高等數(shù)學(xué)第二章第五節(jié)《函數(shù)的微分》課件

1、二、微分運(yùn)算法則三、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用四、微分在估計(jì)誤差中的應(yīng)用第五節(jié)一、微分的概念 函數(shù)的微分 第二章 一、微分的概念 引例: 一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,問(wèn)此薄片面積改變了多少? 設(shè)薄片邊長(zhǎng)為 x , 面積為 A , 則面積的增量為關(guān)于x 的線性主部高階無(wú)窮小時(shí)為故稱為函數(shù)在 的微分當(dāng) x 在取得增量時(shí),變到邊長(zhǎng)由其的微分,定義: 若函數(shù)在點(diǎn) 的增量可表示為( A 為不依賴于x 的常數(shù))則稱函數(shù)而 稱為記作即定理: 函數(shù)在點(diǎn) 可微的充要條件是即在點(diǎn)可微,定理 : 函數(shù)證: “必要性” 已知在點(diǎn) 可微 ,則故在點(diǎn) 的可導(dǎo),且在點(diǎn) 可微的充要條件是在點(diǎn) 處可導(dǎo),且即定理 : 函數(shù)在

2、點(diǎn) 可微的充要條件是在點(diǎn) 處可導(dǎo),且即“充分性”已知即在點(diǎn) 的可導(dǎo),則說(shuō)明:時(shí) ,所以時(shí)很小時(shí), 有近似公式與是等價(jià)無(wú)窮小,當(dāng)故當(dāng)微分的幾何意義當(dāng) 很小時(shí),則有從而導(dǎo)數(shù)也叫作微商切線縱坐標(biāo)的增量自變量的微分,記作記例如,基本初等函數(shù)的微分公式 (見 P115表)又如,二、 微分運(yùn)算法則設(shè) u(x) , v(x) 均可微 , 則(C 為常數(shù))分別可微 ,的微分為微分形式不變5. 復(fù)合函數(shù)的微分則復(fù)合函數(shù)例1.求 解:例2. 設(shè)求 例3. 在下列括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)使等式成立:說(shuō)明: 上述微分的反問(wèn)題是不定積分要研究的內(nèi)容.注意: 數(shù)學(xué)中的反問(wèn)題往往出現(xiàn)多值性.數(shù)學(xué)中的反問(wèn)題往往出現(xiàn)多值性 , 例如三、 微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用當(dāng)很小時(shí),使用原則:得近似等式:特別當(dāng)很小時(shí),常用近似公式:很小)四、 微分在估計(jì)誤差中的應(yīng)用某量的精確值為 A ,其近似值為 a ,稱為a 的絕對(duì)誤差稱為a 的相對(duì)誤差若稱為測(cè)量 A 的絕對(duì)誤差限稱為測(cè)量 A 的相對(duì)誤差限內(nèi)容小結(jié)1. 微分概念 微分的定義及幾何意義 可導(dǎo)可微2. 微分運(yùn)算法則微分形式不變性 :( u 是自變量或中間變量 )3. 微分的應(yīng)用近似計(jì)算估計(jì)誤差思考與練習(xí)1. 設(shè)函數(shù)的圖形如下, 試在圖中標(biāo)出的點(diǎn)處的及并說(shuō)明其正負(fù) .2.5. 設(shè)由方程確定,解:方程兩