v0從O點沿y軸的正方向射入磁感強度為B的一圓形勻強磁場區(qū)域，磁場方向垂直于紙面，粒子飛出磁場區(qū)域后，從b處穿過x軸，速度方向與x軸正方向夾角為30，如下圖，粒子的重力不計，試求：圓形磁場區(qū)域的最小面積。粒子從O點進入磁場區(qū)域到達b點所經(jīng)歷的時間。b點的坐標。 解析：此題可以這樣作軌跡示意圖：反向延長過b點的速度線為了方便以下稱為vt線與v0線的延長線相交成一夾角，做該角的角平分線交x軸于O1點，O1點就是粒子作圓周運動的圓心。過O1點作vt線的垂線O1B，連接OB交前

5、面所作角平分線于O2點，O2點就是所求最小圓形磁場區(qū)域的圓心，OO2就是該圓形磁場區(qū)域的半徑，如下圖。設帶電粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動的軌道半徑為R，由洛倫茲力提供向心力有：， 從圖6中的幾何關系可知，圓形磁場區(qū)域的半徑為：故最小面積為：。粒子從O點到A點做勻速圓周運動，速度方向偏轉(zhuǎn)了，故在此過程中所需時間為：粒子從A飛到b是勻速直線運動，令Ab長為L，那么： 粒子從A點飛到b的時間為：故粒子從O點進入磁場區(qū)域到達b點所經(jīng)歷的時間為 ： 由圖可知，b點的坐標為：，yb0。二、磁場范圍為矩形4、如下圖，直線OA與軸成角。在y范圍內(nèi)有沿軸負方向的勻強電場，在AOx范圍內(nèi)有一個矩形區(qū)域的勻強磁場

6、，該磁場區(qū)域的磁感應強度，方向垂直紙面向里。一帶電微粒電荷量，質(zhì)量，微粒在y軸上的某點以速度垂直于y軸進入勻強電場，并以速度垂直穿過直線OA，運動中經(jīng)過矩形磁場區(qū)域后，最終又垂直穿過軸。不計微粒重力，求：(結(jié)果保存兩位有效數(shù)字)1帶電微粒進入電場時的初速度多大?2帶電微粒在磁場中做圓周運動的半徑r3畫出粒子運動軌跡圖并求出最小矩形磁場區(qū)域的長和寬。解析：帶電微粒做類平拋運動 2洛侖茲力提供向心力，有 3畫出粒子的運動軌跡如下圖 設最小矩磁場區(qū)域的長為寬為，由數(shù)學知識可知 例2：如下圖，第四象限內(nèi)有互相正交的勻強電場E與勻強磁場B1，E的大小為0.5103V/m，B1大小為0.5T；第一象限的某

7、個矩形區(qū)域內(nèi)，有方向垂直于紙面向里的勻強磁場B2，磁場的下邊界與x軸重合。一個質(zhì)量m=110-14kg、電荷量q=110-10C的帶正電的微粒以某一速度v沿與y軸正方向成60角從M點沿直線運動，經(jīng)P點進入第一象限內(nèi)的磁場B2區(qū)域。一段時間后，小球經(jīng)過y軸上的N點并沿與y軸正方向成60角的方向飛出。M點的坐標為(0，-10)，N點的坐標為(0，30)，不計粒子重力，取g=10m/s2。(1)請分析判斷勻強電場E的方向并求出微粒的運動速度v；(2)勻強磁場B2為多大?(3)B2磁場區(qū)域的最小面積為多少?解析：1,所以m/sE方向如圖2,由，得T3最小面積如圖陰影局部：m2三、磁場范圍為樹葉形例1(

8、2022蘇北三市一模) (16分)如下圖的直角坐標系第、象限內(nèi)存在方向向里的勻強磁場，磁感應強度大小B=0.5T，處于坐標原點O的放射源不斷地放射出比荷C/kg的正離子，不計離子之間的相互作用。求離子在勻強磁場中運動周期；假設某時刻一群離子自原點O以不同速率沿x軸正方向射出，求經(jīng)過s時間這些離子所在位置構(gòu)成的曲線方程；xOy假設離子自原點O以相同的速率v0=2.0106m/s沿不同方向射入第象限，要求這些離子穿過磁場區(qū)域后都能平行于y軸并指向y軸正方向運動，那么題干中的勻強磁場區(qū)域應怎樣調(diào)整畫圖說明即可？并求出調(diào)整后磁場區(qū)域的最小面積。1516分解：根據(jù)牛頓第二定律 有分 運動周期分離子運動時

9、間分根據(jù)左手定那么，離子沿逆時針方向作半徑不同的圓周運動，轉(zhuǎn)過的角度均為分這些離子所在位置均在過坐標原點的同一條直線上，ORO該直線方程分離子自原點O以相同的速率v0沿不同方向射入第一象限磁場，均做逆時針方向的勻速圓周運動根據(jù)牛頓第二定律 有分 分這些離子的軌道圓心均在第二象限的四分之一圓弧AC上，欲使離子穿過磁場區(qū)域后都能平行于y軸并指向y軸正方向運動，離開磁場時的位置在以點,為圓心、半徑m的四分之一圓弧從原點起順時針轉(zhuǎn)動上，磁場區(qū)域為兩個四分之一圓的交集，如下圖分調(diào)整后磁場區(qū)域的最小面積m2分例22022北京石景山一模，24題20分如下圖的直角坐標系中，在直線x=-2l0到y(tǒng)軸區(qū)域內(nèi)存在著

10、兩個大小相等、方向相反的有界勻強電場，其中x軸上方的電場方向沿y軸負方向，x軸下方的電場方向沿y軸正方向。在電場左邊界上A-2l0，-l0到C-2l0，0區(qū)域內(nèi)的某些位置，分布著電荷量+q質(zhì)量為m的粒子。從某時刻起A點到C點間的粒子，依次以相同的速度v0沿x軸正方向射入電場。假設從A點射入的粒子，恰好從y軸上的A0，l0沿x軸正方向射出電場，其軌跡如下圖。不計粒子的重力及它們間的相互作用。 1求勻強電場的電場強度E： 2假設帶電粒子通過電場后都能沿x軸正方向運動，請推測帶電粒子在AC間的初始位置到C點的距離。 3假設以直線x=2l0上的某點為圓心的圓形區(qū)域內(nèi)，分布著垂直于xOy平面向里的勻強磁

11、場，使沿x軸正方向射出電場的粒子，經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后，都能通過直線x=2l0與圓形磁場邊界的一個交點處，而便于被收集，求磁場區(qū)域的最小半徑及相應的磁感應強度B的大小。【 解析】四、磁場范圍為三角形及其他形狀30OPAv08、如下圖，在傾角為30的斜面OA的左側(cè)有一豎直檔板，其上有一小孔P，OP=0.5m.現(xiàn)有一質(zhì)量m=410 20kg，帶電量q=+21014C的粒子，從小孔以速度v0=3104m/s水平射向磁感應強度B=0.2T、方向垂直紙面向里的一圓形磁場區(qū)域且在飛出磁場區(qū)域后能垂直打在OA面上，粒子重力不計求：1粒子在磁場中做圓周運動的半徑；2粒子在磁場中運動的時間；3圓形磁場區(qū)域的最小面積4假

12、設磁場區(qū)域為正三角形且磁場方向垂直向里，粒子運動過程中始終不碰到擋板，其他條件不變，求：此正三角形磁場區(qū)域的最小邊長。解析：1由，得：2畫出粒子的運動軌跡如圖，可知，得：30OPAv0abco160egf3無確定解，圓形面積只能無限接近4由數(shù)學知識可得： 得：9、【2022浙江聯(lián)考】如下圖，虛線MO與水平線PQ相交于O，二者夾角=30，在MO左側(cè)存在電場強度為E、方向豎直向下的勻強電場，MO右側(cè)某個區(qū)域存在磁感應強度為B、垂直紙面向里的勻強磁場，O點處在磁場的邊界上.現(xiàn)有一群質(zhì)量為m、電量為+q的帶電粒子在紙面內(nèi)以速度v()垂直于MO從O點射入磁場,所有粒子通過直線MO時，速度方向均平行于PQ

13、向左.不計粒子的重力和粒子間的相互作用力，求：1速度最大的粒子自O點射入磁場至返回水平線POQ所用的時間.2磁場區(qū)域的最小面積.3根據(jù)你以上的計算可求出粒子射到PQ上的最遠點離O的距離，請寫出該距離的大小只要寫出最遠距離的最終結(jié)果，不要求寫出解題過程【答案】(1) 或 (2) 或 (3)d= 【解析】1(11分)粒子的運動軌跡如下圖，設粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動的半徑為R，周期為T，粒子在勻強磁場中運動時間為t1那么 即 最大速度vm的粒子自N點水平飛出磁場，出磁場后做勻速運動至OM，設勻速運動的時間為t2，有： 過MO后粒子做類平拋運動，設運動的時間為，那么： 又由題知最大速度vm= 那

14、么速度最大的粒子自O進入磁場至重回水平線POQ所用的時間 (1分)解以上各式得： 或 2由題知速度大小不同的粒子均要水平通過OM，那么其飛出磁場的位置均應在ON的連線上，故磁場范圍的最小面積是速度最大的粒子在磁場中的軌跡與ON所圍成的面積。扇形的面積 的面積為： 又 聯(lián)立得：或 3(4分)粒子射到PQ上的最遠點離O的距離d= 扣2分10、(2022常州中學期中) (16分)如圖甲所示，直角坐標系中直線AB與橫軸x夾角BAO=30，AO長為a。假設在點A處有一放射源可沿BAO所夾范圍內(nèi)的各個方向放射出質(zhì)量為m、速度大小均為v、帶電量為e的電子，電子重力忽略不計。在三角形ABO內(nèi)有垂直紙面向里的勻

15、強磁場，當電子從頂點A沿AB方向射入磁場時，電子恰好從O點射出。試求：1從頂點A沿AB方向射入的電子在磁場中的運動時間t；2磁場大小、方向保持不變，改變勻強磁場分布區(qū)域，使磁場存在于三角形ABO內(nèi)的左側(cè)，要使放射出的電子穿過磁場后都垂直穿過y軸后向右運動，試求勻強磁場區(qū)域分布的最小面積S；3磁場大小、方向保持不變，現(xiàn)改變勻強磁場分布區(qū)域，使磁場存在于y軸與虛線之間，示意圖見圖乙所示，仍使放射出的電子最后都垂直穿過y軸后向右運動，試確定勻強磁場左側(cè)邊界虛線的曲線方程。解：1根據(jù)題意，電子在磁場中的運動的軌道半徑R=a由evB=mv2/a 得：B=mv/ea 由T=2m/eB t=T/6=a/3v

16、 2有界磁場的上邊界：以AB方向發(fā)射的電子在磁場中的運動軌跡與AO中垂線交點的左側(cè)圓弧 有界磁場的下邊界：以A點正上方、距A點的距離為a的點為圓心，以a為半徑的圓弧故最小磁場區(qū)域面積為： 3設在坐標x，y的點進入磁場，由相似三角形得到：圓的方程為：消去y+b，磁場邊界的方程為： yMBOx45EPv11、揭陽二模1304(18分)直角坐標系xoy界線OM兩側(cè)區(qū)域分別有如下圖電、磁場第三象限除外，勻強磁場磁感應強度為B、方向垂直紙面向外，勻強電場場強、方向沿x軸負方向。一不計重力的帶正電的粒子，從坐標原點O以速度為v、沿x軸負方向射入磁場，隨后從界線上的P點垂直電場方向進入電場，并最終飛離電、磁

17、場區(qū)域。粒子的電荷量為q，質(zhì)量為m，求：1粒子在磁場中運動的軌跡半徑R及P點的位置坐標； 2粒子在磁場中運動的時間；3粒子最終飛離電、磁場區(qū)域的位置坐標。11、18分解：1由洛侖茲力提供向心力，有： 3分 解得： 3分 如下圖，由幾何關系可知，粒子經(jīng)過界線OM的位置P的坐標為，2分yMBOx45EPvQ 2粒子在磁場中運動的周期 2分 粒子在磁場中運動的時間 2分 3粒子從P點射入電場將做類平拋運動，如下圖，有： 1分 1分 其中： 1分 聯(lián)立式解得2分 故粒子最終飛離電、磁場區(qū)域的位置坐標為1分12、(2022年浙江五校聯(lián)考) 如下圖，方向垂直紙面向里的勻強磁場的邊界，是一個半徑為r的圓，圓

18、心O1在x軸上，OO1距離等于圓的半徑。虛線MN平行于x軸且與圓相切于P點，在MN的上方是正交的勻強電場和勻強磁場，電場強度的大小為E，方向沿x軸的負方向，磁感應強度為B，方向垂直紙面向外。有一群相同的正粒子，以相同的速率，在紙面內(nèi)沿不同方向從原點O射入第象限，粒子的速度方向在與x軸成=30角的范圍內(nèi)，其中沿x軸正方向進入磁場的粒子經(jīng)過P點射入MN后，恰好在正交的電磁場中做直線運動。粒子的質(zhì)量為m，電荷量為q不計粒子的重力。求：xMNEBOPO1y第19題圖 1粒子的初速率；2圓形有界磁場的磁感應強度；3假設只撤去虛線MN上面的磁場B，這些粒子經(jīng)過y軸的坐標范圍。12、解析： 1Eq=qv0B 1分 得：v0= EQ F(E,B) 1分 2設正粒子在圓形有界磁場中做勻速圓周運動的半徑R，有： R=r 1分 qv0B= EQ F(mv02,R) 1分 得：B= EQ F(mE,qBr) 1分3沿x軸正方向進入圓形有界磁場的粒子經(jīng)電場E偏轉(zhuǎn)后，過y軸上點的坐標最大 r= EQ F(1,2) EQ F(Eq,m) t12 1分 y1=v0t1 1分 y1=y1r得：y1