《數(shù)學(xué)分析》課件 6-2換元積分法

1、6.2.1 換元積分法問題？解決方法利用復(fù)合函數(shù)，設(shè)置中間變量.過程令一、第一類換元法在一般情況下：設(shè)則如果（可微）由此可得換元法定理第一類換元公式（湊微分法）說明使用此公式的關(guān)鍵在于將化為觀察重點(diǎn)不同，所得結(jié)論不同.定理1例1 求解（一）解（二）解（三）例2 求解一般地例3 求解例4 求解例5 求解例6 求解例7 求解例8 求解例9 求原式例10 求解例11 求解說明當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時(shí)，拆開奇次項(xiàng)去湊微分.例12 求解例13 求解（一）（使用了三角函數(shù)恒等變形）解（二）類似地可推出解例14 設(shè) 求 .令例15 求解問題解決方法改變中間變量的設(shè)置方法.過程令（應(yīng)用“湊微分”即可求出結(jié)果

2、）二、第二類換元法證設(shè) 為 的原函數(shù),令則則有換元公式定理2第二類積分換元公式例16 求解令例17 求解令例18 求解令說明(1)以上幾例所使用的均為三角代換.三角代換的目的是化掉根式.一般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有可令可令可令說明(2)積分中為了化掉根式除采用三角代換外還可用雙曲代換.也可以化掉根式例 中, 令 積分中為了化掉根式是否一定采用三角代換（或雙曲代換）并不是絕對(duì)的，需根據(jù)被積函數(shù)的情況來定.說明(3)例19 求（三角代換很繁瑣）令解例20 求解令說明(4)當(dāng)分母的階較高時(shí), 可采用倒代換例21 求令解例22 求解令（分母的階較高）說明(5)當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式 時(shí)，

3、可采用令 （其中 為各根指數(shù)的最小公倍數(shù)） 例23 求解令基本積分表第一換元積分法則：三 課堂小結(jié)：掌握常見的六種湊微分類型作業(yè)： P188 : 1(1) (30) . 思考題求積分思考題解答6.2.2分部積分法復(fù)習(xí)引入 一.求下列不定積分：解：（公式法）（湊微分法）(公式法與湊微分法都不能直接運(yùn)用)二.函數(shù)積的微分法則d(uv)=udv+vdu 移項(xiàng)得 udv=d(uv)-vdu對(duì)上式兩邊求不定積分，得：分部積分法 如果函數(shù)uu(x)及vv(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則有 (uv) uvuv， 或 uv (uv)uv。 對(duì)上述等式兩邊求不定積分，得這個(gè)公式稱為分部積分公式。 分部積分的過程： 新課講

4、授新課講授一.分部積分公式：二. 關(guān)鍵：恰當(dāng)選取u和確定v.如何選取u:(LIATE法)L-對(duì)數(shù)函數(shù)I-反三角函數(shù)A-代數(shù)函數(shù)T-三角函數(shù)E-指數(shù)函數(shù)根據(jù)LIATE法，f(x)與g(x)誰排在LIATE這一字母表 前面就選誰為u. 即若選f(x)為u,則g(x)dx=dv。v=g(x)dx、或v=g(x).使用分部積分公式，若選f(x)=u,則vg(x)注：而v=g(x).例題與練習(xí) 例1.求下列不定積分解：解：例題與練習(xí) 例1.求下列不定積分解：解：例題與練習(xí) 練習(xí)1.求下列不定積分解：常用解題技巧()多次使用分部積分法則解：練習(xí)2.求不定積分例2.常用解題技巧()還原法例3.解：練習(xí)3：與換元法相結(jié)合練習(xí)4.求不定積分解：常用解題技巧例5例6例7例8例9例10例11 解：因?yàn)?例13練習(xí):用什么積分法求下列積分？課堂小結(jié)與作業(yè)(1)根據(jù)LIATE法，恰當(dāng)選取u和確定v.(2)運(yùn)用分部積分公式： .(3)掌握常用三