小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程(含練習(xí)題和答案)五年級-30講全冊版

1、第1講 數(shù)字謎（一）數(shù)字謎的內(nèi)容在三年級和四年級都講過，同學(xué)們已經(jīng)掌握了不少方法。例如用猜想、拼湊、排除、枚舉等方法解題。數(shù)字謎涉及的知識多，思考性強，所以很能鍛煉我們的思維。這兩講除了復(fù)習(xí)鞏固學(xué)過的知識外，還要講述數(shù)字謎的代數(shù)解法及小數(shù)的除法豎式問題。例1 把+，-，四個運算符號，分別填入下面等式的內(nèi)，使等式成立（每個運算符號只準使用一次）：（5137）（179）=12。分析與解：因為運算結(jié)果是整數(shù)，在四則運算中只有除法運算可能出現(xiàn)分數(shù)，所以應(yīng)首先確定“”的位置。當(dāng)“”在第一個內(nèi)時，因為除數(shù)是13，要想得到整數(shù)，只有第二個括號內(nèi)是13的倍數(shù)，此時只有下面一種填法，不合題意。（513-7）（1

2、7+9）。當(dāng)“”在第二或第四個內(nèi)時，運算結(jié)果不可能是整數(shù)。當(dāng)“”在第三個內(nèi)時，可得下面的填法：（5+137）（17-9）=12。例2 將19這九個數(shù)字分別填入下式中的中，使等式成立：=5568。解：將5568質(zhì)因數(shù)分解為5568=26329。由此容易知道，將 5568分解為兩個兩位數(shù)的乘積有兩種：5896和6487，分解為一個兩位數(shù)與一個三位數(shù)的乘積有六種：12464， 16348， 24232，29192， 32174， 48116。顯然，符合題意的只有下面一種填法：17432=5896=5568。例3 在443后面添上一個三位數(shù)，使得到的六位數(shù)能被573整除。分析與解：先用443000除以

3、573，通過所得的余數(shù)，可以求出應(yīng)添的三位數(shù)。由443000573=77371推知， 443000+（573-71）=443502一定能被573整除，所以應(yīng)添502。例4 已知六位數(shù)3344是89的倍數(shù)，求這個六位數(shù)。分析與解：因為未知的數(shù)碼在中間，所以我們采用兩邊做除法的方法求解。先從右邊做除法。由被除數(shù)的個位是4，推知商的個位是6；由左下式知，十位相減后的差是1，所以商的十位是9。這時，雖然8996=8544，但不能認為六位數(shù)中間的兩個內(nèi)是85，因為還沒有考慮前面兩位數(shù)。再從左邊做除法。如右上式所示，a可能是6或7，所以b只可能是7或8。由左、右兩邊做除法的商，得到商是3796或3896。

4、由379689=337844， 389689=346744知，商是3796，所求六位數(shù)是337844。例5 在左下方的加法豎式中，不同的字母代表不同的數(shù)字，相同的字母代表相同的數(shù)字，請你用適當(dāng)?shù)臄?shù)字代替字母，使加法豎式成立。分析與解：先看豎式的個位。由Y+N+N=Y或Y+ 10，推知N要么是0，要么是5。如果N=5，那么要向上進位，由豎式的十位加法有T+E+E+1=T或T+10，等號兩邊的奇偶性不同，所以N5，N=0。此時，由豎式的十位加法T+E+E=T或T+10， E不是0就是5，但是N=0，所以E=5。豎式千位、萬位的字母與加數(shù)的千位、萬位上的字母不同，說明百位、千位加法都要向上進位。因為

5、N=0，所以I0，推知I=1，O=9，說明百位加法向千位進2。再看豎式的百位加法。因為十位加法向百位進1，百位加法向千位進2，且X0或1，所以R+T+T+122，再由R，T都不等于9知，T只能是7或8。若T=7，則R=8，X=3，這時只剩下數(shù)字2，4，6沒有用過，而S只比F大1，S，F(xiàn)不可能是2，4，6中的數(shù)，矛盾。若T=8，則R只能取6或7。R=6時，X=3，這時只剩下2，4，7，同上理由，出現(xiàn)矛盾；R=7時，X=4，剩下數(shù)字2，3，6，可取F=2，S=3，Y=6。所求豎式見上頁右式。解這類題目，往往要找準突破口，還要整體綜合研究，不能想一步填一個數(shù)。這個題目是美國數(shù)學(xué)月刊上刊登的趣題，豎式

6、中從上到下的四個詞分別是 40， 10， 10， 60，而 40+10+10正好是60，真是巧極了！例6 在左下方的減法算式中，每個字母代表一個數(shù)字，不同的字母代表不同的數(shù)字。請你填上適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使豎式成立。分析與解：按減法豎式分析，看來比較難。同學(xué)們都知道，加、減法互為逆運算，是否可以把減法變成加法來研究呢（見右上式）？不妨試試看。因為百位加法只能向千位進1，所以E=9，A=1，B=0。如果個位加法不向上進位，那么由十位加法1+F=10，得F=9，與E=9矛盾，所以個位加法向上進1，由1+F+1=10，得到F=8，這時C=7。余下的數(shù)字有2，3，4，5，6，由個位加法知，G比D大2，所以G，

7、D分別可取4，2或5，3或6，4。所求豎式是解這道題啟發(fā)我們，如果做題時遇到麻煩，不妨根據(jù)數(shù)學(xué)的有關(guān)概念、法則、定律把原題加以變換，將不熟悉的問題變?yōu)槭煜さ膯栴}。另外，做題時要考慮解的情況，是否有多個解。練習(xí)11.在一個四位數(shù)的末尾添零后，把所得的數(shù)減去原有的四位數(shù)，差是621819，求原來的四位數(shù)。2.在下列豎式中，不同的字母代表不同的數(shù)字，相同的字母代表相同的數(shù)字。請你用適當(dāng)?shù)臄?shù)字代替字母，使豎式成立：3.在下面的算式中填上括號，使得計算結(jié)果最大：123456789。4.在下面的算式中填上若干個（ ），使得等式成立：123456789=2.8。5.將19分別填入下式的中，使等式成立：=36

8、34。6.六位數(shù)391是789的倍數(shù)，求這個六位數(shù)。7.已知六位數(shù)7888是83的倍數(shù)，求這個六位數(shù)。第2講 數(shù)字謎（二） 這一講主要講數(shù)字謎的代數(shù)解法及小數(shù)的除法豎式問題。例1 在下面的算式中，不同的字母代表不同的數(shù)字，相同的字母代表相分析與解：這道題可以從個位開始，比較等式兩邊的數(shù)，逐個確定各個（100000+x）3=10 x+1，300000+3x=10 x+1， 7x=299999，x=42857。這種代數(shù)方法干凈利落，比用傳統(tǒng)方法解簡潔。我們再看幾個例子。例2 在內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使左下方的乘法豎式成立。求豎式。例3 左下方的除法豎式中只有一個8，請在內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使除法豎式成立

9、。解：豎式中除數(shù)與8的積是三位數(shù)，而與商的百位和個位的積都是四位數(shù)，所以x=112，被除數(shù)為989112=110768。右上式為所求豎式。代數(shù)解法雖然簡潔，但只適用于一些特殊情況，大多數(shù)情況還要用傳統(tǒng)的方法。例4 在內(nèi)填入適當(dāng)數(shù)字，使下頁左上方的小數(shù)除法豎式成立。分析與解：先將小數(shù)除法豎式化為我們較熟悉的整數(shù)除法豎式（見下頁右上方豎式）。可以看出，除數(shù)與商的后三位數(shù)的乘積是1000=2353的倍數(shù)，即除數(shù)和商的后三位數(shù)一個是23=8的倍數(shù)，另一個是53=125的奇數(shù)倍，因為除數(shù)是兩位數(shù)，所以除數(shù)是8的倍數(shù)。又由豎式特點知a=9，從而除數(shù)應(yīng)是96的兩位數(shù)的約數(shù)，可能的取值有96，48，32，24

10、和16。因為，c=5，5與除數(shù)的乘積仍是兩位數(shù)，所以除數(shù)只能是16，進而推知b=6。因為商的后三位數(shù)是125的奇數(shù)倍，只能是125，375，625和875之一，經(jīng)試驗只能取375。至此，已求出除數(shù)為16，商為6.375，故被除數(shù)為6.37516=102。右式即為所求豎式。求解此類小數(shù)除法豎式題，應(yīng)先將其化為整數(shù)除法豎式，如果被除數(shù)的末尾出現(xiàn)n個0，則在除數(shù)和商中，一個含有因子2n（不含因子5），另一個含有因子5n（不含因子2），以此為突破口即可求解。例5 一個五位數(shù)被一個一位數(shù)除得到下頁的豎式（1），這個五位數(shù)被另一個一位數(shù)除得到下頁的豎式（2），求這個五位數(shù)。分析與解：由豎式（1）可以看出被

11、除數(shù)為10*0（見豎式（1），豎式（1）的除數(shù)為3或9。在豎式（2）中，被除數(shù)的前兩位數(shù)10不能被整數(shù)整除，故除數(shù)不是2或5，而被除數(shù)的后兩位數(shù)*0能被除數(shù)整除，所以除數(shù)是4，6或8。當(dāng)豎式（1）的除數(shù)為3時，由豎式（1）知， a=1或2，所以被除數(shù)為100*0或101*0，再由豎式（2）中被除數(shù)的前三位數(shù)和后兩位數(shù)分別能被除數(shù)整除，可得豎式（2）的除數(shù)為4，被除數(shù)為10020；當(dāng)豎式（1）的除數(shù)為9時，由能被9整除的數(shù)的特征，被除數(shù)的百位與十位數(shù)字之和應(yīng)為8。因為豎式（2）的除數(shù)只能是4，6，8，由豎式（2）知被除數(shù)的百位數(shù)為偶數(shù)，故被除數(shù)只有10080，10260，10440和10620四

12、種可能，最后由豎式（2）中被除數(shù)的前三位數(shù)和后兩位數(shù)分別能被除數(shù)整除，且十位數(shù)不能被除數(shù)整除，可得豎式（2）的除數(shù)為8，被除數(shù)為10440。所以這個五位數(shù)是10020或10440。練習(xí)21.下面各算式中，相同的字母代表相同的數(shù)字，不同的字母代表不同的2.用代數(shù)方法求解下列豎式：3.在內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使下列小數(shù)除法豎式成立：第3講 定義新運算（一）我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過加、減、乘、除運算，這些運算，即四則運算是數(shù)學(xué)中最基本的運算，它們的意義、符號及運算律已被同學(xué)們熟知。除此之外，還會有什么別的運算嗎？這兩講我們就來研究這個問題。這些新的運算及其符號，在中、小學(xué)課本中沒有統(tǒng)一的定義及運算符號，但學(xué)習(xí)討論

13、這些新運算，對于開拓思路及今后的學(xué)習(xí)都大有益處。例1 對于任意數(shù)a，b，定義運算“*”：a*b=ab-a-b。求12*4的值。分析與解：根據(jù)題目定義的運算要求，直接代入后用四則運算即可。12*4=124-12-4=48-12-4=32。根據(jù)以上的規(guī)定，求106的值。3，x=2，求x的值。分析與解：按照定義的運算，=2，x=6。由上面三例看出，定義新運算通常是用某些特殊符號表示特定的運算意義。新運算使用的符號應(yīng)避免使用課本上明確定義或已經(jīng)約定俗成的符號，如+，-，等，以防止發(fā)生混淆，而表示新運算的運算意義部分，應(yīng)使用通常的四則運算符號。如例1中，a*b=ab-a-b，新運算符號使用“*”，而等號

14、右邊新運算的意義則用四則運算來表示。分析與解：按新運算的定義，符號“”表示求兩個數(shù)的平均數(shù)。四則運算中的意義相同，即先進行小括號中的運算，再進行小括號外面的運算。按通常的規(guī)則從左至右進行運算。分析與解：從已知的三式來看，運算“”表示幾個數(shù)相加，每個加數(shù)各數(shù)位上的數(shù)都是符號前面的那個數(shù)，而符號后面的數(shù)是幾，就表示幾個數(shù)之和，其中第1個數(shù)是1位數(shù)，第2個數(shù)是2位數(shù)，第3個數(shù)是3位數(shù)按此規(guī)定，得35=3+33+333+3333+33333=37035。從例5知，有時新運算的規(guī)定不是很明顯，需要先找規(guī)律，然后才能進行運算。例6 對于任意自然數(shù)，定義：n！=12 n。例如 4！=1234。那么1！+2！

15、+3！+100！的個位數(shù)字是幾？分析與解：1！=1，2！=12=2，3！=123=6，4！=1234=24，5！=12345=120，6！=123456=720，由此可推知，從5！開始，以后6！，7！，8！，100！的末位數(shù)字都是0。所以，要求1！+2！+3！+100！的個位數(shù)字，只要把1！至4！的個位數(shù)字相加便可求得：1+2+6+4=13。所求的個位數(shù)字是3。例7 如果m，n表示兩個數(shù)，那么規(guī)定：mn=4n-（m+n）2。求3（46）12的值。解：3（46）12=346-（4+6）212=31912=419-（3+19）212=6512=412-（65+12）2=9.5。 練習(xí)31.對于任意

16、的兩個數(shù)a和b，規(guī)定a*b=3a-b3。求8*9的值。2.已知ab表示a除以3的余數(shù)再乘以b，求134的值。3.已知ab表示（a-b）（a+b），試計算：（53）（106）。4.規(guī)定ab表示a與b的積與a除以b所得的商的和，求82的值。5.假定mn表示m的3倍減去n的2倍，即mn=3m-2n。（2）已知x（41）=7，求x的值。7.對于任意的兩個數(shù)P， Q，規(guī)定 PQ=（PQ）4。例如：28=（28）4。已知x（85）=10，求x的值。8.定義： ab=ab-3b，ab=4a-b/a。計算：（43）（2b）。9.已知： 23=234， 45=45678， 求（44）（33）的值。第4講 定義新

17、運算（二）例1 已知ab=（a+b）-（a-b），求92的值。分析與解：這是一道很簡單的題，把a=9，b=2代入新運算式，即可算出結(jié)果。但是，根據(jù)四則運算的法則，我們可以先把新運算“”化簡，再求結(jié)果。ab=（a+b）-（a-b）=a+b-a+b=2b。所以，92=22=4。由例1可知，如果定義的新運算是用四則混合運算表示，那么在符合四則混合運算的性質(zhì)、法則的前提下，不妨先化簡表示式。這樣，可以既減少運算量，又提高運算的準確度。例2 定義運算：ab=3a+5ab+kb，其中a，b為任意兩個數(shù)，k為常數(shù)。比如：27=32+527+7k。（1）已知52=73。問：85與58的值相等嗎？（2）當(dāng)k取什

18、么值時，對于任何不同的數(shù)a，b，都有ab=ba，即新運算“”符合交換律？分析與解：（1）首先應(yīng)當(dāng)確定新運算中的常數(shù)k。因為52=35+552+k2 =65+2k，所以由已知 52=73，得65+2k=73，求得k=（73-65）2=4。定義的新運算是：ab=3a+5ab+4b。85=38+585+45=244，58=35+558+48=247。因為244247，所以8558。（2）要使ab=ba，由新運算的定義，有3a+5ab+kb=3b+5ab+ka，3a+kb-3b-ka=0，3(a-b)-k(a-b)=0，(3-k)(a-b)=0。對于兩個任意數(shù)a，b，要使上式成立，必有3-k=0，即k

19、=3。當(dāng)新運算是ab=3a+5ab+3b時，具有交換律，即ab=ba。例3 對兩個自然數(shù)a和b，它們的最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)的差，定義為ab，即ab=a，b-（a，b）。比如，10和14的最小公倍數(shù)是70，最大公約數(shù)是2，那么1014=70-2=68。（1）求1221的值；（2）已知6x=27，求x的值。分析與解：（1）1221=12，21-（12，21）=84-3=81；（2）因為定義的新運算“”沒有四則運算表達式，所以不能直接把數(shù)代入表達式求x，只能用推理的方法。因為6x=6，x-（6，x）=27，而6與x的最大公約數(shù)（6，x）只能是1，2，3，6。所以6與x的最小公倍數(shù)6，x只能是28，

20、 29， 30， 33。這四個數(shù)中只有 30是 6的倍數(shù)，所以 6與x的最小公倍數(shù)和最大公約數(shù)分別是30和3。因為ab=a，b（a，b），所以6x=303，由此求得x=15。例4 a表示順時針旋轉(zhuǎn)90，b表示順時針旋轉(zhuǎn)180，c表示逆時針旋轉(zhuǎn)90，d表示不轉(zhuǎn)。定義運算“”表示“接著做”。求：ab；bc；ca。分析與解： ab表示先順時針轉(zhuǎn)90，再順時針轉(zhuǎn)180，等于順時針轉(zhuǎn)270，也等于逆時針轉(zhuǎn)90，所以ab=c。bc表示先順時針轉(zhuǎn)180，再逆時針轉(zhuǎn)90，等于順時針轉(zhuǎn)90，所以bc=a。ca表示先逆時針轉(zhuǎn)90，再順時針轉(zhuǎn)90，等于沒轉(zhuǎn)動，所以ca=d。對于a，b，c，d四種運動，可以做一個關(guān)于

21、“”的運算表（見下表）。比如cb，由c所在的行和b所在的列，交叉處a就是cb的結(jié)果。因為運算符合交換律，所以由c所在的列和b所在的行也可得到相同的結(jié)果。例5 對任意的數(shù)a，b，定義：f（a）=2a+1， g（b）=bb。（1）求f（5）-g（3）的值；（2）求f（g（2）+g（f（2）的值；（3）已知f（x+1）=21，求x的值。解：（1） f（5）-g（3）=（25+1）-（33）=2；（2）f（g（2）+g（f（2） =f（22）+g（22+1） =f（4）+g（5）=（24+1）+（55）=34；（3）f（x+1）=2（x+1）+1=2x+3，由f（x+1）=21，知2x+3=21，解得

22、x=9。練習(xí)4 2.定義兩種運算“”和“”如下：ab表示a，b兩數(shù)中較小的數(shù)的3倍，ab表示a，b兩數(shù)中較大的數(shù)的2.5倍。比如：45=43=12，45=52.5=12.5。計算：(0.60.5)+(0.30.8)(1.20.7)-(0.640.2)。4.設(shè)m，n是任意的自然數(shù)，A是常數(shù)，定義運算mn=（Am-n）4，并且23=0.75。試確定常數(shù)A，并計算：（57）（22）（32）。5.用a，b，c表示一個等邊三角形圍繞它的中心在同一平面內(nèi)所作的旋轉(zhuǎn)運動：a表示順時針旋轉(zhuǎn)240，b表示順時針旋轉(zhuǎn)120，c表示不旋轉(zhuǎn)。運算“”表示“接著做”。試以a，b，c為運算對象做運算表。6.對任意兩個不同

23、的自然數(shù)a和b，較大的數(shù)除以較小的數(shù)，余數(shù)記為ab。比如73=1，529=4，420=0。（1）計算：19982000，（519）19，5（195）；（2）已知11x=4，x小于20，求x的值。7.對于任意的自然數(shù)a，b，定義：f（a）=aa-1，g（b）=b2+1。（1）求f（g（6）-g（f（3）的值；（2）已知f（g（x）=8，求x的值。第5講 數(shù)的整除性（一）三、四年級已經(jīng)學(xué)習(xí)了能被2，3，5和4，8，9，6以及11整除的數(shù)的特征，也學(xué)習(xí)了一些整除的性質(zhì)。這兩講我們系統(tǒng)地復(fù)習(xí)一下數(shù)的整除性質(zhì)，并利用這些性質(zhì)解答一些問題。數(shù)的整除性質(zhì)主要有：（1）如果甲數(shù)能被乙數(shù)整除，乙數(shù)能被丙數(shù)整除，

24、那么甲數(shù)能被丙數(shù)整除。（2）如果兩個數(shù)都能被一個自然數(shù)整除，那么這兩個數(shù)的和與差都能被這個自然數(shù)整除。（3）如果一個數(shù)能分別被幾個兩兩互質(zhì)的自然數(shù)整除，那么這個數(shù)能被這幾個兩兩互質(zhì)的自然數(shù)的乘積整除。（4）如果一個質(zhì)數(shù)能整除兩個自然數(shù)的乘積，那么這個質(zhì)數(shù)至少能整除這兩個自然數(shù)中的一個。（5）幾個數(shù)相乘，如果其中一個因數(shù)能被某數(shù)整除，那么乘積也能被這個數(shù)整除。靈活運用以上整除性質(zhì)，能解決許多有關(guān)整除的問題。例1 在里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使得七位數(shù)7358能分別被9，25和8整除。分析與解：分別由能被9，25和8整除的數(shù)的特征，很難推斷出這個七位數(shù)。因為9，25，8兩兩互質(zhì)，由整除的性質(zhì)（3）知，七位

25、數(shù)能被 9258=1800整除，所以七位數(shù)的個位，十位都是0；再由能被9整除的數(shù)的特征，推知首位數(shù)應(yīng)填4。這個七位數(shù)是4735800。例2 由2000個1組成的數(shù)11111能否被41和271這兩個質(zhì)數(shù)整除？分析與解：因為41271=11111，所以由每5個1組成的數(shù)11111能被41和271整除。按“11111”把2000個1每五位分成一節(jié)， 20005=400，就有400節(jié)，因為2000個1組成的數(shù)1111能被11111整除，而11111能被41和271整除，所以根據(jù)整除的性質(zhì)（1）可知，由2000個1組成的數(shù)11111能被41和271整除。例3 現(xiàn)有四個數(shù)：76550，76551，7655

26、2，76554。能不能從中找出兩個數(shù)，使它們的乘積能被12整除？分析與解：根據(jù)有關(guān)整除的性質(zhì)，先把12分成兩數(shù)之積：12=121=62=34。要從已知的四個數(shù)中找出兩個，使其積能被12整除，有以下三種情況：（1）找出一個數(shù)能被12整除，這個數(shù)與其它三個數(shù)中的任何一個的乘積都能被12整除；（2）找出一個數(shù)能被6整除，另一個數(shù)能被2整除，那么它們的積就能被12整除；（3）找出一個數(shù)能被4整除，另一個數(shù)能被3整除，那么它們的積能被12整除。容易判斷，這四個數(shù)都不能被12整除，所以第（1）種情況不存在。對于第（2）種情況，四個數(shù)中能被6整除的只有76554，而76550，76552是偶數(shù)，所以可以選7

27、6554和76550，76554和76552。對于第（3）種情況，四個數(shù)中只有76552能被4整除，76551和76554都能被3整除，所以可以選76552和76551，76552和76554。綜合以上分析，去掉相同的，可知兩個數(shù)的乘積能被12整除的有以下三組數(shù)：76550和76554， 76552和76554， 76551和 76552。例4 在所有五位數(shù)中，各位數(shù)字之和等于43且能夠被11整除的數(shù)有哪些？分析與解：從題設(shè)的條件分析，對所求五位數(shù)有兩個要求：各數(shù)位上的數(shù)字之和等于43；能被11整除。因為能被11整除的五位數(shù)很多，而各數(shù)位上的數(shù)字之和等于43的五位數(shù)較少，所以應(yīng)選擇為突破口。有

28、兩種情況：（1）五位數(shù)由一個7和四個9組成；（2）五位數(shù)由兩個8和三個9組成。上面兩種情況中的五位數(shù)能不能被11整除？9，8，7如何擺放呢？根據(jù)被11整除的數(shù)的特征，如果奇數(shù)位數(shù)字之和是27，偶數(shù)位數(shù)字之和是16，那么差是11，就能被11整除。滿足這些要求的五位數(shù)是： 97999，99979， 98989。例5 能不能將從1到10的各數(shù)排成一行，使得任意相鄰的兩個數(shù)之和都能被3整除？分析與解：10個數(shù)排成一行的方法很多，逐一試驗顯然行不通。我們采用反證法。假設(shè)題目的要求能實現(xiàn)。那么由題意，從前到后每兩個數(shù)一組共有5組，每組的兩數(shù)之和都能被3整除，推知110的和也應(yīng)能被3整除。實際上，110的和

29、等于55，不能被3整除。這個矛盾說明假設(shè)不成立，所以題目的要求不能實現(xiàn)。 練習(xí)51.已知4205和2813都是29的倍數(shù)，1392和7018是不是29的倍數(shù)？2.如果兩個數(shù)的和是64，這兩個數(shù)的積可以整除4875，那么這兩個數(shù)的差是多少？3.173是個四位數(shù)。數(shù)學(xué)老師說：“我在這個中先后填入3個數(shù)字，所得到的 3個四位數(shù)，依次可以被9，11，6整除?！眴枺簲?shù)學(xué)老師先后填入的3個數(shù)字之和是多少？班有多少名學(xué)生？6.能不能將從1到9的各數(shù)排成一行，使得任意相鄰的兩個數(shù)之和都能被3整除？第6講 數(shù)的整除性（二）我們先看一個特殊的數(shù)1001。因為1001=71113，所以凡是1001的整數(shù)倍的數(shù)都能被

30、7，11和13整除。能被7，11和13整除的數(shù)的特征：如果數(shù)A的末三位數(shù)字所表示的數(shù)與末三位數(shù)以前的數(shù)字所表示的數(shù)之差（大數(shù)減小數(shù)）能被7或11或13整除，那么數(shù)A能被7或11或13整除。否則，數(shù)A就不能被7或11或13整除。例2 判斷306371能否被7整除？能否被13整除？解：因為371-306=65，65是13的倍數(shù)，不是7的倍數(shù)，所以306371能被13整除，不能被7整除。例3 已知108971能被13整除，求中的數(shù)。解：108-971=1008-971+0=37+0。上式的個位數(shù)是7，若是13的倍數(shù)，則必是13的9倍，由139-37=80，推知中的數(shù)是8。2位數(shù)進行改寫。根據(jù)十進制數(shù)

31、的意義，有因為100010001各數(shù)位上數(shù)字之和是3，能夠被3整除，所以這個12位數(shù)能被3整除。根據(jù)能被7（或13）整除的數(shù)的特征，100010001與（100010-1=） 100009要么都能被7（或13）整除，要么都不能被7（或13）整除。同理， 100009與（ 100-9=）91要么都能被7（或13）整除，要么都不能被7（或13）整除。因為91=713，所以100010001能被7和13整除，推知這個12位數(shù)能被7和13整除。分析與解：根據(jù)能被7整除的數(shù)的特征，555555與999999都能被7因為上式中等號左邊的數(shù)與等號右邊第一個數(shù)都能被7整除，所以等號右邊第二個數(shù)也能被7整除，推

32、知5599能被7整除。根據(jù)能被7整除的數(shù)的特征，99-55=44也應(yīng)能被7整除。由44能被7整除，易知內(nèi)應(yīng)是6。下面再告訴大家兩個判斷整除性的小竅門。判斷一個數(shù)能否被27或37整除的方法：對于任何一個自然數(shù)，從個位開始，每三位為一節(jié)將其分成若干節(jié)，然后將每一節(jié)上的數(shù)連加，如果所得的和能被27（或37）整除，那么這個數(shù)一定能被27（或37）整除；否則，這個數(shù)就不能被27（或37）整除。例6 判斷下列各數(shù)能否被27或37整除：（1）2673135；（2）8990615496。解：（1） 2673135=2，673，135，2+673+135=810。因為810能被27整除，不能被37整除，所以26

33、73135能被27整除，不能被37整除。（2）8990615496=8，990，615，496，8+990+615+496=2，109。2，109大于三位數(shù)，可以再對2，109的各節(jié)求和，2+109=111。因為111能被37整除，不能被27整除，所以2109能被37整除，不能被27整除，進一步推知8990615496能被37整除，不能被27整除。由上例看出，若各節(jié)的數(shù)之和大于三位數(shù)，則可以再連續(xù)對和的各節(jié)求和。判斷一個數(shù)能否被個位是9的數(shù)整除的方法：為了敘述方便，將個位是9的數(shù)記為 k9（= 10k+9），其中k為自然數(shù)。對于任意一個自然數(shù)，去掉這個數(shù)的個位數(shù)后，再加上個位數(shù)的（k+1）倍。

34、連續(xù)進行這一變換。如果最終所得的結(jié)果等于k9，那么這個數(shù)能被k9整除；否則，這個數(shù)就不能被k9整除。例7 （1）判斷18937能否被29整除；（2）判斷296416與37289能否被59整除。解：（1）上述變換可以表示為：由此可知，296416能被59整除，37289不能被59整除。一般地，每進行一次變換，被判斷的數(shù)的位數(shù)就將減少一位。當(dāng)被判斷的數(shù)變換到小于除數(shù)時，即可停止變換，得出不能整除的結(jié)論。 練習(xí)61.下列各數(shù)哪些能被7整除？哪些能被13整除？88205， 167128， 250894， 396500，675696， 796842， 805532， 75778885。2.六位數(shù)1756

35、2是13的倍數(shù)。中的數(shù)字是幾？7.九位數(shù)87654321能被21整除，求中間中的數(shù)。8.在下列各數(shù)中，哪些能被27整除？哪些能被37整除？1861026， 1884924， 2175683， 2560437，11159126，131313555，266117778。9.在下列各數(shù)中，哪些能被19整除？哪些能被79整除？55119， 55537， 62899， 71258，186637，872231，5381717。第7講 奇偶性（一）整數(shù)按照能不能被2整除，可以分為兩類：（1）能被2整除的自然數(shù)叫偶數(shù)，例如0， 2， 4， 6， 8， 10， 12， 14， 16，（2）不能被2整除的自然數(shù)叫

36、奇數(shù)，例如1，3，5，7，9，11，13，15，17，整數(shù)由小到大排列，奇、偶數(shù)是交替出現(xiàn)的。相鄰兩個整數(shù)大小相差1，所以肯定是一奇一偶。因為偶數(shù)能被2整除，所以偶數(shù)可以表示為2n的形式，其中n為整數(shù)；因為奇數(shù)不能被2整除，所以奇數(shù)可以表示為2n+1的形式，其中n為整數(shù)。每一個整數(shù)不是奇數(shù)就是偶數(shù)，這個屬性叫做這個數(shù)的奇偶性。奇偶數(shù)有如下一些重要性質(zhì)：（1）兩個奇偶性相同的數(shù)的和（或差）一定是偶數(shù)；兩個奇偶性不同的數(shù)的和（或差）一定是奇數(shù)。反過來，兩個數(shù)的和（或差）是偶數(shù)，這兩個數(shù)奇偶性相同；兩個數(shù)的和（或差）是奇數(shù)，這兩個數(shù)肯定是一奇一偶。（2）奇數(shù)個奇數(shù)的和（或差）是奇數(shù)；偶數(shù)個奇數(shù)的和（

37、或差）是偶數(shù)。任意多個偶數(shù)的和（或差）是偶數(shù)。（3）兩個奇數(shù)的乘積是奇數(shù)，一個奇數(shù)與一個偶數(shù)的乘積一定是偶數(shù)。（4）若干個數(shù)相乘，如果其中有一個因數(shù)是偶數(shù)，那么積必是偶數(shù)；如果所有因數(shù)都是奇數(shù)，那么積就是奇數(shù)。反過來，如果若干個數(shù)的積是偶數(shù)，那么因數(shù)中至少有一個是偶數(shù)；如果若干個數(shù)的積是奇數(shù)，那么所有的因數(shù)都是奇數(shù)。（5）在能整除的情況下，偶數(shù)除以奇數(shù)得偶數(shù)；偶數(shù)除以偶數(shù)可能得偶數(shù)，也可能得奇數(shù)。奇數(shù)肯定不能被偶數(shù)整除。（6）偶數(shù)的平方能被4整除；奇數(shù)的平方除以4的余數(shù)是1。因為（2n）2=4n2=4n2，所以（2n）2能被4整除；因為（2n+1）2=4n2+4n+1=4（n2+n）+1，所以

38、（2n+1）2除以4余1。（7）相鄰兩個自然數(shù)的乘積必是偶數(shù)，其和必是奇數(shù)。（8）如果一個整數(shù)有奇數(shù)個約數(shù)（包括1和這個數(shù)本身），那么這個數(shù)一定是平方數(shù)；如果一個整數(shù)有偶數(shù)個約數(shù)，那么這個數(shù)一定不是平方數(shù)。整數(shù)的奇偶性能解決許多與奇偶性有關(guān)的問題。有些問題表面看來似乎與奇偶性一點關(guān)系也沒有，例如染色問題、覆蓋問題、棋類問題等，但只要想辦法編上號碼，成為整數(shù)問題，便可利用整數(shù)的奇偶性加以解決。例1下式的和是奇數(shù)還是偶數(shù)？1+2+3+4+1997+1998。分析與解：本題當(dāng)然可以先求出算式的和，再來判斷這個和的奇偶性。但如果能不計算，直接分析判斷出和的奇偶性，那么解法將更加簡潔。根據(jù)奇偶數(shù)的性質(zhì)（

39、2），和的奇偶性只與加數(shù)中奇數(shù)的個數(shù)有關(guān)，與加數(shù)中的偶數(shù)無關(guān)。11998中共有999個奇數(shù)，999是奇數(shù)，奇數(shù)個奇數(shù)之和是奇數(shù)。所以，本題要求的和是奇數(shù)。例2 能否在下式的中填上“+”或“-”，使得等式成立？123456789=66。分析與解：等號左端共有9個數(shù)參加加、減運算，其中有5個奇數(shù)，4個偶數(shù)。5個奇數(shù)的和或差仍是奇數(shù)，4個偶數(shù)的和或差仍是偶數(shù)，因為“奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)”，所以題目的要求做不到。例3 任意給出一個五位數(shù)，將組成這個五位數(shù)的5個數(shù)碼的順序任意改變，得到一個新的五位數(shù)。那么，這兩個五位數(shù)的和能不能等于99999？分析與解：假設(shè)這兩個五位數(shù)的和等于99999，則有下式：其中組成

40、兩個加數(shù)的5個數(shù)碼完全相同。因為兩個個位數(shù)相加，和不會大于 9+9=18，豎式中和的個位數(shù)是9，所以個位相加沒有向上進位，即兩個個位數(shù)之和等于9。同理，十位、百位、千位、萬位數(shù)字的和也都等于9。所以組成兩個加數(shù)的10個數(shù)碼之和等于 9+9+9+9+9=45，是奇數(shù)。另一方面，因為組成兩個加數(shù)的5個數(shù)碼完全相同，所以組成兩個加數(shù)的10個數(shù)碼之和，等于組成第一個加數(shù)的5個數(shù)碼之和的2倍，是偶數(shù)。奇數(shù)偶數(shù)，矛盾的產(chǎn)生在于假設(shè)這兩個五位數(shù)的和等于99999，所以假設(shè)不成立，即這兩個數(shù)的和不能等于99999。例4 在一次校友聚會上，久別重逢的老同學(xué)互相頻頻握手。請問：握過奇數(shù)次手的人數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？請

41、說明理由。分析與解：通常握手是兩人的事。甲、乙兩人握手，對于甲是握手1次，對于乙也是握手1次，兩人握手次數(shù)的和是2。所以一群人握手，不論人數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，握手的總次數(shù)一定是偶數(shù)。把聚會的人分成兩類：A類是握手次數(shù)是偶數(shù)的人，B類是握手次數(shù)是奇數(shù)的人。A類中每人握手的次數(shù)都是偶數(shù)，所以A類人握手的總次數(shù)也是偶數(shù)。又因為所有人握手的總次數(shù)也是偶數(shù)，偶數(shù)-偶數(shù)=偶數(shù)，所以B類人握手的總次數(shù)也是偶數(shù)。握奇數(shù)次手的那部分人即B類人的人數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)呢？如果是奇數(shù)，那么因為“奇數(shù)個奇數(shù)之和是奇數(shù)”，所以得到B類人握手的總次數(shù)是奇數(shù)，與前面得到的結(jié)論矛盾，所以B類人即握過奇數(shù)次手的人數(shù)是偶數(shù)。例5 五（

42、2）班部分學(xué)生參加鎮(zhèn)里舉辦的數(shù)學(xué)競賽，每張試卷有50道試題。評分標準是：答對一道給3分，不答的題，每道給1分，答錯一道扣1分。試問：這部分學(xué)生得分的總和能不能確定是奇數(shù)還是偶數(shù)？分析與解：本題要求出這部分學(xué)生的總成績是不可能的，所以應(yīng)從每個人得分的情況入手分析。因為每道題無論答對、不答或答錯，得分或扣分都是奇數(shù)，共有50道題，50個奇數(shù)相加減，結(jié)果是偶數(shù)，所以每個人的得分都是偶數(shù)。因為任意個偶數(shù)之和是偶數(shù)，所以這部分學(xué)生的總分必是偶數(shù)。 練習(xí)71.能否從四個3、三個5、兩個7中選出5個數(shù)，使這5個數(shù)的和等于22？2.任意交換一個三位數(shù)的數(shù)字，得一個新的三位數(shù)，一位同學(xué)將原三位數(shù)與新的三位數(shù)相加

43、，和是999。這位同學(xué)的計算有沒有錯？3.甲、乙兩人做游戲。任意指定七個整數(shù)（允許有相同數(shù)），甲將這七個整數(shù)以任意的順序填在下圖第一行的方格內(nèi)，乙將這七個整數(shù)以任意的順序填在圖中的第二行方格里，然后計算出所有同一列的兩個數(shù)的差（大數(shù)減小數(shù)），再將這七個差相乘。游戲規(guī)則是：若積是偶數(shù)，則甲勝；若積是奇數(shù)，則乙勝。請說明誰將獲勝。4.某班學(xué)生畢業(yè)后相約彼此通信，每兩人間的通信量相等，即甲給乙寫幾封信，乙也要給甲寫幾封信。問：寫了奇數(shù)封信的畢業(yè)生人數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？5.A市舉辦五年級小學(xué)生“春暉杯”數(shù)學(xué)競賽，競賽題30道，記分方法是：底分15分，每答對一道加5分，不答的題，每道加1分，答錯一道扣1分

44、。如果有333名學(xué)生參賽，那么他們的總得分是奇數(shù)還是偶數(shù)？6.把下圖中的圓圈任意涂上紅色或藍色。是否有可能使得在同一條直線上的紅圈數(shù)都是奇數(shù)？試講出理由。7.紅星影院有1999個座位，上、下午各放映一場電影。有兩所學(xué)校各有1999名學(xué)生包場看這兩場電影，那么一定有這樣的座位，上、下午在這個座位上坐的是兩所不同學(xué)校的學(xué)生，為什么？ 第8講 奇偶性（二） 例1用09這十個數(shù)碼組成五個兩位數(shù)，每個數(shù)字只用一次，要求它們的和是奇數(shù)，那么這五個兩位數(shù)的和最大是多少？分析與解：有時題目的要求比較多，可先考慮滿足部分要求，然后再調(diào)整，使最后結(jié)果達到全部要求。這道題的幾個要求中，滿足“和最大”是最容易的。暫時

45、不考慮這五個數(shù)的和是奇數(shù)的要求。要使組成的五個兩位數(shù)的和最大，應(yīng)該把十個數(shù)碼中最大的五個分別放在十位上，即十位上放5，6，7，8，9，而個位上放0，1，2，3，4。根據(jù)奇數(shù)的定義，這樣組成的五個兩位數(shù)中，有兩個是奇數(shù)，即個位是1和3的兩個兩位數(shù)。要滿足這五個兩位數(shù)的和是奇數(shù)，根據(jù)奇、偶數(shù)相加減的運算規(guī)律，這五個數(shù)中應(yīng)有奇數(shù)個奇數(shù)?，F(xiàn)有兩個奇數(shù)，即個位數(shù)是1，3的兩位數(shù)。所以五個數(shù)的和是偶數(shù)，不合要求，必須調(diào)整。調(diào)整的方法是交換十位與個位上的數(shù)字。要使五個數(shù)有奇數(shù)個奇數(shù)，并且五個數(shù)的和盡可能最大，只要將個位和十位上的一個奇數(shù)與一個偶數(shù)交換，并且交換的兩個的數(shù)碼之差盡可能小，由此得到交換5與4的位

46、置。滿足題設(shè)要求的五個兩位數(shù)的十位上的數(shù)碼是4，6，7，8，9，個位上的數(shù)碼是0，1，2，3，5，所求這五個數(shù)的和是（4+6+7+8+9）10+（0+1+2+3+5）=351。例2 7只杯子全部杯口朝上放在桌子上，每次翻轉(zhuǎn)其中的2只杯子。能否經(jīng)過若干次翻轉(zhuǎn)，使得7只杯子全部杯口朝下？分析與解：盲目的試驗，可能總也找不到要領(lǐng)。如果我們分析一下每次翻轉(zhuǎn)后杯口朝上的杯子數(shù)的奇偶性，就會發(fā)現(xiàn)問題所在。一開始杯口朝上的杯子有7只，是奇數(shù)；第一次翻轉(zhuǎn)后，杯口朝上的變?yōu)?只，仍是奇數(shù)；再繼續(xù)翻轉(zhuǎn)，因為只能翻轉(zhuǎn)兩只杯子，即只有兩只杯子改變了上、下方向，所以杯口朝上的杯子數(shù)仍是奇數(shù)。類似的分析可以得到，無論翻轉(zhuǎn)

47、多少次，杯口朝上的杯子數(shù)永遠是奇數(shù)，不可能是偶數(shù)0。也就是說，不可能使7只杯子全部杯口朝下。例3 有m（m2）只杯子全部口朝下放在桌子上，每次翻轉(zhuǎn)其中的（m-1）只杯子。經(jīng)過若干次翻轉(zhuǎn)，能使杯口全部朝上嗎？分析與解：當(dāng)m是奇數(shù)時，（m-1）是偶數(shù)。由例2的分析知，如果每次翻轉(zhuǎn)偶數(shù)只杯子，那么無論經(jīng)過多少次翻轉(zhuǎn)，杯口朝上（下）的杯子數(shù)的奇偶性不會改變。一開始m只杯子全部杯口朝下，即杯口朝下的杯子數(shù)是奇數(shù)，每次翻轉(zhuǎn)（m-1）即偶數(shù)只杯子。無論翻轉(zhuǎn)多少次，杯口朝下的杯子數(shù)永遠是奇數(shù)，不可能全部朝上。當(dāng)m是偶數(shù)時，（m-1）是奇數(shù)。為了直觀，我們先從m= 4的情形入手觀察，在下表中用表示杯口朝上，表示

48、杯口朝下，每次翻轉(zhuǎn)3只杯子，保持不動的杯子用*號標記。翻轉(zhuǎn)情況如下：由上表看出，只要翻轉(zhuǎn)4次，并且依次保持第1，2，3，4只杯子不動，就可達到要求。一般來說，對于一只杯子，要改變它的初始狀態(tài)，需要翻奇數(shù)次。對于m只杯子，當(dāng)m是偶數(shù)時，因為（m-1）是奇數(shù)，所以每只杯子翻轉(zhuǎn)（m-1）次，就可使全部杯子改變狀態(tài)。要做到這一點，只需要翻轉(zhuǎn)m次，并且依次保持第1，2，m只杯子不動，這樣在m次翻轉(zhuǎn)中，每只杯子都有一次沒有翻轉(zhuǎn)，即都翻轉(zhuǎn)了（m-1）次。綜上所述：m只杯子放在桌子上，每次翻轉(zhuǎn)（m-1）只。當(dāng)m是奇數(shù)時，無論翻轉(zhuǎn)多少次，m只杯子不可能全部改變初始狀態(tài)；當(dāng)m是偶數(shù)時，翻轉(zhuǎn)m次，可以使m只杯子全部

49、改變初始狀態(tài)。例4 一本論文集編入15篇文章，這些文章排版后的頁數(shù)分別是1，2，3，15頁。如果將這些文章按某種次序裝訂成冊，并統(tǒng)一編上頁碼，那么每篇文章的第一面是奇數(shù)頁碼的最多有幾篇？分析與解：可以先研究排版一本書，各篇文章頁數(shù)是奇數(shù)或偶數(shù)時的規(guī)律。一篇有奇數(shù)頁的文章，它的第一面和最后一面所在的頁碼的奇偶性是相同的，即排版奇數(shù)頁的文章，第一面是奇數(shù)頁碼，最后一面也是奇數(shù)頁碼，而接下去的另一篇文章的第一面是排在偶數(shù)頁碼上。一篇有偶數(shù)頁的文章，它的第一面和最后一面所在的頁碼的奇偶性是相異的，即排版偶數(shù)頁的文章，第一面是奇（偶）數(shù)頁碼，最后一面應(yīng)是偶（奇）數(shù)頁碼，而緊接的另一篇文章的第一面又是排在

50、奇（偶）數(shù)頁碼上。以上說明本題的解答主要是根據(jù)奇偶特點來處理。題目要求第一面排在奇數(shù)頁碼的文章盡量多。首先考慮有偶數(shù)頁的文章，只要這樣的第一篇文章的第一面排在奇數(shù)頁碼上（如第1頁），那么接著每一篇有偶數(shù)頁的文章都會是第一面排在奇數(shù)頁碼上，共有7篇這樣的文章。然后考慮有奇數(shù)頁的文章，第一篇的第一面排在奇數(shù)頁碼上，第二篇的第一面就會排在偶數(shù)頁碼上，第三篇的第一面排在奇數(shù)頁碼上，如此等等。在8篇奇數(shù)頁的文章中，有4篇的第一面排在奇數(shù)頁碼上。因此最多有7+4=11（篇）文章的第一面排在奇數(shù)頁碼上。例5 有大、小兩個盒子，其中大盒內(nèi)裝1001枚白棋子和1000枚同樣大小的黑棋子，小盒內(nèi)裝有足夠多的黑棋子

51、。阿花每次從大盒內(nèi)隨意摸出兩枚棋子，若摸出的兩枚棋子同色，則從小盒內(nèi)取一枚黑棋子放入大盒內(nèi)；若摸出的兩枚棋子異色，則把其中白棋子放回大盒內(nèi)。問：從大盒內(nèi)摸了1999次棋子后，大盒內(nèi)還剩幾枚棋子？它們都是什么顏色？分析與解：大盒內(nèi)裝有黑、白棋子共1001+1000=2001（枚）。因為每次都是摸出2枚棋子放回1枚棋子，所以每摸一次少1枚棋子，摸了1999次后，還剩2001-1999=2（枚）棋子。從大盒內(nèi)每次摸2枚棋子有以下兩種情況：（1）所摸到的兩枚棋子是同顏色的。此時從小盒內(nèi)取一枚黑棋子放入大盒內(nèi)。當(dāng)所摸兩枚棋子同是黑色，這時大盒內(nèi)少了一枚黑棋子；當(dāng)所摸兩枚棋子同是白色，這時大盒內(nèi)多了一枚黑

52、棋子。（2）所摸到的兩枚棋子是不同顏色的，即一黑一白。這時要把拿出的白棋子放回到大盒，大盒內(nèi)少了一枚黑棋子。綜合（1）（2），每摸一次，大盒內(nèi)的黑棋子總數(shù)不是少一枚就是多一枚，即改變了黑棋子數(shù)的奇偶性。原來大盒內(nèi)有1000枚即偶數(shù)枚黑棋子，摸了1999次，即改變了1999次奇偶性后，還剩奇數(shù)枚黑棋子。因為大盒內(nèi)只剩下2枚棋子，所以最后剩下的兩枚棋子是一黑一白。例6 一串?dāng)?shù)排成一行：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，到這串?dāng)?shù)的第1000個數(shù)為止，共有多少個偶數(shù)？分析與解：首先分析這串?dāng)?shù)的組成規(guī)律和奇偶數(shù)情況。1+1=2，2+3=5，3+5=8， 5+8=13，這串?dāng)?shù)的規(guī)律是，從第三

53、項起，每一個數(shù)等于前兩個數(shù)的和。根據(jù)奇偶數(shù)的加法性質(zhì)，可以得出這串?dāng)?shù)的奇偶性：奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，容易看出，這串?dāng)?shù)是按“奇，奇，偶”每三個數(shù)為一組周期變化的。 10003=3331，這串?dāng)?shù)的前1000個數(shù)有333組又1個數(shù)，每組的三個數(shù)中有1個偶數(shù)，并且是第3個數(shù)，所以這串?dāng)?shù)到第1000個數(shù)時，共有333個偶數(shù)。 練習(xí)8 1.在11，111，1111，11111，這些數(shù)中，任何一個數(shù)都不會是某一個自然數(shù)的平方。這樣說對嗎？2.一本書由17個故事組成，各個故事的篇幅分別是1，2，3，17頁。這17個故事有各種編排法，但無論怎樣編排，故事正文都從第1頁開始，以后每一個故事都從新一頁

54、碼開始。如果要求安排在奇數(shù)頁碼開始的故事盡量少，那么最少有多少個故事是從奇數(shù)頁碼開始的？3.桌子上放著6只杯子，其中3只杯口朝上，3只杯口朝下。如果每次翻轉(zhuǎn)5只杯子，那么至少翻轉(zhuǎn)多少次，才能使6只杯子都杯口朝上？4.70個數(shù)排成一行，除了兩頭的兩個數(shù)以外，每個數(shù)的3倍都恰好等于它兩邊的兩個數(shù)的和，這一行數(shù)的最左邊的幾個數(shù)是這樣的：0，1，3，8，21，問：最右邊的一個數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？5.學(xué)校組織運動會，小明領(lǐng)回自己的運動員號碼后，小玲問他：“今天發(fā)放的運動員號碼加起來是奇數(shù)還是偶數(shù)？”小明說：“除開我的號碼，把今天發(fā)的其它號碼加起來，再減去我的號碼，恰好是100?！苯裉彀l(fā)放的運動員號碼加起來

55、，到底是奇數(shù)還是偶數(shù)？6.在黑板上寫出三個整數(shù)，然后擦去一個換成所剩兩數(shù)之和，這樣繼續(xù)操作下去，最后得到88，66，99。問：原來寫的三個整數(shù)能否是1，3，5？7.將888件禮品分給若干個小朋友。問：分到奇數(shù)件禮品的小朋友是奇數(shù)還是偶數(shù)？第9講 奇偶性（三）利用奇、偶數(shù)的性質(zhì)，上兩講已經(jīng)解決了許多有關(guān)奇偶性的問題。本講將繼續(xù)利用奇偶性研究一些表面上似乎與奇偶性無關(guān)的問題。例1 在77的正方形的方格表中，以左上角與右下角所連對角線為軸對稱地放置棋子，要求每個方格中放置不多于1枚棋子，且每行正好放3枚棋子，則在這條對角線上的格子里至少放有一枚棋子，這是為什么？分析與解：題目說在指定的這條對角線上的

56、格子里必定至少放有一枚棋子，假設(shè)這個說法不對，即對角線上沒放棋子。如下圖所示，因為題目要求擺放的棋子以MN為對稱軸，所以對于MN左下方的任意一格A，總有MN右上方的一格A，A與A關(guān)于MN對稱，所以A與A要么都放有棋子，要么都沒放棋子。由此推知方格表中放置棋子的總枚數(shù)應(yīng)是偶數(shù)。而題設(shè)每行放3枚棋子，7行共放棋子 37=21（枚），21是奇數(shù)，與上面的推論矛盾。所以假設(shè)不成立，即在指定的對角線上的格子中必定至少有一枚棋子。 例2 對于左下表，每次使其中的任意兩個數(shù)減去或加上同一個數(shù)，能否經(jīng)過若干次后（各次減去或加上的數(shù)可以不同），變?yōu)橛蚁卤?？為什么？分析與解：因為每次有兩個數(shù)同時被加上或減去同一個

57、數(shù)，所以表中九個數(shù)碼的總和經(jīng)過變化后，等于原來的總和加上或減去那個數(shù)的2倍，因此總和的奇偶性沒有改變。原來九個數(shù)的總和為1+2+9=45，是奇數(shù)，經(jīng)過若干次變化后，總和仍應(yīng)是奇數(shù)，與右上表九個數(shù)的總和是4矛盾。所以不可能變成右上表。例3 左下圖是一套房子的平面圖，圖中的方格代表房間，每個房間都有通向任何一個鄰室的門。有人想從某個房間開始，依次不重復(fù)地走遍每一個房間，他的想法能實現(xiàn)嗎？分析與解：如右上圖所示，將相鄰的房間黑、白相間染色。無論從哪個房間開始走，因為總是黑白相間地走過各房間，所以走過的黑、白房間數(shù)最多相差1。而右上圖有7黑5白，所以不可能不重復(fù)地走遍每一個房間。例4 左下圖是由14個

58、大小相同的方格組成的圖形。試問能不能剪裁成7個由相鄰兩方格組成的長方形？分析與解：將這14個小方格黑白相間染色（見右上圖），有8個黑格，6個白格。相鄰兩個方格必然是一黑一白，如果能剪裁成7個小長方形，那么14個格應(yīng)當(dāng)是黑、白各7個，與實際情況不符，所以不能剪裁成7個由相鄰兩個方格組成的長方形。例5 在右圖的每個中填入一個自然數(shù)（可以相同），使得任意兩個相鄰的中的數(shù)字之差（大數(shù)減小數(shù)）恰好等于它們之間所標的數(shù)字。能否辦到？為什么？分析與解：假定圖中5與1之間的中的數(shù)是奇數(shù)，按順時針加上或減去標出的數(shù)字，依次得到各個中的數(shù)的奇偶性如下：因為上圖兩端是同一個中的數(shù)，不可能既是奇數(shù)又是偶數(shù)，所以5與1

59、之間的中的數(shù)不是奇數(shù)。同理，假定5與1之間的中的數(shù)是偶數(shù)，也將推出矛盾。所以，題目的要求辦不到。例6 下頁上圖是半張中國象棋盤，棋盤上已放有一只馬。眾所周知，馬是走“日”字的。請問：這只馬能否不重復(fù)地走遍這半張棋盤上的每一個點，然后回到出發(fā)點？分析與解：馬走“日”字，在中國象棋盤上走有什么規(guī)律呢？為方便研究規(guī)律，如下圖所示，先在棋盤各交點處相間標上和，圖中共有22個和23個。因為馬走“日”字，每步只能從跳到，或由跳到，所以馬從某點跳到同色的點（指或），要跳偶數(shù)步；跳到不同色的點，要跳奇數(shù)步?，F(xiàn)在馬在點，要跳回這一點，應(yīng)跳偶數(shù)步，可是棋盤上共有23+22=45（個）點，不可能做到不重復(fù)地走遍所有

60、的點后回到出發(fā)點。討論：如果馬的出發(fā)點不是在點上而是在點上，那么這只馬能不能不重復(fù)地走遍這半張棋盤上的每個點，最后回到出發(fā)點上呢？按照上面的分析，顯然也是不可能的。但是如果放棄“回到出發(fā)點”的要求，那么情況就不一樣了。從某點出發(fā)，跳遍半張棋盤上除起點以外的其它44點，要跳44步，44是偶數(shù)，所以起點和終點應(yīng)是同色的點（指或）。因為44步跳過的點與點各22個，所以起點必是，終點也是。也就說是，當(dāng)不要求回到出發(fā)點時，只要從出發(fā)，就可以不重復(fù)地走遍半張棋盤上的所有點。 練習(xí)9 1.教室里有5排椅子，每排5張，每張椅子上坐一個學(xué)生。一周后，每個學(xué)生都必須和他相鄰（前、后、左、右）的某一同學(xué)交換座位。問