數(shù)值分析第一章課件

1、 數(shù)值分析 莊偉2022/8/22112022/8/2212 第一章 緒論 1.1 數(shù)值分析的研究對象 數(shù)值分析是計算數(shù)學(xué)中最基本的內(nèi)容.它研究如何用數(shù)值計算方法求解各種基本數(shù)學(xué)問題以及求解過程中出現(xiàn)的收斂性、數(shù)值穩(wěn)定性和誤差估計等問題.數(shù)值分析所闡明的各種數(shù)值計算方法是從事科學(xué)計算的最基本工具.2022/8/2213 1.2 誤差知識與算法知識 1.2.1 誤差的來源與分類 誤差是影響精確度的一種量.誤差按它們的來源可分為以下四種:模型誤差 反映實際問題有關(guān)量之間關(guān)系的計算公式,即數(shù)學(xué)模型,通常只是近似的.由此產(chǎn)生的數(shù)學(xué)模型的解與實際問題的解之間的誤差稱為模型誤差.2022/8/22142.

2、觀測誤差 實際問題中包含的某些參數(shù)(如時間、長度、溫度等等)往往要通過人們的觀測而獲得.由人們的觀測得到的數(shù)據(jù)與實際的數(shù)據(jù)之間是有誤差的.這種誤差稱為觀測誤差.2022/8/2215 求解數(shù)學(xué)模型所用的數(shù)值計算方法如果是一種近似的方法,那么只能得到數(shù)學(xué)模型的近似解,由此產(chǎn)生的誤差稱為截斷誤差. 例如在泰勒展式公式中f(x)可表示為: 3. 截斷誤差2022/8/2216這里的最后一項為拉格朗日型余項:就是截斷誤差.2022/8/2217 4. 舍入誤差 由于計算機的字長有限,參加運算的數(shù)據(jù)以及運算結(jié)果在計算機上存放會產(chǎn)生誤差.這種誤差稱為舍入誤差. 例如所產(chǎn)生的誤差就是舍入誤差. 本課程中主要

3、研究截斷誤差和舍入誤差對計算結(jié)果的影響.2022/8/2218 1.2.2 絕對誤差、相對誤差與有效數(shù)字 設(shè)a是準(zhǔn)確值x的一個近似值,記稱e為近似值a的絕對誤差,簡稱誤差.如果的一個上界已知,記為 ,即則稱 為近似值a的絕對誤差限或絕對誤差界,簡稱為誤差限或誤差界.2022/8/2219準(zhǔn)確值x、近似值a和誤差限 三者的關(guān)系為:或記為 例如, 作為圓周率 的一個近似值,它的絕對誤差是而2022/8/22110所以, 作為 的近似值,它的一個誤差限為 下面我們看相對誤差 .記 稱 為近似值a的相對誤差.因x未知,實際上總把 作為a的相對誤差,也記為2022/8/22111 的上界,即稱為近似值a

4、的相對誤差限或相對誤差界.顯然有 看書上例題1, 2. 規(guī)定:凡是由準(zhǔn)確值經(jīng)過四舍五入而得到的近似值,其絕對誤差限等于該近似值末位的半個單位,而與該末位數(shù)字無關(guān).2022/8/22112 定義: 設(shè)數(shù)a是數(shù)x的近似值,如果a的絕對誤差限是它的某一位的半個單位,并且從該位到它的第一位非零數(shù)字共有n位,則稱用a近似x時具有n位有效數(shù)字. 若絕對誤差限為則有定義知, a有n位有效數(shù)字. 從有效數(shù)字的定義可知,由準(zhǔn)確值經(jīng)四舍五入得到的近似值,從它的末位數(shù)字到第一位非零數(shù)字都是有效數(shù)字.同一個準(zhǔn)確值的不同近似值,有效數(shù)字2022/8/22113越多,它的絕對誤差和相對誤差都越小. 要注意2.14和2.1

5、400的區(qū)別,前者有三位有效數(shù)字,后者有五位有效數(shù)字. 注意:準(zhǔn)確值的有效數(shù)字可看作有無限多位,后面有無限多個零. 看書上例3. 有效數(shù)字與準(zhǔn)確數(shù)字的區(qū)別.2022/8/22114 1.2.3 函數(shù)求值的誤差估計 設(shè) 存在足夠高階的導(dǎo)數(shù), a是自變量x的近似值,則 是函數(shù)的近似值.如果 且比值不很大,則由泰勒公式可得 的誤差估計為2022/8/22115因故近似值 的一個誤差限為 如果且比值 不很大,則的誤差估計為:2022/8/22116 下面我們看多元函數(shù)求值的誤差估計.設(shè)n元函數(shù) 充分可微, 是 的近似值(i=1,2,n)則是函數(shù)值的近似值.由多元函數(shù)泰勒公式可得 的誤差估計為:2022

6、/8/22117 (1.1)如果 全為零或全都很小,則要使用泰勒公式中的高階項. 設(shè)a和b分別是準(zhǔn)確值x和y的近似值,則a+b,a-b,ab,a/b 分別是x+y,x-y,xy,x/y的近似值.根據(jù)式(1.1),可得2022/8/22118可得2022/8/22119而看書上例4,5.2022/8/221201.2.4 算法及其計算復(fù)雜性 算法在計算機上執(zhí)行時,為了減少舍入誤差的影響,設(shè)計算法時應(yīng)遵循一下一些原則:1.要有數(shù)值穩(wěn)定性,即能控制舍入誤差的傳播.2.兩數(shù)相加要防止較小的數(shù)加不到較大的數(shù)中所引起的計算結(jié)果的失真.3.要盡量避免兩個相近的近似值相減,以免嚴(yán)重損失有效數(shù)字.4.除法運算中

7、,要盡量避免除數(shù)的絕對值遠遠小于被除數(shù)的絕對值.2022/8/22121 1.3向量范數(shù)與矩陣范數(shù)1.3.1 向量范數(shù) 向量范數(shù)是用于定義向量大小的量,又稱為向量的模.定義:定義在 上的實值函數(shù) 稱為向量范數(shù).如果對于 中的任意向量x和y,滿足(1)非負性: 當(dāng)且僅當(dāng)x=0時,|x|=0;(2)齊次性:對任一數(shù) 有(3)成立三角不等式:2022/8/22122定理1.1 對 中的任一向量記:則 都是向量范數(shù).證: 是向量范數(shù)是顯然的,下面只證是向量范數(shù). 條件(1)是顯然的. 對任一數(shù) ,有2022/8/22123因此 滿足定義中的條件(2).由 的定義,可用內(nèi)積表示 為: 任取一向量 ,則有

8、根據(jù)Cauchy-Schwarz不等式可知因而 滿足定義中的條件(3).證畢.2022/8/22124稱 為1-范數(shù); 為2-范數(shù); 為 -范數(shù).更一般的p-范數(shù)為: 為正整數(shù).定理1.2: 設(shè) 是 上的任二種范數(shù),則存在與x無關(guān)的常數(shù)m和M(0mM),使下列關(guān)系式成立:(證明略). 由定理1.2可知,同一向量的不同范數(shù)間可比較大小.當(dāng)不指明那一種范數(shù)時,用 泛指任一種向量范數(shù).2022/8/221251.3.2矩陣范數(shù) 矩陣范數(shù)是用于定義矩陣“大小”的量,又稱為矩陣的模.定義: 定義在 上的實值函數(shù) 稱為矩陣范數(shù).如果對于 中的任意矩陣A和B,它滿足 當(dāng)且僅當(dāng) 時,(2)對任一數(shù) ,有(3)

9、(4)2022/8/22126定義: 對于給定的向量范數(shù) 和矩陣范數(shù) ,如果對任一個 和任一個 滿足則稱所給的向量范數(shù)與矩陣范數(shù)是相容的. 當(dāng)定義一種矩陣范數(shù)時,應(yīng)當(dāng)使它與某種向量范數(shù)相容.在同一個問題中要同時使用矩陣范數(shù)和向量范數(shù)時,這兩種范數(shù)應(yīng)當(dāng)是相容的. 下面定理給出了定義矩陣范數(shù)的方法.定理1.3:設(shè)在 中給定了一種向量范數(shù),對任一矩陣 令則由(1.2)定義的 是一種矩陣范數(shù),并且它與所給2022/8/22127定的向量范數(shù)相容.證:先證相容性.對 和任意的非零向量由于所以有對于 顯然也成立. 下面再證(1.2)滿足矩陣范數(shù)的四個條件.(1)當(dāng) 時, 當(dāng) 時,必有2022/8/2212

10、8(2)對任一數(shù) 有(3)對任意的矩陣 下式成立,(4)證畢.2022/8/22129 稱(1.2)所定義的矩陣范數(shù)為從屬于所給定向量范數(shù)的矩陣范數(shù),又稱為矩陣的算子范數(shù).設(shè)給定的向量范數(shù)為 則從屬于向量范數(shù) 的矩陣范數(shù)仍記為 即其中 又稱 為矩陣A的p-范數(shù). 由定理1.3可知.矩陣的p-范數(shù)與向量的p-范數(shù)相容,即對任意的 和任意的 有定理1.4:設(shè) 則2022/8/22130其中 表示矩陣 的最大特征值.證:對于1-范數(shù),設(shè) 矩陣A可表示為其中 設(shè) 則取向量 它的元素1位于第r個分量,顯然 且2022/8/22131于是有對于2-范數(shù),設(shè)向量 滿足因 是正定或半正定的,故它的全部特征值 非負,設(shè)并設(shè)相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量為 因而存在實數(shù) 使2022/8/22132并且有由此可推出取 則有 以及所以 對于 -范數(shù),設(shè)向量 滿足又設(shè) 則取向量 則有2022/8/22133這里符號函數(shù)又因所以 證畢. 置其中 稱為F-范數(shù),又稱為Euclic范數(shù),也可記為 可以證明 與向量范數(shù) 相容,即2022/8/22134也可以證明, 滿足矩陣范數(shù)定義的四個條件.注意:矩陣范數(shù) 不從屬于任何向量范數(shù),它不是算子范數(shù). 單位矩陣I任何一種算子范數(shù)都有定理1.5: