二次函數(shù)(分段函數(shù))

1、二次函數(shù)(分段函數(shù))一、根據(jù)文字表達(dá)式獲取分段函數(shù)信息例1在黃州服裝批發(fā)市場(chǎng)，某種品牌的時(shí)裝當(dāng)季節(jié)即將來臨時(shí)，價(jià)格呈上升趨勢(shì)，設(shè)這種時(shí)裝開始時(shí)定價(jià)為20元，并且每周(7天)漲價(jià)2元，從第6周開始保持30元的價(jià)格平穩(wěn)銷售；從第12周開始，當(dāng)季節(jié)即將過去時(shí)，平均每周減價(jià)2元，直到第16周周末，該服裝不再銷售.試建立銷售價(jià)y與周次x之間的函數(shù)關(guān)系式.分析：本題要善于從文字信息中提煉出函數(shù)關(guān)系，可先采用列表法找出周次x和銷售價(jià)y對(duì)應(yīng)信息，然后根據(jù)表格中對(duì)應(yīng)關(guān)系列出分段函數(shù)表達(dá)式.周次(x)123456銷售價(jià)(y)202224262830解：依題意，可建立的函數(shù)關(guān)系式為:20+2(x-1)Gx6)y=3

2、0(6x11)；30-2(x-11)(12x16)111213141516303028262422202x+18(1x6)即y=30(6x11)-2x+52(12x16)二、根據(jù)已知分段函數(shù)解析式求解例2心理學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)，一般情況下，學(xué)生的注意力隨著教師講課時(shí)間的變化而變化,講課開始時(shí)，學(xué)生的注意力逐步增強(qiáng)，中間有一段時(shí)間學(xué)生的注意力保持較為理想的狀態(tài),隨后學(xué)生的注意力開始分散，經(jīng)過實(shí)驗(yàn)分析可知，學(xué)生的注意力y隨時(shí)間t的變化規(guī)律有如下關(guān)系式：-t2+241+100(0t10)y=240(10t20)-71+380(20t40)講課開始后第5分鐘時(shí)與講課開始后第25分鐘時(shí)比較，何時(shí)學(xué)生的注意力更

3、集中？一道數(shù)學(xué)難題，需要講解24分鐘，為了效果較好，要求學(xué)生的注意力最低達(dá)到180,那么經(jīng)過適當(dāng)安排，老師能否在學(xué)生注意力達(dá)到所需的狀態(tài)下講解完這道題目？解：(1)當(dāng)x=5時(shí)，代入y=t2+24t+100中，得y=195；當(dāng)x=25時(shí)，代入y=7t+24t+100中，得y=205.講課開始后第25分鐘時(shí)學(xué)生的注意力比講課開始后第5分鐘時(shí)更集中.(2)當(dāng)OVtWlO時(shí)，令y=t2+24t+100=180，得t=4；當(dāng)10t20時(shí)，y=240；當(dāng)20t40時(shí)，y=7t+380=180，得t=28.57.所以學(xué)生注意力在180以上的持續(xù)時(shí)間為28.57-4=24.57(分鐘).老師可以經(jīng)過適當(dāng)安排，

4、能在學(xué)生注意力達(dá)到所需的狀態(tài)下講解完這道題目.4一蔬菜基地種植的某種綠色蔬菜，根據(jù)今年的市場(chǎng)行情，預(yù)計(jì)從五月一日起的50天內(nèi)，它的市場(chǎng)售價(jià)片與上市時(shí)間x的關(guān)系可用圖1的一條線段表示：5丄2：丄a1020304050*閣1它的種植成本y2與上市時(shí)間x的關(guān)系，可用圖2中拋物線的一部分來表示。求出圖1中表示的市場(chǎng)售價(jià)y與上市時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式。(2)求出圖2中表示的種植成本y與上市時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式。(3)假定市場(chǎng)售價(jià)減去種植成本為純利潤(rùn)，問哪天上市的這種綠色蔬菜既不賠本也不賺錢？(市場(chǎng)售價(jià)和種植成本的單位：元/千克，時(shí)間單位：天，122=144,132=169,142=196)簡(jiǎn)解：設(shè)ykx+b，

5、由于圖象過(0,5.1)、(50,2.1)兩點(diǎn)，解得y=-x+5.10WxW501由于拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(25,2)，:可設(shè)拋物線的解析式為y2=a(x-25)2+2又拋物線過點(diǎn)(15,3),.3二a(15-25)2+2,得a=y=(x25)2+2,0WxW50令y=y2，得x+5.1=(x-25)2+2,整理得x2-44x+315=0,解得X=35,xj9*.*x=35,x=9均在0WxW50內(nèi)，12.*.x,x均合乎題意。12故這種綠色蔬菜在五月九日和六月四日上市時(shí)既不賠本也不賺錢。注：由于該題中的函數(shù)都是分段函數(shù)，因此求出的函數(shù)解析式必須寫出自變量的取值范圍。6、某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每件

6、成本3元，售價(jià)4元，年銷售量20萬件，為獲得更好的效益,公司準(zhǔn)備拿出一定資金做廣告，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，設(shè)廣告費(fèi)x萬元，做廣告后的年銷售量是原銷售量的y倍,且y與x的關(guān)系如圖所示。圖中AB是線段，BCD是拋物線段，DE是射線，如果把利潤(rùn)看成是銷售總額減去成本費(fèi)和廣告費(fèi)，（1）寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）試比較廣告費(fèi)分別為0.5萬元和2.5萬元時(shí)，產(chǎn)品銷售量的大?。唬?）試寫出年利潤(rùn)s（萬元）與廣告費(fèi)x（萬元）之間的函數(shù)關(guān)系式3x+1(0,x110177-x2+x+(1,x3)(3分)3(2)當(dāng)x0.5時(shí)，yx0.5+11.15110(倍)，當(dāng)x2.5時(shí)，177y一x2.52+x2.5+1.825210

7、1010y2人，當(dāng)廣告費(fèi)為25萬元時(shí)，產(chǎn)品銷售量較大；（7分）5x+20（0,x1）（3）s-2x2+13x+14（1,x3）7某大學(xué)畢業(yè)生響應(yīng)國(guó)家“自主創(chuàng)業(yè)”的號(hào)召，投資開辦了一個(gè)裝飾品商店.該店采購(gòu)進(jìn)一種今年新上市的飾品進(jìn)行了30天的試銷售，購(gòu)進(jìn)價(jià)格為20元/件銷售結(jié)束后，得知日銷售量P（件）與銷售時(shí)間x（天）之間有如下關(guān)系：P=-2x+80（1WxW30，且x為整數(shù)）;又知前20天的銷售價(jià)格Q（元/件）與銷售時(shí)間x（天）之間有如下關(guān)系：Q1x+30（1WxW20,112且x為整數(shù)），后10天的銷售價(jià)格Q2（元/件）與銷售時(shí)間x（天）之間有如下關(guān)系:Q2=45(21x30,且X為整數(shù)幾試寫

8、出該商店前20天的日銷售利潤(rùn)R1（元）和后10天的日銷售利潤(rùn)R2（元）分別與銷售時(shí)間x（天）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）請(qǐng)問在這30天的試銷售中，哪一天的日銷售利潤(rùn)最大?并求出這個(gè)最大利潤(rùn).注：銷售利潤(rùn)=銷售收入一購(gòu)進(jìn)成本.8通過實(shí)驗(yàn)研究，專家們發(fā)現(xiàn)：一個(gè)會(huì)場(chǎng)聽眾聽講的注意力指標(biāo)數(shù)是隨著演講者演講時(shí)間的變化而變化的，演講開始時(shí)，聽眾的興趣激增，中間有一段時(shí)間，聽眾的興趣保持平穩(wěn)的狀態(tài)，隨后開始分散。聽眾注意力指標(biāo)數(shù)y隨時(shí)間x（分鐘）變化的函數(shù)圖像如下圖所示（y越大表示聽眾注意力越集中）。當(dāng)OWxWlO時(shí)，圖像是拋物線的一部分，當(dāng)10WxW20和20WxW40時(shí)，圖像是線段。（1）當(dāng)OWxWlO時(shí)，

9、求注意力指標(biāo)數(shù)y與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式；（2）王標(biāo)同學(xué)競(jìng)選學(xué)生會(huì)干部需要演講24分鐘，問他能否經(jīng)過適當(dāng)安排，使聽眾在聽他的演講時(shí)，注意力的指標(biāo)數(shù)都不低于36?若能，請(qǐng)寫出他安排的時(shí)間段；若不能，也請(qǐng)說明理由。9落實(shí)國(guó)務(wù)院副總理李克強(qiáng)同志到恩施考察時(shí)的指示精神，最近，州委州政府又出臺(tái)了一系列“三農(nóng)”優(yōu)惠政策，使農(nóng)民收入大幅度增加某農(nóng)戶生產(chǎn)經(jīng)銷一種農(nóng)副產(chǎn)品，已知這種產(chǎn)品的成本價(jià)為20元/千克市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),該產(chǎn)品每天的銷售量w（千克）與銷售價(jià)x（元/千克）有如下關(guān)系：w=2x+80.設(shè)這種產(chǎn)品每天的銷售利潤(rùn)為y（元）.（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.（2）當(dāng)銷售價(jià)定為多少元時(shí)，每天的銷售利潤(rùn)最大?最大

10、利潤(rùn)是多少？（3）如果物價(jià)部門規(guī)定這種產(chǎn)品的銷售價(jià)不得高于28元/千克,該農(nóng)戶想要每天獲得150元的銷售利潤(rùn)，銷售價(jià)應(yīng)定為多少元？10某商場(chǎng)試銷一種成本為每件60元的服裝，規(guī)定試銷期間銷售單價(jià)不低于成本單價(jià)，且獲利不得高于45%,經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)，銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）符合一次函數(shù)ykx+b，且x65時(shí)，y55；x=75時(shí)，y=45.（1）求一次函數(shù)ykx+b的表達(dá)式；（2）若該商場(chǎng)獲得利潤(rùn)為W元，試寫出利潤(rùn)W與銷售單價(jià)x之間的關(guān)系式；銷售單價(jià)定為多少兀時(shí)，商場(chǎng)可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少兀11、某商品的進(jìn)價(jià)為每件30元，現(xiàn)在的售價(jià)為每件40元，每星期可賣出150件.市場(chǎng)調(diào)查反映：如果每

11、件的售價(jià)每漲1元（售價(jià)每件不能高于45元），那么每星期少賣10件設(shè)每件漲價(jià)x元（x為非負(fù)整數(shù)），每星期的銷量為y件.（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍；（2）如何定價(jià)才能使每星期的利潤(rùn)最大且每星期銷量較大？每星期的最大利潤(rùn)是多少？12(本題滿分10分)某商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，如果售價(jià)為每件50元，每個(gè)月可賣出210件；如果售價(jià)超過50元但不超過80元，每件商品的售價(jià)每上漲1元，則每個(gè)月少賣1件;如果售價(jià)超過80元后，若再漲價(jià)，則每漲1元每月少賣3件設(shè)每件商品的售價(jià)為x元，每個(gè)月的銷售量為y件.求y與x的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出自變量X的取值范圍；設(shè)每月的銷售利潤(rùn)為W，請(qǐng)直接寫出W與x

12、的函數(shù)關(guān)系式；每件商品的售價(jià)定位多少元時(shí)，每個(gè)月可獲得最大利潤(rùn)？最大的月利潤(rùn)是多少元例3、某公司專銷產(chǎn)品A,第一批產(chǎn)品A上市40天內(nèi)全部售完.該公司對(duì)第一批產(chǎn)品A上市后的市場(chǎng)銷售情況進(jìn)行了跟蹤調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如圖所示，其中圖(3)中的折線表示的是市場(chǎng)日銷售量與上市時(shí)間的關(guān)系；圖(4)中的折線表示的是每件產(chǎn)品A的銷售利潤(rùn)與上市時(shí)間的關(guān)系.試寫出第一批產(chǎn)品A的市場(chǎng)日銷售量y與上市時(shí)間t的關(guān)系式；第一批產(chǎn)品A上市后，哪一天這家公司市場(chǎng)日銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少萬元？解析：（1）由圖3可得，當(dāng)owtW30時(shí)，市場(chǎng)日銷售量y與上市時(shí)間t的關(guān)系是正比例函數(shù)，所以設(shè)市場(chǎng)的日銷售量：y=kt,點(diǎn)（30,60

13、）在圖象上，60=30k.k=2.即y=21,當(dāng)30WtW40時(shí)，市場(chǎng)日銷售量y與上市時(shí)間t的關(guān)系是一次函數(shù)關(guān)系，所以設(shè)市場(chǎng)的日銷售量：丫=匕t+b,因?yàn)辄c(diǎn)（30，60）和（40，0）在圖象上，所以6030k+b1，040k+b1解得k=6，b=240.y=6t+240.綜上可知，當(dāng)OWtW30時(shí)，市場(chǎng)的日銷售量：y=21,當(dāng)30WtW40時(shí)，市場(chǎng)的日銷售量：y=-61+240。（2）由圖4可得，當(dāng)OWtW20時(shí)，市場(chǎng)銷售利潤(rùn)w與上市時(shí)間t的關(guān)系是正比例函數(shù)，所以設(shè)市場(chǎng)的日銷售量：w=kt,點(diǎn)（20，60）在圖象上，60=20k.k=3.即w=3t,當(dāng)20WtW40時(shí)，市場(chǎng)銷售利潤(rùn)w與上市時(shí)間t的關(guān)系是常數(shù)函數(shù)，所以，w=60,當(dāng)0WtW20時(shí)，產(chǎn)品的日銷售利潤(rùn)：m=31X2t=612；k=60,所以，m隨t的增大而增大，當(dāng)t=20時(shí)，產(chǎn)品的日銷售利潤(rùn)m最大值為：2400萬元。當(dāng)20WtW30時(shí)，產(chǎn)品的日銷售利潤(rùn)：m=60X2t=1201,k=1200,所以，m隨t的增大而增大，當(dāng)t=30時(shí)，