立體幾何初步

1、 202003濱州市高一數(shù)學(xué)教學(xué)網(wǎng)絡(luò)研討會專題發(fā)言立體幾何初步陽信二中李娟2020年3月19日必修（第二冊）第八章立體幾何初步的教材分析與教學(xué)建議2020.3.19在高中數(shù)學(xué)課程中，標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）將立體幾何內(nèi)容分兩部分安排：必修課程中的“立體幾何初步”和選擇性必修課程中的“空間向量與立體幾何”。一、本章在教學(xué)中的地位與作用立體幾何是研究三維空間中物體的形狀、大小和位置關(guān)系的一門數(shù)學(xué)學(xué)科，而三維空間是人們生存發(fā)展的現(xiàn)實空間。直觀感知、操作確認(rèn)、推理論證、度量計算，是認(rèn)識立體圖形的基本方法，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力、運用圖形語言進(jìn)行交流的能力以及幾何直觀能力，是高中階段數(shù)學(xué)

2、課程的基本要求。所以，學(xué)習(xí)立體幾何對我們更好地認(rèn)識、理解現(xiàn)實世界，更好地生存與發(fā)展具有重要的意義，該部分也是歷年高考重點內(nèi)容之、本章教材與原教材相應(yīng)內(nèi)容的主要區(qū)別立體幾何初步中適當(dāng)降低了對推理論證的要求，對有關(guān)線面平行、垂直和面面平行、垂直的性質(zhì)定理進(jìn)行了推理論證，對相應(yīng)的判定定理只要求學(xué)生直觀感知，操作確認(rèn)，這種安排一方面有利于學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何，入手不難，另一方面從學(xué)習(xí)心理角度上講，避免過于繁難的證明造成學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何的心理障礙。具體的內(nèi)容變化情況刪除內(nèi)容：三視圖、平行投影、中心投影增加內(nèi)容：（1）直棱柱、斜棱柱、正棱柱，平行六面體、正棱錐的概念（2）球、棱臺的體積公式的推導(dǎo)；（3）平面基

3、本事實的三個推論內(nèi)容的編排順序變化對于平行關(guān)系和垂直關(guān)系的學(xué)習(xí)，原有教材是先集中講完判定定理后，再講性質(zhì)定理，而新教材是講完判定定理，緊跟著講性質(zhì)定理。教材例題、習(xí)題的變化新教材例題盧我亟埶林例題刈客，週Iin幻一型幾沖圧丫KR1-|Ha-fljr.Ei甘|XIL-Hlt*!專IflKfi.訶*:村護(hù).frFtrtf-:V|Jk$牛也a.薛邑十MU，壯Ksitm客加卜|;吟1；陀刖電音.畫切呻L*j-mjrfcN-jl.ffdtld!I4WM.M3!i訂rtbM.HirflJ.ZJ313J-.*1.eMli.CJjMMrffiibL.AlMI.4,iftA,IfJtiiMfr-.TBf-!%J

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5、j-rfitBri|!fc*.ft!f用出杠丄”ir絨肚伽1巴d9Himh.-id.asm呼時甲m_jfEH=i.HMlJTJ-1-ini&J*也:MlFHW.AErMM-HIML.鼻用峠rEM*託*MlrM-fa-yhf+閃劃+崔卜-JVVH.fiftjrlf|iC.1Ht-嚴(yán)IfirfiFtx.iL忤wl.M業(yè)H-1V教材上的例題主要有兩個特點：（一）是注重定理的簡單應(yīng)用；（二）是強調(diào)平行與垂直關(guān)系的等價轉(zhuǎn)化。不要過分追求空間幾何推理的嚴(yán)謹(jǐn)性，要重點突出幾何直觀以及平行和垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化來幫助提高學(xué)生的空間想象能力。三、本章教材的編寫特點、理念1、從整體到局部，從一般到特殊，構(gòu)建本章的體

6、系結(jié)構(gòu)新教材遵從整體到局部，一般到特殊的原則，更符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，有利于學(xué)生空間觀念的培養(yǎng)。例如：讓學(xué)生從對空間幾何體的整體觀察入手，直觀認(rèn)識空間圖形，然后從空間到平面（即直觀圖）；在此基礎(chǔ)上抽象出組成幾何體的基本元素，最后以長方體為載體研究其中的點、線、面之間的位置關(guān)系，這一思路貫穿到教材的每一個部分。2、滲透立體幾何研究方法，發(fā)展學(xué)生直觀想象素養(yǎng)從人們認(rèn)識世界的過程來看，對“形”的認(rèn)識要先于對“數(shù)”的認(rèn)識。所以學(xué)習(xí)立體幾何的途徑是：直觀感知（識圖）-操作確認(rèn)（畫圖）-度量計算（算圖）-思辨論證（證圖），教科書的安排也體現(xiàn)了這個認(rèn)知過程。3、關(guān)注研究幾何對象的基本方法，提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題

7、的能力例如，對于兩個平面平行判定的研究，教科書提出了這樣一些問題:類似研究直線與平面平行的判定，要把平面與平面平行的問題轉(zhuǎn)化為直線與平面平行的問題。如果一個平面內(nèi)的任意一條直線都與另一個平面平行，那么這兩個平面一定平行。思考：如何判定一個平面內(nèi)的任意一條直線都平行于另一個平面呢？有沒有更簡便的方法？如果一個平面內(nèi)兩條相交直線或兩條平行直線（它們都可以確定一個平面）都和另一個平面平行，是否就能證明這兩個平面平行？兩條相交直線或兩條平行直線都可以確定一個平面。為什么可以利用兩條相交直線判定兩個平面平行，而不能用兩條平行直線呢？你能從向量的角度解釋嗎？上述層層遞進(jìn)的問題，既體現(xiàn)了研究平面與平面平行這

8、一問題的研究過程，也有得到判定定理之后的反思，體現(xiàn)了研究圖形位置關(guān)系的一般思路和方法，有利于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力。4、循序漸進(jìn)地安排推理訓(xùn)練，發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)邏輯推理是指從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的素養(yǎng)。本章是培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)的很好的載體。例如，通過對實物、模型等的操作和感知，引導(dǎo)學(xué)生歸納、概括，幫助學(xué)生認(rèn)識空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征；通過對圖形的觀察和實驗，發(fā)現(xiàn)和提出描述直線、平面之間平行、垂直關(guān)系的命題，并逐步學(xué)會用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言表達(dá)這些命題，引導(dǎo)學(xué)生直觀解釋命題的含義和證明思路，并能證明其中的一些命題。這種處理，降低了學(xué)生證明立體幾何問題的難點，更有利于學(xué)生邏輯推理

9、素養(yǎng)的培養(yǎng)。5、重視幾何語言的培養(yǎng)和訓(xùn)練，幫助學(xué)生有邏輯地思考和表達(dá)在本章中，教科書注重圖形語言、文字語言、符號語言的相互轉(zhuǎn)化。有意識地訓(xùn)練學(xué)生用三種語言來表達(dá)同一問題，這也是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的基本訓(xùn)練方法之一。例如線面平行的性質(zhì)定理：（圖那語言）C文字語言）如果一條直線和一亍平面平行I貝I過這條直線的任一平面與該平面相交，交錢與該直線平行若門/7口衛(wèi)匸0,口門0=2?JQIM/2?（符號語言）6、重視平面三個基本事實的作用，幫助學(xué)生理解平面基本特征基本事實1：過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面；基本事實2：如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)；基本事實3：如果兩個

10、不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。這三個基本事實在刻畫平面的本質(zhì)特征中發(fā)揮了重大作用，基本事實1指出了平面的存在性，基本事實2用直線的“直”說明平面的“平”，用直線的“無限延伸”說明平面的“無限延展”?；臼聦?通過兩個平面相交成直線又進(jìn)一步反映了平面的平和無限延展這一屬性。對于這三個基本事實的理解，有助于培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)。四、教學(xué)建議首先是教材內(nèi)容的定位，“初步”是有明確含義的，教學(xué)的重點是幫助學(xué)生逐步形成空間想象能力，表現(xiàn)在集中解決空間觀念問題，逐步形成空間觀念及逐步培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力。在必修第二冊的學(xué)習(xí)中，雖然也有一些簡單的證明，它的目標(biāo)也是促進(jìn)空間

11、觀念的形成。我們來看一下2019年全國各省高考對本章各部分內(nèi)容的考察情況：早節(jié)對應(yīng)課標(biāo)2019考題舉例常考題型課時分配第八章立體幾何初步8.1基本立體圖形利用實物、計算機軟件等觀察空間圖形，認(rèn)識柱、錐、臺、球及簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)。2019全國II卷理16選擇題、填空題28.2立體圖形的直觀圖能用斜二測法畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡單組合）的直觀圖。選擇題、填空題28.3簡單幾何體的表面積與體積知道球、棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積的計算公式，能用公式解決簡單的實際問題。2019全國I卷理122019全國III卷理162019

12、江蘇卷92019天津卷理11選擇題、填空題28.4空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系借助長方體，在直觀認(rèn)識空間點、直線、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間點、直線、平面的位置關(guān)系的定義，了解基本事實。2019全國II卷理72019北京卷文13選擇題、填空題28.5空間直線、平面的平行從定義、基本事實出發(fā)，借助長方體，通過直觀感知，了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系，歸納出相應(yīng)的性質(zhì)定理和判定定理，并加以證明。能用已獲得的結(jié)論證明空間基本圖形位置關(guān)系的簡單命題。2019全國I卷文192019江蘇卷16選擇題、填空題、解答題38.6空間直線、平面的垂直從定義、基本事實出發(fā)，借助長

13、方體，通過直觀感知，了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系，歸納出相應(yīng)的性質(zhì)定理和判定定理，并加以證明。2019全國I卷文16、II卷文17、III卷理8、III卷文19，2019北京卷文18，2019浙江卷8，19選擇題、填空題、解答題5通過以上分析，我認(rèn)為在教學(xué)中要把握以下幾點：要充分利用好長方體模型利用模型來幫助提升學(xué)生的空間想象能力，長方體是學(xué)生非常熟悉幾何模型。利用“長方體”幾何模型，幫助學(xué)生從特殊到一般，從具體到抽象，用模型幫助學(xué)生把困難的問題變得直觀、簡潔，培養(yǎng)學(xué)生把握圖形、欣賞圖形的能力。重視研究方法的指導(dǎo)在本章，基本立體圖形和基本圖形位置關(guān)系是主要的研究對象。

14、教學(xué)中要注意加強“一般觀念”的引導(dǎo)，增強學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力。把握好教學(xué)要求，循序漸進(jìn)地培養(yǎng)推理能力本章內(nèi)容比較抽象，歷來也是高中教學(xué)的難點，所以教學(xué)中要注意以下幾點：（1）基本幾何體的認(rèn)識：為了以后學(xué)習(xí)的需要，教材給出了一些如直棱柱、斜棱柱、正棱柱、平行六面體、正棱錐的概念，教學(xué)中沒必要再補充一些無關(guān)的概念，如“正棱臺”概念。（2）直觀圖、表面積、體積：會看，會畫，會算，不要求會證。關(guān)于球的體積公式，教科書采用“分割，求近似和，求極限”的思想方法由表面積公式進(jìn)行了推導(dǎo)，這種思想方法非常重要，但學(xué)生不可能通過一個實例就能掌握，這里只是讓學(xué)生“體驗”一下這個過程，教學(xué)中也不需要過分追求推導(dǎo)過

15、程，盡量避開繁難的證明。（3）推理論證:以長方體為載體，循序漸進(jìn)教學(xué)重視作圖技能訓(xùn)練作圖過程就是在運用所學(xué)的平面幾何知識去理解空間圖形的本質(zhì)。因此，對于培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力是有重要意義的。教學(xué)中，在獲得幾何對象、描述概念、發(fā)現(xiàn)性質(zhì)等各個環(huán)節(jié)中都要加強作圖的訓(xùn)練；在解題教學(xué)中，也要把“觀察圖形”“根據(jù)題意做出圖形”作為出發(fā)點。充分利用信息技術(shù)工具在本章的學(xué)習(xí)中，信息技術(shù)工具可以給我們提供一個仿真的三維空間的學(xué)習(xí)環(huán)境，幫助我們認(rèn)識立體圖形的結(jié)構(gòu)特征，發(fā)現(xiàn)其中的基本位置關(guān)系，為把握和理解立體圖形提供幾何直觀。有條件的學(xué)校，應(yīng)盡可能多地使用信息技術(shù)工具，為學(xué)生提供直觀幫助，加深學(xué)生對相關(guān)知識的理解和認(rèn)

16、識。五、對教材重點內(nèi)容的處理建議1.平行關(guān)系證明平行關(guān)系，線線平行是基礎(chǔ)，要熟悉平面幾何證明兩線平行的相關(guān)定理，如中位線定理，平行四邊形性質(zhì)定理等，對于立體幾何的相關(guān)性質(zhì)，也要熟悉。（1）利用中位線尋找平行關(guān)系課本137頁例2思維比較簡單，證明中點的連線就是該三角形中位線例1：求證：空間四邊形相鄰兩邊中點的連線平行于經(jīng)過另外兩邊所在的平面。已知：空間四邊形ABCD,E、F分別是AB、AD的中點。求證：EF平面BCD思維層次提高,需要構(gòu)造三角形,確定其中位線,如課本138頁練習(xí)2,這是比較典型的證明平行的例子。練習(xí).如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為DD的中點試判斷BD1與平面AEC

17、的位置關(guān)系,并說明理由.（2）構(gòu)造平行四邊形尋找平行關(guān)系例2如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中,M、N分別是BC和A”】的中點，求證：MN平面AACC11111（3）利用線面平行的性質(zhì)尋找平行關(guān)系例3：如圖，在以A、B、C、D、E、F為頂點的五面體中，面ABEF為正方形，求證CDEF分析：這里沒有中點條件，CD的長度不定，所以也比較難構(gòu)成平行四邊形，因此，可考慮把目標(biāo)轉(zhuǎn)向他們有可能都平行的直線AB上，通過線面平行過渡平行關(guān)系?！窘馕觥坑梢阎?ABEF*.*ABx平面EFDC,EFu平面EFDCAB平面EFDC又平面ABCDn平面EFDC=DCABCDCDEF2.垂直關(guān)系證明垂直關(guān)系，線線垂直是基礎(chǔ)，要熟悉平面幾何證明兩線垂直的相關(guān)定理，如勾股定理，等腰三角形三線合一性質(zhì)等。對于立體幾何的相關(guān)性質(zhì)，也要熟悉。(1)利用平行關(guān)系與垂直關(guān)系的聯(lián)系(2)利用線面垂直的定義K8L6創(chuàng)、求噸