2019-2020年北京初中數(shù)學競賽 九年級 圓的專題

1、R2019-2020北京初中數(shù)學競賽九年級圓的專題（含答案）1.求證：若半徑為R的圓內(nèi)接四邊形對角線垂直，則以對角線交點到四邊射影為頂點的四邊形有內(nèi)切圓，且此圓半徑不大于2解析如圖，已知圓內(nèi)接四邊形ABCD，ACBD，垂足為P，P在AB、BC、CD、DA上的射影分別為E、F、G、H，則由幾組四點共圓易知EHFGAPsinBADCPsinBCDACsinBAD邊形EFGH有內(nèi)切圓AEHBPGFACBD2RD，同理EFHG也是此值，因此四四邊形EFGH的內(nèi)心于是內(nèi)切圓半徑rPFsinPFGPFsinACDPFPCsinACBC由于FEPCBDCADHEP，故EP平分FEH，同理HP、GP、FP平分

2、另外3個角，P為AD2RADPCABADPCPAR2R2R4R22R2R2取到等號僅當P為圓心時2.如圖(a)，已知eO的直徑為AB，eO過點O，且與eO內(nèi)切于點BC為eO上的點，OC與eO11交于點D，且滿足ODCD，點E在線段OD上，使得D為線段CE的中點，連結BE并延長，與eO交于點F，求證：BOCDOF11FDCFDCEOO1BAOEO1MB(a)(b)解析如圖(b)，連結BD，因為OB為eO的直徑，所以ODB90，結合DCDE，可得BDE1BDCIBCS設BC與eO交于點M，連結OM，則OMB90，于是OM平分COB，從而有1BOC2DOM2DBM2DBC2DBE2DBFDOF1又因

3、為BOC，DOF分別是等腰BOC，DOF的頂角，所以BOCDOF1113.I是ABC的內(nèi)心，線段AI延長交ABC的外接圓于D，若AB3，AC4，且S求BCDBC，2，BC解析如圖，設BC與AD交于E，則IEEDx，BDCDID2x，又設AEy，由于在等腰三角形BCD中，有熟知的結論BD2DE2BECEAEED，此即3x2yx，y3x，故ABACAI7BCIE2AlBECD4.在平面上給定等腰三角形ABC，其中ABAC，試在平面上找到所有符合要求的點M，使ABM、ACM都是等腰三角形解析要使ABM為等腰三角形，M必定在AB的垂直平分線上，或在以A、B為圓心、AB為半徑的圓上ACM亦然這樣得到3個

4、圓eA、eB、eCCAM1M5M3BBCM4M6M2e，在eA上除了B、C及其對徑點B、C，其余的點都符合要求此外，還有6個點，即AB中垂線與eC的兩個交點M、M，AC的中垂線與eB的兩個交點M、M，B與eC的另一個交點M（不是A）12346兩條中垂線的交點M（即ABC之外心），如圖5何時M在直線AB上或A、C、M共線，此時A是三邊長分別為1:2:2的等腰三角形的底角，此時12M、M、M、M均不符合要求；又A120時，六點變一點，且在eA上，A120時，只有M12345與M兩點6評注讀者可考慮ABC為不等邊三角形時的情形5.已知：ABC中，ABAC，AD是高，P為AC上任一點，PC的中垂線RQ

5、交AD于R，求證：RPBDAC解析如圖，易知RPRCRB，R為PBC外心，BRP2C180BAC，故A、B、R、P共圓，于是RPBBADDACAPQRBDC6.D、E、F分別在ABC的邊BC、CA、AB上，則AEF、BFD、CDE的外接圓共點解析如圖，設AEF、BFD的外接圓除F之外，還交于P，連結PD、PE、PF，則PECAFPBDP，故E、P、D、C共圓，證畢AFEPBDC題12.2.27.平面上有一條光線穿過該平面上的一圓，打在一條直徑上并發(fā)生反射，最后穿出圓去，求證：這條光線與圓的兩個交點、與直徑的接觸點以及圓心，該四點共圓解析如圖，設這條光線為APB，EOF是題設中的直徑，延長AP至

6、eO于C，則BPFAPECPF，B與C關于EF對稱于是BPOCPO這樣一來，便有OBPOCPOAP，于是A、O、P、B四點共圓ABEOPFC題12.2.3評注本題亦可利用圓心角證8.已知P為ABC外接圓的BC上一點，則P在直線AB、BC、CA的射影L、M、N共線解析如圖，連結LM、MN，BP，CP，則由L、M、P、B共圓，M、P、N、C共圓及A、B、P、C共圓，得LMPNMPLMB90PCNLPBABP90180，故L、M、N共線ALBMCPN評注此線稱為西摩松線反之，若三垂足共線，則P在ABC外接圓上9.四邊形ABCD對角線交于O，AOCOBODO，O在AB、BC、CD、DA上的垂足分別是E

7、、F、G、H，求證：EFGHEHFG解析如圖，易知A、B、C、D共圓AEHBDOFGC由A、E、O、H共圓，得EHAOsinA（A即BAD，余同），同理FGCOsinCCOsin(180A)COsinA，故EHFGACsinA，同理EFGHBDsinB而ACBDsinBsinA，于是上述結論成立解析如圖，BCD180(CBDCDB)180BAD，故BCDBAD180，作BCD外評注讀者不妨研究由EFGHEHFG能否得出A、B、C、D共圓10.已知凸四邊形ABCD，BAC2BDC，CAD2CBD，求證：ABACAD12接圓，A在圓內(nèi)、延長CA至圓于P連結PB、PD，則P、B、C、D四點共圓P于是

8、APDCBDCAD，故APDADP，PAAD，同理PAABA為PBD外心，也解析如圖，不妨設P在BC上P在直線AB、BC上的射影分別是M、N，MN即為西摩松線ALABDC12即BCD之外心，于是ABACAD11.設圓內(nèi)接ABC的垂心為H，P為圓周上任一點，求證：PH被P關于該三角形的西摩松線平分是高，延長后交圓于D，PN延長后交圓于Q，連結PD、QA、CD、BP則HCBBADDCB，得HLLDQRAHMBNLCE12.已知MON為eO直徑，S在ON上，弦ASBMN，P在BM上，PS延長后交圓于Q，PN交ABPD又易知M、N、P、B共圓，因此ENPABPAQP，故MNAQ又作HRAQ，于是由四邊

9、形AQPD為等腰梯形，知四邊形HRPD也是等腰梯形，于是由知BC垂直平分HD，從而BC垂直平分RP由PNNR及MNERH，知MN必將PH平分于R，求證：QSRN1解析如圖，連結MP、MR，知M、S、R、P共圓，于是RNSNQSMRSPMS，于是RNMRQSMSMAOSPRBQN13.已知銳角三角形ABC中，ABAC，ADBC于D，G、F分別在AB、AC上，GC、BF、AD交于H，若G、B、C、F共圓，則H為ABC之垂心解析如圖，易知BDCD，今在BD上找一點E，使EDCD，連結AE、HE，則E與C關于AD對稱于是由對稱及G、B、C、F共圓，得ABHACHAEH，于是A、B、E、H共圓，故BAD

10、HECHCE，于是AGHHDC90，H為垂心AGFHBEDC14.已知ABC與ACD均為正三角形，過D任作一直線，分別交BA、BC延長線于E、F，CE與AF交于G，求證：GB平分AGCEADGBCF解析設ABBCACa，AEx，CFy，由ADBF，CDBE，則xyxaya1，去分母整理得xya2此即EDDFAEACEFEFACCF，又EAC120ACF，故EACACF，AGEGACACGGACAFC60，故A、B、C、G共圓，AGBACB60BACCGB15.設圓內(nèi)接四邊形ABCD，AB、DC延長交于E，AD、BC延長交于F，EF中點為G，AG與圓又交于K，求證：C、E、F、K四點共圓解析如圖

11、，延長AG一倍至J，作平行四邊形AEJF連結CK，則CEJADEAKC，于是E、C、K、J共圓，或K在CEJ的外接圓上ADBECKGFJ又EJFEAF180BCD180ECF，故E、C、F、J共圓，或F亦在CEJ的外接圓上于是C、E、J、F、K五點共圓，結論成立16.AD、BE是銳角三角形ABC的高，D、E是垂足，D在AB、AC上的射影分別是M、N，E在BC、AB上的射影分別是P、Q，求證：QNPM解析如圖，連結ED、PN，則易知NPCDECABC，故NPABAQMEeqoac(,S)ABC，R為ABC外接圓NBDPC欲證四邊形MPNQ為等腰梯形，只需證MNPQ即可由于A、M、D、N共圓，AD

12、為直徑，故MNADsinA半徑，同理PQ也是此值，因此結論成立ADBC2RR17.過兩定點A、B的圓與定圓交于P、Q，求證：APAQBPBQ為定值解析如圖，延長（或不延長）AP、BQ，可與定圓再分別交于M、N兩點，則由四點共圓知BAPPQN180M，故ABMNAPMBQN于是四邊形ABNM為梯形，AMsinABNsinB（A即BAP，余類似）；又由定圓性質知APAM為定值，BQBN亦為定值，故為定值，此即為定值但由正弦定理，APsinBBQsinAAPAMsinBAQBQBNsinABP，APAQ于是為定值BPBQ18.直角三角形ABC中，E、F分別是直角邊AB、AC上的任意點，自A向BC、C

13、E、EF、FB引垂線，垂足分別是M、N、P、Q證明：M、N、P、Q四點共圓解析因A、E、N、P共圓，故CNPEAPAFP，因A、N、M、C共圓，故CNMCAM，又A、B、M、Q共圓，故MQBMAB，由A、P、Q、F共圓，得PQBFAP所以MNPMQP(CNMCNP)(MQBPQB)(CAMAFP)(MABFAP)(CAMMAB)(AFPFAP)9090180故M、N、P、Q共圓APFEQNBMC19.ABCD是圓內(nèi)接四邊形，AC是圓的直徑，BDAC，AC與BD的交點為E，F(xiàn)在DA的延長線上，連結BF，G在BA的延長線上，使得DGBF，H在GF的延長線上，CHGF證明：B、E、F、H四點共圓解析

14、如圖，連結BH、EF、CG因為BAFGAD，所以GFADAABAG，HBFAEDC又因為ABEACD，所以ABACEADA從而得FAACEAAG，解析如圖，作AFBC，BEAD（E、F為垂足），則PEABPF設PG與EF交于K，2因為FAECAG，所以FAECAG，于是FEACGA由題設知，CBGCHG90，所以B、C、G、H四點共圓，得BHCBGC于是BHFBEFBHC90BEFBGC90BEFFEA90BEF180，所以，B、E、F、H四點共圓20.四邊形ABCD內(nèi)接于圓，P是AB的中點，PEAD，PFBC，PGCD，E，F(xiàn)，G為垂足，M是線段PG和EF的交點，求證：MEMF1111111

15、11因A、B、F、E共圓，所以CFEA180C，因此EFCD，PKEF，K是EF的1111111111中點（因PEF為等腰三角形），故PEKF為平行四邊形（因P、E、K、F為四邊形ABFE各邊中1111點），因此MEMFDGCE1KEMF1FAPB評注本題亦可用面積法快速解決21.ABC中，AD、AE分別是高和中線，且都在三角形內(nèi)部，求證：若DABCAEeqoac(,，則)ABC或者是等腰三角形，或者是直角三角形解析如圖，D與E無非是三種位置關系，由對稱性，可歸結為兩種：D與E重合，或D位于E的左側AFBDEC若D與E重合時，ABC顯然為等腰三角形若D在E的左側，設AB中點為F，連接FD、FE

16、.則EF為中位線，由條件，知AEFCAEDABADF，故A、F、D、E共圓，于是BACBAEEACFDBADF9022.設A、B、C、D、E是單位半圓上依次五點，AE是直徑，且ABa，BCb，CDc，DEd，證明：a2b2c2d2abcbcd4解析如圖，連接CA、CE，則ACCE，設CAE，CEA，則由四點共圓及余弦定理，有：CBDAE4AE2AC2CE2a2b22abcosc2d22cdcosa2b2c2d2abCEcdAC，由于ABC，CDE90，故CECEc，ACBCb，代入，即得4a2b2c2d2abcbcd23.已知四邊形ABCD內(nèi)接于圓，點E、F分別為AB、CD上的動點，且滿足AE

17、CFEBFD，又點P在EF上且滿足PEABPFCD，證明：APD與BPC的面積之比與點E、F無關解析如圖，不妨設AD、BC延長后交于S，由四點共圓知ABSCSF，又E、F分別是對應點，故ASECSF于是ESASABPEFSCSCDPF，于是SP平分ESF進而平分ASB，于是P至AD、BC距離相等，eqoac(,S)APDADeqoac(,S)BPCBC，與E、F無關（圖中SE、SF、SP未畫出）AEPDFBCSDABDOB，所以DABDOFADBC時，結論不變24.AB是圓O的直徑，C為AB延長線上的一點，過點C作圓O的割線，與圓O交于D、E兩點，OF是BOD的外接圓O的直徑，連接CF并延長交

18、圓O于點G.求證：O、A、E、G四點共圓11解析如圖，連接AD、DG、GA、GO、DB、EA、EOEGDFAO1OBC因為OF是等腰DOB的外接圓的直徑，所以OF平分DOB，即DOB2DOF又12又DGFDOF，所以DABDGF，因此，G、A、C、D四點共圓所以AGCADC而AGCAGOOGFAGO90，ADCADBBDC90BDC，因此AGOBDC因為B、D、E、A四點共圓，所以BDCEAO，又OAOE，所以EAOAEO從而AGOAEO，所以，O、A、E、G四點共圓25.已知ABC中，ADBC于D，DMAC于M，DBAB于N，NM與BC延長線交于E，求證：111CDBDDE解析如圖，延長DM，作EFDM于F，由FDEC