3小升初專項(xiàng)訓(xùn)練-幾何篇

1、名校真題測試卷3（幾何篇二）時(shí)間：15分鐘滿分5分姓名_測試成績_1（05年101中學(xué)考題）求下圖中陰影部分的面積：2（06年清華附中考題）從一個(gè)長為8厘米，寬為7厘米，高為6厘米的長方體中截下一個(gè)最大的正方體，剩下的幾何體的表面積是_平方厘米.3（06年三帆中學(xué)考試題）有一個(gè)棱長為1米的立方體，沿長、寬、高分別切二刀、三刀、四刀后，成為60個(gè)小長方體(見左下圖.這60個(gè)小長方體的表面積總和是_平方米.4（06年西城八中考題）右上圖中每個(gè)小圓的半徑是1厘米，陰影部分的周長是_厘米.（3.14）5(05年首師附中考題一千個(gè)體積為1立方厘米的小正方體合在一起成為一個(gè)邊長為10厘米的大正方體，大正方

2、體表面涂油漆后再分開為原來的小正方體，這些小正方體至少有一面被油漆涂過的數(shù)目是多少個(gè)？【附答案】1【解】如左下圖所示，將左下角的陰影部分分為兩部分，然后按照右下圖所示，將這兩部分分別拼補(bǔ)在陰影位置?？梢钥闯觯}圖的陰影部分等于右下圖中AB弧所形成的弓形，其面積等于扇形OAB與三角形OAB的面積之差。所以陰影面積：444-442=4.56。2【解】最大正方體的邊長為6，這樣剩下表面積就是少了兩個(gè)面積為66的，所以現(xiàn)在的面積為(87+86+762-662=220.3【解】原正方體表面積：1166（平方米），一共切了2349（次），每切一次增加2個(gè)面：2平方米。所以表面積：62924（平方米）4【

3、解】可見大圓的半徑是小圓的3倍，所以半徑為3，那么陰影部分的周長就等于7的小圓的周長加。上1個(gè)大圓的周長，即72+6=205【解】：共有1010101000個(gè)小正方體，其中沒有涂色的為(102(102(102512個(gè)，所以至少有一面被油漆漆過的小正方體為1000512488個(gè)。第二講小升初專項(xiàng)訓(xùn)練幾何篇（二）一、小升初考試熱點(diǎn)及命題方向圓和立體幾何近兩年雖然不是考試熱點(diǎn)，但在小升初考試中也會時(shí)常露面。因?yàn)榱Ⅲw圖形考察學(xué)生的空間想象能力，可以反映學(xué)生的本身潛能；而另一方面，初中很多知識點(diǎn)都是建立在空間問題上，所以可以說學(xué)?？疾炝Ⅲw也是為初中選拔知識鏈接性好的學(xué)生。二、2007年考點(diǎn)預(yù)測2007年

4、的小升初考試如果考察圓與立體幾何，不會難度太大，只需掌握我們本講中所介紹的幾類基本題型，就可成功在握?？荚嚐狳c(diǎn)將會出現(xiàn)在諸如水位問題和三維視圖問題等題型。1與圓和扇形有關(guān)的題型【例1】（）如下圖，等腰直角三角形ABC的腰為10厘米；以A為圓心，EF為圓弧，組成扇形AEF；陰影部分甲與乙的面積相等。求扇形所在的圓面積。【解】：等腰三角形的角為45度，則扇形所在圓的面積為扇形面積的8倍。而扇形面積為等腰三角形面積：S1/2101050。則：圓的面積為400?！纠?】（）草場上有一個(gè)長20米、寬10米的關(guān)閉著的羊圈，在羊圈的一角用長30米的繩子拴著一只羊（見左下圖）。問：這只羊能夠活動(dòng)的范圍有多大？

5、【解】：（此題十分經(jīng)典）如右上圖所示，羊活動(dòng)的范圍可以分為A，B，C三部分，所以羊活動(dòng)的范圍是【例3】（）在右圖中，兩個(gè)四分之一圓弧的半徑分別是2和4，求兩個(gè)陰影部分的面積差?！窘狻浚何覀冎灰辞宄幱安糠秩绾螛?gòu)成則不難求解。左邊的陰影是大扇形減去小扇形，再扣除一個(gè)長方形中的不規(guī)則白色部分，而右邊的陰影是長方形扣除這塊不規(guī)則白色部分，那么它們的差應(yīng)為大扇形減去小扇形，再減去長方形。則為：/444/4224233.1481.42?！纠?】（）如圖，ABCD是正方形，且FA=AD=DE=1，求陰影部分的面積。（取3）【解】：先看總的面積為1/4的圓，加上一個(gè)正方形，加上一個(gè)等腰直角三角形，然后扣除

6、一個(gè)等腰直角三角形，一個(gè)1/4圓，一個(gè)45度的扇形。那么最終效果等于一個(gè)正方形扣除一個(gè)45度的扇形。為111/8315/8【例5】（）如下圖，AB與CD是兩條垂直的直徑，圓O的半徑為15厘米，【解】：225平方厘米225（平方厘米）與立體幾何有關(guān)的題型小學(xué)階段，我們除了學(xué)習(xí)平面圖形外，還認(rèn)識了一些簡單的立體圖形，如長方體、正方體（立方體）、直圓柱體，直圓錐體、球體等，并且知道了它們的體積、表面積的計(jì)算公式，歸納如下。見下圖。在數(shù)學(xué)競賽中，有許多幾何趣題，解答這些趣題的關(guān)鍵在于精巧的構(gòu)思和恰當(dāng)?shù)脑O(shè)計(jì)，把形象思維和抽象思維結(jié)合起來。2求不規(guī)則立體圖形的表面積與體積【例6】（）用棱長是1厘米的正方塊

7、拼成如下圖所示的立體圖形，問該圖形的表面積是多少平方厘米？【解】：方法一：思路：整體看待面積問題。解：不管疊多高，上下兩面的表面積總是33；再看上下左右四個(gè)面，都是23+1，所以，總計(jì)92+74=18+28=46。方法二：思路：所有正方體表面積減去粘合的表面積解：從圖中我們可以發(fā)現(xiàn)，總共有14個(gè)正方體，這樣我們知道總共的表面積是：614=64，但總共粘合了18個(gè)面，這樣就減少了181=18，所以剩下的表面積是64-18=46。方法三：直接數(shù)數(shù)。思路：通過圖形，我們可以直接數(shù)出總共有46個(gè)面，每個(gè)面面積為1，這樣總共的表面積就是46。【例7】（）在邊長為4厘米的正方體木塊的每個(gè)面中心打一個(gè)邊與正

8、方體的邊平行的洞洞口是邊長為1厘米的正方形，洞深1厘米（如下圖）求挖洞后木塊的表面積和體積【解】：提示：大正方體的邊長為4厘米，挖去的小正方體邊長為1厘米，說明大正方體木塊沒被挖通，因此，每挖去一個(gè)小正方體木塊，大正方體的表面積增加“小洞內(nèi)”的4個(gè)側(cè)面積。6個(gè)小洞內(nèi)新增加面積的總和：114624（平方厘米），原正方體表面積：42696（平方厘米），挖洞后木塊表面積：9624120（平方厘米），體積：4313658（立方厘米）答：挖洞后的表面積是120平方厘米，體積是58立方厘米【例8】（）如圖是一個(gè)邊長為2厘米的正方體。在正方體的上面的正中向下挖一個(gè)邊長為1厘米的正方體小洞；接著在小洞的底面正

9、中再向下挖一個(gè)邊長為1/2厘米的小洞；第三個(gè)小洞的挖法與前兩個(gè)相同，邊長為1/4厘米。那么最后得到的立體圖形的表面積是多少平方厘米？【解】：方法一：思路：立體圖形的好處就是可以直觀視覺，雖然圖形被挖去，但6個(gè)面看過去是都還是面積不變的，特別是從上往下看是，3個(gè)正方形的下底面正好和剩下的面積等于原來的面積，這樣就只增加了3個(gè)小正方體的各自側(cè)面。解：原正方體的表面積是226=24平方厘米，增加的面積14+(21214+(41414，所以總共面積為24+14+(21214+(41414=2941方法二：思路：原正方體的表面積是226=24平方厘米，在頂部挖掉一個(gè)邊長為1厘米的正方體小洞后，原大正方體

10、的頂部表面被掉了一個(gè)11的小正方形，但是內(nèi)部增加了5個(gè)11的面，所以總共增加了4個(gè)11的面，即正方形小洞的4個(gè)側(cè)面-同樣，再往下挖掉一個(gè)邊長為21的正方體后，大正方體的表面積又增加4個(gè)2121的小正方形的面積.最后挖掉一個(gè)邊長為41厘米的正方體后，大正方體的表面積又增加了4個(gè)4141的小正方體的面積.所以最終大正方體的表面積=24+14+(21214+(41414=2941總結(jié)：立體圖形中一定要學(xué)會想象，特別是這種面積分開時(shí)，我們?nèi)钥梢钥闯上噙B的，這就要求學(xué)生必須學(xué)會如何看待面積的變化。3水位問題【例9】（）一個(gè)酒精瓶，它的瓶身呈圓柱形（不包括瓶頸），如下圖已知它的容積為26.4立方厘米當(dāng)瓶子

11、正放時(shí)，瓶內(nèi)的酒精的液面高為6厘米瓶子倒放時(shí)，空余部分的高為2厘米問：瓶內(nèi)酒精的體積是多少立方厘米？合多少升？分析由題意，液體的體積是不變的，瓶內(nèi)空余部分的體積也是不變的，因此可知液體體積是空余部分體積的3倍（62）62.172立方厘米62.172毫升0.062172升答：酒精的體積是62172立方厘米，合0062172升【例10】（）一個(gè)高為30厘米，底面為邊長是10厘米的正方形的長方體水桶，其中裝有21容積的水，現(xiàn)在向桶中投入邊長為2厘米2厘米3厘米的長方體石塊，問需要投入多少塊這種石塊才能使水面恰與桶高相齊？【解】：所裝入石塊的體積應(yīng)等于桶的容積的一半.投入石塊：（101015）（223

12、）=125（塊）.4計(jì)數(shù)問題【例11】（）右圖是由22個(gè)小正方體組成的立體圖形，其中共有多少個(gè)大大小小的正方體？由兩個(gè)小正方體組成的長方體有多少個(gè)？【解】：正方體只可能有兩種：由1個(gè)小正方體構(gòu)成的正方體，有22個(gè)；由8個(gè)小正方體構(gòu)成的222的正方體，有4個(gè)。所以共有正方體224=26（個(gè)）。由兩個(gè)小正方體組成的長方體，根據(jù)擺放的方向可分為下圖所示的上下位、左右位、前后位三種，其中上下位有13個(gè)，左右位有13個(gè)，前后位有14個(gè)，共有131314=40（個(gè)）?！纠?2】有甲、乙、丙3種大小的正方體，棱長比是1：2：3。如果用這三種正方體拼成盡量小的一個(gè)正方體，且每種都至少用一個(gè)，則最少需要這三種正

13、方體共多少？【解】：設(shè)甲的棱長是1，則乙的棱長是2，丙的棱長是3。一個(gè)甲種木塊的體積是1*1*1=1；一個(gè)乙種木塊的體積是2*2*2=8；一個(gè)丙種木塊的體積是3*3*3=27。3+2=5。則這三種木塊拼成的最小正方體的棱長是5。體積是5*5*5=125。需要丙種木塊1塊，乙種木塊1+1*2+2*2=7塊。甲種木塊的體積是27，乙種木塊的體積是8*7=56。125-27-56=42。需要甲種木塊42/1=42塊。1+7+42=50塊。5三維視圖的問題【例13】現(xiàn)有一個(gè)棱長為1cm的正方體，一個(gè)長寬為1cm高為2cm的長方體，三個(gè)長寬為1cm高為3cm的長方體。下列圖形是把這五個(gè)圖形合并成某一立體

14、圖形時(shí)，從上面、前面、側(cè)面所看到的圖形。試?yán)孟旅嫒齻€(gè)圖形把合并成的立體圖形（如例）的樣子畫出來，并求出其表面積。例：【解】：立體圖形的形狀如下圖所示。（此題十分經(jīng)典）從上面和下面看到的形狀面積都為9cm2，共18cm2；從兩個(gè)側(cè)面看到的形狀面積都為7cm2，共14cm2；從前面和后面看到的形狀面積都為6cm2，共12cm2；隱藏著的面積有2cm2。一共有181612248（cm2）。6其他常考題型【例14】（）有兩種不同形狀的紙板，一種是正方形的，另一種是長方形的，正方形紙板的總數(shù)與長方形紙板的總數(shù)之比是12.用這些紙板做成一些豎式和橫式的無蓋紙盒.正好將紙板用完.問在所做的紙盒中，豎式紙盒

15、的總數(shù)與橫式紙盒的總數(shù)之比是多少？【解】：由于紙盒無蓋，所以一個(gè)豎式紙盒有一個(gè)正方形和4個(gè)長方形，一個(gè)橫式紙盒有2個(gè)正方形和3個(gè)長方形，那么一個(gè)豎式紙盒和兩個(gè)橫式紙盒共有5個(gè)正方形和10個(gè)長方形，這時(shí)所用的正方形紙板與長方形紙板的比恰是12，也就是說按照每做一個(gè)豎式紙盒，再做兩個(gè)橫式紙盒的比例做紙盒，就可以把兩種不同形狀的紙板用完.因此，在所做的紙盒中，豎式紙盒的總數(shù)與橫式紙盒的總數(shù)之比是12.【例15】左下圖是一個(gè)正方體，四邊形APQC表示用平面截正方體的截面。請?jiān)谟蚁路降恼归_圖中畫出四邊形APQC的四條邊。【解】：把空間圖形表面的線條畫在平面展開圖上，只要抓住四邊形APQC四個(gè)頂點(diǎn)所在的位

16、置這個(gè)關(guān)鍵，再進(jìn)一步確定四邊形的四條邊所在的平面就可容易地畫出。（1）考慮到展開圖上有六個(gè)頂點(diǎn)沒有標(biāo)出，可想象將展開圖折成立體形，并在頂點(diǎn)上標(biāo)出對應(yīng)的符號，見左下圖。（2）根據(jù)四邊形所在立體圖形上的位置，確定其頂點(diǎn)所在的點(diǎn)和棱，以及四條邊所在的平面：頂點(diǎn)：AA，CC，P在EF邊上，Q在GF邊上。邊AC在ABCD面上，AP在ABFE面上，QC在BCGF面上，PQ在EFGH面上。（3）將上面確定的位置標(biāo)在展開圖上，并在對應(yīng)平面上連線。需要注意的是，立體圖上的A，C點(diǎn)在展開圖上有三個(gè)，B，D點(diǎn)在展開圖上有二個(gè)，所以在標(biāo)點(diǎn)連線時(shí)必須注意連線所在的平面。連好線的圖形如右上圖小結(jié)本講主要接觸到以下幾種典型

17、題型：1）與圓和扇形有關(guān)的題型。參見例1，2，3，4，52）求不規(guī)則立體圖形的表面積與體積。參見例6，7，83）水位問題。參見例9，104）計(jì)數(shù)問題。參見例11，125）三維視圖的問題。參見例136）其他?？碱}型。參見例14，15【課外知識】剪正方體此題旨在培養(yǎng)同學(xué)們的空間想象力和動(dòng)手能力將一個(gè)正方體（圖1）剪開可以展成一些不同的平面圖形（圖2）。圖1正方體（1）（2）（3）（4）圖2正方體的平面展開圖其中的圖2的（1），（2）都是“帶狀圖”，好像是一條完整的削下來的蘋果皮。仔細(xì)觀察（1），（2）兩個(gè)圖可以發(fā)現(xiàn)，圖中的每個(gè)小正方形都有兩個(gè)邊與其它的正方形“共用”，除了兩頭的兩個(gè)正方形以外。再觀

18、察圖（3）和圖（4），由于這兩個(gè)圖中每個(gè)都有一個(gè)正方形（粉色）有兩條以上的邊（圖（3）有3條，圖（4）有4條）與周圍的正方形“共用”。所以圖（3）和圖（4）都不是“帶狀圖”。問題1：運(yùn)用你的空間想象力或者動(dòng)手將圖2的四個(gè)圖折成正方體。問題2：除了圖（1）和圖（2）以外還有兩個(gè)正方體的平面展開圖也是“帶狀圖”，你能找出來嗎？答案：作業(yè)題（注：作業(yè)題-例題類型對照表，供參考）題1，2，3，4類型1；題5類型4；題6，7類型2；題8類型61、（）如下圖，求陰影部分的面積，其中OABC是正方形.解：10.2693.14-1810.26。2、（）如下圖所示，求陰影面積，圖中是一個(gè)正六邊形，面積為1040

19、平方厘米，空白部分是6個(gè)半徑為10厘米的小扇形。解：412平方厘米所要求的陰影面積是用正六邊形的面積減去六個(gè)小扇形面積正六邊可求得，需要知道半徑和扇形弧的度數(shù)，由已知正六邊形每邊所對圓心角為60，那么AOC120，又知四邊形ABCD是平行四邊形，所以ABC120，這樣就得求出扇形的面積。104062842（平方厘米）3、（）如右圖，將直徑AB為3的半圓繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60，此時(shí)AB到達(dá)AC的位置，求陰影部分的面積（取=3）.解：整個(gè)陰影部分被線段CD分為和兩部分，以AB為直徑的半圓被弦AD分成兩部分，設(shè)其中AD右側(cè)的部分面積為S，由于弓形AD是兩個(gè)半圓的公共部分，去掉AD弓形后，兩個(gè)半圓的剩余部分面積相等.即=S，由于：+S=60圓心角扇形ABC面積4、（）如下圖，兩個(gè)半徑相等的圓相交，兩圓的圓心相距正好等于半徑，AB弦約等于17厘米，半徑為10厘米，求陰影部分的面積。解：陰影部分由兩個(gè)相等的弓形組成，我們只需要求出一個(gè)弓形面積，然后二倍就是要求的陰影面積了.由已知若分別連結(jié)AO1，AO2，BO1，BO2，O1O2，如圖所示，就可以得到兩個(gè)等邊三角形（各邊長等于半徑），則AO2O1BO2O160