人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末專題復(fù)習(xí)：幾何壓軸題強(qiáng)化訓(xùn)練試題

1、人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末專題復(fù)習(xí)：幾何壓軸題強(qiáng)化訓(xùn)練試題1、如圖，ABAC,ZBAC的平分線與BC邊的中垂線GD相交于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DE丄AB于點(diǎn)E,DF丄AC于點(diǎn)F,求證：BE=CF.2、如圖，AABC中，ZACB=90,AC=BC，將ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角a.(OVaAC,ZBAC的平分線與BC邊的中垂線GD相交于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DE丄AB于點(diǎn)E,DF丄AC于點(diǎn)F,求證：BE=CF.【解答】證明：連結(jié)BD，CDTAD平分ZBAC,DE丄AB,DF丄AC,.ZAED=ZBED=ZAFD=90,DE=DF.TDG垂直平分BC,DB=DC.在RtADEB和RtADFC中，rDE二DC1de=df

2、，.RtADEB竺RtADFC(HL),BE=CF；2、如圖，AABC中，ZACB=90,AC=BC，將ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角a.(OVa90)得到ABC，連接BB.設(shè)CB1交AB于D,AB分別交AB、AC于E、F.Ill111在圖中不再添加其它任何線段的情況下，請(qǐng)你找出一對(duì)全等的三角形，并加以說明(AABC與厶ABC全等除外)；111當(dāng)厶BBD是等腰三角形時(shí)，求a.1解：(1)全等的三角形有：ACBD竺ACAF或AAEF竺ABED或厶ACD竺ABCF；:111證明：.ZACB+ZACF=ZACB+ZBCD=90111AZACF=ZBCD1AC=BC1AZA=ZCBD=45/.CBDACAF

3、；1CF=CD，CA=CB，1AF=BD,1VZA=ZEBD,ZAEF=ZBED,11AEFABED,1TAC=BC,ZACD=ZBCF,ZA=ZCBF,111.ACD竺竺ABCF.1(2)在厶CBB中1CB=CB1ZCBB=ZCBB呂(180-a)112又AABC是等腰直角三角形ZABC=45若BB=BD,則ZBDB=ZBBD1111VZBDB=45+a1ZBBD=ZCBB-45=i(180-a)-45=45-11_2a45+a=45-，a=0(舍去);TZBBC=ZBBCZBBD,BDBD,即BDHBD；11111),a=30若BB=BD,則ZBDB=ZBBD,即45+a=(180-111

4、2由可知，當(dāng)BBD為等腰三角形時(shí)，a=30；13、如圖，在ABC中，ZBAC=120,AD,BE分別為AABC的角平分線，連結(jié)DE(1)求證：點(diǎn)E到DA,DC的距離相等;TAD平分ZBAC,ZBAC=120,.ZBAD=ZCAD=60,VZCAH=180-120=60,.AE平分ZHAD,.EH=EG,TBE平分ZABC,EH丄AB,EF丄BC,EH=EF,.EF=EG,點(diǎn)E到DA、DC的距離相等；(2)解：由(1)知：DE平分ZADC,.ZEDC=ZDEB+ZDBE,寺皿A=ZDEB+ZABC,ZDEB吉(ZCDA-ZABC)=ZBAD=30.4、在厶ABC中，ZACB=90,AC=BC，直

5、線，MN經(jīng)過點(diǎn)C,且AD丄MN于點(diǎn)D,BE丄MN于點(diǎn)E.當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖1的位置時(shí)，求證：DE=AD+BE；當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時(shí)，求證：DE=AD-BE；當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，線段DE、AD、BE之間又有什么樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)你直接寫出這個(gè)數(shù)量關(guān)系，不要證明【解答】(1)證明：TAD丄MN，BE丄MN，.ZADC=ZCEB=90，.ZDAC+ZACD=90，VZACB=90，.ZBCE+ZACD=90,ZDAC=ZBCE,在厶ADC和厶CEB,rZADCZCEBZDACZECB,lac=cb.ADCCEB(AAS),CD=BE,AD=CE,DE=CE+C

6、D=AD+BE；(2)證明：與(1)一樣可證明ADC竺ACEB,CD=BE,AD=CE,.DE=CE-CD=AD-BE；(3)解：DE=BE-AD.5、概念學(xué)習(xí)：規(guī)定：如果一個(gè)三角形的三個(gè)角分別等于另一個(gè)三角形的三個(gè)角，那么稱這兩個(gè)三角形互為“等角三角形”從三角形(不是等腰三角形)一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對(duì)邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果分得的兩個(gè)小三角形中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)與原來三角形是“等角三角形”，我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的“等角分割線”理解概念如圖1,在RtAABC中，ZACB=90,CDLAB,請(qǐng)寫出圖中兩對(duì)“等角三角形”.概念應(yīng)用如圖2,在A

7、BC中，CD為角平分線，ZA=40,ZB=60.(2)7在AABC中，ZA=40,ZB=60.ZACB=180-ZA-ZB=807CD為角平分線，:,ZACD=ZDCB-ZACB=40,.ZACD=ZA,ZDCB=ZA,:CD=DA，在ADBC中，ZDCB=40,ZB=60,：.ZBDC=180-ZDCB-ZB=80,：ZBDC=ZACB,7CD=DA,ZBDC=ZACB,ZDCB=ZA,ZB=ZB,：CD為AABC的等角分割線；(3)當(dāng)AACD是等腰三角形，DA=DC時(shí)，ZACD=ZA=42,.ZACB=ZBDC=42+42=84,當(dāng)AACD是等腰三角形，DA=AC時(shí)，ZACD=ZADC=6

8、9,ZBCD=ZA=42，.ZACB=69+42=111,當(dāng)ABCD是等腰三角形，DC=BD時(shí)，ZACD=ZBCD=ZB=46,.ZACB=92，當(dāng)ABCD是等腰三角形，DB=BC時(shí)，ZBDC=ZBCD,設(shè)ZBDC=ZBCD=x,則ZB=180-2x,則ZACD=ZB=180-2x,由題意得，180-2x+42=x,解得，x=74,.ZACD=180-2x=32,.ZACB=106,ZACB的度數(shù)為111或84或106或92.6、如圖，ZABC=ZBAD=90。，點(diǎn)E,F分別是AC,BC的中點(diǎn)。求證：ZEAF二ZEBF；(2)試判斷直線EF與AB的位置關(guān)系，并說明理由。證明：如圖，取AB的中點(diǎn)

9、M,連接EM、FM；點(diǎn)E,F分別是AC,BC的中點(diǎn)，.EMBC,FMAD；VZABC=ZBAD=90,.EM丄AB,FM丄AB,.EM、FM重合，即E.F.M三點(diǎn)共線；EM丄AB，且平分AB,.EA=EB,FA=FB,.ZEAB=ZEBA,ZFAB=ZFBA,?.ZEAF=ZEBF,(2)證明：TE、F.M三點(diǎn)共線，且FM丄AB,.EF丄AB.7、【問題情境】課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：如圖1,ABC中，若AB=12,AC=8,求BC邊上的中線AD的取值范圍。小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)AD到E,使DE=AD,連接BE.請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考：E圈）圖2圖3由已

10、知和作圖能得到ADC9AEDB,依據(jù)是_.A.SSSB.SASC.AASD.HL由“三角形的三邊關(guān)系”可求得AD的取值范圍是.解后反思：題目中出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”等條件，可考慮延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中。【初步運(yùn)用】如圖2,人。是厶ABC的中線，BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF.若EF=3,EC=2,求線段BF的長(zhǎng)?！眷`活運(yùn)用】如圖3,在厶ABC中，ZA=90,D為BC中點(diǎn)，DE丄DF,DE交AB于點(diǎn)E,DF交AC于點(diǎn)F,連接EF,試猜想線段BE、CF、EF三者之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論。解：在厶ADC和厶EDB中,ADC9AEDB(

11、SAS),故選：B；(2)AB-BEAEAB+BE,.2AD10,故答案為：2AD10；【初步運(yùn)用】延長(zhǎng)AD到M,使AD=DM,連接BM,.AE=EF.EF=3,.AC=5,TAD是厶ABC中線，CD=BD,T在ADC和MDB中,DCDBADCAMDBDADM.BM=AC,ZCAD=ZM,TAE=EF,ZCAD=ZAFE,TZAFE=ZBFD,.ZBFD=ZCAD=ZM,.BF=BM=AC,即BF=5；【靈活運(yùn)用】線段BE、CF、EF之間的等量關(guān)系為:F或-CF1時(shí).證明：如圖3,延長(zhǎng)ED到點(diǎn)G,使DG=ED，連結(jié)GF,GC,TEDDF,EF=GF,D是BC的中點(diǎn)，BD=CD，在ABDE和厶C

12、DG中，(EDGDJBDE2.QDCPBDCDDBE9ADCG(SAS),BE=CG，VZA=90,.ZB+ZACB=90。,DBEDCG,EF=GF,.BE=CG,ZB=ZGCD,.ZGCD+ZACB=90，即ZGCF=90,/.AACFG中,Cl2一GC2ffF28、在厶ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是直線BC上一點(diǎn)(不與B、C重合)，以AD為一邊在AD的右側(cè)作ADE,使AD=AE,ZDAE=ZBAC，連接CE.如圖1,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上，如果ZBAC=90，則ZBCE=.設(shè)ZBAC=a,ZBCE=B.如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上移動(dòng)，則a、B之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由;當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上

13、移動(dòng)，則a、B之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)畫出圖形，并直接寫出你的結(jié)論圖1圖2解答：(1)90.(2)a+B=180,理由：?ZBAC=ZDAE,.ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC.即ZBAD=ZCAE.在AABD與AACE中，AB=AC.ZBAD=ZCAE,AD=AEABDAACE(SAS)ZB=ZACE.ZB+ZACB=ZACE+ZACB.ZB+ZACB邙，a+ZB+ZACB=180,.a+B=180；當(dāng)點(diǎn)D在射線BC上時(shí)，a+3=180，當(dāng)點(diǎn)D在射線BC的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，a邙9、如圖，已知長(zhǎng)方形ABCD中，AD=6cm,AB=4cm，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn).若點(diǎn)P在線段AB上以1cm/s的速

14、度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段BC上由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng).(1)若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過1秒后，AAEP與ABP。是否全等,請(qǐng)說明理由，并直接寫出此時(shí)線段PE和線段PQ的位置關(guān)系；若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，設(shè)APEQ的面積為Scm2,請(qǐng)用t的代數(shù)式表示S；若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使AEP與BPQ全等？解：(1)全等。理由：當(dāng)t=1時(shí)，AP=1，BQ=1，AP=BQ.VE是AD的中點(diǎn)，AE=pb=AB=AP=4-1=3，AAE=PB.AE=PB在RtEAP和RtPBQ中,lAP=BQ.EAPRtAPBQ

15、(SAS).此時(shí)PE丄PQ.(2)如圖1所示連接QE.圖1當(dāng)tW4時(shí)，AP=BQ=t,S梯形AEQB=2t+6=，=2.S=2t+6-().123整理得：S=如圖2所示：當(dāng)4VtW6時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)B重合,s=EAB=2t.AS與t的函數(shù)關(guān)系式為S彳yt2_|t+6【Of4)2t(4t6)3）如圖3所示：.AP=PB=2,AE=BQ=3.點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度為=3三2=1.5cm/秒時(shí)，AEPABQP；10、如圖，正方形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O,點(diǎn)E、F分別在AB、BC上（AEVBE）,且ZE0F=900E、DA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M,OF、AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N,連接MN.（1）求證：OM=ON.（2）若正方

16、形ABCD的邊長(zhǎng)為4,E為OM的中點(diǎn)，求MN的長(zhǎng).解：（1）T四邊形ABCD是正方形，?.OA=OB,ZDAO=45,ZOBA=45,.ZOAM=ZOBN=135,VZE0F=90,ZA0B=90,.ZAOM=ZBON,.0AM9A0BN(ASA),.OM=ON；(2)如圖，過點(diǎn)0作OH丄AD于點(diǎn)H,正方形的邊長(zhǎng)為4,.OH=HA=2,E為0M的中點(diǎn)，.HM=4，則0M=?q.i=2,.MN=.l0M=2.11、如圖，在四邊形ABCD中，ADBC,E為CD的中點(diǎn)，連接AE、BE,BE丄AE,延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.求證：FC=AD；AB=BC+AD.ZADC=ZECF（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角

17、相等）,E是CD的中點(diǎn)（已知），DE=EC（中點(diǎn)的定義）.：在ADE與FCE中，rZADC-ZECFDE=EC,Izaed=zcef.ADE竺AFCE（ASA）,fc=ad（全等三角形的性質(zhì)）.（2）VADEFCE,AE=EF,AD=CF（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）,BE是線段AF的垂直平分線，AB=BF=BC+CF，VAD=CF（已證）,AB=BC+AD（等量代換）.12、如圖，AABC中，AB=AC,ZBAC=90，點(diǎn)D是直線AB上的一動(dòng)點(diǎn)(不和A、B重合),BE丄CD于E,交直線AC于F.點(diǎn)D在邊AB上時(shí)，證明：AB=FA+BD；點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線或反向延長(zhǎng)線上時(shí)，(1)中的結(jié)論是否成立？

18、“若不成立，請(qǐng)畫出圖形并直接寫出正確結(jié)論.證明：如圖1，VBE丄CD,即ZBEC=90，ZBAC=90.ZF+ZFBA=90，ZF+ZFCE=90.AZFBA=ZFCE.VZFAB=180-ZDAC=90，AZFAB=ZDAC.VAB=AC，.FABADAC,FA=DA.AB=AD+BD=FA+BD.(2)如圖2,當(dāng)D在AB延長(zhǎng)線上時(shí)，AF=AB+BD,理由是：同理得：FAB9ADAC,AF=AD=AB+BD；如圖3,當(dāng)D在AB反向延長(zhǎng)線上時(shí)，BD=AB+AF，理由是：同理得：FAB9ADAC,AF=AD，BD=AB+AD=AB+AF.13、在厶ABC中，ZCZB,AE平分ZBAC,F為射線A

19、E上一點(diǎn)(不與點(diǎn)E重合)，且FD丄BC于D；如果點(diǎn)F與點(diǎn)A重合，且ZC=50,ZB=30,如圖1,求ZEFD的度數(shù)；如果點(diǎn)F在線段AE上(不與點(diǎn)A重合)，如圖2,問ZEFD與ZC-ZB有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由.如果點(diǎn)F在AABC外部，如圖3,此時(shí)ZEFD與ZC-ZB的數(shù)量關(guān)系是否會(huì)發(fā)生變化？請(qǐng)說明理由【解答】(1)解:VZC=50,ZB=30,.ZBAC=180-50-30=100.VAE平分ZBAC,.ZCAE=50.在AACE中ZAEC=80,在RtAADE中ZEFD=90-80=10.1ZEFD=2（B）證明：TAE平分ZBAC,（ZC+ZB）180-BC1/BAE=2=90_211

20、VZAEC為AABE的外角,zaec=zb+90-2（ZC+ZB）=90+2（ZB-ZC）TFD丄BC,ZFDE=901AZEFD=90-90-2（ZB-ZC）1ZEFD=2（ZC-ZB）1ZEFD=2（ZCZB）如圖,TAE平分ZBAC,180，B+C.ZBAE=2VZDEFABE的外角,180，B+C1ZDEF=ZB+2=90+2（ZB-ZC）VFD丄BC,ZFDE=901AZEFD=90-90-2（ZBZC）1ZEFD=214、如圖，在/EC中AB=AC,ZBAC=90，點(diǎn)P是BC上的一動(dòng)點(diǎn),AP=AQ,ZPAQ=90，連接CQ.(1)求證:CQ丄BC.AACQ能否是直角三角形?若能，請(qǐng)直接寫出此時(shí)點(diǎn)P的位置若不能，請(qǐng)說明理由.當(dāng)點(diǎn)P在BC上什么位置時(shí),AACQ是等腰三角形?請(qǐng)說明理由.解:(1)VZBAP+ZCAP=ZBAC=90,ZCAQ+ZCAP=ZPAQ=90,ZBAP=ZCAQ,rAB=AC,在AABP和AACQ中,zB4P=zCAQ,=AQ,:.ABP竺ACQ(SAS)ZACQ=ZB,1.AB=AC,ZBAC=90,：ZB=ZACB=45,AZBCQ=ZACB+ZACQ=45+45=90,CQ丄BC.當(dāng)點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)或與點(diǎn)C重合時(shí),AACQ是直角三角形.當(dāng)BP=AB時(shí),AABP是等腰三角形當(dāng)AB=AP時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合當(dāng)AP=BP時(shí)