人教A版高中數(shù)學必修五 2.2等差數(shù)列課件

1、2.2 等差數(shù)列復習回顧:1.數(shù)列定義:按照一定順序排成的一列數(shù),簡記作:an2.通項公式:數(shù)列an中第n項an與n之間的關系式 3.數(shù)列的分類(1)按項數(shù)分：有窮數(shù)列，(2)按項之間的大小關系：遞增數(shù)列，遞減數(shù)列，無窮數(shù)列擺動數(shù)列，常數(shù)列。4.數(shù)列的實質5.遞推公式: 如果已知an的第1項(或前n項),且任一項an與它的前一項an-1(或前n項)間的關系可用一個公式來表示,這個公式叫做數(shù)列的遞推公式.1.我們經常這樣數(shù)數(shù)，從0開始，每隔5數(shù)一次，可以得到數(shù)列： 0，5， 10，15，20， 2. 2000年，在澳大利亞悉尼舉行的奧運會上，女子舉重被正式列為比賽項目.該項目共設置了7個級別.其

2、中較輕的4個級別體重組成數(shù)列(單位：kg)：48，53，58，63.3.水庫的管理人員為了保證優(yōu)質魚類有良好的生活環(huán)境，用定期放水清庫的辦法清理水庫中的雜魚。如果一個水庫的水位為18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么從開始放水算起，到可以進行清理工作的那天，水庫每天的水位組成數(shù)列（單位：m）： 18，15.5，13，10.5，8，5.5. 4.我國現(xiàn)行儲蓄制度規(guī)定銀行支付存款利息的方式為單利，即不把利息加入本金計算下一期的利息。按照單利計算本利和的公式是：本利和=本金(1+利率存期)。例如，按活期存入10000元錢，年利率是0.72%，那么按照單利，5年內各年末的本利和（單位

3、：元）組成一個數(shù)列：10072，10144，10216，10288，10360. 48, 53, 58, 6318，15.5，13，10.5，8，5.5.10072, 10144, 10216, 10288, 10360問題1：觀察一下上面的這四個數(shù)列： 這些數(shù)列有什么共同特點呢？ 0, 5, 10, 15, 20 以上四個數(shù)列從第2項起，每一項與前一項的差都等于同一個常數(shù)1.等差數(shù)列：一般地，如果一數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列; 這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差， 公差常用字母d表示。二、新課講解 2.等差數(shù)列定義的符號語言： an-an-1=d

4、， ( n2 )，其中d為常數(shù) （ an+1-an = d nN+ ）（一）等差數(shù)列的定義： 如果等差數(shù)列 的首項是 ，公差是 ，那么根據(jù)等差數(shù)列的定義可以得到以下結論：數(shù)列 為等差數(shù)列是不是不是 練 習 判斷下列各組數(shù)列中哪些是等差數(shù)列，哪些不是？如果是，寫出首項a1和公差d, 如果不是，說明理由。（1）1，3，5，7，（2）9，6，3，0，-3（3）-8，-6，-4，-2，0，（4）3，3，3，3，（6）15，12，10，8，6，小結：判斷一個數(shù)列是不是等差數(shù)列，主要是由定義進行判斷：an+1-an是不是同一個常數(shù)？是是是a1=1,d=2a1=9,d=-3a1=-8,d=2a1=3,d=0

5、 1、等差數(shù)列要求從第2項起，后一項與 前一項作差。 不能顛倒。 2、作差的結果要求是同一個常數(shù)。 可以是整數(shù)，也可以是和負數(shù)。等差數(shù)列你注意到了嗎？判斷題(1)數(shù)列a，2a，3a，4a，是等差數(shù)列;(2)數(shù)列a2，2a3，3a4，4a5，是等差數(shù)列;(3)若anan+1=3 (nN*)，則an是公差為3的等差數(shù)列;(4)若a2a1=a3a2, 則數(shù)列an是等差數(shù)列。已知數(shù)列an是等差數(shù)列，d是公差，則：當d=0時， an為常數(shù)列；當d0時， an為遞增數(shù)列；當d1)上述各式兩邊同時相加，得an-a1=(n-1)d方法2：由等差數(shù)列的定義可得疊加法又當n=1時，上式也成立an=a1+(n-1)

6、d(3)已知等差數(shù)列an的首項是a1，公差是d，通項公式是_;練習 （二）等差數(shù)列的通項公式：若等差數(shù)列an的首項是a1，公差是d，則 an=a1+(n-1)d二、新課講解 課本P39.1，2例1：在等差數(shù)列an中，已知a5=10,a12=31,求首項a1與公差d .這是一個以a1和d 為未知數(shù)的二元一次方程組，解之得：解：由題意得：這個數(shù)列的首項a1是-2，公差d =3.注: 等差數(shù)列的通項公式中 ，an , a1 , n,d這四個變量 ， 知道其中三個量就可以求余下的一個量 。 學案P66.例1，變式三、例題例2. 在等差數(shù)列an中，（1）已知a1=2，d=3，n=10，求a10解：a10

7、=a1+9d=2+93=29（2）已知a1=3，an=21，d=2，求n解：21=3+(n-1)2 n=10（3）已知a1=12，a6=27，求d解： a6=a1+5d，即27=12+5d d=3（4）已知d=-1/3，a7=8，求a1解：a7=a1+6d 8=a1+6(-1/3) a1=10例3. (1)等差數(shù)列8，5，2,的第20項是幾？ (2)-401是不是等差數(shù)列-5，-9，-13，的項？ 如果是，是第幾項？（2）由題意得，a1=-5，d=-4，an=-401 an=a1+(n-1)d -401=-5+(n-1)(-4) n=100 -401是這個數(shù)列的第100項解： （1）依題意得，

8、a1=8，d=5-8=-3 a20=a1+19d=8+19(-3)=-49三、例題例5.某市出租車的計價標準為1.2元/km，起步價10元，即最初的4km（不含4km）計費10元如果某人乘坐該市的出租車去往14km處的目的地，且一路暢通，等候時間為0，需要支付多少車費？解：根據(jù)題意，當該市出租車的行程大于或等于4km時，每增加1km，乘客需要支付1.2元.所以，我們可以建立一個等差數(shù)列an來計算車費.令a1 =11.2，表示4km處的車費，公差d=1.2。那么當出租車行至14km處時，n=11，此時需要支付車費 a11=11.2 (111) 1.2=23.2答：需要支付車費23.2元。三、例題

9、解：（1）依題意得 a1+4d=10 a1+11d=31 解得 a1= - 2 , d = 3 a25=a1+24d = -2+243=70例4.在等差數(shù)列an中， a5=10，（1）若a12=31，求a25 ；（2）若d=2，求a10；an=am+(n-m)d等差數(shù)列通項公式的另一種形式例.a10=a5+ d， a32=a99+ d.567二、例題三、新課設 an是公差為d的等差數(shù)列，那么(1) an=am+(n-m)d等差數(shù)列的常用性質12. 若xy，且兩個數(shù)列x，a1，a2，y和x，b1，b2， b3，y各成等差數(shù)列，那么 練習:1. 等差數(shù)列an中, a2=5, a6= a3 +6,則

10、a1 =_7練習1. 在3與27之間插入7個數(shù),使這9個數(shù)成等差數(shù)列,則 插入這7個數(shù)中的第4個數(shù)的值為_2. 若an為等差數(shù)列,ap= q, aq=p(p q),則ap+q= _3. 在等差數(shù)列an中,已知am+n=A, am-n=B,則a2m = _150例6已知數(shù)列an的通項公式為an=pn+q，其中p、q為常數(shù)且p0，判斷這個數(shù)列是不是等差數(shù)列，并證明你的判斷證：取數(shù)列an中的任意相鄰兩項an與an-1 (n2) ，則p是一個與n無關的常數(shù) an是一個等差數(shù)列3.等差數(shù)列an的通項公式為an=p n+q 的圖象的特征是 ; 數(shù)列的公差的幾何意義是: . 1.數(shù)列an是等差數(shù)列 an=p

11、 n + q (p、q是常數(shù))解：數(shù)列an是一個等差數(shù)列2.證明數(shù)列an是等差數(shù)列的方法: .證明：an+1-an= 常數(shù).二、例題各項對應的點在同一條直線上.各項對應的點所在直線的斜率.如何判斷一個數(shù)列為等差數(shù)列 (3) 已知數(shù)列an是等差數(shù)列， 求證：數(shù)列an+an+1 也是等差數(shù)列.（4）證明：若數(shù)列 與 是等差數(shù)列， 是等差數(shù)列嗎？ 若 是公差為 的等差數(shù)列,則下列數(shù)列:(1) (c為任一常數(shù))是公差為 的等差數(shù)列(2) (c為任一常數(shù))是公差為 的等差數(shù)列(3) (k為任一常數(shù), )是公差為 的等差數(shù)列若 分別是公差為 的等差數(shù)列,則數(shù)列 (p、q是常數(shù))是公差為 的等差數(shù)列（4）去

12、掉前幾項后余下的數(shù)列是等差數(shù)列嗎？奇數(shù)項數(shù)列和偶數(shù)項數(shù)列仍是等差數(shù)列嗎？等差數(shù)列的常用性質2已知數(shù)列 為等差數(shù)列，那么有若 成等差數(shù)列，則 成等差數(shù)列.證明：根據(jù)等差數(shù)列的定義，即 成等差數(shù)列.如 成等差數(shù)列， 成等差數(shù)列.推廣：在等差數(shù)列有規(guī)律地取出若干項，所得新數(shù)列仍然為等差數(shù)列。（如奇數(shù)項，項數(shù)是7的倍數(shù)的項）等差數(shù)列的常用性質2推論：已知一個等差數(shù)列的首項為a1，公差為da1，a2，a3，an（1）將前m項去掉，其余各項組成的數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，他的首項與公差分別是多少？am+1，am+2，an是等差數(shù)列首項為am+1，公差為d，項數(shù)為n-m等差數(shù)列的常用性質2等差數(shù)列的常用性質

13、2已知一個等差數(shù)列的首項為a1，公差為da1，a2，a3，an（2）取出數(shù)列中的所有奇數(shù)項，組成一個數(shù)列，是等差數(shù)列嗎？如果是，他的首項與公差分別是多少？a1，a3，a5，是等差數(shù)列首項為a1，公差為2d取出的是所有偶數(shù)項呢？a2，a4，a6，是等差數(shù)列首項為a2，公差為2d等差數(shù)列的常用性質2已知一個等差數(shù)列的首項為a1，公差為da1，a2，a3，an（3）取出數(shù)列中所有項是7的倍數(shù)的各項，組成一個數(shù)列，是等差數(shù)列嗎？如果是，他的首項與公差分別是多少？a7，a14，a21，是等差數(shù)列首項為a7，公差為7d取出的是所有k倍數(shù)的項呢？ak，a2k，a3k，是等差數(shù)列首項為ak，公差為kd等差數(shù)列

14、的常用性質2已知一個等差數(shù)列的首項為a1，公差為da1，a2，a3，an（4）數(shù)列a1+a2，a3+a4，a5+a6，是等差數(shù)列嗎？公差是多少？a1+a2，a3+a4，a5+a6，是等差數(shù)列,公差為2d 數(shù)列a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5是等差數(shù)列嗎？公差是多少？a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5是等差數(shù)列，公差為3d。等差數(shù)列的常用性質2例：等差數(shù)列的常用性質3練習.在等差數(shù)列an中，(1)已知 a6+a9+a12+a15=20，求：a1+a20(2)已知 a3+a11=10，求：a6+a7+a8(3)已知 a2+a14=10，能求出a16嗎？1015

15、例3 .在等差數(shù)列an中，a619 ,a15=46，求a4+a17的值(4)已知 a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求a14及公差d.d= _2a14= _3d= 2a14= 31或不能注意：逆命題是不一定成立的；與首末兩項“等距離”的兩項之和等于首末兩項的和，即等差數(shù)列的常用性質3推論判斷：可推廣到三項，四項等注意：等式兩邊作和的項數(shù)必須一樣多例4.三數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為12，首尾二數(shù)的積也為12，求此三數(shù).解：設這三個數(shù)分別為a-d，a，a+d 則 (a-d)+a+(a+d)=12，即3a=12 a=4 又 (a-d)(a+d)=12，即(4-d)(4+d)=12 解得 d=2 當d=2時，這三個數(shù)分別為2，4，6 當d=-2時，這三個數(shù)分別為6，4，2二、例題練習：若四個數(shù)成遞增等差數(shù)列，中間兩個數(shù)的和為2，首末兩數(shù)的積為-8，求這四個數(shù)學案P69例1設項技巧：（1）若有三個數(shù)成等差數(shù)列，則可設為（2）若有四個數(shù)成等差數(shù)列，則可設為（3）若有五個數(shù)成等差數(shù)列，則可設為練習：若四個數(shù)成遞增等差數(shù)列，中間兩個數(shù)的和為2，首末兩數(shù)的積為-8，求這四個數(shù)例4.三數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為12，首尾二數(shù)的積也為12，求此三數(shù).等差數(shù)列的常用性質4練習：1.已知 ，求 的值。解:2. 在數(shù)列an中a1=1，an= an+1+4，則a10= 7. d=an+