2022年人教版初三數(shù)學(xué)知識點歸納總結(jié)文檔

1、人教版九年級數(shù)學(xué)學(xué)問點總結(jié) 21.1 一元二次方程 易錯點： a 0 和 a=0 方程兩個根的取舍 學(xué)問點一 一元二次方程的定義 : 等號兩邊都是整式,只含有一個未知數(shù)（一元） ,并且未知數(shù)的最高 次數(shù)是 2（二次）的方程,叫做一元二次方程； 留意一下幾點： 只含有一個未知數(shù)； 未知數(shù)的最高次數(shù)是 2； 是整式方程； 學(xué)問點二 一元二次方程的一般形式 2 : 一般形式： ax + bx + c = 0a 2 0. 其中, ax 是二次項, a 是二次項系數(shù)； bx 是一次項, b 是一次項系數(shù)； c 是常數(shù)項； 學(xué)問點三 一元二次方程的根 : 使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次

2、方程的解,也叫 做一元二次方程的根；方程的解的定義是解方程過程中驗根的依據(jù)； 21.2 降次解一元二次方程 21.2.1 配方法 學(xué)問點一 直接開平方法解一元二次方程 （ 1） 假如方程的一邊可以化成含未知數(shù)的代數(shù)式的平方, 另一邊是非負(fù)數(shù), 可以直接開平方； 2 一般地,對于形如 x =aa 0 的方程,依據(jù)平方根的定義可解得 x1= a ,x 2= a . （ 2） 直接開平方法適用于解形如 用直接開平方法； 2 2x =p 或mx+a =pm0 形式的方程,假如 p0,就可以利 （ 3） 用直接開平方法求一元二次方程的根, 要正確運用平方根的性質(zhì), 即正數(shù)的平方根有兩 個,它們互為相反數(shù)

3、；零的平方根是零；負(fù)數(shù)沒有平方根； （ 4） 直接開平方法解一元二次方程的步驟是： 移項； 使二次項系數(shù)或含有未知數(shù)的式子 的平方項的系數(shù)為 1；兩邊直接開平方,使原方程變?yōu)閮蓚€一元二次方程；解一元 一次方程,求出原方程的根； 學(xué)問點二 配方法解一元二次方程 1第 1 頁,共 32 頁通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法,叫做配方法,配方的目的是降次, 把一 個一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來解； 配方法的一般步驟可以總結(jié)為：一移,二除,三配,四開； （ 1） 把常數(shù)項移到等號的右邊； 把左邊配成完全平方式； 如等號右邊 （ 2） 方程兩邊都除以二次項系數(shù)； （ 3） 方程兩邊都加上

4、一次項系數(shù)一半的平方, 為非負(fù)數(shù),直接開平方求出方程的解； 公式法 學(xué)問點一 公式法解一元二次方程 （ 1） 一般地,對于一元二次方程 2 2ax +bx+c=0a0 ,假如 b -4ac 0,那么方程的兩個根為 x= bb24ac ,這個公式叫做一元二次方程的求根公式,利用求根公式,我們可 2a 以由一元二方程的系數(shù) a,b,c 的值直接求得方程的解,這種解方程的方法叫做公式法； （ 2） 一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程,就是用配方法解一般形式的一元二次方程 ax +bx+c=0a0 的過程； 公式法（ 3） 解一元二次方程的詳細(xì)步驟： 方程化為一般形式： ax +bx+c=0a0 ,一般

5、a 化為正值 確定公式中 a,b,c 的值,留意符號； 求出 b2-4ac 的值； 如 b2-4ac 0,就把 a,b,c 和 b-4ac 的值代入公式即可求解,如 b2-4ac 0,就方程無 實數(shù)根 有虛數(shù)根 - 高中學(xué) ； 學(xué)問點二 一元二次方程根的判別式 2 式子 b -4ac 2 叫做方程 ax +bx+c=0a0 根的判別式,通常用希臘字母表示它, 即 =b -4ac. 2 0,方程 ax +bx+c=0a0 有兩個不相等的實數(shù)根 根的 判別式 2=0,方程 ax +bx+c=0a 0 有兩個相等的實數(shù)根 2 0,方程 ax +bx+c=0a0 無實數(shù)根 21.2 3 因式分解法 學(xué)

6、問點一 因式分解法解一元二次方程 （ 1） 把一元二次方程的一邊化為 0,而另一邊分解成兩個一次因式的積,進而轉(zhuǎn)化為求兩個 求一元一次方程的解,這種解方程的方法叫做因式分解法； （ 2） 因式分解法的詳細(xì)步驟： 2第 2 頁,共 32 頁 移項,將全部的項都移到左邊,右邊化為 0； 把方程的左邊分解成兩個因式的積,可用的方法有提公因式,平方差公式和完全平 方公式； 令每一個因式分別為零,得到一元 一次方程； 解一元一次方程即可得到原方程 的解； 學(xué)問點二 用合適的方法解一元一次方程 方法名稱 理論依據(jù) 適用范疇 直接開平方法 平方根的意義 2 2形如 x =p 或（ mx+n） =pp 0 配

7、方法 完全平方公式 全部一元二次方程 公式法 配方法 全部一元二次方程 因式分解法 當(dāng) ab=0,就 a=0 或 b=0 一邊為 0,另一邊易于分解成兩個一次 因式的積的一元二次方程； 21.2.4 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系 2 如一元二次方程 x +px+q=0 的兩個根為 x1 ,x 2, 就有 x1+x2=-p,x 1x2=q. 2 如一元二次方程 a x+bx+c=0a 0 有兩個實數(shù)根 x1,x 2 , 就有 x1+x2=, b,x 1x2= c aa21.3 實際問題與一元二次方程 學(xué)問點一 列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟： （ 1） 審：是指讀懂題目,弄清題意,明確哪些是已

8、知量,哪些是未知量以及它們之間的等量 關(guān)系； 設(shè)：是指設(shè)元,也就是設(shè)出（ 2） 未知數(shù)； （ 3） 列：就是列方程, 這是關(guān)鍵步驟 , 一般先找出能夠表達應(yīng)用題全部含義的一個相等含義, 然后列代數(shù)式表示這個相等關(guān)系中的各個量,就得到含有未知數(shù)的等式,即方程； 解：（ 4） 就是解方程,求出未知數(shù)的值； 驗：是指檢驗方程的解是否保證明際問題有意義,符合（ 5） 題意； （ 6） 答：寫出答案； 學(xué)問點二 列一元二次方程解應(yīng)用題的幾種常見類型 （ 1） 數(shù)字問題 三個連續(xù)整數(shù)：如設(shè)中間的一個數(shù)為 x,就另兩個數(shù)分別為 x-1 ,x+1； 三個連續(xù)偶數(shù)（奇數(shù)） ：如中間的一個數(shù)為 x,就另兩個數(shù)分別

9、為 x-2,x+2 ； 三位數(shù)的表示方法：設(shè)百位,十位,個位上的數(shù)字分別為 100a+10b+c. 3a,b,c ,就這個三位數(shù)是 第 3 頁,共 32 頁（ 2） 增長率問題 設(shè)初始量為 a,終止量為 b,平均增長率或平均降低率為 x,就經(jīng)過兩次的增長或降低 后的等量關(guān)系為 2 a（ 1 x） =b； （ 3）利潤問題 利潤問題常用的相等關(guān)系式有： 售量；利潤 =成本利潤率 （ 4）圖形的面積問題 總利潤 =總銷售價 - 總成本； 總利潤 =單位利潤總銷 依據(jù)圖形的面積與圖形的邊,高等相關(guān)元素的關(guān)系,將圖形的面積用含有未知數(shù)的代數(shù) 式表示出來,建立一元二次方程； 22. 二次函數(shù)學(xué)問點歸納

10、一,相關(guān)概念及定義 21 二次函數(shù)的概念：一般地,形如 y ax bx c（ a ,b ,c 是常數(shù), a 0 ）的函數(shù),叫做二次函 數(shù)；這里需要強調(diào)：和一元二次方程類似,二次項系數(shù) a 0 ,而 b ,c 可以為零二次函數(shù)的定 義域是全體實數(shù) 2二次函數(shù) y 2 ax bx c 的結(jié)構(gòu)特點： 2 （ 1）等號左邊是函數(shù),右邊是關(guān)于自變量 x 的二次式, x 的最高次數(shù)是 （ 2） a ,b ,c 是常數(shù), a 是二次項系數(shù), b 是一次項系數(shù), c 是常數(shù)項 二,二次函數(shù)各種形式之間的變換 1二 次 函 數(shù) y 2 ax bx c 用 配 方 法 可 化 成 ： y a x h2k 的 形

11、式 , 其 中 hb, k 2a 4ac b2. 2 ax k ； y a x 2 h； 4a 2二次函數(shù)由特殊到一般, 可分為以下幾種形式： y ax 2 ； y y a x h2k ； y ax2bx c . 三,二次函數(shù)解析式的表示方法 21 一般式： y ax bx c （ a , b , c 為常數(shù), a 0）； 2 頂點式： y a x h 2k （ a , h , k 為常數(shù), a 0）； 3 兩根式： y a x x1 x x2 （ a 0, x1 , x2 是拋物線與 x 軸兩交點的橫坐標(biāo)） . 4 留意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點式,但并非全部的二次函數(shù)都可

12、以 2寫成交點式,只有拋物線與 x 軸有交點,即 b 4ac 0 時,拋物線的解析式才可以用交點式 表示二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化 . 2四,二次函數(shù) y ax bx c 圖象的畫法 2 21 五點繪圖法： 利用配方法將二次函數(shù) y ax bx c 化為頂點式 y a x h k ,確定其開口方 向,對稱軸及頂點坐標(biāo),然后在對稱軸兩側(cè),左右對稱地描點畫圖 .一般我們選取的五點為： 頂點,與 y 軸的交點 0 ,c ,以及 0,c 關(guān)于對稱軸對稱的點 2h,c ,與 x 軸的交點 x1 ,0 , x2 ,0 （如與 x 軸沒有交點,就取兩組關(guān)于對稱軸對稱的點） . 2 畫草圖時應(yīng)抓住以下

13、幾點：開口方向,對稱軸,頂點,與 2 五,二次函數(shù) y ax 的性質(zhì) x 軸的交點,與 y 軸的交點 . a 的符號 開口方向 頂點坐標(biāo) 對稱軸 4性質(zhì) 第 4 頁,共 32 頁a0向上 0 ,0 y 軸 x 0 時, y 隨 x 的增大而增大； x 0 時, y 隨 x 的增大而減??； x 0 時, y 有最小值 0 a0向下 0 ,0 y 軸 x 0 時, y 隨 x 的增大而減小； x 0 時, y 隨 x 的增大而增大； x 0 時, y 有最大值 0 六,二次函數(shù) 2 y ax c 的性質(zhì) 對稱軸 性質(zhì) a 的符號 開口方向 頂點坐標(biāo) y 軸 x 0 時,y 隨 x 的增大而增大；

14、x 0 時,y 隨 x 的 a0向上 0 ,c 增大而減?。?x 0 時, y 有最小值 c a0向下 0 ,c y 軸 x 0 時,y 隨 x 的增大而減?。?x 0 時,y 隨 x 的 七,二次函數(shù) y a x 2 h 的性質(zhì)： 對稱軸 增大而增大； x 0 時, y 有最大值 c 性質(zhì) a 的符號 開口方向 頂點坐標(biāo) x h 時, y 隨 x 的增大而增大； x h 時, y 隨 a0向上 h ,0 X=h x 的增大而減?。?x h 時, y 有最小值 0 x h 時, y 隨 x 的增大而減??； x h 時, y 隨 a0向下 h ,0 X=h x 的增大而增大； x h 時, y

15、有最大值 0 八,二次函數(shù) y a x h2k 的性質(zhì) 對稱軸 x 性質(zhì) x h 時, y 隨 a 的符號 頂點坐標(biāo) 開口方向 向上 h,k X=h h 時, y 隨 x 的增大而增大； a0 x 的增大而減小； x h 時, y 有最小值 k a0向下 h,k X=h x h 時, y 隨 x 的增大而減??； x h 時, y 隨 x 的增大而增大； x h 時, y 有最大值 k 九,拋物線 y 2 ax bx c 的三要素：開口方向,對稱軸,頂點 . 0 時,開口向下； 1a 的符號準(zhǔn)備拋物線的開口方向：當(dāng) a0 時,開口向上；當(dāng) a5第 5 頁,共 32 頁a 相等,拋物線的開口大小,

16、形狀相同 . b2 對稱軸：平行于 y 軸（或重合）的直線記作 x .特殊地, y 軸記作直線 x 0. 2 a 23 頂點坐標(biāo)：（ 2a b , ac 44a b） 4 頂點準(zhǔn)備拋物線的位置 .幾個不同的二次函數(shù),假如二次項系數(shù) a 相同,那么拋物線的開口方 向,開口大小完全相同,只是頂點的位置不同 . 十,拋物線 y ax 2bx c 中, a, b, c 與函數(shù)圖像的關(guān)系 1 二次項系數(shù) a 2二次函數(shù) y ax bx c 中, a 作為二次項系數(shù),明 a 0 當(dāng) a 0 時,拋物線開口向上, 顯 a 越大,開口越小,反之 a 的值越小,開口越大； 當(dāng) a 0 時,拋物線開口向下, a

17、越小,開口越小,反之 a 的值越大,開口越大 總結(jié)起來, a 準(zhǔn)備了拋物線開口的大小和方向, 的大小 2 一次項系數(shù) b a 的正負(fù)準(zhǔn)備開口方向, a 的大小準(zhǔn)備開口 在二次項系數(shù) a 確定的前提下, b 準(zhǔn)備了拋物線的對稱軸 在 a 0 的前提下, 當(dāng) b 0 時, b 0 ,即拋物線的對稱軸在 y 軸左側(cè)； 2a當(dāng) b 0 時, b 0 ,即拋物線的對稱軸就是 y 軸； 2a 當(dāng) b 0 時, b 0 ,即拋物線對稱軸在 y 軸的右側(cè) 2a 在 a 0 的前提下,結(jié)論剛好與上述相反,即 當(dāng) b 0 時, b 0 ,即拋物線的對稱軸在 y 軸右側(cè)； 2a當(dāng) b 0 時, b 0 ,即拋物線的

18、對稱軸就是 y 軸； 2a當(dāng) b 0 時, b 0 ,即拋物線對稱軸在 y 軸的左側(cè) 2a 總結(jié)起來,在 a 確定的前提下, b 準(zhǔn)備了拋物線對稱軸的位置 總結(jié)： 3 常數(shù)項 c 0 時,拋物線與 y 軸的交點在 x 軸上方,即拋物線與 y 軸交點的縱坐標(biāo)為正； 當(dāng) c 當(dāng) c 0 時,拋物線與 y 軸的交點為坐標(biāo)原點,即拋物線與 y 軸交點的縱坐標(biāo)為 0 ； 當(dāng) c 0 時,拋物線與 y 軸的交點在 x 軸下方,即拋物線與 y 軸交點的縱坐標(biāo)為負(fù) 總結(jié)起來, c 準(zhǔn)備了拋物線與 y 軸交點的位置 總之,只要 a ,b ,c 都確定,那么這條拋物線就是唯獨確定的 十一,求拋物線的頂點,對稱軸的

19、方法 1 公式法： y 2 ax bx c a x b24ac b2,頂點是（ 2 a b , ac 44a b2）,對稱軸是直線 2a 4a x b . 2a k 的形式,得到頂點為 h , k , 2 配方法：運用配方的方法, 將拋物線的解析式化為 y a x h2對稱軸是直線 x h. 6第 6 頁,共 32 頁3 運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形,所以對稱軸的連線的垂直 平分線是拋物線的對稱軸,對稱軸與拋物線的交點是頂點 . 用配方法求得的頂點,再用公式法或?qū)ΨQ性進行驗證,才能做到萬無一失 . 十二,用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式 1 一般式： y 2 ax b

20、x c .已知圖像上三點或三對 x , y 的值,通常選擇一般式 . x2 . 2 頂點式： y a x h2k .已知圖像的頂點或?qū)ΨQ軸,通常選擇頂點式 . 3 交點式：已知圖像與 x 軸的交點坐標(biāo) x1 , x2 ,通常選用交點式： y a x x1 x 十三,直線與拋物線的交點 21 y 軸與拋物線 y ax bx c 得交點為 0, c . 2 與 y 軸平行的直線 x h 與拋物線 y ax 2bx c 有且只有一個交點 h , ah 2 bh c . 23 拋物線與 x 軸的交點 :二次函數(shù) y ax bx c 的圖像與 x 軸的兩個交點的橫坐標(biāo) x , x ,是 2對應(yīng)一元二次方

21、程 ax bx c 0 的兩個實數(shù)根 .拋物線與 x 軸的交點情形可以由對應(yīng)的一元 二次方程的根的判別式判定： 有兩個交點 0 拋物線與 x 軸相交； 有一個交點（頂點在 x 軸上） 0 拋物線與 x 軸相切； 沒有交點 0 拋物線與 x 軸相離 . 4 平行于 x 軸的直線與拋物線的交點 可能有 0 個交點, 1 個交點, 2 個交點 .當(dāng)有 2 個交點時,兩交點的縱坐標(biāo)相等,設(shè)縱坐 標(biāo)為 k ,就橫坐標(biāo)是 ax 2 bx c k 的兩個實數(shù)根 . 25 一次函數(shù) y kx n k 0 的圖像 l 與二次函數(shù) y ax bx c a 0 的圖像 G 的交點,由方程 y kx n 組 2 的解

22、的數(shù)目來確定：方程組有兩組不同的解時 l 與 G 有兩個交點 ; y ax bx c 方程組只有一組解時 l 與 G 只有一個交點；方程組無解時 l 與 G 沒有交點 . 26 拋物線與 x 軸兩交點之間的距離：如拋物線 y ax bx c 與 x 軸兩交點為 A x ,0, B x ,0 1 2, 2由于 x1, x2 是方程 ax bx c 0 的兩個根,故 b c x1 x2 , x1 x2 a a2 2AB x 1 x 2 x 1 x 2 2x 1 x 2 24x x 1 2 b 4c b 4ac a a a a十四,二次函數(shù)圖象的對稱 : 二次函數(shù)圖象的對稱一般有五種情形,可以用一般

23、式或頂點式表 達 1 關(guān)于 x 軸對稱 c 關(guān)于 x 軸對稱后,得到的解析式y(tǒng) 2 ax bx c ； y 2 ax bx y a x h2是 k 關(guān)于 x 軸對稱后,得到的解析式是 y a x h2k ； 2 關(guān)于 y 軸對稱 y 2 ax bx c 關(guān)于 y 軸對稱后,得到的解析式y(tǒng) 2 ax bx c； y a x h2是 k 關(guān)于 y 軸對稱后,得到的解析式是 y a x h2k ； 3 關(guān)于原點對稱 2 y ax bx c 關(guān)于原點對稱后,得到的解析式y(tǒng) 2 ax bx c ； y a x h2是 k 關(guān)于原點對稱后,得到的解析式是 y a x h2k ； 4 關(guān)于頂點對稱 7第 7

24、 頁,共 32 頁y 2 ax bx c 關(guān)于頂點對稱后,得到的解析式y(tǒng) 2 ax bx c b2； 2n k 2a y a x h2是 a x h2y k 關(guān)于頂點對稱后,得到的解析式是 k 5 關(guān)于點 m,n 對稱 h 2m 2y a x h2k 關(guān)于點 m ,n 對稱后,得到的解析式是 y a x 總結(jié)：依據(jù)對稱的性質(zhì),明顯無論作何種對稱變換,拋物線的形狀確定不會發(fā)生變化,因此 a 永久不變 求拋物線的對稱拋物線的表達式時, 可以依據(jù)題意或便利運算的原就, 選擇合適 的形式,習(xí)慣上是先確定原拋物線（或表達式已知的拋物線）的頂點坐標(biāo)及開口方向,再確定 其對稱拋物線的頂點坐標(biāo)及開口方向,然后

25、再寫出其對稱拋物線的表達式 十五,二次函數(shù)圖象的平移 1.平移步驟： 2 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點式 y a x h k ,確定其頂點坐標(biāo) h ,k ； 2 保持拋物線 y ax 的形狀不變,將其頂點平移到 h ,k 處,詳細(xì)平移方法如下： 向上k0【或向下k0【或左h0【或左h0【或左h0【或下k0【或下k0】平移|k|個單位 y=ax-h2+k 2 平移規(guī)律 在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上 “h值正右移,負(fù)左移； k 值正上移,負(fù)下移 ” 概括成八個字 “左加右減,上加下減 ” 十六,依據(jù)條件確定二次函數(shù)表達式的幾種基本思路； 1.三點式； （ 1）已知拋物線 y=ax2+bx+c 經(jīng)過 A（ 3,

26、0）,B（ 23,0）,C（0,-3）三點,求拋物線 的解析式； （ 2）已知拋物線 y=ax-1 +4, 經(jīng)過點 A（2,3）,求拋物線的解析式； 2.頂點式； （ 1）已知拋物線 y=x2-2ax+a 2+b頂點為 A（ 2, 1）,求拋物線的解析式； （ 1）已知拋物線 y=4x+a2-2a 的頂點為（ 3, 1）,求拋物線的解析式； 3.交點式； （ 1）已知拋物線與 x 軸兩個交點分別為（ 3,0）,5,0,求拋物線 y=x-ax-b 的解析式； （ 2）已知拋物線線與 x 軸兩個交點（ 4, 0）,（1, 0）求拋物線 y= 1 ax-2ax-b的解析式； 24.定點式； （ 1）

27、在直角坐標(biāo)系中,不論 a 取何值,拋物線 y 1 x 2 5 a x 2a 2 經(jīng)過 x 軸上確定點 2 2Q,直線 y a 2x 2 經(jīng)過點 Q,求拋物線的解析式； （ 2）拋物線 y= x2+2m-1x-2m 與 x 軸的確定交點經(jīng)過直線 y=mx+m+4,求拋物線的解析式； （ 3） 拋物線 y=ax2+ax-2 過直線 y=mx-2m+2 上的定點 A,求拋物線的解析式； 5.平移式； 8第 8 頁,共 32 頁（ 1）把拋物線 y= -2x2向左平移 2 個單位長度,再向下平移 1 個單位長度,得到拋物線 y=a x-h 2+k,求此拋物線解析式； （ 2）拋物線 y x 2 x 3

28、 向上平移 ,使拋物線經(jīng)過點 C0,2,求拋物線的解析式 . 6.距離式； （ 1）拋物線 y=ax2+4ax+1a0與 x 軸的兩個交點間的距離為 2,求拋物線的解析式； （ 2）已知拋物線 y=m x 2+3mx-4mm 0與 x 軸交于 A,B 兩點,與 軸交于 C 點,且 AB=BC, 求此拋物線的解析式； 7.對稱軸式； （ 1）拋物線 y=x2-2x+m 2-4m+4與 x 軸有兩個交點, 這兩點間的距離等于拋物線頂點到 y 軸距 離的 2 倍,求拋物線的解析式； （ 2）已知拋物線 y=-x2+ax+4, 交 x 軸于 A,B （點 A 在點 B 左邊）兩點,交 y 軸于點 C,

29、且 OB-OA= 3 OC,求此拋物線的解析式； 48.對稱式； （ 1）平行四邊形 ABCD對角線 AC在 x 軸上,且 A（ -10,0）,AC=16,D（2,6）；AD交 y 軸 于 E,將三角形 ABC 沿 x 軸折疊,點 B 到 B1 的位置,求經(jīng)過 A,B,E 三點的拋物線的解析式； （ 2）求與拋物線 y=x2+4x+3 關(guān)于 y 軸（或 x 軸）對稱的拋物線的解析式； 9.切點式； （ 1）已知直線 y=ax-a2a 0與拋物線 y=mx2有唯獨公共點,求拋物線的解析式； （ 2） 直線 y=x+a 與拋物線 y=ax2 +k 的唯獨公共點 A（ 2, 1） ,求拋物線的解析式

30、； 10.判別式式； （ 1）已知關(guān)于 X 的一元二次方程（ m+1）x2+2m+1x+2=0 有兩個相等的實數(shù)根,求拋物線 y=-x 2+m+1x+3 解析式； （ 2）已知拋物線 y=a+2x 2 -a+1x+2a 的頂點在 x 軸上 ,求拋物線的解析式； 23 旋轉(zhuǎn) 23.1 圖形的旋轉(zhuǎn) 學(xué)問點一 旋轉(zhuǎn)的定義 在平面內(nèi),把一個平面圖形圍著平面內(nèi)某一點 O 轉(zhuǎn)動一個角度,就叫做圖形的旋轉(zhuǎn),O 叫做旋轉(zhuǎn)中心,轉(zhuǎn)動的角叫做旋轉(zhuǎn)角； 點 我們把旋轉(zhuǎn)中心,旋轉(zhuǎn)角度,旋轉(zhuǎn)方向稱為旋轉(zhuǎn)的三要素； 學(xué)問點二 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì) 旋轉(zhuǎn)的特點：（1）對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等； （ 2）對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾

31、角 等于旋轉(zhuǎn)角；（3）旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等； 懂得以下幾點： （ 1） 圖形中的每一個點都繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度； （2）對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離 相等,對應(yīng)線段相等,對應(yīng)角相等； （ 3）圖形的大小和形狀都沒有發(fā)生轉(zhuǎn)變,只轉(zhuǎn)變了 圖形的位置； 9第 9 頁,共 32 頁學(xué)問點三 利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)作圖 旋轉(zhuǎn)有兩條重要性質(zhì)：（1）任意一對對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角； （2） 對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等,它是利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖的關(guān)鍵；步驟可分為： 連：即連接圖形中每一個關(guān)鍵點與旋轉(zhuǎn)中心； 轉(zhuǎn)：即把直線按要求繞旋轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)過確定角度（作旋轉(zhuǎn)角） 截：即在角的另一邊上截取關(guān)鍵點到旋轉(zhuǎn)中心的

32、距離,得到各點的對應(yīng)點； 接：即連接到所連接的各點； 23.2 中心對稱 學(xué)問點一 中心對稱的定義 中心對稱：把一個圖形圍著某一個點旋轉(zhuǎn) 180,假如它能夠與另一個圖形重合,那么就 說這兩個圖形關(guān)于這個點對稱或中心對稱,這個點叫做對稱中心； 留意以下幾點： 中心對稱指的是兩個圖形的位置關(guān)系；只有一個對稱中心；繞對稱中心旋轉(zhuǎn) 180兩個圖 形能夠完全重合； 學(xué)問點二 作一個圖形關(guān)于某點對稱的圖形 要作出一個圖形關(guān)于某一點的成中心對稱的圖形, 關(guān)鍵是作出該圖形上關(guān)鍵點關(guān)于對稱中 心的對稱點；最終將對稱點依據(jù)原圖形的形狀連接起來,即可得出成中心對稱圖形； 學(xué)問點三 中心對稱的性質(zhì) 有以下幾點： （1

33、） 關(guān)于中心對稱的兩個圖形上的對應(yīng)點的連線都經(jīng)過對稱中心,并且都被對稱中心平 分； 關(guān)于中心對稱的兩個圖形能夠相互重合,是全（2） 等形； （3） 關(guān)于中心對稱的兩個圖形,對應(yīng)線段平行（或共線）且相等； 學(xué)問點四 中心對稱圖形的定義 把一個圖形圍著某一個點旋轉(zhuǎn) 180,假如旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原先的圖形重合,那么 這個圖形叫做中心對稱圖形,這個點就是它的對稱中心； 學(xué)問點五 關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo) 在平面直角坐標(biāo)系中,假如兩個點關(guān)于原點對稱,它們的坐標(biāo)符號相反,即點 p（x,y ） 關(guān)于原點對稱點為（ -x,-y ）； 24 圓 24.1 圓 10 第 10 頁,共 32 頁24.1.1 圓 學(xué)

34、問點一 圓的定義 圓的定義：第一種：在一個平面內(nèi),線段 OA 繞它固定的一個端 O 旋轉(zhuǎn)一周,另一個端A 所形成的圖形叫作圓；固定的端點 O 叫作圓心,線 點 OA 叫作半 點 其次種：圓心為 O,半徑為 r 的圓可以看成是全部到定點 O 的距離等于定 段 徑； r 的點的集合； 比較圓的兩種定義可知：第一種定義是圓的形成進行描述的,其次種是運用集合的觀點下 長 的定義,但是都說明確定了定點與定長,也就確定了圓； 學(xué)問點二 圓的相關(guān)概念 （ 1） 弦：連接圓上任意兩點的線段叫做弦,經(jīng)過圓心的弦叫作直徑； （ 2） 弧：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧, 簡稱?。?圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成

35、 兩條弧,每一條弧都叫做半圓； 等（ 3） 圓：等夠重合的兩個圓叫做等圓； （ 4） 等?。涸谕瑘A或等圓中,能夠相互重合的弧叫做等弧； 弦是線段,弧是曲線,判定等弧首要的條件是在同圓或等圓中,只有在同圓或等圓中完全重合 的弧才是等弧,而不是長度相等的?。?24.1.2 垂直于弦的直徑 學(xué)問點一 圓的對稱性 圓是軸對稱圖形,任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸； 學(xué)問點二 垂徑定理 （ 1） 垂徑定理： 垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條弧；如以下圖,直徑為 CD,AB 是弦,且 CD AB, A CB MAM=BM 垂足為 M AC =BC DAD=BD 垂徑定理的推論 ：平分弦（不是直

36、徑）的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧 如上圖所示,直徑 CD 與非直徑弦 AB 相交于點 CD AB M, AM=BM AC=BC AD=BD 留意：由于圓的兩條直徑必需相互平分,所以垂徑定理的推論中,被平分的弦必需不是直 徑,否就結(jié)論不成立； 24.1.3 弧,弦,圓心角 學(xué)問點 弦,弧,圓心角的關(guān)系 11 第 11 頁,共 32 頁（1） 弦,弧,圓心角之間的關(guān)系定理：在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弧相等, 所對的弦也相等； 在同圓或等圓中,假如兩個圓心角,兩條弧,兩條弦中有一組（2） 量相等,那么它們所 對應(yīng)的其余的各組量也相等； 留意不能忽視同圓或等圓這個 前提條件,假如丟掉

37、這個條件,即使圓心角相等,所 對的弧,弦也不愿定相等,（3） 比如兩個同心圓中,兩個圓心角相同,但此時弧,弦不 確定相等； 24.1.4 圓周角 學(xué)問點一 圓周角定理 （ 1） 圓周角定理 ：在同圓或等圓中, 同弧或等弧所對的圓周角相等, 都等于這條弧所對的圓 心角的一半； （ 2） 圓周角定理的推論 ：半圓（或直徑） 所對的圓周角是直角, 90的圓周角所對弦是直徑； （ 3） 圓周角定理 揭示了同弧或等弧所對的圓周角與圓心角的大小關(guān)系； “同弧或等弧”是不 能改為“同弦或等弦”的,否就就不成立了,由于一條弦所對的圓周角有兩類； 學(xué)問點二 圓內(nèi)接四邊形及其性質(zhì) 圓內(nèi)接多邊形：假如一個多邊形的全

38、部頂點都在同一個圓上,這個多邊形叫做圓內(nèi)接多 邊形,這個圓叫做這個多邊形的外接圓； 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對角互補； 24.2 點,直線,圓和圓的位置關(guān)系 24.2.1 點和圓的位置關(guān)系 學(xué)問點一 點與圓的位置關(guān)系 （1） 點與圓的位置關(guān)系有：點在圓外,點在圓上,點在圓內(nèi)三種； （2） 用數(shù)量關(guān)系表示：如設(shè) O 的半徑是 r ,點 P 到圓的距離 OP=d,就r ； 點 P 在圓外 dr ；點 p 在圓上 有： d=r ；點 p 在圓內(nèi) d學(xué)問點二 過已知點作圓 （ 1） 經(jīng)過一個點的圓（如點 A） 以點 A 外的任意一點（如 點 作許多個； O）為圓心,以 OA 為半徑作圓即可,

39、如圖,這樣的圓可 以 O2 A O1 O3 （ 2） 經(jīng)過兩點的圓（如點 A,B） 12 第 12 頁,共 32 頁以線段 AB 的垂直平分線上的任意一 點 如圖,這樣的圓可以作許多個； A B （ 3） 經(jīng)過三點的圓 （如點 O）為圓心, 以 OA（或 OB）為半徑作圓即可, 經(jīng)過在同一條直線上的三個點不能作圓 不在同一條直線上的三個點確定一個圓,即經(jīng) 過不在同一條直線上的三個點可以作圓, 且只能作一個圓；如經(jīng)過不在同一條直線上的三個點 A, B, C 作圓,作法：連AB, BC（或 AB,AC 或 BC,AC）并作它們的垂直平分線,兩條垂直平分線相交于 接 O,以點 點 O 為圓心,以 O

40、AOB,OC）的長為半徑作圓即可,如圖,這樣的圓只能作一個； （或 A O B C學(xué)問點三 三角形的外接圓與外心 （ 1） 經(jīng)過三角形三個頂點可以作一個圓,這個圓叫做三角形的外接圓； （ 2） 外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點,叫做這個三角形的外心； 學(xué)問點四 反證法 （ 1） 反證法：假設(shè)命題的結(jié)論不成立,經(jīng)過推理得出沖突,由沖突確定所作假設(shè)不正確,從 而得到原命題成立,這種證明命題的方法叫做反證法； （ 2） 反證法的一般步驟： 假設(shè)命題的結(jié)論不成立； 從假設(shè)動身,經(jīng)過規(guī)律推理,推出或與定義,或與公理,或與定理,或與已知等相 沖突的結(jié)論； 由沖突判定假設(shè)不正確,從而得出原命題正

41、確； 直線和圓的位置關(guān)系 學(xué)問點一 直線與圓的位置關(guān)系 （ 1） 直線與圓的位置關(guān)系有：相交,相切,相離三種； （ 2） 直線與圓的位置關(guān)系可以用數(shù)量關(guān)系表示 如設(shè) O 的半徑是 r ,直線 l 與圓心 0 的距離為 d,就有： 直線 l 和 O 相d r ；直線 l 和 O 相d = r ；直線 l 和 O 相d r ； 交 切 離 13 第 13 頁,共 32 頁學(xué)問點二 切線的判定和性質(zhì) （ 1） 切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線； （ 2） 切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點的半徑； （ 3） 切線的其他性質(zhì)：切線與圓只有一個公共點； 切線到圓心的距離

42、等于半徑； 經(jīng)過圓心且 垂直于切線的直線必過切點；必過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心； 學(xué)問點三 切線長定理 （ 1） 切線長的定義：經(jīng)過園外一點作圓的切線, 的切線長； 這點和切點之間的線段的長, 叫做這點到圓 （ 2） 切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線, 它們的切線長相等, 這一點和圓心的連 線平分兩條切線的夾角； （ 3） 留意：切線和切線長是兩個完全不同的概念,必需弄清楚切線是直線,是不能度量的； 切線長是一條線段的長,這條線段的兩個端點一個是在圓外一點,另一個是切點； 學(xué)問點四 三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心 1 三角形的內(nèi)切圓定義：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓；這個三角

43、形叫做圓 的外切三角形； 三角形的內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心叫2 做三角形的內(nèi)心； 3 留意：三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點,所以當(dāng)三角形的內(nèi)心已知時,過三角 形的頂點和內(nèi)心的射線,必平分三角形的內(nèi)角； 圓和圓的位置關(guān)系 學(xué)問點一 圓與圓的位置關(guān)系 （ 1） 圓與圓的位置關(guān)系有五種： 假如兩個圓沒有公共點,就說這兩個圓相離,包括外離和內(nèi)含兩種； 假如兩個圓只有一個公共點,就說這兩個圓相切,包括內(nèi)切和外切兩種； 假如兩個圓有兩個公共點,就說這兩個圓相交； （ 2） 圓與圓的位置關(guān)系可以用數(shù)量關(guān)系來表示： 如設(shè)兩圓圓心之間的距離為 d,兩圓的半徑分別是 r 1 r 2, 且 r 1 r 2,

44、就有 切 兩圓外離 1dr 1+r 2 兩圓外切 1d=r 1+r 2 兩圓相交 r2-r 1dr 1+r 2 兩圓內(nèi) d=r 2 -r 兩圓內(nèi)含 dr 2-r 正多邊形和圓 學(xué)問點一 正多邊形的外接圓和圓的內(nèi)接正多邊形 正多邊形與圓的關(guān)系特殊親熱：把圓分成 n（n 是大于 2 的自然數(shù)）等份,順次連接各分 點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正多邊形,這個圓就是這個正多邊形的外接圓； 正多邊形的中心：一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心； 正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑； 正多邊形的中心角：正多邊形每一條邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角； 正多邊形的邊心距：中心到正多邊

45、形一邊的距離叫做正多邊形的邊心距； 14 第 14 頁,共 32 頁學(xué)問點二 正多邊形的性質(zhì) （ 1） 正 n 邊形的半徑和邊心距把正多邊形分成 2n 個全等的直角三角形； （ 2） 全部的正多邊形都是軸對稱圖形, 每個正 n 邊形共有 n 條對稱軸, 每條對稱軸都經(jīng)過正 n 邊形的中心；當(dāng)正 n 邊形的邊數(shù)為偶數(shù)時,這個正 n 邊形也是中心對稱圖形,正 n 邊 形的中心就是對稱中心； （ 3） 正 n 邊形的每一個內(nèi)角等于 n 2 180 ,中心角和外角相等,等于 360 ； nn弧長和扇形面積 n R 學(xué)問點一 弧長公式 l= 180 在半徑為 R 的圓中, 360的圓心角所對的弧長就是圓

46、的周 長 的弧長的運算公式 l= 360 n2R=n R ； 180 學(xué)問點二 扇形面積公式 C=2 R,所以 n的圓心角所對 在半徑為 R 的圓中, 360的圓心角所對的扇形面積就是圓的面 積 2 S= R,所以圓心角為 n 的扇形的面積為 S 扇形 = n R 2 360 ； 比較扇形的弧長公式和面積公式發(fā)覺： 2 S 扇形 = nR360 n R 1 R 21 lR,所以 2 s 扇形 1 lR 2180 學(xué)問點三 圓錐的側(cè)面積和全面積 圓錐的側(cè)面積是曲面, 沿著圓錐的一條母線將圓錐的側(cè)面開放, 簡潔得到圓錐的側(cè)面開放 圖是一個扇形；設(shè)圓錐的母線長為 l ,底面圓的半徑為 r ,那么這個

47、扇形的半徑為 l ,扇形的 弧長為 2 r ,因此圓錐的側(cè)面積 s圓錐12rlrl ；圓錐的全面積為 2s圓錐s圓錐srl r 2； 側(cè) 全 側(cè) 底 25.1 隨機大事與概率 25.1.1 隨機大事 學(xué)問點一 必定大事,不行能大事,隨機大事 在確定條件下,有些大事必定會發(fā)生,這樣的大事稱為必定大事；相反地,有些大事必定 不會發(fā)生,這樣的大事稱為不行能大事；在確定條件下,可能發(fā)生也可能不會發(fā)生的大事稱為 隨機大事； 15 第 15 頁,共 32 頁必定大事和不行能大事是否會發(fā)生,是可以事先確定的,所以它們統(tǒng)稱為確定性大事； 學(xué)問點二 大事發(fā)生的可能性的大小 必定大事的可能性最大,不行能大事的可能

48、性最小,隨機大事發(fā)生的可能性有大有??； 不 同的隨機大事發(fā)生的可能性的大小有可能不同； 概率 學(xué)問點 概率 一般地,對于一個隨機大事 A,我們把刻畫其發(fā)生可能性大小的數(shù)值,稱為隨機大事 A生的概率,記作 P（A）； 發(fā) 一般地,假如在一次試驗中,有 n 種可能的結(jié)果,并且它們發(fā)生的可能性都相等,大事 A 包含其中的 m 種結(jié)果,那么大事 A 發(fā)生的概率 P（ A） = m ；由 m 和 n 的含義可知 0mn,因 此 0 m 1,因此 0P（A） 1. nn當(dāng) A 為必定大事時, P（A）=1；當(dāng) A 為不行能大事時, P（ A） =0. 25.2 用列舉法求概率 學(xué)問點一 用列舉法求概率 一

49、般地,假如在一次試驗中,有 n 種可能的結(jié)果,并且它們發(fā)生的可能性都相等,大事 A 包含其中的 m 種結(jié)果,那么大 事 學(xué)問點二 用列表發(fā)求概率 A 發(fā)生的概率 P（A）= m ； n當(dāng)一次試驗要涉及兩個因素并且可能顯現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時, 果,通常用列表法； 為不重不漏地列出全部可能的結(jié) 列表法是用表格的形式反映大事發(fā)生的各種情形顯現(xiàn)的次數(shù)和方式, 以及某一大事發(fā)生的可能 的次數(shù)和方式,并求出概率的方法； 學(xué)問點三 用樹形圖求概率 當(dāng)一次試驗要涉及 3 個或更多的因素時, 列方形表就不便利了, 為不重不漏地列出全部可 能的結(jié)果,通常接受樹形圖；樹形圖是反映大事發(fā)生的各種情形顯現(xiàn)的次數(shù)和方式,并

50、求出概 率的方法； 樹形圖法同樣適用于各種情形顯現(xiàn)的總次數(shù)不是很大時求概率的方法； 在用列表法和樹形圖法求隨機大事的概率時,應(yīng)留意各種情形顯現(xiàn)的可能性務(wù)必相同； 25.3 用頻率估量概率 學(xué)問點 在隨機大事中,一個隨機大事發(fā)生與否事先無法推測,表面上看似無規(guī)律可循,但當(dāng)我們 做大量重復(fù)試驗時,這個大事發(fā)生的頻率顯現(xiàn)出穩(wěn)固性,因此做了大量試驗后,可以用一個事 16 第 16 頁,共 32 頁件發(fā)生的頻率作為這個大事的概率的估量值； 一般地,在大量重復(fù)試驗中,假如大事 A 發(fā)生的頻率 m 穩(wěn)固于某一個常P,那么大事 A 發(fā)生的頻率 P（A）=p ； 數(shù) n人教版九年級下冊數(shù)學(xué)課本學(xué)問點總結(jié) 26

51、反比例函數(shù) 一,反比例函數(shù)的概念 1 （ ） 可以寫成 17 第 17 頁,共 32 頁（ ）的形式,留意自變量 x 的指數(shù)為 ,在解決有關(guān)自變量指數(shù)問題時應(yīng)特殊留意系數(shù) 這一限制條件； 18 第 18 頁,共 32 頁2 （ ） 也可以寫成 xy=k 的形式,用它可以快速地求出反比例函數(shù)解析式中的 k,從而得到反比例函 數(shù)的解析式； 3反比例函數(shù) 的自變量 19 第 19 頁,共 32 頁,故函數(shù)圖像與 x 軸, y 軸無交點 二,反比例函數(shù)的圖像畫法 反比例函數(shù)的圖像是雙曲線, 它有兩個分支, 這兩個分支分別位于第一, 第三象限或其次, 第四象限,它們與原點對稱,由于反比例函數(shù)中自變量函數(shù)

52、中自變量 x 0 ,函數(shù)值 y 0 ,所 以它的圖像與 x 軸,y 軸都沒有交點,即雙曲線的兩個分支無限接近坐標(biāo)軸,但永久達不到坐 標(biāo)軸； 反比例的畫法分三個步驟：列表；描點；連線； 再作反比例函數(shù)的圖像時應(yīng)留意以下幾點： 列表時選取的數(shù)值宜對稱選取； 列表時選取的數(shù)值越多,畫的圖像越精確； 連線時,必需依據(jù)自變量大小從左至右（或從右至左）用光滑的曲線連接,切忌畫成折 線； 畫圖像時,它的兩個分支應(yīng)全部畫出,但切忌將圖像與坐標(biāo)軸相交； 三,反比例函數(shù)及其圖像的性質(zhì) 1 函 數(shù) 解 析 式 ： 20 第 20 頁,共 32 頁（ ） 2自變量的取值范疇： 3圖像： （ 1）圖像的形狀：雙曲線,

53、21 越小,曲線越平直； 越小, 圖像的 彎曲度越大； （ 2）圖像的位置和性質(zhì)： 當(dāng) 時,圖像的兩支分別位于一,三象限； 在每個象限 內(nèi), y 隨 x 的增大而減??； 22 第 22 頁,共 32 頁當(dāng) 時,圖像的兩支分別位于二,四象限； 在每個象限 內(nèi), y 隨 x 的增大而增大； （ 3 ） 對 稱 性 ： 圖 像 關(guān) 于 原 點 對 稱 , 即 如 （ a , b ） 在 雙 曲 線 的 一 支 上 , 就 （ , ）在雙 23 第 23 頁,共 32 頁曲線的另一支；圖像關(guān)于直線 對稱,即如（ a,b）在 雙 曲 線 的 一 支 上 , 就 （ , ） 和 （ , 24 第 24 頁

54、,共 32 頁）在雙曲線的另一支上； 4k 的幾何意義 如圖 1,設(shè)點 P（a,b）是雙曲線 作 PAx 軸于 A 點,PB y 軸于 B 點,就矩形 的面積都是 1/2|k|）； 上任意一點, PBOA 的面積是 |k（| 三角形 PAO 和三角形 PBO 如圖 2,由雙曲線的對稱性可知, P 關(guān)于原點的對稱點 Q 也在雙曲線上,作 QCPA 的 延長線于 C,就有三角形 PQC 的面積為 2|k|； 25 第 25 頁,共 32 頁5說明： （ 1）雙曲線的兩個分支是斷開的,爭辯反比例函數(shù)的增減性時,要將兩個分支分別爭辯, 不能一概而論； 26 第 26 頁,共 32 頁（ 2）直線 與雙

55、曲線 的關(guān)系： 27 第 27 頁,共 32 頁當(dāng) 時,兩圖像沒有交點；當(dāng) 時,兩圖像必有兩個交點, 且這兩個交點關(guān)于原點成 中心對稱 四,實際問題與反比例函數(shù) 1求函數(shù)解析式的方法： （ 1）待定系數(shù)法；（2 ）依據(jù)實際意義列函數(shù)解析式； 2留意學(xué)科間學(xué)問的綜合,但重點放在對數(shù)學(xué)學(xué)問的爭辯上 五,充分利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題 27 相像三角形 一,圖形的相像 1圖形的相像： 假如兩個圖形形狀相同 的符號：） , 但大小不愿定相等 , 那么這兩個圖形相像； （相像 28 第 28 頁,共 32 頁性質(zhì)：相像多邊形的對應(yīng)角相等,對應(yīng)邊的比相等； 2判定：假如兩個多邊形中意對應(yīng)角相等,對應(yīng)邊的比

56、相等,那么這兩個多邊形相像； 3相像比：相像多邊形的對應(yīng)邊的比叫相像比；相像比為 二,相像三角形 1 時,相像的兩個圖形全等； 1性質(zhì)：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊或兩邊延長線相交,所構(gòu)成的三角形與原 三角形相像； 2判定 . 假如兩個三角形的三組對應(yīng)邊的比相等,那么這兩個三角形相像；假如兩 個三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等,并且相應(yīng)的夾角相等,那么這兩個三角形相像；如 果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等,那么這兩個三角形相像； 三邊對應(yīng)成比例兩個三角形的兩個角對應(yīng)相等； 兩邊對應(yīng)成比例 , 且夾角相等； 相像三角形的 一切對應(yīng)線段 對應(yīng)高,對應(yīng)中線,對應(yīng)角平分線,外接圓半徑,

57、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相像比； 3相像三角形應(yīng)用 視點：眼睛的位置；仰角：視線與水平線的夾角；盲區(qū)：看不到的區(qū)域； 4相像三角形的周長與面積：相像三角形周長的比等于相像比；相像多邊形周長的 比等于相像比；相像三角形面積的比等于相像比的平方；相像多邊形面積的比等于 相像比的平方； 三,位似 1位似圖形：假如兩個圖形不僅是相像圖形,而且每組對應(yīng)點的連線 交于一點 ,對應(yīng)邊 相互平行,那么這兩個圖形叫做位似圖形,這個點叫做 位似比； 位似中心 ,這時的相像比又稱為 2性質(zhì)：在平面直角體系中,假如位似變換是以原點為位似中心,相像比為 k,那么位 似圖形的對應(yīng)點的坐標(biāo)的比等于 k 或 -k ； 留意 1,位似是一種具有位置關(guān)系的相像,所以兩個圖形是位似圖形,必定是相像圖形,而相 似圖形不愿定是位似圖形； 2,兩個位似圖形的位似中心只有一個； 3,兩個位似圖形可能位于位似中心的兩側(cè),也可能位于位似中心的一側(cè)； 4,位似比就是相像比利用位似圖形的定義可判定兩個圖形是否位似； 29第 29 頁,共 32 頁5位似