2014高考數(shù)學(xué)-簡單幾何體模塊跟蹤訓(xùn)練14

1、PAGE PAGE - 7 -2014高考數(shù)學(xué)模塊跟蹤訓(xùn)練簡單幾何體一、選擇題(8540分)1已知二面角l的大小為30，m，n為異面直線，且m，n，則m，n所成的角為()A30B90C120D150答案：A解析：兩異面直線所成的角090，故排除B、C、D.2(2009吉林延邊一模)正方體ABCDA1B1C1D1中，E為BC1的中點(diǎn)，則異面直線A1E與CD1所成角等于()A90 B60 C45 D30答案：D解析：如圖，A1E與CD1所成角等于BA1E，因?yàn)锳1BC1為等邊三角形，又E為BC1中點(diǎn)，所以BA1E30.故選D.3(2009黑龍江大慶一模)如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中

2、，E、F分別是AB、B1C的中點(diǎn)，則EF和平面ABCD所成角的正切值為()A.eq r(2) B.eq f(r(2),2) C.eq f(1,2) D2答案：B解析：取BC中點(diǎn)M，連結(jié)FM，則FM平面ABCD，連結(jié)EM，則FEM為所求角設(shè)正方體的棱長為2，則FM1，EMeq r(2)，tanFEMeq f(1,r(2)eq f(r(2),2).故選B.4在四面體ABCD中，AD平面DBC，BDDC，ADeq r(3)，BDDCeq r(2)，則二面角ABCD的大小為()A30 B45C60 D75答案：C解析：取BC中點(diǎn)E，易知BC2，ABACeq r(5)，AE2，DE1，AE2AD2DE2

3、，知所求角為60.5如下圖所示，在三棱錐PABC中，PA平面ABC，BAC90，ABAC，D、E分別是BC、AB的中點(diǎn)，ACAD，設(shè)PC與DE所成的角為，PD與平面ABC所成的角為，二面角PBCA的平面角為，則、的大小關(guān)系是()A BC D答案：A解析：本題考查異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的平面角的概念和計(jì)算過A作AFBC于F，連結(jié)PF，則PFA為二面角PBCA的平面角，PFA，PCA為異面直線DE與PC的夾角，即PCA，連AD，PD與平面ABC的夾角為PDAPDA，ACAB，AFADAFADeq f(PA,AD)eq f(PA,AC)tantantan，又、為銳角，故選A.6

4、(2009全國，9)已知三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱與底面邊長相等，A1在底面ABC上的射影為BC的中點(diǎn)，則異面直線AB與CC1所成的角的余弦值為()A.eq f(r(3),4) B.eq f(r(5),4) C.eq f(r(7),4) D.eq f(3,4)答案：D解析：如圖，D為BC的中點(diǎn)，則由題意得A1ADBAD30，由三角形余弦公式得cosA1ABeq f(3,4)，則異面直線AB與CC1所成的角的余弦值為eq f(3,4)，故選D.7(2009保定市高三年級調(diào)研考試)在正四面體SABC中，E為SA的中點(diǎn)，F(xiàn)為ABC的中心，則直線EF與平面ABC所成的角的大小為()Aarccose

5、q f(1,3) B45Carctaneq r(2) Darctaneq f(r(2),2)答案：C解析：如圖連接SF，則SF平面ABC.連結(jié)AF并延長交BC于H，取線段AF的中點(diǎn)G，連結(jié)EG，由E為SA的中點(diǎn)，得EGSF，EG平面ABC，EFG即為EF與平面ABC所成的角設(shè)正四面體的邊長為a，則AHeq f(r(3),2)a，且AFeq f(2,3)AHeq f(r(3),3)a；在RtAGE中，AEeq f(a,2)，AGeq f(1,2)AFeq f(r(3),6)a，EGA90，EGeq r(AE2AG2)eq f(r(6),6)a.在RtEGF中，F(xiàn)Geq f(1,2)AFeq f(

6、r(3),6)a，EGeq f(r(6),6)a，EGF90，tanEFGeq f(EG,FG)eq r(2)，EFGarctaneq r(2)，即EF與平面ABC所成的角為arctaneq r(2)，故選C.8(2010東北四市聯(lián)考)把正方形ABCD沿對角線AC折起，當(dāng)以A、B、C、D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐體積最大時，直線BD和平面ABC所成的角的大小為()A90 B60 C45 D30答案：C解析：如圖由條件可知面ABC面ACD時，三棱錐體積最大，如右圖，DBE為所求的角，DEBE.DBE是等腰直角三角形，故DBE45，選C.二、填空題(4520分)9(2009上海)如圖所示，若正四棱柱ABC

7、DA1B1C1D1的底面邊長為2，高為4，則異面直線BD1與AD所成角的大小是_(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)答案：arctaneq r(5)解析：連接D1C.ADBC，D1BC即為異面直線BD1與AD所成的角在RtBCD1中，BC2，CD12eq r(5)，tanD1BCeq r(5)，D1BCarctaneq r(5).10(教材改編題)在正四面體ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，則二面角EBCD的余弦值為_答案：eq f(r(6),3)解析：如圖取BC的中點(diǎn)F，連結(jié)EF、DF，設(shè)正四面體棱長為a，則BECEDFeq f(r(3),2)a，DECFeq f(1,2)a，EF2CE2CF2(eq f(

8、r(3),2)a)2(eq f(1,2)a)2eq f(2,4)a2，EFeq f(r(2),2)a.易知BCEF，BCDF，EFD即為所求二面角的平面角cosEFDeq f(f(1,2)a2f(3,4)a2f(1,4)a2,2f(r(2),2)af(r(3),2)a)eq f(r(6),3). 11已知一個平面與正方體的12條棱的夾角均為，那么sin_.答案：eq f(r(3),3)解析：如圖平面與十二條棱所成的角相等，可歸結(jié)為與共頂點(diǎn)的三條棱所成的角相等即DB，DC，DA與平面ABC所成的角相等易算得sineq f(r(3),3).12(2009北京崇文一模)如圖所示，等腰梯形ABCD，E

9、、F分別是下底邊BC邊上的三等分點(diǎn)，ADAE1，BC3，若把三角形ABE和DCF分別沿AE和DF折起，使得B、C兩點(diǎn)重合于一點(diǎn)P，則二面角PEFD的大小為_答案：eq f(,2)解析：如圖為折疊后的幾何體，二面角PEFD的大小即為側(cè)面AEFD與底面EFP所成的角，顯然為eq f(,2).三、解答題(41040分)13(2009重慶)如圖所示，四棱錐PABCD中，ABAD，ADDC，PA底面ABCD，PAADDCeq f(1,2)AB1，M為PC的中點(diǎn)，N點(diǎn)在AB上且ANeq f(1,3)NB. (1)求證：MN平面PAD；(2)求直線MN與平面PCB所成的角解析：(1)證明：過點(diǎn)M作MECD交

10、PD于E點(diǎn)，連結(jié)AE.ANeq f(1,3)NB，ANeq f(1,4)ABeq f(1,2)DCEM.又EMDCAB，EM綊AN，AEMN為平行四邊形，MNAE，MN平面PAD.(2)解：過N點(diǎn)作NQAP交BP于點(diǎn)Q，NFCB于點(diǎn)F.連結(jié)QF，過N點(diǎn)作NHQF于H，連結(jié)MH，易知QN面ABCD，QNBC，而NFBC，BC面QNF，BCNH，而NHQF，NH平面PBC，NMH為直線MN與平面PCB所成的角通過計(jì)算可得MNAEeq f(r(2),2)，QNeq f(3,4)，NFeq f(3,4)eq r(2)，NHeq f(QNNF,QF)eq f(ONNF,r(QN2NF2)eq f(r(6

11、),4)，sinNMHeq f(NH,MN)eq f(r(3),2)，NMH60，直線MN與平面PCB所成的角為60.14(2009廣西柳州三模)如圖所示，已知直平行六面體ABCDA1B1C1D1中，ADBD，ADBDa，E是CC1的中點(diǎn)，A1DBE.(1)求證：A1D平面BDE；(2)求二面角BDEC的大小解析：(1)證明：在直平行六面體ABCDA1B1C1D1中，AA1平面ABCD，AA1BD.又BDAD，BD平面ADD1A1，即BDA1D.又A1DBE且BEBDB，A1D平面BDE.(2)解：如圖，連B1C，則B1CBE，易證RtBCERtB1BC，eq f(CE,BC)eq f(BC,

12、B1B)，又E為CC1中點(diǎn)，BC2eq f(1,2)BBeq oal(2,1).BB1eq r(2)BCeq r(2)a.取CD中點(diǎn)M，連結(jié)BM，則BM平面CC1D1C，作MNDE于N，連NB，由三垂線定理知：BNDE，則BNM是二面角BDEC的平面角在RtBDC中，BMeq f(BDBC,DC)eq f(r(2),2)a，RtCED中，易求得MNeq f(r(10),10)a，RtBMN中，tanBNMeq f(BM,MN)eq r(5)，則二面角BDEC的大小為arctaneq r(5).15如圖，已知正方體ABCDA1B1C1D1中，E為AB的中點(diǎn)(1)求直線B1C與DE所成的角的余弦值

13、；(2)求證：平面EB1D平面B1CD；(3)求二面角EB1CD的余弦值解析：(1)連結(jié)A1D，則由A1DB1C知，B1C與DE所成的角即為A1D與DE所成的角連結(jié)A1E，由正方體ABCDA1B1C1D1，可設(shè)其棱長為a，則A1Deq r(2)a，A1EDEeq f(r(5),2)a，cosA1DEeq f(A1D2DE2A1E2,2A1DDE)eq f(r(10),5).直線B1C與DE所成角的余弦值是eq f(r(10),5).(2)證明取B1C的中點(diǎn)F，B1D的中點(diǎn)G，連結(jié)BF，EG，GF.CD平面BCC1B1，且BF平面BCC1B1，DCBF.又BFB1C，CDB1CC，BF平面B1C

14、D.又GF綊eq f(1,2)CD，BE綊eq f(1,2)CD，GF綊BE，四邊形BFGE是平行四邊形，BFGE，GE平面B1CD.GE平面EB1D，平面EB1D平面B1CD.(3)連結(jié)EF.CDB1C，GFCD，GFB1C.又GE平面B1CD，EFB1C，EFG是二面角EB1CD的平面角設(shè)正方體的棱長為a，則在EFG中，GFeq f(1,2)a，EFeq f(r(3),2)a，cosEFGeq f(FG,EF)eq f(r(3),3)，二面角EB1CD的余弦值為eq f(r(3),3).16(2009全國，18)如圖所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，D、E分別為AA1、B1C的中點(diǎn)，DE平面BCC1.(1)求證：ABAC；(2)設(shè)二面角ABDC為60，求B1C與平面BCD所成的角的大小解析：(1)證明：取BC中點(diǎn)F，連結(jié)EF，則EF綊eq f(1,2)B1B，從而EF綊DA.連結(jié)AF，則ADEF為平行四邊形，從而AFDE.又DE平面BCC1，故AF平面BCC1，從而AFBC，即AF為BC的垂直平分線，所以ABAC.(2)解：作AGBD，垂足為G，連結(jié)CG.由三垂線定理知CGBD，故AGC為二面角ABDC的平面角由題設(shè)知，AGC60.設(shè)AC2，則AGeq f(2,r(3).又AB2，BC2eq r(2)，故AFeq r(2