對(duì)稱的概念和晶體對(duì)稱性

1、對(duì)稱的概念和晶體對(duì)稱性一 對(duì)稱的概念 不對(duì)稱圖形 不對(duì)稱圖形 對(duì)稱圖形 對(duì)稱：指物體或圖形中相同的部分之間有規(guī)律的重復(fù)。 （1）所有的晶體都是對(duì)稱的；（2）晶體的對(duì)稱是有一定的限制的；二 晶體對(duì)稱（3）晶體的對(duì)稱包含幾何意義，也包含物理意義。1 特點(diǎn)（1）作為晶體分類(lèi)的基本依據(jù)；（2）研究晶體的內(nèi)部結(jié)構(gòu)、外部形態(tài)、物理性質(zhì)。2 應(yīng)用1 對(duì)稱操作：能夠使對(duì)稱物體中的等同部分作有規(guī)律的重復(fù)的變換動(dòng)作。2 對(duì)稱元素：對(duì)稱操作所依據(jù)的輔助的幾何元素（點(diǎn)、線、面）3 晶體的宏觀對(duì)稱：外部形態(tài)上的對(duì)稱。三 晶體宏觀對(duì)稱元素和對(duì)稱操作4 晶體宏觀對(duì)稱操作和對(duì)稱元素的類(lèi)型反軸旋轉(zhuǎn)反伸點(diǎn)線旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)線鏡面反映面

2、對(duì)稱中心反伸點(diǎn)對(duì)稱元素對(duì)稱操作映轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)反映線面5 對(duì)稱變化矩陣空間一點(diǎn)（x,y,z），對(duì)稱變換后（X,Y,Z）Xa11x+a12y+a13zYa21x+a22y+a23zZa31x+a32y+a33z其中對(duì)稱變換矩陣對(duì)任一對(duì)稱操作，都要唯一的對(duì)稱變換矩陣與之對(duì)應(yīng)6 對(duì)稱的表示法熊夫利斯記號(hào)國(guó)際記號(hào)習(xí)慣記號(hào)圖示記號(hào)（晶體常用）（分子常用）表示方法C 習(xí)慣記號(hào)i國(guó)際記號(hào)i i圣夫利斯對(duì)稱元素對(duì)稱操作I反伸操作和對(duì)稱心4 晶體宏觀對(duì)稱操作和對(duì)稱元素的類(lèi)型若對(duì)稱圖形具有對(duì)稱中心，則對(duì)稱圖形中的任意一點(diǎn)，在與中心點(diǎn)連線的反向延長(zhǎng)線的等距離處，必有相同的點(diǎn)存在。 定義。圖示記號(hào) 舉例B A C iA1C

3、1B1A1C1B1B D C iAD1iv 反伸的對(duì)稱變換矩陣以對(duì)稱心為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系變換前（x,y,z）則反伸后（x,y,z）反伸的對(duì)稱變換矩陣v 晶體的對(duì)稱心晶體中若存在對(duì)稱心，其晶面必然兩兩平行且相等。（判斷晶體有無(wú)對(duì)稱心的依據(jù)） 表示方法反映操作和鏡面P 習(xí)慣記號(hào)m國(guó)際記號(hào)圣夫利斯對(duì)稱元素對(duì)稱操作M垂直紙面圖示記號(hào)平行紙面 使圖形中的每一點(diǎn)都反映到該點(diǎn)到鏡面垂線的延長(zhǎng)線上，在鏡面另一側(cè)等距離處有相同的點(diǎn)存在。A1 C1 B1 A B C P 定義 反映的對(duì)稱變換矩陣對(duì)稱面包含的坐標(biāo)軸不同，點(diǎn)經(jīng)對(duì)稱面的操作后，得到的點(diǎn)的坐標(biāo)不同xzy以包含xy軸的平面為鏡面變換前（x,y,z）則反

4、伸后（x,y,z）反映的對(duì)稱變換矩陣xzy以包含xz軸的平面為鏡面變換前（x,y,z）則反伸后（x,y, z）反映的對(duì)稱變換矩陣xzy以包含yz軸的平面為鏡面變換前（x,y,z）則反伸后（x, y, z）反映的對(duì)稱變換矩陣v 晶體的對(duì)稱面 鏡面是平分圖形的平面，在圖形中除位于鏡面上的點(diǎn)外，其他成對(duì)地排在鏡面兩側(cè)，它們通過(guò)反映操作可以復(fù)原。 C3C3C4 晶體中的對(duì)稱面往往垂直平分晶面或垂直晶棱并通過(guò)它的中心，或包含晶棱 旋轉(zhuǎn)操作和旋轉(zhuǎn)軸概念旋轉(zhuǎn)操作：將圖形繞通過(guò)其中心的軸旋轉(zhuǎn)一定的角度后使圖形復(fù)原的操作，旋轉(zhuǎn)軸：旋轉(zhuǎn)所依據(jù)的幾何元素。基轉(zhuǎn)角：使物體復(fù)原的最小旋轉(zhuǎn)角（0度除外）對(duì)C n軸的基轉(zhuǎn)角

5、= 2/n。旋轉(zhuǎn)角度按逆時(shí)針?lè)较蛴?jì)算。軸次：使圖形完全復(fù)原旋轉(zhuǎn)基轉(zhuǎn)角的次數(shù)n。 Ln習(xí)慣記號(hào)n國(guó)際記號(hào)Cn Cn 熊夫利斯對(duì)稱元素對(duì)稱操作表示方法圖示記號(hào)654321600720900120018003600軸次 n基轉(zhuǎn)角2/n C6C5C4C3C2C1 旋轉(zhuǎn)軸 有限圖形常見(jiàn)的對(duì)稱軸C ：旋轉(zhuǎn)任意的角度都能使圖形復(fù)原。CO2旋轉(zhuǎn)角度m：旋轉(zhuǎn)的次數(shù)mn為自然數(shù) Cn對(duì)稱操作備注：國(guó)際記號(hào)圣夫利斯120024003600360024001200m=1,2,3旋轉(zhuǎn)角度備注：對(duì)稱操作國(guó)際記號(hào)圣夫利斯 主軸：若一個(gè)圖形中包含多個(gè)不同的旋轉(zhuǎn)軸，則稱最高次軸為主軸，低次軸為副軸。 主軸：3 C4副軸：4 C

6、3 6C2舉例C2C3C4舉例 若一個(gè)圖形中在一個(gè)方向上有不同軸次的對(duì)稱軸，那么只取軸次最高的一個(gè)。 vi對(duì)稱軸軸次定理（晶體對(duì)稱定理）晶體中只可能出現(xiàn)1，2，3，4，6次軸，而不存在五次及高于六次的對(duì)稱軸。 對(duì)稱軸:包括旋轉(zhuǎn)軸、反軸和螺旋軸B2B12/n2/nB1B2A1A4 B1B2= ma, m=0、B1B2=B1B2=a+2A2B1cos(2/n) 即：ma=a+2a cos(2/n)(m-1)/2= cos(2/n)而cos(2/n)1，m=0、則m的取值和n的關(guān)系如下表maA4A2aaaA1A3aa(m-1)/21或m-12-1 m312/1 162/61/242/4 032/3

7、-1/222/2-13210-1n2/n cos(2/n)m即n的取值只能是1、2、3、4、6m=0、(m-1)/2= cos(2/n)思考：如圖所示的正多邊形，如果將每一個(gè)正多邊形作為一個(gè)基本單元，驗(yàn)證一下哪些正多邊形能夠沒(méi)有空隙的排列并充滿整個(gè)二維平面？旋轉(zhuǎn)倒反操作和反軸 表示方法 習(xí)慣記號(hào)國(guó)際記號(hào) In In熊夫利斯對(duì)稱元素對(duì)稱操作 圖示記號(hào)概念復(fù)合對(duì)稱操作：兩個(gè)或兩個(gè)以上的對(duì)稱操作連續(xù)進(jìn)行 對(duì)稱元素：一根假想的直線（旋轉(zhuǎn)軸）和此直線上的一個(gè)定點(diǎn) 對(duì)稱操作：繞直線旋轉(zhuǎn)一定的角度2/n 及對(duì)定點(diǎn)的反伸（先旋轉(zhuǎn)后反伸或 先倒反后旋轉(zhuǎn)伸）1122C12C1122C12C121C45633564212C3546132413241C324651324對(duì)稱元素的獨(dú)立性：指對(duì)稱圖形中的某一個(gè)對(duì)稱元素不能被其他對(duì)稱元素或?qū)ΨQ元素的的組合而代替稱為。12C3546旋轉(zhuǎn)反映操作和映轉(zhuǎn)軸 表示方法 習(xí)慣記號(hào)國(guó)際記號(hào) 熊夫利斯對(duì)稱元素對(duì)稱操作 圖示記號(hào)概念對(duì)稱元素：一根假想的直線（旋轉(zhuǎn)軸）和